1Seperti yang ditunjukkan dalam bagian 1, filsafat Aristoteles matematika dapat menjadi titik awal untuk memahami kedua penerapan matematika, dan
bagaimana konsep-konsep matematika yang dipisahkan dalam pemikiran dalam proses abstrak.
Pada bagian ini saya akan membuat beberapa komentar tentang pandangan Aristoteles tentang objek matematika sebagai abstraksi, pada keberadaan objek matematika, dan pada
kebenaran matematika.
3.1 Objek Matematika sebagai Abstractions
Filsafat Aristoteles matematika merupakan bagian dari filsafat umum, dan
akibatnya dia harus berhubungan konsep matematika untuk perbedaan nya
menjadi-bentuk tween dan materi, genus dan differentia specifica, penting dan tidak penting
atribut, dll, dan ini dapat membuat sulit untuk mengekstrak hanya apa yang
rele-vant dalam konteks filosofi matematika. Ada, lebih jauh lagi, tidak ada
(dikenal) risalah pada filosofi matematika oleh Aristoteles. Pernyataannya
pada matematika dan filsafat matematika yang tersebar di seluruh semua
teks nya. Mengenai perbedaan pertama, objek matematika tidak
1 57(Heath, 1998), pp. 42, 220, 224. In this book Heath has collected and commented on most of the writings of Aristotle
on mathematics and philosophy of mathematics.
58Metaph. K. 3. 1061a
bentuk murni, dan mereka tidak masuk akal obyek, tetapi mereka dipisahkan dari sitivity
benda jawab dalam pikiran. Proses pemisahan digambarkan sebagai proses
abstraksi. Dalam kegiatan ini matematikawan, atau metafisika, eliminasi
atribut non-esensial, atau atribut tidak harus dibawa ke consideration.57
Matematika
menyelidiki abstraksi (untuk dalam penyelidikan ia menghilangkan
semua kualitas yang masuk akal, misalnya berat dan ringan, kekerasan dan
Sebaliknya, dan juga panas dan dingin dan con masuk akal lainnya
traries, dan daun hanya kuantitatif dan terus menerus [...] dan
atribut hal qua kuantitatif dan terus menerus, dan
tidak menganggap mereka dalam hal lain ...) 58
Thomas Heath menggambarkan proses abstraksi vs proses penambahan
elemen atau kondisi dengan kontras antara unit, zat tanpa
posisi, dan titik, zat memiliki position.59 Proses Abstrak
bukan teori epistemologis, tetapi sebuah teori logis dengan konsekuensi ontologis. Dia lebih lanjut menyatakan bahwa klarifikasi lokasi 'quad' di
kutipan di atas adalah titik penting dalam memahami Aristoteles matematika ontology.61 ini adalah strategi Jonathan Lear persis, yang memperkenalkan
sebuah "qua-operator" untuk menganalisis proses abstraksi dalam filsafat Aristoteles
matematika. Fokus saya akan berada di analysis.62 Lear
Untuk mempertimbangkan b sebagai F, b qua F, adalah untuk mempertimbangkan suatu zat, di Aristoteles
akal, dalam aspek tertentu. Untuk b qua objek F untuk menjadi kenyataan dari predikat G,
diperlukan bahwa F (b) adalah benar, dan bahwa obyek memiliki properti G
berikut kebutuhan dari yang menjadi F; dalam simbol-simbol
G (b qua F) ↔ F (b) ∧ (F (x) `G (x)),
di mana pintu putar menandakan hubungan berikut kebutuhan. Qua-Operator ini
menghasilkan semacam proses penyaringan. Pertimbangkan perunggu, sama kaki segitiga b;
B (b) ∧ I (b) ∧T (b).
Operator b qua T menyaring sebagai esensial sifat-sifat lainnya, dan kami
diperbolehkan untuk menyimpulkan apa pun yang mungkin untuk bahan b dianggap
sebagai segitiga. Proses penyaringan ini menentukan apa aspek, atau di bawah apa yang
deskripsi, zat atau benda sedang dipertimbangkan. Dan dalam aspek ini
Properti mungkin penting atau tidak. Substansi b mungkin memiliki sifat-sifat lainnya,
tetapi adalah qua-operator yang menentukan apa yang di bawah deskripsi objek
adalah untuk dipertimbangkan; yang sifat yang dianggap sebagai penting. ini adalah
alasan untuk menulis "F (x)` G (x) "dan bukan" F (b) `G (b)" di atas
definisi G (b qua F); hasilnya tidak harus bergantung pada properti lainnya
b dibandingkan menjadi seorang F.
Sejak objek matematika tidak bentuk murni mereka harus mematuhi dalam beberapa
Bahkan garis lurus ... dapat dianalisis ke dalam masalah yang, kontinuitas (lebih tepatnya kontinuitas dalam ruang, ekstensi, atau panjang),
dan bentuknya. 'Meskipun garis ukur adalah panjang tanpa
luasnya atau ketebalan, dan karena itu abstrak, namun ekstensi
semacam materi geometri yang memungkinkan konsepsi
matematika menjadi setelah semua concrete'.63
Jika objek matematika tidak dapat dipisahkan dari benda-benda yang masuk akal, dan jika
mereka, dalam beberapa cara, yang melekat pada benda yang masuk akal, bagaimana mereka berhubungan dengan
objek fisika dan metafisika? Benda-benda fisik memiliki atribut di
Selain orang-orang matematika. Mereka bisa bergerak, misalnya, tetapi matematika abstrak dari gerakan. Benda-benda fisik, seperti matematika,
con-pesawat tain, dll, tetapi matematika tidak memperlakukan con-pesawat dan poin qua
atribut tubuh fisik, dan ia tidak mempelajarinya qua batas-batas atau
aries dari tubuh fisik, seperti fisikawan does.64 Hubungan antara
ob-jects matematika, fisika, dan metafisika dijelaskan berikut ini
cara oleh Aristoteles.
Fisika adalah dia yang menyangkut dirinya dengan semua properti
aktif dan pasif dari tubuh atau bahan sehingga dengan demikian atau didefinisikan;
atribut tidak dianggap sebagai makhluk dari karakter ini ia meninggalkan untuk
lain, dalam kasus-kasus tertentu mungkin untuk spesialis, misalnya carpen- sebuah
ter atau dokter, orang lain (a) di mana mereka tidak dapat dipisahkan dalam
Bahkan, tetapi dipisahkan dari setiap jenis tertentu dari tubuh oleh
Upaya abstraksi, untuk matematika, (b) di mana mereka
terpisah, dengan Philosopher.65 Pertama
Perhatikan bahwa proses Aristoteles abstraksi tidak menimbulkan abstrak
ide, atau serangan Frege pada psychologism.66
3.2 Pada Keberadaan Objek Matematika
Analisis di atas adalah relevan untuk pertanyaan tentang keberadaan objek matematika, dan kesimpulan Lear, dalam terang analisisnya, adalah sebagai berikut.
Dengan demikian, untuk Aristoteles, dapat dikatakan benda yang benar-benar yang dipisahkan dan
objek matematika ada, tetapi semua pernyataan ini sebesar
-jika dianalisis dengan benar - adalah bahwa sifat matematika yang
benar-benar dipakai di benda-benda fisik dan, dengan menerapkan suatu
predi-cate filter, kita dapat mempertimbangkan objek-objek ini sebagai semata-mata instantiating
yang properties.67 tepat
Komentator lain pada pandangan Aristoteles tentang keberadaan matematika
benda memberikan account yang sama. Edward Halper berarti bahwa objek matematika ada sebagai atribut hal yang masuk akal; mereka ada yang berpotensi dalam tubuh. Ini
Keberadaan adalah nyata, dan matematikawan memperlakukan benda sebagai separated.68 Taking
ini untuk diberikan, perhatian utama Halper adalah obyek bagaimana matematika, menjadi
atribut, dapat memiliki atribut. Ini dekat posisi H. G. Rasul,
yang menyatakan bahwa objek matematika ada sebagai potensi dalam sekunder
way.69 Menurut Edward Hussey, Aristoteles mengambil begitu saja bahwa ada
adalah obyek matematika, dan bahwa objek matematika
(A) tidak ada 'terpisah dari' benda yang masuk akal; (B) yang sebelum
benda yang masuk akal dalam definisi, tetapi (C) posterior kepada mereka di
menjadi-ing / substance.70
Alfred E. Taylor menyatakan bahwa objek matematika yang melekat dalam materi, dan
Heath bahwa mereka bertahan hidup di matter.71 Akhirnya, menurut Aristoteles sendiri,
... Beberapa bagian dari kesepakatan matematika dengan hal-hal yang
72
...
Jelas, komentator setuju bahwa objek matematika ada. Apa yang mereka mungkin tidak setuju tentang adalah cara eksistensi, dan itu juga layak
menyebutkan-ing itu, karena objek matematika dipisahkan dalam pemikiran, beberapa mengambil
bahwa objek matematika ada di pikiran. Bahwa mereka hanya ada di pikiran
adalah ide neo-Platonis; sebuah ide yang tafsir modern biasanya tidak
accept.73
Strategi Aristoteles tidak mengatakan banyak tentang aritmatika. Satu-satunya hasil
mencapai adalah bahwa zat dapat dipilih sebagai unit di mana untuk count.74 Tapi
dicatat bahwa Halper, misalnya, berfokus pada sejumlah ketika ia membahas bagaimana
atribut nomor pada gilirannya dapat memiliki atribut seperti even.75
3.3 Pertanyaan Kebenaran
Mengenai pertanyaan tentang kebenaran dan kepalsuan, Aristoteles menyatakan dalam beberapa
tempat-tempat yang tidak ada kebohongan masuk ke argumen dalam proses
abstrac-tion.
Sekarang, matematika, meskipun dia juga memperlakukan hal-hal ini,
namun tidak memperlakukan mereka sebagai batas dari alam
tubuh; juga tidak mempertimbangkan atribut diindikasikan sebagai di- yang
upeti dari badan-badan tersebut. Itulah mengapa ia memisahkan mereka; untuk di
pikir mereka dipisahkan dari gerak, dan itu tidak membuat
berbeda-ence, juga tidak ada hasil kepalsuan, jika mereka separated.76
Jadi jika kita menganggap hal terpisah dari atribut mereka dan
Alasan ini menjadi kesalahan, lebih daripada ketika satu menarik garis pada
tanah dan menyebutnya kaki panjang bila tidak; untuk kesalahan
tidak termasuk dalam proposition.77 yang
Pertama, karena segitiga terpisah tidak ada, itu harus dianggap sebagai sebuah fiksi,
tapi ini tidak akan menghasilkan kepalsuan-kepalsuan. Selanjutnya, menggambar garis dan mengatakan
ini adalah salah satu kaki panjang hanya untuk tujuan heuristik. Angka ini bukan bagian dari
argumen. Meskipun garis yang ditarik tidak benar-benar satu kaki, kita tidak pernah menggunakan
ini. Menurut Lear, tidak masalah jika kita menggunakan segitiga dipisahkan c,
atau menggunakan c dianggap sebagai segitiga dalam sebuah argumen. Argumennya adalah sebagai berikut.
Biarkan c menjadi segitiga dipisahkan yang memiliki sifat hanya karena itu adalah segitiga;
yaitu G (c) ↔ G (c qua T). Misalkan kita membuktikan, seperti dalam Elemen I: 32, yang
c memiliki jumlah sudut interior sama dengan dua sudut yang tepat, 2R (c). Sejak
∀x (T (x) → 2R (x)), dan untuk setiap segitiga b, yang 2R (b). Tidak ada kepalsuan sehingga
Hasil dalam mempertimbangkan c sebagai segitiga dipisahkan, jika kita hanya menggunakan apa yang bisa
terbukti itu sebagai segitiga.
Lear menimbulkan dua masalah yang berkaitan dengan upaya Hartry lapangan untuk menunjukkan bahwa
matematika-ematics tidak perlu physics.78 masalah ini terkait dengan topik dis
mengumpat di ITR, dan saya akan membuat beberapa komentar singkat pada mereka di sini. Con
cerning edisi pertama, Aristoteles berpendapat untuk kebenaran matematika, sedangkan
Bidang berpendapat bahwa hanya konsistensi matematika diperlukan
untuk itu menjadi perpanjangan konservatif fisika. Dalam hal ini Lear tidak
merujuk secara eksplisit Aristoteles, tetapi membutuhkan ide-idenya menjadi Aristoteles dalam roh.
Kunci untuk kebenaran matematika, katanya, bukan pertanyaan referensial
sejak dipisahkan objek matematika tidak ada, tetapi terletak pada kegunaan
dunia fisik dan dunia objek matematika, dan salah satu cara untuk
bawah-berdiri jembatan ini adalah melalui qua-operator yang mengungkapkan fitur struktural.
