MATEMATIKA PERSANDIAN. Hendra Gunawan,, Ph.D. CBSED - ITB

MATEMATIKA

MATEMATIKA

PERSANDIAN

PERSANDIAN

Hendra

Hendra GunawanGunawan, Ph.D., Ph.D. CBSED

Saya menerima pesan dari seorang Saya menerima pesan dari seorang

teman berupa rangkaian bilangan teman berupa rangkaian bilangan

sebagai berikut: sebagai berikut: 64, 43, 82, 55, 133, 95, 140, 97, 3, 2, 64, 43, 82, 55, 133, 95, 140, 97, 3, 2, 46, 31, 95, 65, 46, 31, 123, 85, 40, 27 46, 31, 95, 65, 46, 31, 123, 85, 40, 27 Adakah

Adakah yang _yang bisa_bisa membantu_membantu saya_saya mengartikan

Teman

Teman sayasaya telahtelah melakukanmelakukan

pe

_pe

-

-nyandian

nyandian

atauatau

pengkodean

_pengkodean

terter- -hadap

hadap pesanpesan yang yang inginingin disampaidisampai- -kannya

kannya kepadakepada sayasaya, , daridari rangkairangkai- -an

an hurufhuruf keke rangkaianrangkaian bilanganbilangan seperti

seperti didi atasatas, , supayasupaya pesanpesan terter- -sebut

sebut tidaktidak dapatdapat ((dengandengan mudahmudah) ) dimengerti

Penyandian

Penyandian atauatau pengkodeanpengkodean meme- -rupakan

rupakan suatusuatu bentukbentuk penyimpanpenyimpan- -an

an dan/ataudan/atau pengirimanpengiriman data/ data/ informasi

informasi secarasecara rahasiarahasia. .

Julius Caesar

Julius Caesar telahtelah melakukanmelakukan pengkodean

pengkodean untukuntuk keperluankeperluan suratsurat menyurat

menyurat padapada jamannyajamannya ((lebihlebih daripada

Yang

Yang iaia lakukanlakukan adalahadalah menggesermenggeser setiap

setiap hurufhuruf dalamdalam suratsurat yang yang akanakan dikirimnya

dikirimnya, , misalnyamisalnya 5 5 langkahlangkah keke depan depan:: A A menjadimenjadi F, F, B B menjadimenjadi G,G, . . . , . . . , dandan Z Z menjadimenjadi E.E.

Untuk

Untuk mengirimmengirim pesanpesan yang yang berkataberkata SAYA AKAN PULANG LUSA

SAYA AKAN PULANG LUSA Julius Caesar akan menulis Julius Caesar akan menulis

XFDF FPFS UZQFSL QZXF. XFDF FPFS UZQFSL QZXF.

Untuk memahaminya, geser kembali Untuk memahaminya, geser kembali

setiap huruf 5 langkah ke belakang. setiap huruf 5 langkah ke belakang.

Untuk dapat memecahkan suatu Untuk dapat memecahkan suatu pesan yang telah disandikan kita pesan yang telah disandikan kita

harus mengetahui sistem persandi harus mengetahui sistem persandi-

-an y-ang dipakai. Jika sistemnya an yang dipakai. Jika sistemnya

adalah mengggeser setiap huruf 5 adalah mengggeser setiap huruf 5

langkah ke depan, maka untuk langkah ke depan, maka untuk memahami pesan yang telah di memahami pesan yang telah di-

-sandikan kita harus menggeser se sandikan kita harus menggeser se-

-tiap huruf 5 langkah ke belakang. tiap huruf 5 langkah ke belakang.

Kembali ke pesan yang saya terima, Kembali ke pesan yang saya terima,

saya dan teman saya telah menye saya dan teman saya telah menye-

-pakati sebelumnya bahwa kami pakati sebelumnya bahwa kami

akan menggunakan sebuah matriks akan menggunakan sebuah matriks

untuk penyandian.

untuk penyandian. MatriksMatriks yang yang kami

kami pakaipakai adalahadalah M = M = _⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ 5 2 7 3

Bagaimana

Bagaimana temanteman sayasaya melakukanmelakukan penyandian

penyandian dengandengan matriksmatriks iniini? ? Pertama

Pertama iaia ubahubah pesanpesan yang yang inginingin disampaikannya

disampaikannya menjadimenjadi rangkaianrangkaian bilangan

bilangan dengandengan aturanaturan:: spasi

Setelah

Setelah ituitu iaia menyusunmenyusun rangkaianrangkaian bilangan

bilangan yang yang diperolehnyadiperolehnya menjadimenjadi sebuah

sebuah matriksmatriks dengandengan duadua barisbaris, , dua

dua bilanganbilangan pertamapertama disimpandisimpan didi kolom

kolom pertamapertama, , dandan seterusnyaseterusnya. . Sebutlah

Sebutlah matriksmatriks yang yang diperolehnyadiperolehnya X.

X. LaluLalu, , iaia hitunghitung hasilhasil kali MX. kali MX. Bilangan

Bilangan--bilangan dalam matriks MX bilangan dalam matriks MX ini diuraikan kembali menjadi rang

ini diuraikan kembali menjadi rang- -kaian bilangan yang ia kirimkan.

Intermezo

Intermezo: : PerkalianPerkalian duadua MatriksMatriks

Hasil

Hasil perkalianperkalian barisbaris keke--1 1 padapada matriks

matriks pertamapertama dandan kolomkolom keke--1 1 pada

pada matriksmatriks keduakedua samasama dengandengan elemen

elemen padapada barisbaris keke--1 1 kolomkolom keke--1 1 pada

pada matriksmatriks didi ruasruas kanankanan:: 3(1) + 7(2) = 17. 3(1) + 7(2) = 17. ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ 40 57 26 12 37 17 6 5 4 3 2 1 . 5 2 7 3

Berbeda

Berbeda dengandengan perkalianperkalian duadua bilangan

bilangan, , perkalianperkalian duadua matriksmatriks tidaktidak bersifat

bersifat komutatifkomutatif. . SecaraSecara umumumum,, M.N

M.N ≠≠ N.M.N.M. Untuk

Untuk meyakinkanmeyakinkan diridiri, , cobalahcobalah ambil

ambil duadua matriksmatriks 2 x 2, 2 x 2, sebutsebut M M dandan N,

Matriks

Matriks bujursangkarbujursangkar, , sepertiseperti M =M =

3

3 7₇

2

2 5 ₅

mempunyai

mempunyai invers_invers M_M--11 =₌

5

5 --77

--22 33 yang

yang berbersifatsifat: M.M: M.M--11 = I = M= I = M--11.M,.M,

di

di mana_mana I _I adalah_adalah matriks_matriks identitas_identitas

1

1 00 0

Lalu

Lalu bagaimanabagaimana sayasaya dapatdapat meme- -mecahkan

mecahkan pesanpesan taditadi? ? MudahMudah sajasaja. . Saya

Saya tinggaltinggal melakukanmelakukan kebalikankebalikan dari

dari apaapa yang yang telahtelah temanteman sayasaya lakukan

lakukan, , daridari langkahlangkah terakhirterakhir sampai

sampai langkahlangkah pertamapertama. . PertamaPertama, , saya

saya susunsusun rangkaianrangkaian bilanganbilangan didi atas

atas menjadimenjadi sebuahsebuah matriksmatriks (yang (yang tdd

64 82 133 140 3

64 82 133 140 3 46 95 46 123 4046 95 46 123 40 43 55 95 97 2

43 55 95 97 2 31 65 31 85 2731 65 31 85 27

Kemudian

Kemudian saya_saya kalikan_kalikan Y _Y dengan_dengan M_M--11

dari

dari kiri_kiri (₍jangan_jangan dari_dari kanan_kanan karena_karena perkalian

perkalian matriks_matriks tidak_tidak komutatif_komutatif):_):

5

5 --77 64 82 133 140 3 46 95 46 123 4064 82 133 140 3 46 95 46 123 40

--2 3 43 55 95 97 2 31 65 31 85 272 3 43 55 95 97 2 31 65 31 85 27

19 25 0

19 25 0 21 1 13 20 13 20 1121 1 13 20 13 20 11 1 1 19

1 1 19 11 0 1 5 1 9 111 0 1 5 1 9 1

Lalu saya susun bilangan

Lalu saya susun bilangan-_-bilangan _bilangan dalam matriks di atas menjadi

dalam matriks di atas menjadi rangkaian bilangan di bawah ini rangkaian bilangan di bawah ini

19, 1, 25, 1, 0, 19, 21, 11, 1, 0, 13, 1, 19, 1, 25, 1, 0, 19, 21, 11, 1, 0, 13, 1,

20, 5, 13, 1, 20, 9, 11, 1. 20, 5, 13, 1, 20, 9, 11, 1.

Dengan mudah saya dapat membaca Dengan mudah saya dapat membaca

rangkaian bilangan ini sebagai rangkaian bilangan ini sebagai

SAYA SUKA MATEMATIKA. SAYA SUKA MATEMATIKA.

Mungkin ada yang bertanya, bagai Mungkin ada yang bertanya, bagai-

-mana kalau kita menerima sebuah mana kalau kita menerima sebuah pesan yang telah disandikan tetapi pesan yang telah disandikan tetapi

kita tidak tahu sistem persandian kita tidak tahu sistem persandian yang digunakan oleh si pengirim? yang digunakan oleh si pengirim?

Mungkin kita dapat mengutak

Mungkin kita dapat mengutak--atik atik dan memecahkan sandi tersebut. dan memecahkan sandi tersebut.

Seandainya kita tidak tahu apa yang Seandainya kita tidak tahu apa yang

telah dilakukan oleh Julius Caesar telah dilakukan oleh Julius Caesar

sebelum ia mengirim pesan tadi, sebelum ia mengirim pesan tadi, tidak terlalu sulit bagi kita (yang tidak terlalu sulit bagi kita (yang hidup di era komputer) untuk me hidup di era komputer) untuk me-

-mecahkan maksud pesan tersebut. mecahkan maksud pesan tersebut.

Sistem persandian yang kita pakai Sistem persandian yang kita pakai

tentunya harus sedemikian rupa tentunya harus sedemikian rupa

sehingga jika informasi yang kita sehingga jika informasi yang kita

simpan atau kirim jatuh ke tangan simpan atau kirim jatuh ke tangan

orang lain, maka sulit bagi orang orang lain, maka sulit bagi orang

tersebut untuk memahaminya. tersebut untuk memahaminya.

Untuk sistem persandian mengguna Untuk sistem persandian mengguna-

-kan matriks, semakin besar ukuran kan matriks, semakin besar ukuran

matriks yang digunakan, semakin matriks yang digunakan, semakin

sulit sandi untuk dipecahkan. sulit sandi untuk dipecahkan.

Selain menggunakan matriks, masih Selain menggunakan matriks, masih

banyak perangkat lain yang dapat banyak perangkat lain yang dapat

digunakan untuk persandian. digunakan untuk persandian.

Persandian yang cukup canggih dan Persandian yang cukup canggih dan

banyak dipakai di kalangan agen banyak dipakai di kalangan agen rahasia sekarang ini biasanya me rahasia sekarang ini biasanya me-

-manfaatkan bilangan

manfaatkan bilangan--bilangan bilangan

prima

_prima

yang besar sekali.

Gagasannya sederhana: Jika kita Gagasannya sederhana: Jika kita punya dua buah bilangan prima, punya dua buah bilangan prima,

maka mudah bagi kita untuk meng maka mudah bagi kita untuk meng-

-hitung hasil kalinya. Tetapi sebalik hitung hasil kalinya. Tetapi sebalik-

-nya, jika kita punya sebuah bilangan nya, jika kita punya sebuah bilangan komposit (yang merupakan hasil kali komposit (yang merupakan hasil kali dari sejumlah bilangan prima), maka dari sejumlah bilangan prima), maka

sulit bagi kita untuk memfaktorkan sulit bagi kita untuk memfaktorkan-

-nya, apalagi jika bilangan tersebut nya, apalagi jika bilangan tersebut

besar sekali. besar sekali.

Sebagai

Sebagai contohcontoh, , dengandengan mudahmudah kitakita dapat

dapat menghitungmenghitung

257 x 65.537 = 16.843.009. 257 x 65.537 = 16.843.009. Tetapi

Tetapi cobacoba faktorkanfaktorkan bilanganbilangan didi bawah

bawah iniini::

4.294.967.297. 4.294.967.297.

Jawab

Jadi,

Jadi, dengan menggunakan fakta ttg dengan menggunakan fakta ttg bilangan prima tsb, mudah bagi kita bilangan prima tsb, mudah bagi kita

untuk membuat sandi, namun sulit untuk membuat sandi, namun sulit

bagi orang untuk memecahkan sandi bagi orang untuk memecahkan sandi

kita, kecuali bila mereka tahu sistem kita, kecuali bila mereka tahu sistem persandian yang kita pakai. Gagasan persandian yang kita pakai. Gagasan

ini dicetuskan oleh Ron

ini dicetuskan oleh Ron RivestRivest, Adi , Adi

Shamir

Shamir, dan Len , dan Len AdlemanAdleman. Sistem . Sistem persandian mereka dikenal sebagai persandian mereka dikenal sebagai

teknik RSA

teknik RSA

..

Teknik

Teknik RSA RSA menggunakanmenggunakan sebuahsebuah bilangan

bilangan kompositkomposit N (N (besarbesar) ) dandan bilangan

bilangan

kunci

_kunci

penyandi

_penyandi

r. r. PasanganPasangan bilangan

bilangan N N dandan r r dikenaldikenal sebagaisebagai

public key

public key

. .

Selain

Selain keduakedua bilanganbilangan tersebuttersebut, , terter- -dapat

dapat bilanganbilangan

kunci

_kunci

pemecah

_pemecah

s s untuk

untuk memecahkanmemecahkan sandisandi. . BilanganBilangan ini

Sebagai

Sebagai ilustrasiilustrasi, , kitakita gunakangunakan N = N = 33 (= 3 x 11)

33 (= 3 x 11) dandan r = 7. [r = 7. [BilanganBilangan r r dipilih

dipilih didi antaraantara 1, 1, ……, 20. , 20. DiDi sinisini 20 20 = (3

= (3 –– 1) x (11 1) x (11 –– 1).]1).] Untuk

Untuk menyandikanmenyandikan hurufhuruf B (= 2), B (= 2), kita

kita hitunghitung 2277 _{mod(33) = 29.mod(33) = 29.}

Jadi

Jadi sandisandi untukuntuk hurufhuruf B B adalahadalah bilangan

Bila

Bila kitakita menerimamenerima sandisandi 29, 29, makamaka pesan

pesan aslinyaaslinya adalahadalah 2 (= B). 2 (= B). TetapiTetapi bagaimana

bagaimana kitakita bisabisa mendapatkanmendapatkan bilangan

bilangan 2 2 daridari 29, 29, dengandengan mengmeng- -gunakan

gunakan bilanganbilangan N = 33 N = 33 dandan r = 7?r = 7? (N

(N dandan r r diketahuidiketahui sbgsbg

public key

_{public key}

.).) Dalam

Dalam halhal iniini, , kitakita harusharus mengetahuimengetahui bilangan

Bilangan

Bilangan kuncikunci pemecahpemecah s s didi sinisini adalah

adalah bilanganbilangan yang yang memenuhimemenuhi rs

rs = 1 mod (20).= 1 mod (20). Untuk

Untuk r = 7, r = 7, kitakita dapatkandapatkan s = 3.s = 3. Sandi 29

Sandi 29 kitakita terjemahkanterjemahkan sebagaisebagai 29

Dengan

Dengan menggunakanmenggunakan N = 33 N = 33 dandan r = 7 (

r = 7 (dandan, , tentutentu sajasaja, s = 3), , s = 3), cobacoba pecahkan

pecahkan sandisandi berikutberikut::

7, 1, 26, 2, 0, 15, 13, 0, 30, 21, 20. 7, 1, 26, 2, 0, 15, 13, 0, 30, 21, 20.

Rangkaian

Rangkaian bilanganbilangan iniini harusharus diterditer- -jemahkan

jemahkan sbgsbg rangkaianrangkaian bilanganbilangan didi {0, 1,

{0, 1, …… , 32}. , 32}. DiDi sinisini 0 = 0 = spasispasi, 1 = , 1 = A,

Sekadar

Sekadar informasiinformasi, , cabangcabang ilmuilmu matematika

matematika yang yang mempelajarimempelajari persandian

persandian adalahadalah kriptografikriptografi

(

(

to

_to

encript

_encript

= = membuatmembuat sandisandi).). Di

Di negaranegara kitakita, , terdapatterdapat LembagaLembaga Sandi Negara

Sandi Negara yang yang menanganimenangani persandian

persandian untukuntuk keperluankeperluan negaranegara. . Lembaga

Lembaga iniini bernaungbernaung didi bawahbawah Departemen

28, 1, 19, 4, 1, 3, 0,

28, 1, 19, 4, 1, 3, 0,

11, 26, 14, 26, 19, 21, 0,

11, 26, 14, 26, 19, 21, 0,

12, 1, 13, 3, 0,

12, 1, 13, 3, 0,

14, 1, 17, 21, 5, 0,

14, 1, 17, 21, 5, 0,

31, 26, 4, 1, 5.

31, 26, 4, 1, 5.