• Tidak ada hasil yang ditemukan

Nilai Total Tak Teratur Total Dari Gabungan Terpisah Graf Roda Dan Graf Buku Segitiga

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Membagikan "Nilai Total Tak Teratur Total Dari Gabungan Terpisah Graf Roda Dan Graf Buku Segitiga"

Copied!
6
0
0

Teks penuh

(1)

97

NILAI TOTAL TAK TERATUR TOTAL DARI GABUNGAN

TERPISAH GRAF RODA DAN GRAF BUKU SEGITIGA

R. D. S. Rahangmetan

1

,

M. I. Tilukay

2

, F. Y. Rumlawang

3

, M. W. Talakua

4

1, 2, 3, 4 Jurusan Matematika FMIPA Universitas Pattimura Jl. Ir. M. Putuhena, Kampus Unpatti, Poka-Ambon, Indonesia

e-mail: 2meilin.tilukay@fmipa.unpatti.ac.id

Abstrak

Pelabelan total tak teratur total yang diperkenalkan oleh Marzuki, dkk merupakan kombinasi dari dua jenis pelabelan tak teratur, yaitu pelabelan total tak teratur titik dan pelabelan total tak teratur titik. Bilangan bulat positif π‘˜ terkecil sedemikian sehingga suatu graf 𝐺 memiliki pelabelan π‘˜-total tak teratur total disebut nilai total tak teratur total dari 𝐺, dinotasikan dengan 𝑑𝑠(𝐺). Pada makalah ini, nilai total tak teratur total dari gabungan terpisah graf roda dan graf buku segitiga ditentukan.

Kata Kunci:Pelabelan total tak teratur sisi, pelabelan total tak teratur titik, pelabelan total tak teratur total.

THE TOTAL IRREGULARITY STRENGTH OF DISJOINT UNION

OF WHEEL AND TRIANGULAR BOOK

Abstract

A totally irregular total labeling which had been introduced by Marzuki, et.al is a combination of two types of irregular labeling, edge irregular total labeling and vertex irregular total labeling. The minimum integer

π‘˜ for which a graph 𝐺 has a totally irregular total π‘˜-labeling is called the total irregularity strength of 𝐺, denoted by 𝑑𝑠(𝐺). In this paper, we determine the total irregularity strength of disjoint union of wheels and of triangular books.

Keywords:edge irregular total labeling, totally irregular total labeling, vertex irregular total labeling.

1. Pendahuluan

Diberikan G suatu graf berhingga, sederhana, dan tak berarah, dengan himpunan titik V dan himpunan

sisi E. Pelabelan graf adalah suatu fungsi yang memetakan elemen-elemen pada graf ke himpunan bilangan

(umumnya bilangan bulat positif atau tak negatif).

Pelabelanβˆ’π‘˜ tak teratur (irregularπ‘˜ βˆ’labeling) dari suatu graf 𝐺, dengan orde lebih dari 2, adalah suatu

fungsi yang memetakan himpunan sisi 𝐸(𝐺) ke himpunan {1, 2, 3, β‹― , π‘˜} sedemikian sehingga setiap dua titik

yang berbeda di 𝑉(𝐺) memiliki bobot yang berbeda. Bilangan bulat positif terkecil π‘˜ sedemikian sehingga 𝐺

memiliki suatu pelabelanβˆ’π‘˜ tak teratur disebut nilai ketakteraturan (irregularity strength) dari 𝐺, dinotasikan

dengan 𝑠(𝐺).

Selanjutnya, Baca, dkk. [1] memperkenalkan pelabelan tak teratur yang divariasikan berdasarkan

domain pelabelan yaitu pelabelan total tak teratur sisi dan pelabelan total tak teratur titik. Misalkan 𝐺 = (𝑉, 𝐸)

adalah suatu graf. Pelabelanβˆ’π‘˜ total tak teratur sisi (edge irregular total π‘˜ βˆ’ labeling) dari 𝐺 adalah suatu

fungsi 𝑓 yang memetakan himpunan titik 𝑉(𝐺) dan himpunan sisi 𝐸(𝐺) ke himpunan {1, 2, 3, β‹― , π‘˜}

sedemikian sehingga setiap dua sisi yang berbeda di 𝐸(𝐺) memiliki bobot yang berbeda. Bobot sisi π‘₯𝑦 di 𝐸(𝐺)

terhadap fungsi 𝑓 adalah 𝑀(π‘₯𝑦) = 𝑓(π‘₯) + 𝑓(π‘₯𝑦) + 𝑓(𝑦). Bilangan bulat positif terkecil π‘˜ sedemikian

sehingga 𝐺 memiliki suatu pelabelanβˆ’π‘˜ total tak teratur sisi disebut nilai total ketakteraturan sisi (total edge

irregularity strength) dari 𝐺, dinotasikan dengan 𝑑𝑒𝑠(𝐺). Sedangkan pelabelanβˆ’π‘˜ total tak teratur titik (vertex irregular total π‘˜ βˆ’ labeling) dari 𝐺 adalah suatu fungsi 𝑓 yang memetakan himpunan titik 𝑉 (𝐺) dan himpunan

(2)

bobot yang berbeda. Bobot titik π‘₯ di 𝑉(𝐺) terhadap fungsi 𝑓 adalah 𝑀(π‘₯) = 𝑓(π‘₯) + βˆ‘π‘₯π‘¦βˆˆπΈ(𝐺)𝑓(π‘₯𝑦).

Bilangan bulat positif terkecil π‘˜ sedemikian sehingga 𝐺 memiliki suatu pelabelan-k total tak teratur titik

disebut nilai total ketakteraturan titik (total vertex irregularity strength) dari 𝐺, dinotasikan dengan 𝑑𝑣𝑠(𝐺).

Baca dkk. [1] telah memberikan batas bawah dan batas atas nilai total ketakteraturan titik 𝑑𝑣𝑠(𝐺) dan

nilai total ketakteraturan sisi 𝑑𝑒𝑠(𝐺) sebagai berikut.

Teorema A. Untuk setiap graf 𝐺 dengan 𝑝 titik dan π‘ž sisi, dan derajat minimum 𝛿(𝐺) serta derajat maksimum

βˆ†(𝐺), i) βŒˆπ‘+𝛿(𝐺)

βˆ†(𝐺)+1βŒ‰ ≀ 𝑑𝑣𝑠(𝐺) ≀ 𝑝 + βˆ†(𝐺) βˆ’ 2𝛿(𝐺) + 1;

ii) ⌈|𝐸(𝐺)|+23 βŒ‰ ≀ 𝑑𝑒𝑠(𝐺) ≀ |𝐸(𝐺)|.

Selanjutnya, Wijaya dan Slamin [2] telah menentukan nilai 𝑑𝑒𝑠 dan 𝑑𝑣𝑠 untuk graf roda dengan 𝑛 + 1

titik, 𝑛 β‰₯ 3, yaitu 𝑑𝑒𝑠(π‘Šπ‘›) = ⌈2𝑛+23 βŒ‰ dan 𝑑𝑣𝑠(π‘Šπ‘›) = βŒˆπ‘›+34 βŒ‰. Nurdin, dkk. [3] telah menentukan nilai 𝑑𝑒𝑠 untuk

graf hasil korona graf lintasan dengan beberapa graf tertentu. Nilai 𝑑𝑒𝑠 dan 𝑑𝑣𝑠 dari graf-graf lainnya dapat

dilihat dalam hasil survey pelabelan graf oleh Galian [4].

Marzuki, Salman, dan Miller [5] menggabungkan ide kedua pelabelan total tersebut dengan

memperkenalkan pelabelan total tak teratur titik dan sisi. Misalkan 𝐺 = (𝑉, 𝐸) adalah suatu graf. Pelabelanβˆ’π‘˜

total tak teratur titik dan sisi (totally irregular total k-labeling) pada 𝐺 didefinisikan sebagai suatu fungsi 𝑓

yang memetakan himpunan titik 𝑉(𝐺) dan himpunan sisi 𝐸(𝐺) ke himpunan {1, 2, 3, β‹― , π‘˜} sedemikian

sehingga setiap dua titik yang berbeda di 𝑉(𝐺) memiliki bobot yang berbeda dan setiap dua sisi yang berbeda

di 𝐸(𝐺) memiliki bobot yang berbeda juga. Bilangan bulat positif terkecil π‘˜ sedemikian sehingga suatu graf

𝐺 memiliki pelabelanβˆ’π‘˜ total tak teratur titik dan sisi disebut nilai ketakteraturan total (total irregularity

strength) dari 𝐺, dinotasikan dengan 𝑑𝑠(𝐺). Marzuki, Salman, dan Miller [5] telah memberikan batas atas dari

𝑑𝑠(𝐺).

Teorema B. Untuk sebarang graf 𝐺,

𝑑𝑠(𝐺) β‰₯ max{𝑑𝑒𝑠(𝐺), 𝑑𝑣𝑠(𝐺)}.

Untuk beberapa jenis graf, seperti graf lintasan (path), graf lingkaran (cycle) [5] graf hasil kali kartesius

dari beberapa graf [6], graf kipas, graf roda, graf buku segitiga, dan graf persahabatan [7] juga telah ditentukan nilai total tak teratur totalnya. Dalam [7], Tilukay, dkk telah menentukan nilat total ketakteraturan total dari graf kipas, graf roda, graf buku segitiga, dan graf persahabatan, sebagai berikut.

Teorema C. Untuk setiap bilangan bulat 𝑛 β‰₯ 3 dan π‘Šπ‘› merupakan graf roda dengan 𝑛 + 1 titik dan 2𝑛 sisi. Maka

𝑑𝑠(π‘Šπ‘›) = ⌈2𝑛 + 23 βŒ‰.

Teorema D. Diberikan 𝑛 β‰₯ 3 dan 𝑃1 ⨀ 𝑆𝑛 merupakan graf buku segitiga dengan 𝑛 segitiga dengan 𝑛 + 1 titik dan 2𝑛 βˆ’ 1 sisi. Maka

𝑑𝑠(𝑃1⨀𝑆𝑛) = ⌈2𝑛 + 33 βŒ‰.

Dalam penelitian ini, akan dikaji pelabelan total tak teratur total dari gabungan terpisah graf roda dan

graf buku segitiga. Permasalahan dibatasi pada gabungan terpisah graf roda (π‘šπ‘Šπ‘›), untuk 𝑛 ≑ 0 π‘šπ‘œπ‘‘ 3 dan

(3)

2. Hasil dan Pembahasan

Diberikan π‘Šπ‘› suatu graf roda dengan 𝑛 + 1 titik dan 2𝑛 sisi. Graf π‘šπ‘Šπ‘› adalah suatu graf yang diperoleh

dengan menggabungkan π‘š graf roda dengan karakteristik yang sama tanpa menghubungkan sebarang pasang

titik atau sisi dari dua graf roda berbeda. Graf π‘šπ‘Šπ‘› disebut juga gabungan terpisah (disjoint union) π‘š graf

roda dan memiliki π‘š(𝑛 + 1) titik dan 2π‘šπ‘› sisi.

Tilukay dkk. telah menentukan nilai total tak teratur total dari graf roda π‘Šπ‘›. Dengan memeriksa sifat

pelabelan total tak teratur total pada π‘Šπ‘›, dapat diketahui bahwa untuk 𝑛 ≑ 0 π‘šπ‘œπ‘‘ 3, bobot sisi

𝑀(π‘£π‘›βˆ’π‘›π‘£π‘›) = 𝑛 + 3 + 𝑛 βˆ’ 1 = 2𝑛 + 2 merupakan bobot sisi terbesar. Akibatnya dapat dilakukan pelabelan

dengan pola serupa pada π‘š βˆ’kopi graf π‘Šπ‘›, 𝑛 ≑ 0 π‘šπ‘œπ‘‘ 3, dengan nilai label yang ditingkatkan berdasarkan

kardinalitas himpunan sisi 𝐸(π‘šπ‘Šπ‘›).

Hal ini disajikan dalam lema berikut:

Lema 1. Misalkan 𝑛 β‰₯ 3 dan π‘š β‰₯ 2. Jika π‘šπ‘Šπ‘› adalah π‘š βˆ’kopi graf roda dengan 𝑛 titik, dimana

𝑛 ≑ 0 π‘šπ‘œπ‘‘ 3, maka

𝑑𝑠(π‘šπ‘Šπ‘›) =2π‘šπ‘›3 + 1.

Bukti. Diketahui |𝑉(π‘šπ‘Šπ‘›)| = π‘š(𝑛 + 1) dan |𝐸(π‘šπ‘Šπ‘›)| = 2π‘šπ‘›. Berdasarkan Teorema A dan B,

𝑑𝑒𝑠(π‘šπ‘Šπ‘›) β‰₯ ⌈|𝐸(π‘šπ‘Š3𝑛)+2|βŒ‰ = ⌈2π‘šπ‘›+23 βŒ‰ sedangkan 𝑑𝑣𝑠(π‘šπ‘Šπ‘›) β‰₯ ⌈|𝑉(π‘šπ‘Š4𝑛)+3|βŒ‰ = βŒˆπ‘šπ‘›+π‘š+34 βŒ‰ maka telah

diperoleh batas bawah nilai 𝑑𝑠(π‘š(π‘Šπ‘›)).

Untuk membuktikan bahwa ⌈2π‘šπ‘›+23 βŒ‰ merupakan batas atas (π‘š(π‘Šπ‘›)), konstruksikan pelabelan total tak teratur

total 𝑓: 𝑉 βˆͺ 𝐸 β†’ {1,2, β‹― , π‘‘π‘š} sebagai berikut:

Misalkan 𝑉(π‘šπ‘Šπ‘›) = {𝑒𝑖|1 ≀ 𝑖 ≀ π‘š} βˆͺ {𝑣𝑖𝑗|1 ≀ 𝑖 ≀ π‘š, 1 ≀ 𝑗 ≀ 𝑛} dan

𝐸(π‘šπ‘Šπ‘›) = {𝑒𝑖𝑣𝑖𝑗, 𝑣𝑖𝑗𝑣𝑖𝑗+1, 𝑣𝑖𝑛𝑣𝑖1|1 ≀ 𝑖 ≀ π‘š, 1 ≀ 𝑗 ≀ 𝑛}.

Misalkan 𝑑𝑖 = ⌈2𝑛𝑖+2

3 βŒ‰ = 2𝑛𝑖

3 + 1 dan 𝑑0= 1, diperoleh pelabelan titik sebagai berikut:

𝑓(𝑒𝑖) = π‘‘π‘–βˆ’ 1, 1 ≀ 𝑖 ≀ π‘š; 𝑓(𝑣𝑖𝑗) = { π‘‘π‘–βˆ’1+ ⌈ 𝑗 2βŒ‰ βˆ’ 1, 1 ≀ 𝑖 ≀ π‘š, 1 ≀ 𝑗 ≀ 𝑑1βˆ’ 1; 𝑑𝑖, 1 ≀ 𝑖 ≀ π‘š, 𝑑1≀ 𝑗 ≀ 𝑛; dan pelabelan sisi sebagai berikut:

𝑓(𝑒𝑖𝑣𝑖𝑗) = { π‘‘π‘–βˆ’1+ ⌈ 𝑗+1 2 βŒ‰ βˆ’ 1, 1 ≀ 𝑖 ≀ π‘š, 1 ≀ 𝑗 ≀ 𝑑1βˆ’ 1; π‘‘π‘–βˆ’1+ 𝑗 βˆ’ 𝑑1+ 2, 1 ≀ 𝑖 ≀ π‘š, 𝑑1≀ 𝑗 ≀ 𝑛. 𝑓(𝑣𝑖𝑛𝑣𝑖1) = π‘‘π‘–βˆ’ 1, 1 ≀ 𝑖 ≀ π‘š. 𝑓(𝑣𝑖𝑗𝑣𝑖𝑗+1) = { π‘‘π‘–βˆ’1, 1 ≀ 𝑖 ≀ π‘š, 1 ≀ 𝑗 ≀ 𝑑1βˆ’ 2 ; π‘‘π‘–βˆ’1+ βŒˆπ‘‘21βŒ‰ , 1 ≀ 𝑖 ≀ π‘š, 𝑗 = 𝑑1βˆ’ 1; π‘‘π‘–βˆ’1+ 𝑛 βˆ’ 2𝑑1+ 𝑗 + 2, 1 ≀ 𝑖 ≀ π‘š, 𝑑1≀ 𝑗 ≀ 𝑛 βˆ’ 1.

Dapat dilihat bahwa label terbesar adalah 𝑓(π‘‰π‘šπ‘›) = π‘‘π‘š.

Selanjutnya dengan memberikan label titik-titik dan sisi-sisi graf π‘šπ‘Šπ‘› dengan bilangan terbesar π‘‘π‘š,

akan ditunjukkan bahwa bobot setiap titik dan setiap sisi pada π‘šπ‘Šπ‘› berbeda.

a. Bobot Sisi

𝑀(𝑒𝑖𝑣𝑖𝑗) = 𝑓(𝑒𝑖) + 𝑓(𝑒𝑖𝑣𝑖𝑗) + 𝑓(𝑣𝑖𝑗);

= {𝑑𝑖+ 2π‘‘π‘–βˆ’1+ βŒˆπ‘—+12 βŒ‰ + βŒˆπ‘—2βŒ‰ βˆ’ 3 , 1 ≀ 𝑖 ≀ π‘š, 1 ≀ 𝑗 ≀ 𝑑1βˆ’ 1;

2𝑑𝑖+ π‘‘π‘–βˆ’1βˆ’ 𝑑1+ 𝑗 + 1, 1 ≀ 𝑖 ≀ π‘š, 𝑑1≀ 𝑗 ≀ 𝑛 .

(4)

𝑀(𝑣𝑖𝑗𝑣𝑖𝑗+1) = 𝑓(𝑣𝑖𝑗) + 𝑓(𝑣𝑖𝑗𝑣𝑖𝑗+1) + 𝑓(𝑣𝑖𝑗+1); = { (π‘‘π‘–βˆ’1+ ⌈2π‘—βŒ‰ βˆ’ 1) + π‘‘π‘–βˆ’1+ (π‘‘π‘–βˆ’1+ βŒˆπ‘—+12 βŒ‰ βˆ’ 1) , 1 ≀ 𝑖 ≀ π‘š, 1 ≀ 𝑗 ≀ 𝑑1βˆ’ 2; (π‘‘π‘–βˆ’1+ βŒˆπ‘—2βŒ‰ βˆ’ 1) + (π‘‘π‘–βˆ’1+ βŒˆπ‘‘21βŒ‰) + 𝑑𝑖, 1 ≀ 𝑖 ≀ π‘š, 𝑗 = 𝑑1βˆ’ 1; 𝑑𝑖+ π‘‘π‘–βˆ’1+ 𝑛 βˆ’ 2𝑑1+ 𝑗 + 2 + 𝑑𝑖, 1 ≀ 𝑖 ≀ π‘š, 𝑑1 ≀ 𝑗 ≀ 𝑛 βˆ’ 1. 𝑀(𝑣𝑖𝑛𝑣𝑖1) = 𝑓(𝑣𝑖𝑛) + 𝑓(𝑣𝑖𝑛𝑣𝑖1) + 𝑓(𝑣𝑖1); = 2𝑑𝑖+ π‘‘π‘–βˆ’1+ βŒˆπ‘—2βŒ‰ βˆ’ 2, 1 ≀ 𝑖 ≀ π‘š, 𝑗 = 1. b. Bobot Titik 𝑀(𝑒𝑖) = 𝑓(𝑒𝑖) + βˆ‘π‘›π‘—=1𝑓(𝑒𝑖𝑣𝑖𝑗); = π‘‘π‘–βˆ’ 1 + (𝑑1βˆ’ 1) (π‘‘π‘–βˆ’1+ βŒˆπ‘—+12 βŒ‰ βˆ’ 1) + (𝑛 βˆ’ 𝑑1+ 1)(π‘‘π‘–βˆ’1+ 𝑗 βˆ’ 𝑑1+ 2); 𝑀(𝑣𝑖1) = 𝑓(𝑣𝑖1) + 𝑓(𝑣𝑖1𝑣𝑖2) + 𝑓(𝑣𝑖𝑛𝑣𝑖1) + 𝑓(𝑣𝑖𝑣𝑖1); = 3π‘‘π‘–βˆ’1+ 𝑑𝑖+ βŒˆπ‘—2βŒ‰ + βŒˆπ‘—+12 βŒ‰ βˆ’ 3. 𝑀(𝑣𝑖𝑗) = 𝑓(𝑣𝑖𝑗) + 𝑓(π‘£π‘–π‘—βˆ’1𝑣𝑖𝑗) + 𝑓(𝑣𝑖𝑗𝑣𝑖𝑗+1) + 𝑓(𝑣𝑖𝑣𝑖𝑗); = 𝑑𝑖+ 3π‘‘π‘–βˆ’1+ βŒˆπ‘—+12 βŒ‰ + ⌈2π‘—βŒ‰ βˆ’ 3, 1 ≀ 𝑖 ≀ π‘š, 2 ≀ 𝑗 ≀ 𝑑1βˆ’ 2. 𝑀(𝑣𝑖𝑑1βˆ’1) = 𝑓(𝑣 𝑖𝑑1βˆ’1) + 𝑓(𝑣𝑖𝑑1βˆ’2𝑣𝑖𝑑1βˆ’1) + 𝑓(𝑣𝑖𝑑1βˆ’1𝑣𝑖𝑑1) + 𝑓(𝑒𝑖𝑣𝑖𝑑1βˆ’1); = 𝑑𝑖+ 3π‘‘π‘–βˆ’1+ βŒˆπ‘—+12 βŒ‰ + ⌈2π‘—βŒ‰ + βŒˆπ‘‘21βŒ‰ βˆ’ 3, 1 ≀ 𝑖 ≀ π‘š, 𝑗 = 𝑑1βˆ’ 1. 𝑀(𝑣𝑖𝑑1) = 𝑓(𝑣𝑖𝑑1) + 𝑓(𝑣𝑖𝑑1βˆ’1𝑣𝑖𝑑1) + 𝑓(𝑣𝑖𝑑1𝑣𝑖𝑑1+1) + 𝑓(𝑒𝑖𝑣𝑖𝑑1); = 3π‘‘π‘–βˆ’1βˆ’ 2𝑑𝑖+ 2𝑗 + βŒˆπ‘‘21βŒ‰ + 𝑛 + 4, 1 ≀ 𝑖 ≀ π‘š , 𝑗 = 𝑑1. 𝑀(𝑣𝑖𝑗) = 𝑓(𝑣𝑖𝑗) + 𝑓(π‘£π‘–π‘—βˆ’1𝑣𝑖𝑗) + 𝑓(𝑣𝑖𝑗𝑣𝑖𝑗+1) + 𝑓(𝑒𝑖𝑣𝑖𝑗) , 𝑑 + 1 ≀ 𝑗 ≀ 𝑛 βˆ’ 1; = 3π‘‘π‘–βˆ’1βˆ’ 3π‘‘π‘–βˆ’ 𝑑1+ 2𝑛 + 3𝑗 + 6. 𝑀(𝑣𝑖𝑛) = 𝑓(𝑣 𝑖𝑛) + 𝑓(π‘£π‘–π‘›βˆ’1𝑣𝑖𝑛) + 𝑓(𝑣𝑖𝑛𝑣𝑖1) + 𝑓(𝑒𝑖𝑣𝑖𝑛); = 2π‘‘π‘–βˆ’1+ 2𝑗 + 𝑛 βˆ’ 3 βˆ’ 𝑑1.

Dapat diperiksa bahwa berdasarkan (i), bobot sisi-sisi membentuk barisan 3, 4, β‹― , 2π‘šπ‘› + 2, dan bobot

setiap titik berbeda, yaitu 𝑀(𝑒𝑖) > 𝑀(𝑣𝑖𝑛); 𝑀(𝑣𝑖𝑗) > 𝑀(π‘£π‘–π‘—βˆ’1), 2 ≀ 𝑗 ≀ 𝑛; dan

𝑀(𝑒𝑖) > 𝑀(π‘’π‘–βˆ’1), 2 ≀ 𝑖 ≀ π‘š. Dengan demikian, diperoleh bahwa 𝑑𝑠(π‘šπ‘Šπ‘›) = ⌈2π‘šπ‘›+23 βŒ‰. ∎

Selanjutnya dengan mengacu pada sifat pelabelan total tak teratur total pada graf buku segitiga, 𝑃1⨀𝑆𝑛

dapat di lihat bahwa untuk 𝑛 ≑ 1 mod 3, nilai 𝑑𝑠(𝑃1⨀𝑆𝑛) = ⌈2𝑛+33 βŒ‰. Diperoleh bobot sisi

π‘Š(𝑣𝑣𝑛 ) = 2𝑛 + 3 ≑ 2 mod 3.

Hal ini mengakibatkan dapat dilakukan pelabelan dengan pola yang serupa pada π‘š-kopi graf buku

segitiga. Pada Lema 2, akan ditentukan nilai total tak teratur total dari π‘š-kopi graf buku segitiga.

Lema 2. Misalkan 𝑛 β‰₯ 3 dan 𝐺 β‰… (𝑃1⨀𝑆𝑛) adalah graf buku segitiga dengan 𝑛 halaman segitiga. Untuk

𝑛 ≑ 1 mod 3 dan m β‰₯ 1,

𝑑𝑠 (π‘š 𝐺) = βŒˆπ‘š(2𝑛 + 1) + 23 βŒ‰.

Bukti. Karena 𝑉(π‘š 𝐺) = π‘š(𝑛 + 2) dan 𝐸(π‘š 𝐺) = π‘š(2𝑛 + 1), maka berdasarkan Teorema B dan C,

(5)

𝑑𝑠 (π‘š 𝐺) ≀ βŒˆπ‘š(2𝑛+1)+23 βŒ‰. Untuk membuktikannya, konstruksikan suatu pelabelan total tak teratur

𝑓: 𝑉 βˆͺ 𝐸 β†’ {1,2, … , βŒˆπ‘š(2𝑛+1)+23 βŒ‰}.

Misalkan 𝑉(π‘š 𝐺) = {π‘₯𝑖| 1 ≀ 𝑖 ≀ π‘š} βˆͺ {𝑦𝑖 |1 ≀ 𝑖 ≀ π‘š} βˆͺ {𝑣𝑖𝑗|1 ≀ 𝑖 ≀ π‘š, 1 ≀ 𝑗 ≀ 𝑛} dan

𝐸(π‘š 𝐺) = {π‘₯𝑖𝑦𝑖,π‘₯𝑖𝑣𝑖 ,𝑗𝑦𝑖𝑣𝑖𝑗|1 ≀ 𝑖 ≀ π‘š, 1 ≀ 𝑗 ≀ 𝑛}.

Untuk himpunan titik-titik 𝑉(π‘š 𝐺), definisikan:

𝑓(π‘₯𝑖 ) = π‘‘π‘–βˆ’1 , 1 ≀ 𝑖 ≀ π‘š;

𝑓(𝑦𝑖 ) = π‘‘π‘–βˆ’1 , 1 ≀ 𝑖 ≀ π‘š;

𝑓(𝑣𝑖 𝑗) = {π‘‘π‘–βˆ’1𝑑𝑖 , 1 ≀ 𝑖 ≀ π‘š, 𝑑+ 𝑗 βˆ’ 1, 1 ≀ 𝑖 ≀ π‘š, 1 ≀ 𝑗 ≀ 𝑑1+ 1 ≀ 𝑗 ≀ 𝑛.1;

Untuk himpunan sisi-sisi 𝐸(π‘š 𝐺), definisikan:

𝑓(π‘₯𝑖𝑦𝑖) = 𝑑𝑖 , 1 ≀ 𝑖 ≀ π‘š; 𝑓(π‘₯𝑖𝑣𝑖 𝑗) = {π‘‘π‘–βˆ’1𝑗 βˆ’ 𝑑, 1 ≀ 𝑖 ≀ π‘š, 1 ≀ 𝑗 ≀ 𝑑1+ π‘‘π‘–βˆ’1, 1 ≀ 𝑖 ≀ π‘š, 𝑑1+ 1 ≀ 𝑗 ≀ 𝑛;1 ; 𝑓(𝑦𝑖𝑣𝑖𝑗) = { 𝑛 βˆ’ 𝑑1+ π‘‘π‘–βˆ’1+ 1, 1 ≀ 𝑖 ≀ π‘š, 1 ≀ 𝑗 ≀𝑑21 ; 𝑛 βˆ’ 𝑑1+ π‘‘π‘–βˆ’1+ 2, 1 ≀ 𝑖 ≀ π‘š,𝑑21+ 1 ≀ 𝑗 ≀ 𝑑1; 𝑛 βˆ’ 2𝑑1+ π‘‘π‘–βˆ’1+ 𝑗 + 2, 1 ≀ 𝑖 ≀ π‘š, 𝑑𝑖+ 1 ≀ 𝑗 ≀ 𝑛.

Dapat dilihat bahwa label terbesar yang digunakan adalah π‘‘π‘š, yaitu pada

𝑓(π‘¦π‘š) = π‘‘π‘š;

𝑓(π‘₯π‘šπ‘¦π‘š) = π‘‘π‘š;

𝑓(π‘£π‘šπ‘—) = π‘‘π‘š, 𝑑1+ 1 ≀ 𝑗 ≀ 𝑛.

Selanjutnya, dapat diperoleh bobot setiap titik dan sisi sebagai berikut:

a. Bobot titik-titik: 𝑀(π‘₯𝑖) = 𝑓(π‘₯𝑖) + 𝑓(π‘₯𝑖𝑦𝑖) + βˆ‘π‘›π‘—=1𝑓(π‘₯𝑖𝑣1𝑗) = π‘‘π‘–βˆ’1(𝑑1+ 1) + 𝑑𝑖+ (π‘›βˆ’π‘‘1+1+2𝑑2 π‘–βˆ’1) (𝑛 βˆ’ 𝑑1) 𝑀(𝑦𝑖) = 𝑓(𝑦𝑖) + 𝑓(π‘₯𝑖𝑦𝑖) + βˆ‘π‘›π‘—=1𝑓(𝑦𝑖𝑣𝑖𝑗) = 2π‘‘π‘–βˆ’ 𝑑1(3𝑛 + 1) + π‘›π‘‘π‘–βˆ’1+5𝑛+3𝑛 2 2 + 9𝑑12 4 𝑀(𝑣𝑖𝑗) = 𝑓(π‘₯𝑖𝑣𝑖𝑗) + 𝑓(𝑦𝑖𝑣𝑖𝑗) + 𝑓(𝑣𝑖𝑗) = { 3π‘‘π‘–βˆ’1βˆ’ 𝑑1+ 𝑛 + 𝑗, 1 ≀ 𝑖 ≀ π‘š, 1 ≀ 𝑗 ≀𝑑21; 3π‘‘π‘–βˆ’1βˆ’ 𝑑1+ 𝑛 + 𝑗 + 1, 1 ≀ 𝑖 ≀ π‘š, 𝑑21+ 1 ≀ 𝑗 ≀ 𝑑1; 𝑑𝑖+ 2π‘‘π‘–βˆ’1βˆ’ 3𝑑1+ 𝑛 + 2𝑗 + 2, 1 ≀ 𝑖 ≀ π‘š, 𝑑1+ 1 ≀ 𝑗 ≀ 𝑛.

Dapat diperiksa bahwa bobot setiap titik berbeda.

b. Bobot sisi-sisi:

𝑀(π‘₯𝑖𝑦𝑖) = 𝑓(π‘₯𝑖) + 𝑓(𝑦𝑖) + 𝑓(π‘₯𝑖𝑦𝑖)= π‘‘π‘–βˆ’1+ 2𝑑𝑖.

𝑀(π‘₯𝑖𝑣𝑖𝑗) = 𝑓(π‘₯𝑖) + 𝑓(𝑦𝑖) + 𝑓(π‘₯𝑖𝑣𝑖𝑗);

= { 3𝑑𝑑 π‘–βˆ’1+ 𝑗 βˆ’ 1 , 1 ≀ 𝑖 ≀ π‘š, 1 ≀ 𝑗 ≀ 𝑑1;

(6)

𝑀(𝑦𝑖𝑣𝑖𝑗) = 𝑓(𝑦𝑖) + 𝑓(𝑣𝑖𝑗) + 𝑓(𝑦𝑖𝑣𝑖𝑗); = { 𝑑𝑖+ 2π‘‘π‘–βˆ’1βˆ’ 𝑑1+ 𝑛 + 𝑗, 1 ≀ 𝑖 ≀ π‘š, 1 ≀ 𝑗 ≀𝑑21; 𝑑𝑖+ 2π‘‘π‘–βˆ’1βˆ’ 𝑑1+ 𝑛 + 𝑗 + 1, 1 ≀ 𝑖 ≀ π‘š, 𝑑21+ 1 ≀ 𝑗 ≀ 𝑑1; 2𝑑𝑖+ π‘‘π‘–βˆ’1βˆ’ 2𝑑1+ 𝑛 + 𝑗 + 2, 1 ≀ 𝑖 ≀ π‘š, 𝑑1+ 1 ≀ 𝑗 ≀ 𝑛. Diperoleh, a. {𝑀(π‘₯𝑖𝑣𝑖𝑗)|1 ≀ 𝑖 ≀ π‘š, 1 ≀ 𝑗 ≀ 𝑛} = {3,4, β‹― , 𝑑𝑖+ 2π‘‘π‘–βˆ’1βˆ’ 𝑑1+ 𝑛 | 1 ≀ 𝑗 ≀ π‘š} b. {𝑀(𝑦𝑖𝑣𝑖𝑗)|1 ≀ 𝑖 ≀ π‘š, 1 ≀ 𝑗 ≀𝑑21} = {𝑑𝑖+ 2π‘‘π‘–βˆ’1βˆ’ 𝑑1+ 𝑛 + 1, 𝑑𝑖+ 2π‘‘π‘–βˆ’1βˆ’ 𝑑1+ 𝑛 + 2, β‹― , 2𝑑𝑖+ π‘‘π‘–βˆ’1βˆ’ 1 |1 ≀ 𝑖 ≀ π‘š} c. {𝑀(π‘₯𝑖𝑦𝑖)|1 ≀ 𝑖 ≀ π‘š} = {π‘‘π‘–βˆ’1+ 2𝑑𝑖|1 ≀ 𝑖 ≀ π‘š} d. {𝑀(𝑦𝑖𝑣𝑖𝑗)|1 ≀ 𝑖 ≀ π‘š, 𝑑1 2 + 1 ≀ 𝑗 ≀ 𝑑1} = {𝑑𝑖+ 2π‘‘π‘–βˆ’1βˆ’ 𝑑1 2 + 𝑛 + 2, 𝑑𝑖+ 2π‘‘π‘–βˆ’1βˆ’ 𝑑1 2 + 𝑛 + 3, β‹― , 𝑑𝑖+ 2π‘‘π‘–βˆ’1+ 𝑛 + 1}. e. {𝑀(𝑦𝑖𝑣𝑖𝑗)|1 ≀ 𝑖 ≀ 𝑑1+ 1 ≀ 𝑗 ≀ 𝑛} = {2𝑑𝑖+ π‘‘π‘–βˆ’1βˆ’ 2𝑑1+ 𝑛 + 3, 2𝑑𝑖+ π‘‘π‘–βˆ’1βˆ’ 2𝑑1+ 𝑛 + 4, β‹― ,2𝑑𝑖+ π‘‘π‘–βˆ’1βˆ’ 2𝑑1+ 2𝑛 + 2}.

Dapat diperiksa bahwa himpunan bobot sisi-sisi adalah {3,4, β‹― , π‘š(2𝑛 + 1) + 2}.

Dengan demikian, dapat diperiksa bahwa bobot setiap pasang titik maupun setiap pasang sisi berbeda.

Jadi, fungsi 𝑓 adalah pelabelan total tak teratur titik dan sisi, sehingga 𝑑𝑠(π‘š 𝐺) = βŒˆπ‘š(2𝑛+1)+23 βŒ‰. ∎

3. Kesimpulan

Berdasarkan hasil pembahasan dapat disimpulkan bahwa gabungan terpisah graf roda π‘šπ‘Šπ‘›, 𝑛 β‰₯ 3,

π‘š β‰₯ 2 dan 𝑛 ≑ 0 π‘šπ‘œπ‘‘ 3, memiliki pelabelan total tak teratur total, dengan nilai total ketakteraturan total

𝑑𝑠(π‘šπ‘Šπ‘›) = ⌈2π‘šπ‘›+23 βŒ‰. Hal serupa pada gabungan terpisah graf buku segitiga, (π‘šπ‘ƒ1⨀𝑆𝑛), 𝑛 β‰₯ 3, 𝑛 ≑ 1 π‘šπ‘œπ‘‘ 3,

dan π‘š β‰₯ 1 dengan nilai total ketakteraturan total 𝑑𝑠(π‘š(𝑃1⨀𝑆𝑛)) βŒˆπ‘š(2𝑛+1)+23 βŒ‰.

Daftar Pustaka

[1] M. Baca, S. Jendrol, M. Miller and J. Ryan, "On Irregular Total Labelings," Discrete Mathematics, vol. 307, pp. 1378-1388, 2007.

[2] K. Wijaya and Slamin, "Total Vertex Irregular Labelings of Wheels, Fan, Suns, and Friendship Graphs," 2008. [3] Nurdin, A. N. M. Salman and E. T. Baskoro, "The Total Edge Irregular Strength of the Corona Product of Path with

Some Graphs," 2008.

[4] J. A. Galian, "A Dynamic Survey of Graph Labeling," Electronic Journal of Combinatorics, vol. 17, no. #DS6, 2014. [5] C. C. Marzuki, A. N. M. Salman and M. Miller, "On The Total Irregularity Strength of Cycles and Paths," Far East

J. Math. Sci. , vol. 82, no. 1, pp. 1-21, 2013.

[6] R. Ramdani and A. N. M. Salman, "On The Total Irregularity Strength of Some Cartesian Product Graphs," AKCE Int. J. Graphs Comb., vol. 10, pp. 199-209, 2013.

[7] M. I. Tilukay, A. N. M. Salman and E. R. Persulessy, "On The Total Irregularity Strength of Fan, Wheel, Triangular Book, and Friendship Graphs," Procedia Computer Science, vol. 74, pp. 124-131, 2015.

Referensi

Dokumen terkait

Alek : β€œMaaf, maksud nya apa ya pak, saya kurang paham ?” Polantas : β€œYang kalian kendarai ini motor roda dua, dan batas penumpang nya pun harus dua orang, bukan lebih dari

Metode penelitian adalah suatu teknik/cara mencari, memperoleh, mengumpulkan, baik data primer maupun data sekunder yang dapat digunakan untuk keperluan menyusun

Hasil analisis keragaman menunjukkan bahwa perlakuan yang diberikan tidak memperlihatkan adanya perbedaan yang nyata (P>0,05) terhadap pertambahan berat badan, ini

Metode Penelitian yang dilakukan yaitu dengan mozaik foto udara, analisis filtering untuk ekstraksi Digital Terrain Model (DTM), analisis debit rencana, analisis geometrik

Seperti yang dijelaskan dalam Catatan 2a, sehubungan dengan penerapan PSAK yang baru berlaku dan agar konsisten dengan penyajian dalam laporan keuangan konsolidasian, Perusahaan telah

Pemilihan Kepala Urusan sebagai informan dalam penelitian ini didasarkan pada fokus penelitian berdasarkan sudut pandang setiap fakultas di Univeritas Telkom yang telah

Pihak ketiga dalam hal ini yang berkepentingan untuk mendapatkan ganti kerugian dari perjanjian asuransi antara Penanggung dan Tertanggung, diantaranya adalah tanggung gugat

Siswa dengan kemampuan sedang mampu memahami permasalahan, merencanakan masalah dan menyelesaikan masalah menggunakan metode eliminasi dan substitusi, namun pada saat