ANALISIS KESTABILAN MODEL PENYEBARAN PENYAKIT MENULAR MIDDLE EAST RESPIRATORY SYNDROME- CORONA VIRUS

i

ANALISIS KESTABILAN MODEL PENYEBARAN

PENYAKIT MENULAR MIDDLE EAST RESPIRATORY SYNDROME-CORONA VIRUS (MERS-CoV) ANTAR WILAYAH INDONESIA (INA)

DAN ARAB SAUDI (KSA)

SKRIPSI

Diajukan Kepada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Negeri Yogyakarta

untuk Memenuhi Sebagian Persyaratan guna Memperoleh Gelar Sarjana Sains

Oleh

MUHAMMAD SYARIFUDIN 12305144035

PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS NEGERI YOGYAKARTA

iv PERNYATAAN

Yang bertanda tangan di bawah ini saya: Nama : Muhammad Syarifudin NIM : 12305144035

Prodi : Matematika

Jurusan : Pendidikan Matematika

Fakultas : Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

Judul : ANALISIS KESTABILAN MODEL PENYEBARAN

PENYAKIT MENULAR MIDDLE EAST

RESPIRATORY SYNDROME-CORONA VIRUS

(MERS-CoV) ANTAR WILAYAH INDONESIA (INA) DAN ARAB SAUDI (KSA)

Dengan ini saya menyatakan bahwa skripsi ini benar-benar karya saya sendiri. Sepanjang pengetahuan saya tidak terdapat karya atau pendapat yang ditulis atau diterbitkan orang lain kecuali sebagai acuan atau kutipan dengan mengikuti kata penulisan karya ilmiah yang telah lazim. Apabila terbukti bahwa pernyataan ini tidak benar maka sepenuhnya menjadi tanggungjawab saya dan saya bersedia menerima sanksi sesuai peraturan yang berlaku.

Yogyakarta, 26 Januari 2017 Yang Menyatakan,

Muhammad Syarifudin NIM. 12305144035

v MOTTO

“Sesungguhnya bersama kesulitan ada kemudahan. Maka apabila engkau telah selesai (dari suatu urusan), tetaplah bekerja keras (untuk urusan yang lain)”

(Q.S Al Insyirah: 6-7)

“Hidup adalah perjuangan” “life is a struggle”

“Jadikanlah ilmu berguna bagi diri sendiri dan orang lain”

“Segala yang indah belum tentu baik, namun segala yang baik sudah tentu indah”

"Develop success from failures. Discouragement and failure are two of the surest stepping stones to success"

(Dale Carnegie)

“Barang siapa menginginkan kebahagiaan di dunia maka haruslah dengan ilmu, barang siapa yang menginginkan kebahagiaan di akhirat haruslah dengan ilmu, dan barang siapa yang menginginkan kebahagiaan pada keduanya maka haruslah dengan

ilmu” (HR. Ibn Asakir)

vi

PERSEMBAHAN

Alhamdulillah ... segala puji bagi Allah SWT ... dengan memanjatkan puja-puji syukur atas kehadirat-Nya, karya yang sederhana ini saya persembahkan kepada:

 Alm. Ayahku tercinta, Bapak Ngizudin.... yang selama hidupnya telah mendidik, selalu memberikan nasihat, memberikan kasih sayang yang tak pernah henti dan selalu medo’akan dengan tulus disetiap harinya untuk kebaikan dan kesuksesan bagiku, semoga Allah SWT membalas semua kebaikan-kebaikannya dengan memberikan tempat yang paling mulia di sisi-Nya.... Aamiin Yaa Robbal ‘Aalamiin.

 Ibunda tercinta, Ibu Salami.... yang selalu memberikan kasih sayang tak terbatas, dan do’anya yang tulus yang selalu menyertaiku. Jasa-jasamu sungguh mulia bahkan takkan mampu diriku tuk membalasnya, yang bisa kulakukan hanyalah berdo’a, Semoga Ibunda selalu dalam lindungan Allah SWT, Aamiin Yaa Robbal ‘Aalamiin.

 Kakak”ku dan keponakan”ku yang tercinta, Mbak Siti, Mbak Qib, Mas Ilham, Rona, Zaki, Farich, dan Licha... terimakasih atas perhatian, dukungan dan do’a kalian semua, kalian adalah tempatku berbagi kebahagian, tempatku melepas kesedihan dan kesulitan yang kalian ubah itu menjadi keindahan dengan canda tawa kalian, I love you all... semoga kalian semua selalu dalam lindungan-Nya... Aamiin.

 My second mother, Ibu Hj. Harini Tjaswadi. Terimakasih banyak Ibu... yang telah memberikanku banyak ilmu selain yang diajarkan di kampus. Terima kasih telah berkenan menyediakan tempat tinggal dan memenuhi segala kebutuhan hidupku selama di jogja. Engkau selalu memberikan nasihat, memberikan masukan, dukungan dan selalu mendo’akanku untuk menjadi yang lebih baik. Maafkan segala kesalahan saya dan maaf tidak bisa membalas semua kebaikan Ibu, saya hanya bisa mendo’akan semoga kebaikan-kebaikan Ibu memperoleh balasan yang lebih baik dari Allah SWT dan semoga Ibu selalu dalam lindungan-Nya. Aamiin.

 Untuk semua teman-temanku terutama dari pasukan SAMBAR 59 maupun dari kelas Matswa 2012, Matsub 2012, kakak” dan adik” angkatan, Mahadiksi, UKKI JAM, HASKA JMF dan untuk semua pihak yang tidak bisa disebutkan satu per satu. Kalian luar biasa... succes always for all.

vii

ANALISIS KESTABILAN MODEL PENYEBARAN

PENYAKIT MENULAR MIDDLE EAST RESPIRATORY SYNDROME-CORONA VIRUS (MERS-CoV) ANTAR WILAYAH INDONESIA (INA)

DAN ARAB SAUDI (KSA) Oleh

Muhammad Syarifudin NIM. 12305144035

ABSTRAK

Middle East Respiratory Syndrome-Corona Virus (MERS-CoV) merupakan penyakit sindrom pernapasan yang disebabkan oleh Virus-Corona yang menyerang saluran pernapasan mulai dari yang ringan sampai yang berat. Penyakit ini dapat menjadi wabah dalam suatu wilayah karena sifat menularnya yang begitu cepat. Oleh karena itu, diberikan program vaksinasi sebagai upaya pencegahan penyebaran penyakit MERS-CoV. Skripsi ini mengkaji tentang model matematika pada penyebaran penyakit MERS-CoV dengan vaksinasi. Model matematika yang digunakan yaitu model SIV (Susceptible-Infected-Vaccinated) dengan individu tervaksinasi hanya dari Indonesia. Penelitian ini bertujuan untuk mengetahui pengaruh tingkat vaksinasi terhadap penyebaran penyakit MERS-CoV dalam populasi antar dua wilayah.

Analisis model SIV yang dilakukan pada penyebaran penyakit MERS-CoV dalam pembahasan ini terdapat 5 tahapan. Pertama, membentuk model SIV; kedua, mencari titik ekuilibrium; ketiga, menentukan bilangan reproduksi dasar (𝑅0);

kemudian yang keempat, menganalisis kestabilan di sekitar titik ekuilibrium dan yang terakhir yaitu melakukan simulasi menggunakan software Maple 18.

Model SIV pada penyebaran penyakit MERS-CoV memiliki lima kelas populasi yaitu kelas Susceptible Indonesia (𝑆𝐼𝑁𝐴), kelas Susceptible Arab Saudi (𝑆𝐾𝑆𝐴), kelas

Vaccinated Indonesia (𝑉𝐼𝑁𝐴), kelas Infected Indonesia (𝐼𝐼𝑁𝐴) dan kelas Infected Arab

Saudi (𝐼𝐾𝑆𝐴). Pemodelan matematika yang didapatkan berupa sistem persamaan

diferensial nonlinear. Berdasarkan simulasi, untuk pengaruh pemberian vaksin Meningitis terhadap calon jama’ah haji/umrah asal Indonesia diperoleh bahwa semakin tinggi tingkat vaksinasi yang diberikan, menyebabkan banyaknya individu yang terinfeksi semakin menurun. Hal ini menunjukkan bahwa program vaksinasi dapat digunakan untuk menekan banyaknya individu terinfeksi yang diakibatkan oleh penyebaran penyakit menular MERS-CoV yang terjadi antar dua wilayah yang berbeda.

Kata Kunci: MERS-CoV, model SIV, titik ekuilibrium, Bilangan Reproduksi Dasar, kestabilan.

viii

KATA PENGANTAR

Assalamu’alaikum Wr. Wb.

Puji syukur penulis panjatkan kehadirat Allah SWT, yang telah melimpahkan segala karunia, rahmat dan hidayah-Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan penuliasan skripsi dengan judul “Analisis Kestabilan Model Penyebaran Penyakit Menular Middle East Respiratory Syndrome Corona Virus (MERS-CoV) Antar Wilayah Indonesia (INA) dan Arab Saudi (KSA)”. Tugas Akhir Skripsi ini dibuat sebagai salah satu syarat untuk menyelesaian Studi Sarjana Sains (S.Si). Sejak awal kuliah hingga terselesainya tugas akhir ini, penulis mendapat dukungan dan bantuan dari berbagai pihak. Pada kesempatan ini, penulis mengucapkan terima kasih kepada pihak-pihak yang telah membantu dan memberikan dukungan kepada penulis, yaitu:

1. Bapak Dr. Hartono selaku Dekan FMIPA Universitas Negeri Yogyakarta 2. Bapak Dr. Ali Mahmudi selaku Ketua Jurusan Pendidikan Matematika 3. Bapak Dr. Agus Maman Abadi selaku Ketua Prodi Matematika

4. Ibu Dwi Lestari M.Sc. dan Ibu Husna Arifah M.Sc. selaku dosen pembimbing skripsi yang telah memberikan pengarahan, saran, bimbingan dan masukan sehingga penulis dapat menyelesaikan penulisan Tugas Akhir Skripsi ini

5. Bapak Ibu Dosen Jurusan Pendidikan Matematikda yang telah memberikan ilmu kepada penulis secara langsung maupun tidak langsung

6. Bapak, Ibu dan keluarga yang tidak pernah lelah memberikan dukungan dan do’a untuk penulis

ix

7. Ibu Hj. Harini Tjaswadi selaku orang tua asuh yang telah memberikan nasihat, dukungan serta do’a demi kelancaran penulis dalam menyelesaikan tugas akhir 8. Seluruh Mahasiswa Matematika Angkatan 2012 dan semua pihak yang telah

memberikan motivasi dan membantu secara langsung maupun tidak langsung sehingga dapat memperlancar proses penyusunan tugas akhir ini.

Semoga tugas akhir ini dapat berkah dan bermanfaat untuk setiap orang yang membacanya, Aamiin. Wassalamu’alaikum Wr. Wb. Yogyakarta, 26 Januari 2017 Penulis Muhammad Syarifudin NIM. 12305144035

x

DAFTAR ISI

HALAMAN JUDUL ... i

HALAMAN PERSETUJUAN ... ii

HALAMAN PENGESAHAN ... iii

PERNYATAAN ... iv

MOTTO ... v

PERSEMBAHAN ... vi

ABSTRAK ... vii

KATA PENGANTAR ... viii

DAFTAR ISI ... x

DAFTAR TABEL ... xii

DAFTAR GAMBAR ... xiii

DAFTAR LAMPIRAN ... xiv

DAFTAR SIMBOL ... xv BAB I PENDAHULUAN ... 1 A.Latar Belakang ... 1 B. Identifikasi Masalah ... 5 C.Pembatasan Masalah... 5 D.Perumusan Masalah ... 5 E. Tujuan Penelitian ... 6 F. Manfaat Penelitian ... 6

BAB II LANDASAN TEORI ... 8

xi

B. Persamaan Diferensial ... 11

C. Solusi Persamaan Diferensial ... 12

D. Sistem Persamaan Diferensial ... 13

E. Nilai Eigen dan Vektor Eigen ... 18

F. Titik Ekuilibrium ... 21

G. Linearisasi ... 22

H. Kestabilan ... 30

I. Bilangan Reproduksi Dasar ... 38

BAB III PEMBAHASAN ... 42

A. Permasalahan Nyata ... 42

B. Formulasi Model ... 43

C. Transformasi Model ... 55

D. Titik Ekuilibrium ... 62

E. Bilangan Reproduksi Dasar ... 66

F. Kestabilan Lokal di sekitar Titik Ekuibrium ... 72

G. Simulasi Model Penyebaran Penyakit MERS-CoV ... 79

BAB IV PENUTUP ... 88

A. Kesimpulan ... 88

B. Saran ... 90

DAFTAR PUSTAKA ... 92

xii

DAFTAR TABEL

xiii

DAFTAR GAMBAR

Gambar 2.1 Proses Pemodelan Matematika... 8

Gambar 2.2 Ilustrasi Kestabilan ... 31

Gambar 3.1 Diagram Kompartemen Model Penyebaran Penyakit Menular MERS-CoV antar Wilayah INA dan KSA ... 45

Gambar 3.2 Simulasi Sistem (3.20) dengan 𝑣 = 0 ... 82

Gambar 3.3 Simulasi Sistem (3.20) dengan 𝑣 = 0.0025 ... 83

Gambar 3.4 Simulasi Sistem (3.20) dengan 𝑣 = 0.005... 84

Gambar 3.5 Simulasi Sistem (3.20) dengan 𝑣 = 0.0075 ... 85

xiv

DAFTAR LAMPIRAN

Lampiran 1 Program Maple untuk model matematika penyebaran penyakit MERS-CoV tanpa pengaruh vaksinasi atau 𝑏 = 0...95 Lampiran 2 Program Maple untuk model matematika penyebaran penyakit

MERS-CoV dengan pengaruh vaksinasi untuk 𝑏 = 0.025 ...100 Lampiran 3 Program Maple untuk model matematika penyebaran penyakit MERS-CoV dengan pengaruh vaksinasi untuk 𝑏 = 0.005 ...106 Lampiran 4 Program Maple untuk model matematika penyebaran penyakit MERS-CoV dengan pengaruh vaksinasi untuk 𝑏 = 0.0075 ...112 Lampiran 5 Program Maple untuk model matematika penyebaran penyakit MERS-CoV dengan pengaruh vaksinasi untuk 𝑏 = 0.01 ...118

xv

DAFTAR SIMBOL

𝑁_𝐼𝑁𝐴 Jumlah total populasi dari Indonesia (INA)

𝑁_𝐾𝑆𝐴 Jumlah total populasi dari Arab Saudi (KSA)

𝑆_𝐼𝑁𝐴(𝑡) Populasi kelas Susceptible INA pada saat t

𝑆_𝐾𝑆𝐴(𝑡) Populasi kelas Susceptible KSA pada saat t

𝐼_𝐼𝑁𝐴(𝑡) Populasi kelas Infected INA pada saat t

𝐼_𝐾𝑆𝐴(𝑡) Populasi kelas Infected KSA pada saat t

𝑉_𝐼𝑁𝐴(𝑡) Populasi kelas Vaccinated INA pada saat t

𝑠_𝐼𝑁𝐴(𝑡) Proporsi kelas Susceptible INA pada saat t

𝑠_𝐾𝑆𝐴(𝑡) Proporsi kelas Susceptible KSA pada saat t

𝑖_𝐼𝑁𝐴(𝑡) Proporsi kelas Infected INA pada saat t

𝑖_𝐾𝑆𝐴(𝑡) Proporsi kelas Infected KSA pada saat t

𝑣_𝐼𝑁𝐴(𝑡) Proporsi kelas Vaccinated INA pada saat t

ℝ𝑛 _{Himpunan bilangan real dimensi n}

𝑥̇ Turunan pertama 𝑥̇ terhadap t

𝑥̇₀ Nilai awal atau kondisi awal

𝑥̇ Titik ekuilibrium

𝐸 Himpunan terbuka

𝐶′(𝐸) Himpunan semua fungsi yang mempunyai turunan pertama yang

kontinu di E 𝐷𝑓(𝑥̇0) Turunan f di 𝑥̇0 𝐽(𝑓(𝑥̇ )) Matiks jacobian di 𝑥̇ 𝜆 Nilai eigen 𝐴 Matriks berukuran 𝑛×𝑛 𝐼 Matriks Identitas

ℜ𝑒(𝜆𝑖) Bagian real pada nilai eigen ke i

𝐸0 Titik ekuilibrium bebas penyakit

𝐸1 Titik ekuilibrium endemik

𝑅₀ Bilangan reproduksi dasar

𝐴₁ Banyaknya calon jamaah haji/umrah dari Indonesia

𝐴₂ Banyaknya calon jamaah haji/umrah dari Arab Saudi

𝛼₁ Laju perpindahan individu rentan dan terinfeksi dari wilayah Indonesia ke wilayah Arab Saudi

𝛼₂ Laju perpindahan individu rentan dan terinfeksi dari wilayah Arab Saudi ke wilayah Indonesia

xvi

µ Laju individu rentan yang meninggal secara alami

µ_𝑚𝑟𝑠 Laju individu terinfeksi yang meninggal karena penyakit

𝑣 Laju perpindahan individu rentan yang ada di Indonesia yang diberi vaksinasi dari kelompok 𝑆𝐼𝑁𝐴 ke kelompok 𝑉𝐼𝑁𝐴

𝜀 Laju individu terinfeksi yang pulih

𝜔 Laju perpindahan penyakit antar individu rentan dan terinfeksi yang berasal dari wilayah yang berbeda

𝛽 Laju perpindahan penyakit antar individu rentan dan terinfeksi yang berasal dari wilayah yang sama

𝑎1 Proporsi banyaknya calon jamaah haji/umrah dari Indonesia

𝑎2 Proporsi banyaknya calon jamaah haji/umrah dari Arab Saudi

ℱ_𝑖 Laju kemunculan infeksi baru pada kompartemen ke-i