NILAI TOTAL KETIDAKTERATURAN TITIK DARI SUBDIVISI GRAF BINTANG S. UNTUK m 9, n 3 ON THE TOTAL VERTEX IRREGULARITY STRENGTH OF SUBDIVISION OF STAR S

NILAI TOTAL KETIDAKTERATURAN TITIK DARI SUBDIVISI GRAF

BINTANG

UNTUK

≥ 9,

≥ 3

ON THE TOTAL VERTEX IRREGULARITY STRENGTH OF SUBDIVISION

OF STAR

FOR

≥ 9,

≥ 3

Nurfuaidah Suardi

1

, Nurdin

2

, Hasmawati

2

1

Matematika Terapan, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas

Hasanuddin,

2

Jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam,

Universitas Hasanuddin

Alamat Korespondensi:

Nurfuaidah Suardi

Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

Universitas Hasanuddin

Makassar, 90245

HP : 085696506261

Abstrak

Penelitian ini merupakan pengembangan dari penelitian Siddiqui dkk. yang telah menentukan nilai total ketidakteraturan titik dari subdivisi graf bintang untuk 1 ≤ ≤ 8 dan ≥ 3, namun pencarian subdivisi graf bintang untuk ≥ 9 dan ≥ 3 masih merupakan masalah terbuka. Penelitian ini bertujuan untuk menentukan nilai total ketidakteraturan titik dari subdivisi graf bintang untuk ≥ 9 dan ≥ 3. Metode penelitian yang digunakan adalah kajian teoritis dengan menentukan batas bawah terbesar dan batas atas terkecil. Batas bawah dianalisis berdasarkan sifat-sifat graf, sedangkan batas atas dianalisis dengan mengkonstruksi fungsi pelabelan total tidak teratur. Hasil penelitian memberikan konstruksi pelabelan total, sedemikan sehingga semua titik pada subdivisi graf bintang mempunyai bobot berbeda. Disimpulkan bahwa nilai total ketidakteraturan titik dari subdivisi graf bintang adalah bilangan bulat terkecil yang lebih besar atau sama dengan sepertiga dari banyaknya titik pada subdivisi graf bintang.

Kata Kunci : Pelabelan total tidak teratur titik, nilai total ketidakteraturan titik, subdivisi graf bintang

Abstract

This research is development from Siddiqui et al.’s research which had determined total vertex irregularity strength of subdivision of star for 1 ≤ ≤ 8 and ≥ 3, but the search of subdivision of star for ≥ 9 and ≥ 3 is still an open problem. This research aimed to determine the total vertex irregularity strength of

subdivision of star for ≥ 9 and ≥ 3. Methods of research is using a theoretical study by determine

lower bound and upper bound. The lower bound was analyzed by characteristic of graph, while the upper bound was analyzed by construct the function irregular total labeling. The result of research gives construction total labeling, such that each vertex of subdivision of star has a distinct weight. The conclusion is the total vertex irregularity strength of subdivision of star is the smallest integer not less than a third of cardinality of the vertex of subdivision of star.

PENDAHULUAN

Pelabelan graf merupakan salah satu topik dalam teori graf yang semakin berkembang,

baik secara teoritis maupun dalam aplikasi. Pelabelan graf didefinisikan sebagai suatu

pemetaan yang memetakan himpunan bagian unsur-unsur dari graf ke suatu himpunan

bilangan (umumnya himpunan bilangan bulat positif atau non-negatif), yang diperkenalkan

oleh Sedláček (1963). Pelabelan dengan domain himpunan titik disebut pelabelan titik,

pelabelan dengan domain himpunan sisi disebut pelabelan sisi, serta pelabelan dengan domain

gabungan himpunan titik dan himpunan sisi disebut pelabelan total (Wallis, 2007).

Salah satu jenis pelabelan pada graf adalah pelabelan tidak teratur. Pelabelan tidak

teratur (irregular labeling) pada graf

didefinisikan sebagai suatu pemetaan yang

memetakan himpunan sisi dari ke himpunan bilangan bulat positif, sedemikian sehingga

semua titik mempunyai bobot yang berbeda (Chartrand dkk., 1988).

Dalam pengembangan pelabelan tidak teratur, Baca dkk., (2007) memperkenalkan

pelabelan tidak teratur yang didasarkan pada pelabelan total, yaitu pelabelan total tidak teratur

titik (vertex irregular total labeling). Pelabelan total tidak teratur titik pada graf

didefinisikan sebagai suatu pemetaan yang memetakan himpunan titik dan sisi dari ke

himpunan bilangan {1,2, . . . , }, sedemikian sehingga semua titik mempunyai bobot yang

berbeda. Bobot titik adalah jumlah label titik dan label sisi yang terkait pada

. Nilai total

ketidakteraturan titik dari

, dinotasikan dengan

( ), adalah bilangan bulat positif terkecil

sedemikian sehingga mempunyai pelabelan

− total tidak teratur titik.

Survei hasil-hasil penelitian tentang nilai total ketidakteraturan dari suatu graf yang

telah diperoleh peneliti lainnya (Gallian, 2013). Bača dkk., (2007) telah memberikan suatu

batas atas nilai total ketidakteraturan titik dari graf pohon dan juga telah menentukan nilai

total ketidakteraturan titik dari graf bintang, yaitu bilangan bulat terkecil yang lebih besar atau

sama dengan setengah dari banyaknya titik pada graf bintang. Anholcer dkk., (2009)

memberikan batas atas yang baru untuk nilai total ketidakteraturan titik pada graf. Nurdin

dkk., (2010) telah memberikan batas bawah nilai total ketidakteraturan titik pada graf

(Teorema 2). Ahmad dkk., (2011) menentukan nilai total ketidakteraturan titik dari graf helm,

graf friendship diperumum, graf flower dan graf web. Untuk beberapa graf pohon tertentu,

Nurdin (2012) menentukan nilai total ketidakteraturan titik dari graf quadtree dan banana

tree.

Subdivisi graf bintang (subdivision of star), dinotasikan

adalah graf yang diperoleh

dari graf bintang dengan menambah

titik pada setiap sisinya. (Siddiqui dkk., 2011).

Siddiqui dkk., (2011) telah menentukan nilai total ketidakteraturan titik dari subdivisi graf

bintang

untuk 1 ≤

≤ 8 dan ≥ 3, namun pencarian subdivisi graf bintang

untuk

≥ 9 dan

≥ 3 masih merupakan masalah terbuka. Dengan demikian, penelitian ini

bertujuan untuk menentukan nilai total ketidakteraturan titik dari subdivisi graf bintang

untuk

≥ 9 dan ≥ 3.

BAHAN DAN METODE

Rancangan Penelitian

Penelitian ini merupakan kajian teoritis dengan menggunakan definisi himpunan titik

dan himpunan sisi, mengkonstruksi suatu pelabelan yakni melabeli semua sisi dan titik graf

dengan angka

1,2, … , , dalam pelabelan tersebut dimungkinkan adanya sisi atau titik yang

mempunyai label sama, menghitung bobot sehingga fungsi bobot berbeda, menunjukkan

adalah label terbesar yang digunakan.

Analisis Data

Metode yang digunakan dalam menentukan nilai total ketidakteraturan titik dari

subdivisi graf bintang, yaitu dengan menentukan batas bawah terbesar dan batas atas terkecil.

Batas bawah dianalisis berdasarkan sifat-sifat graf dan teorema pendukung, sedangkan batas

atas dianalisis dengan mengkonstruksi fungsi pelabelan total tidak teratur.

HASIL PENELITIAN

Teorema 1. Untuk

≥ 9 dan ≥ 3, maka

(

) =

.

dengan konstruksi suatu pelabelan total pada

sebagai berikut:

Misal

_,

=

(

+ 1 − ) + + 1

3

,

Definisikan label titik dari

sebagai berikut. Untuk 1 ≤ ≤ ,

( ) =

+

+ 1

3

;

,

=

⎩

⎪

⎪

⎪

⎨

⎪

⎪

⎪

⎧

+ + 1 − 2

_,

untuk = 1;

(

− 1) + + 1 −

,

−

,

untuk

= 2;

(

+ 1 − ) + + 1 −

_,

−

_,

untuk 3 ≤ ≤

;

+ 1 −

_,

untuk

=

+ 1;

dan definisikan label sisi dari

sebagai berikut. Untuk 1 ≤ ≤ ,

,

=

+

+ 1

3

;

, ,

=

⎩

⎪

⎨

⎪

⎧

+

+ 1

3

untuk = 2;

(

+ 1 − ) + + 1

3

untuk 3 ≤ ≤

+ 1

.

Ilustrasi nilai total ketidakteraturan titik pada graf

dengan

(

) = 26 dapat

dilihat pada Gambar 1 (lampiran).

PEMBAHASAN

Penelitian ini menemukan nilai total ketidakteraturan titik dari subdivisi graf bintang

untuk

≥ 9 dan ≥ 3 sebagai berikut:

Subdivisi graf bintang

memiliki

+

+ 1 titik dan

+ sisi. Graf

memiliki 1 titik berderajat

, titik berderajat 1 dan

titik berderajat 2. Didefinisikan

himpunan titik dan himpunan sisi dari subdivisi graf bintang

yaitu:

(

) = { } ∪

_,

|1 ≤ ≤ dan 1 ≤ ≤

+ 1 ,

(

) =

_,

|1 ≤ ≤

∪

_{, ,}

|1 ≤ ≤ dan 2 ≤ ≤

+ 1 .

Dalam penelitian ini, batas bawah nilai total ketidakteraturan titik akan ditentukan

dengan menggunakan teorema sebagai berikut:

Teorema 2. Misalkan

adalah suatu graf yang mempunyai

titik berderajat dengan

= , + 1, + 2, … , ∆ dengan dan ∆= ∆( ) masing-masing adalah derajat minimum dan

derajat maksimum titik dari

, maka

( ) ≥ maks

+

+ 1

,

+

+

+ 2

, … ,

+ ∑

∆

∆ + 1

.

Untuk membuktikan hasil penelitian (Teorema 1), digunakan teorema 2 sehingga

diperoleh bahwa,

(

) ≥

. Selanjutnya untuk membuktikan bahwa

(

) ≤

, dikonstruksi suatu pelabelan total pada

. Berdasarkan definisi pelabelan total

pada

tersebut, diperoleh bobot titik-titik dari

adalah sebagai berikut:

Fakta 1. Untuk 1 ≤ ≤ ,

( ) = ( ) +

_,

= (1 + )

+

+ 1

Fakta 2. Untuk 1 ≤ ≤ dan = 1,

,

=

,

+

,

+

, ,

=

+ + 1.

Fakta 3. Untuk 1 ≤ ≤ dan = 2,

,

=

,

+

, ,

+

, ,

= (

− 1) + + 1.

Fakta 4. Untuk 1 ≤ ≤ dan 3 ≤ ≤

,

(

,

) =

,

=

,

+

, ,

+

, ,

= (

+ 1 − ) + + 1.

Fakta 5. Untuk 1 ≤ ≤ dan =

+ 1,

,

=

,

+

, ,

= + 1.

Berdasarkan lima fakta tersebut, diperoleh bahwa bobot setiap titik dari

berbeda.

Dengan kata lain, merupakan suatu pelabelan total tidak teratur titik pada

.

Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa label terbesar yang digunakan dengan pelabelan

total adalah

. Berdasarkan definisi pelabelan total , diperoleh sebagai berikut:

Fakta 1. ( )

=

.

Fakta 2.

_,

≤

_,

≤

.

Fakta 3.

_,

≤

_,

≤

.

Fakta 4.

_,

≤

_,

≤

_,

≤

_,

≤

.

Fakta 5.

_,

≤

,

≤

.

Fakta 6.

_,

≤

_,

≤

untuk 1 ≤ ≤

.

Fakta 7.

_,

=

.

Fakta 8.

_{, ,}

=

.

Fakta 9.

_{, ,}

≤

, ,

≤

, ,

≤

, ,

≤

.

Fakta 10.

_{, ,}

≤

_{, ,}

≤

untuk 3 ≤ ≤

.

Dengan demikian, pelabelan total

merupakan pemetaan dari

∪ ke

1,2,3, … ,

. Karena merupakan suatu pelabelan total tidak teratur titik pada

dan label terbesar yang digunakan adalah

. Maka,

(

) ≤

.

KESIMPULAN DAN SARAN

Disimpulkan bahwa nilai total ketidakteraturan titik dari subdivisi graf bintang

untuk

≥ 9 dan

≥ 3 adalah ⌈(

+

+ 1)/3⌉, dengan fungsi pelabelan total yang

dikonstruksi, sedemikan sehingga semua titik pada subdivisi graf bintang

mempunyai

bobot berbeda. Disarankan pada peneliti selanjutnya untuk menentukan nilai total

ketidakteraturan sisi dan titik ( ) dari subdivisi graf bintang

.

UCAPAN TERIMA KASIH

Penulis mengucapkan terima kasih kepada Dr. Nurdin, M.Si dan Dr. Hasmawati, M.Si

serta semua pihak yang telah membantu dalam penulisan artikel ini.

DAFTAR PUSTAKA

Ahmad A., Awan K.M., Javaid I. & Slamin. (2011). Total Vertex Irregularity Strength of

Wheel Related Graphs. Australasian Journal of Combinatorics, 51:147-156.

Anholcer M., Kalkowski M. & Przybylo J. (2009). A New Upper Bound for the Total Vertex

Irregularity Strength of Graphs. Discrete Mathematics, 309:6316-5317.

Bača M., Jendrol' S., Miller M. & Ryan J. (2007). On Irregular Total Labellings. Discrete

Mathematics, 307:1378-1388.

Chartrand G., Jacobson M., Lehel J., Oellermann O., Ruiz S. & Saba F. (1988). Irregular

Network. Congressus Numerantium, 64:187-192.

Gallian J.A. (2013). A Dynamic Survey of Graph Labeling. Electron Journal of

Combinatorics, 16: 191-194.

Nurdin. (2012). On the Total Vertex Irregularity Strengths of Quadtrees and Banana Trees.

Journal of the Indonesian Mathematical Society, 18(1):31-36.

Nurdin, Baskoro E.T., Salman A.N.M. & Gaos N.N. (2010). On the Total Vertex Irregularity

Strength of Trees. Discrete Mathematics, 310:3043-3048.

Sedláček J. (1963). Problem 27, In: Theory of Graphs and Its Applications, Proceedings of

the Symposium Smolenice, 163–167.

Siddiqui M.K. & Afzal D. (2011). On tvs of Subdivision of Star S

n

. Australian Journal of

Basic and Applied Sciences, 5(11):2146-2156.

Wallis W.D. (2007). A Beginner’s Guide to Graph Theory, 2

nd

edition. Berlin: Birkhäuser

Boston.

LAMPIRAN

Gambar 1. Pelabelan-

total tidak teratur titik pada

26 26 26 26 26 26 26 20 ₂₆ 19 ₂₀ 21 ₁₇ 19 ₁₅ 16 ₁₃ 14 ₁₀ 12 ₈ 9 7 ₃ 5 6 21 ₂₆ 20 ₂₀ 21 ₁₈ 19 ₁₅ 17 ₁₃ 14 ₁₁ 12 ₈ 10 7 ₄ 5 6 22 ₂₆ 21 ₂₀ 22 ₁₈ 19 ₁₆ 17 ₁₃ 15 ₁₁ 12 ₉ 10 8 ₄ 5 6 23 ₂₆ 21 ₂₁ 22 ₁₈ 20 ₁₆ 17 ₁₄ 15 ₁₁ 13 ₉ 10 8 ₄ 6 7 24 ₂₆ 22 ₂₁ 22 ₁₉ 20 ₁₆ 18 ₁₄ 15 ₁₂ 13 ₉ 11 8 ₅ 6 7 25 ₂₆ 23 ₂₁ 23 ₁₉ 20 ₁₇ 18 ₁₄ 16 ₁₂ 13 ₁₀ 11 9 ₅ 6 7 , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , 26 ₂₆ 23 ₂₂ 23 ₁₉ 21 ₁₇ 18 ₁₅ 16 ₁₂ 14 ₁₀ 11 9 ₅ 7 8 , , , , , , , , , , , 26 1 1 2 1 2 2 3 2 4 2 4 3 5 3