Analisis Deret Waktu Time Series Analysi

(

Time Series Analysis

)

Ilust rasi

Ilust rasi

•

Berikut adalah data rata-rata curah hujan

bulan an yan g diam ati dari Stasiun Padaheran g

bulan an yan g diam ati dari Stasiun Padaheran g

pada tahun 20 0 1 – 20 0 4.

Sum ber : Modul 3 Praktikum Mekan ika Medium Kon tin u “ Medan Gravitasi”

Ta h u n J a n Fe b Ma r Ap r Me i J u n J u l Agu s t S e p Okt N o p D e s 2 0 0 1 278 .59 279.78 355.29 241.34 115.9 176.9 55.32 29.0 8 43.8 2 313.68 50 8 .49 267.8 2

2 0 0 2 299.78 245.8 8 266.64 18 5.27 122.22 133.1 76.78 32.4 26.0 9 169.0 5 461.62 415.73

2 0 0 3 425.21 370 .8 30 0 .23 157.43 18 4.96 69.93 23.28 14.39 17.8 6 275.23 433.23 456.0 2

2 0 0 4 547.8 30 8 .2 38 8 93 297 128 47 5 8 7 10 5 38 9 371.6

A

bil il i

h

h j

t i i di



Apabila nilai curah hujan saat ini dian ggap

dipen garuhi oleh rata-rata curah hujan kem arin dst,

m aka data rata-rata curah hujan di atas dapat

berdasarkan wakt u

Ra ta -ra ta cu ra h h u ja n bu la n a n 2 0 0 1 - 2 0 0 4 d i S ta s iu n

50 0 60 0

Pa d a h e ra n g

30 0 40 0 5

a

h

h

u

ja

n

20 0 30 0

n

il

a

i

c

u

r

0 10 0

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45

P

St k

t ik

Proses St okast ik

• Proses stokastik adalah barisan peubah acak {Y_t , t T }

• Setiap proses stokastik memuat ruang keadaan S dan

indeks parameterT

S : semua nilai yang mungkin dari Y_t

S d T d t b il i di k it t k ti

S danT dapat bernilai diskrit atau kontinu

• Contoh proses stokastik:

a. Cuaca harian kota Bandung g

b. Banyaknya trombosit/hari pasien demam berdarah sejak ia terinfeksi

c. Laju pertumbuhan populasi orang utan (% per tahun)

d Waktu antara mekarnya bunga bangkai yang ke n

d. Waktu antara mekarnya bunga bangkai yang ke-n

dengan bunga bangkai yang ke n+1

• Misal yy_{t t} nilai dari Y_{t t} maka barisan nilai {{yy_{t t} , t T } disebut}

Ti

S

i

Ti me Ser i es

•

Jika

T

:

waktu

, maka {

Y

_t

,

t



T

} disebut

time series

•

Realisasinya disebut

data TS

•

Realisasinya disebut

data TS

•

Studi berkaitan dengan TS disebut

analisis TS

•

Permasalahan dalam analisis TS :

“Bagaimana menentukan

Bagaimana menentukan

model Y

model Y

_tt

sehingga model

sehingga model

tersebut dapat digunakan untuk

forecasting

(prakiraan

di waktu mendatang)

?? ”

•

Secara umum, model TS dapat ditulis

Y

_t

=

f (.) + e

_t

(1)

Asumsi galat

:

e

_t

~

N

(

0,



2

_{) dan}

_tidak

_berkorelasi

•

Jika

f

linier dalam parameter-parameternya maka

persamaan (1) disebut

model linier TS

•

Koleksi semua model linier TS dinamakan model

C

t h

Ti

S

i

Cont oh

Ti me Ser i es

9

Tingkat Pengangguran di AS Produksi Tembakau di AS

Persen ₅

678

M

iliar pounds ₀00

1500

1880 1900 1920 1940 1960 1980

500

1

0

Kuartal Tahun

0

0

80000

Data Penjualan lynx pelts di Canada

118

Ukuran partikel setelah

penyemprotan pengharum ruangan

0

1850 1860 1870 1880 1890 1900

2

0

Menit

0 100 200 300 400 500

Manf aat dan Tuj uan TS

d lk

d

hi

d

dilih

•

Mem odelkan data TS sehin gga dapat dilihat

perilaku data lebih lan jut

Melakukan prediksi ke depan atau prakiraan

Beberapa Konsep Dasar dalam TS

Kestasioneran

Kestasioneran

TS {

Y

t

T

}

t

i

jik

t k

ti

t

•

TS {

Y

_t

,

t



T

}

stasioner

jika untuk setiap

t,

1.

E[

Y

_t

] =



(konstan)

2

kov(

Y Y

) =



(tidak tergantung

t

)

2.

kov(

Y

_t

, Y

_{t –k}

) =



_k

(tidak tergantung

t

)

•

Secara

visual

data TS {

Y

t



T

} stasioner

•

Secara

visual

, data TS {

Y

_t

,

t



T

} stasioner

Beberapa Konsep Dasar dalam TS

ACF fungsi autokorelasi

ACF, fungsi autokorelasi

•

ACF

(fungsi autokorelasi) : fungsi antara lag

Beberapa Konsep Dasar dalam TS

PACF fungsi parsial autokorelasi

PACF, fungsi parsial autokorelasi

•

PACF

(fs. autokorelasi parsial) : fungsi antara lag

k

dengan

g





_kkkk

di mana





_kkkk

=

corr

(

(

Y

_{t t}

, Y

,

_{t –kt k}

) setelah pengaruh

)

p

g

Y

₁

, Y

₂

, …,

Y

_k-1

ditiadakan.

•

PACF dapat didefinisikan juga sebagai koefiesien suku

•

PACF dapat didefinisikan juga sebagai koefiesien suku

terakhir dari regresi

Y

_t

dengan

Y

₁

, Y

₂

, …,

Y

_k.

Artinya jika

Y

=



+



Y

+



Y

+

+



_k

Y

_k

maka PACF

Artinya, jika

Y

_t

=



+



₁

Y

_t-1

+



₂

Y

_t-2

+ … +



_k

Y

_t-k

maka PACF

sampel untuk lag

k

= taksiran dari



_k.

atau

0 (

i

ifik

) jik

ˆ

ˆ

kk k







ˆ



1

_ˆ

1

1 96



1 96

= 0 (secara

signifikan

) jika

kk



_{1, 96}

_kk

_{1, 96}

n



n

C

t h ACF d

PACF d

g

SPSS

Cont oh ACF dan PACF dengan SPSS

8000

number of blowfly

6000

Upper Confidence Limit Coefficient

Upper Confidence Limit Coefficient

number of blowfly

Dari menu SPSS, pilih

Graphs

pilih variabel yang akan dihit ACF d PACF

16

dihitung ACF dan PACF-nya

Untuk TS Stasioner

1.

Autoregresi (AR)

: “

regresi terhadap TS yg lalu & galat

sekarang”

sekarang

AR(1):

Y

_t

=



+



₁

Y

_t-1

+

e

_t

,

di mana 1<



₁

<1

AR(2):

Y

_t

=



+



₁

Y

_t-1

+



₂

Y

_t-2

+

e

_t

,

di mana 1<



₂

<1,



₂

+



₁

<1,



₂

-



₁

<1

AR(

p

):

Y

_t

=



+



₁

Y

_t-1

+



₂

Y

_t-2

+ … +



_p

Y

_t-p

+

e

_t

2.

Moving Average (MA)

:

“regresi terhadap galat yang lalu

dan galat sekarang”

MA(1):

Y

_t

=



+

e

_t

–



₁

e

_{t -1}

,

di mana 1<



₁

<1

MA(2):

Y

_t

=



+

e

_t

–



₁

e

_{t -1}

–



₂

e

_{t -2}

Model-model

Ti me Ser i es

Untuk TS Stasioner

Untuk TS Stasioner

3. Autoregresi-Moving Average (ARMA)

“regresi terhadap TS yang lalu dan semua galat”

g

p

y

g

g

ARMA(1,1):

Y

_t

=



+



₁

Y

_t-1

+

e

_t

–



₁

e

_{t -1}

ARMA(

p,q

):

Z

=



+(



Y

+

+



Y

) +(

e



e



e

)

Z

_t

=



+(



₁

Y

_t-1

+ … +



_p

Y

_t-p

) +(

e

_t

–



₁

e

_{t -1}

–

…

–



_q

e

_{t -q}

)

Model-model

Ti me Ser i es

Untuk TS tidak Stasioner

Untuk TS tidak Stasioner

•

Misal TS {

Y

_t

} tidak stasioner.

Buat TS baru yg stasioner sebut {

Z

} dengan cara

Buat TS baru yg stasioner, sebut {

Z

_t

} dengan cara

diferensi

, yaitu

Z

_t

=

Y

_t

–

Y

_t-1

, untuk setiap

t.

•

Maka

“

ARMA(p,q) untuk

{

Z

_t

}

disebut ARIMA (p,

1

,q) untuk

{

Z

_t

}

”

•

Jika diferensi dilakukan

d

kali, ditulis

ARIMA

(

p,d,q

)

Met ode Box Jenkins

Tahap awal:

Pemeriksaan kestasioneran:

-

Plot TS

-

Jika stasioner, lanjutkan ke “

tiga tahap iteratif”

.

Jika tidak lakukan transformasi atau diferensi

Tiga tahap iteratif :

1.

Identifikasi

2

Penaksiran parameter

2.

Penaksiran parameter

3.

Uji diagnostik (pemeriksaan asumsi sisa)

Jika pada uji diagnostik, ada asumsi yang dilanggar

l

i l

i 3 t h

it

tif

Id

t if ik

i

Ident if ikasi

Model ACF PACF

AR(p) Menurun secara

eksponensial atau

membentuk gelombang sinus

Cut off setelah lag p

teredam

MA(q) Cut off setelah lag q Menurun secara

eksponensial atau eksponensial atau

membentuk gelombang sinus teredam

• Mengidentifikasi orde (p,q) model ARMA melalui kriteria Akaike (AIC)

AIC  n log + 2m , m = # parameter

P

k i

P

t

Penaksiran Paramet er

• Metode: - Kuadrat terkecil (untuk model AR)

M k i lik lih d

- Maksimum likelihood

- Melard (digunakan SPSS)

C h k i l l i SPSS

• Contoh penaksiran parameter melalui SPSS

Dari menu, pilih Analyze



Forecasting



Create Models ...

Pilih nama TS sebagai Dependent variable

Uj i Di g

i

Uj i Diagnosis

Ingat asumsi galat: e_t ~ N (0,2_{) dan tidak berkorelasi} Pengujian asumsi:

Pengujian asumsi:

Cara 1:

• Plot sisaan

berfluktuasi di sekitar 0  E[e_t ] = 0 berfluktuasi di sekitar 0  E[e_t ] 0

nilai sisaan di sekitar  1,96  Var(e_t) = 2

• plot ACF serta plot PACF-nya

r_k dan signifikan 0  sisaan “tidak berkorelasi” 2

Cara 2: Uji Ljung-Box

• Uji “H₀: korelasi antar sisaan = 0” dengan statistik Ljung-Box

Sari Numerik Data

Data perkebunan teh PAL _{Data perkebunan teh PAL (diff 1 kali)}

Mean 133793.6

Standard Error 2488.531

Median 136781

Data perkebunan teh PAL (diff 1 kali)

Mean 455.7023

Standard Error 2407.674

Median 136781

Mode #N/A

Standard Deviation 36573.79

Sample Variance 1.34E+09

Median ‐1515

Mode ‐15033

Standard Deviation 35303.43

Sample Variance 1.25E+09

p

Kurtosis 0.222436

Skewness ‐0.07241

Range 218458

Mi i 36305

Sample Variance 1.25E 09

Kurtosis 1.855309

Minimum ‐81536

Maximum 134859

Sum 97976

Count 215

Cont oh

Identifikasi

• ACF m en urun

Identifikasi

• ACF m en urun

seperti gelom ban g sin us teredam

sedan gkan PACF cut

off setelah lag-1.

• Model yan g Model yan g m un gkin adalah AR(1)

 ACF cut off setelah

lag-1 sedan gkan PACF juga seperti

cut off setelah lag 1

cut off setelah lag-1.

 Ada beberapa m odel yang

A

R

1

134113, 420 0, 535

_







t t t

Y

Y

e

Diperoleh AR( 1) :

1,

1,

1)

A

R

IM

A

(

1

2

Kesimpulan

•

Berdasarkan hasil Ljun g-Box, dim an a pada m odel

AR(1) H ditolak (sisaan berkorelasi) un tuk sem ua

AR(1) H

₀

ditolak (sisaan berkorelasi) un tuk sem ua

1%

  

10 %, sedan gkan ARIMA(1,1,1) tidak ditolak

untuk



<1,7%.

Ol h k

it

d l ARIMA(

) bi

di

•

Oleh karen a itu m odel ARIMA(1,1,1) bisa dian ggap

lebih cocok (den gan sisaan yan g tidak berkorelasi)

sehin gga dapat digun akan un tuk m elakukan

short-ti

f

t

d

k

tim e forecast

den gan m en ggun akan persam aan :

San Fransisco

•

Cryer, J. D. dan Chan, K. S. (2008):

Time Series

Analysis with Applications in R

, Springer, New York.