Abstrak—Penjadwalan mata kuliah merupakan salah satu masalah umum yang dihadapi oleh universitas. Masalah yang sering terjadi adalah adanya ‘tubrukan’ jadwal mata kuliah. Mahasiswa tidak bisa mengambil mata kuliah tertentu dikarenakan jadwal kuliah yang diambil bertubrukan dengan jadwal kuliah lainnya. Banyak faktor yang mempengaruhi dalam penyusunan jadwal, seperti jumlah ruangan, daya tampung ruangan, slot waktu, serta penentuan dosen pengajar. Akibatnya penjadwalan perkuliahan menjadi lebih rumit. Studi kasus yang digunakan adalah penjadwalan mata kuliah di Departemen Matematika ITS. Pada penelitian ini, akan digunakan Algoritma Welch Powell dalam menyelesaikan masalah penjadwalan tersebut. Hasilnya adaah Algoritma Welvch Powell dapat menyelesaikan masalah penjadwalan mata kuliah di Departemen Matematika ITS tanpa adanya jadwal yang bertubrukan.
Kata Kunci—Penjadwalan Mata Kuliah, Pewarnaan Graf, Algoritma Welch Powell.
I. PENDAHULUAN
enyusunan jadwal merupakan sebuah masalah periodik yang selalu dihadapi oleh sekolah dan universitas [1]. Studi kasus yang digunakan adalah masalah penjadwalan kuliah yang dihadapi oleh Departemen Matematika ITS (DM ITS). Banyak faktor yang mempengaruhi dalam penyusunan jadwal di Departemen Matematika ITS, seperti jumlah ruangan, daya tampung ruangan, dan slot waktu yang sedikit, serta penentuan dosen pengajar menjadikan penjadwalan perkuliahan lebih rumit. Akibatnya masih sering terjadi permasalahan, yaitu jadwal yang diambil oleh setiap mahasiswa ada yang saling bentrok / bertubrukan untuk beberapa semester yang ada.
Permasalahan penjadwalan dapat dimodelkan dan diselesaikan dengan teknik pewarnaan graph [3],[4]. Teknik pewarnaan graf merupakan sebuah kasus khusus untuk pelabelan sebuah graf. Pewarnaan graf merupakan penambahan warna pada elemen sebuah graf. Ada tiga macam persoalan pewarnaan graf (graph colouring), yaitu pewarnaan simpul (vertex coloring), pewarnaan sisi (edge coloring), dan pewarnaan wilayah (region coloring). Selain untuk penjadwalan, pewarnaan graf juga digunakan dalam aplikasi pengalokasian frekuensi pada jaringan selular [5]. Model konvensional pewarnaan graf untuk penjadwalan,
simpul merepresentasikan kuliah yang akan dijadwalkan, sisi merepresentasikan pasangan kuliah yang bisa menimbulkan tubrukan yaitu tidak bisa dijadwalkan pada waktu yang sama, dan warna pada simpul merepresentasikan slot waktu kapan kuliah tersebut dijadwalkan [6]. Permasalahan dalam Tugas Akhir ini akan diselesaikan dengan pewarnaan graf menggunakan Algoritma Welch Powell.
Algoritma Welch Powell merupakan salah satu algoritma pewarnaan graf yang digunakan untuk pewarnaan dengan teknik largest degree ordering (ldo) yaitu melakukan pewarnaan berdasarkan derajat besar ke derajat kecil dan menggunakan satu warna untuk mewarnai simpul pertama dan simpul berikutnya yang tidak berdampingan dengan simpul pertama dan seterusnya [7]. Oleh karena itu, digunakan pewarnaan graf menggunakan Algoritma Welch Powell untuk menyelesaikan masalah penjadwalan mata kuliah di DM ITS agar pembelajaran di DM dapat terlaksana lebih baik, maksimal, dan efisien.
II. TINJAUANPUSTAKA A. Pewarnaan Graf
Pewarnaan graf merupakan pemberian warna pada simpul graf sedemikian dua simpul bertetangga mempunyai warna yang berbeda. Pewarnaan simpul adalah memberi warna pada simpul-simpul di dalam graf sedemikian setiap dua simpul bertetangga mempunyai warna yang berbeda. Di dalam persoalan pewarnaan graf, kita tidak hanya sekedar mewarnai simpul-simpul dengan warna berbeda dari warna simpul tetangganya saja, namum kita juga menginginkan jumlah macam warna yang digunakan sesedikit mungkin. Kita dapat memberikan sembarang warna pada simpul asalkan berbeda dengan simpul tetangganya.
B. Algoritma Welch Powell
Algoritma Welch Powell dapat digunakan untuk mewarnai sebuah graf secara efisien. Akan tetapi algoritma ini tidak selalu memberikan jumlah minimum warna yang diperlukan untuk mewarnai. Walaupun demikian, algoritma ini praktis untuk digunakan dalam mewarnai simpul graf [13]. Berikut ini adalah flowchart dari Algoritma Welch Powell yang ditunjukkan pada Gambar 1.
Implementasi Pewarnaan Graf Menggunakan
Algoritma
Welch Powell
Untuk Penjadwalan
Mata Kuliah
Chyntia Kumalasari Puteri, Darmaji, dan Soetrisno
Departemen Matematika, Fakultas MIPA, Institut Teknologi Sepuluh Nopember (ITS)
Jl. Arief Rahman Hakim, Surabaya 60111 Indonesia
: chyntiakp@gmail.com
2
III. HASILDANPEMBAHASAN
Penjadwalan mata kuliah merupakan salah satu penerapan dari pewarnaan graf. Salah satunya adalah penjadwalan mata kuliah DM ITS. Banyaknya mata kuliah yang digunakan pada semester gasal tahun ajaran 2015/2016 adalah 40 mata kuliah termasuk beberapa mata kuliah semester genap yang dibuka. Pertama yang dilakukan adalah menganalisis jumlah mata kuliah yang akan diolah ke dalam bentuk matriks. Karena jumlah sebelum dianalisis adalah 40, maka dengan adanya syarat-syarat tertentu, jumlah mata kuliah yang digunakan adalah 114 mata kuliah. Syarat tersebut adalah : 1. Mata kuliah wajib 2x pertemuan dalam 1 minggu. 2. Mata kuliah pilihan 1x pertemuan dalam 1 minggu. 3.Semester 1 dan semester 3 tidak boleh ada di slot waktu
yang sama.
4.Semester 2 dan semester 4 tidak boleh ada di slot waktu yang sama.
5.Semester 5 dan semester 7 tidak boleh ada di slot waktu yang sama.
6.Mata kuliah pilihan Ilmu Komputer tidak boleh ada di slot waktu yang sama.
7.Mata kuliah pilihan Matematika Terapan tidak boleh ada di slot waktu yang sama.
8.Mata kuliah pilihan Analisis & Aljabar tidak boleh ada di slot waktu yang sama.
Selanjutnya, data mata kuliah tersebut diubah ke dalam bentuk matriks yang berisi angka 0 dan 1. Angka 0 menyatakan mata kuliah boleh diletakkan pada slot waktu yang sama. Sedangkan angka 1 menyatakan mata kuliah tidak boleh diletakkan pada slot waktu yang sama. Berikut ini adalah data 114 mata kuliah semester gasal tahun ajaran 2015/2016 yang ditunjukkan pada Tabel 1.
Gambar. 1. Flowchart Algoritma Welch Powell
Tabel1.
Data Berisi Semester dan Mata Kuliah Semester Gasal 2015/2016 Semester Mata Kuliah
1
Geometri Analitik - A1 Geometri Analitik - A2 Geometri Analitik - B1 Geometri Analitik - B2 Geometri Analitik - C1 Geometri Analitik - C2
Logmat - A1 Logmat - A2 Logmat - B1 Logmat - B2 Logmat - C1 Logmat - C2
2 ALE 1
ALE 2
3
Analisis Riil I - A1 Analisis Riil I - A2 Analisis Riil I - B1 Analisis Riil I - B2 Analisis Riil I - C1 Analisis Riil I - C2
KPB - A1 KPB - A2 KPB - B1 KPB - B2 KPB - C1 KPB - C2 Matdis - A1 Matdis - A2 Matdis - B1 Matdis - B2 Matdis - C1 Matdis - C2 Metstat - A1 Metstat - A2 Metstat - B1 Metstat - B2 Metstat - C1 Metstat - C2 PBO - A1 PBO - A2 PBO - B1 PBO - B2 PBO - C1 PBO - C2 RO - A1 RO - A2 RO - B1 RO - B2 RO - C1
4 PDB 1
PDB 2
5
Kemudian, input matriks dengan 114 mata kuliah tersebut direpresentasikan ke dalam bentuk graf. Simpul yang ada pada graf menyatakan nama mata kuliah. Sisi yang ada pada graf menyatakan jadwal dari mata kuliah tidak bisa diadakan secara bersamaan. Kemudian dilakukan pewarnaan menggunakan Algoritma Welch Powell dan didapatkan bilangan kromatik sebanyak 23 yang dapat dibagi menjadi 4
atau 5 slot waktu. Berikut ini adalah sebagian dari hasil penjadwalan yang ditunjukkan pada Tabel 2.
Tanpa mengurangi perumusan dalam bahasa, maka digunakan pengujian lain dengan 7 mata kuliah. Mata kuliah yang digunakan dalam pengujian ini adalah DAA, Kapsel Ilkom I, Kecerdasan Buatan, Sistem Operasi, PCD, SBD, dan Pengemb, Aplikasi Web. Beberapa mata kuliah tersebut adalah mata kuliah pilihan semester 7 dan semester 5. Sehingga berdasarkan syarat tertentu, jumlah mata kuliah yang digunakan sebagai input matriks tetap 7 mata kuliah. Berikut ini adalah syarat yang digunakan :
1.Mata kuliah pilihan pada semester yang sama tidak boleh di slot waktu yang sama.
2.Semester 5 dan semester 7 tidak boleh ada di slot waktu yang sama.Berikut ini adalah bentuk matriks dari pengujian ini yang ditunjukkan pada Tabel 3.
Tabel3.
Matriks dengan 7 Mata Kuliah
DAA SBD SO Kapsel
Aljabar Linier - A1 Aljabar Linier - A2 Aljabar Linier - B1 Aljabar Linier - B2 Aljabar Linier - C1 Aljabar Linier - C2 Analisis Fourier
Hasil Penjadwalan dengan Case Real Hari Shift Jam Ruang 1
Aljabar Linier Elementer 1
Semester 2
Logika Matematika (A1)
4
Kemudian dari matriks tersebut direpresentasikan ke dalam bentuk graf. Berikut ini adalah bentuk graf yang ditunjukkan pada Gambar 2.
Selanjutnya dilakukan pewarnaan pada graf di atas. Pertama, yang dilakukan adalah meyusun daftar simpul graf, tetangga, dan derajatnya yang ditunjukkan pada Tabel 4 berikut ini.
Kemudian diurutkan derajat dari tiap simpul dari derajat tertinggi sampai derajat yang terendah dengan hasil yang sama seperti Tabel 4. Langkah selanjutnya yaitu mewarnai graf tersebut menggunakan Algoritma Welch Powell sesuai dengan proses yang telah dijelaskan sebelumnya sampai semua simpul telah diwarnai. Berikut ini adalah hasil pewarnaan graf dari 7 mata kuliah yang dtunjukkan pada Gambar 3 berikut ini.
Berdasarkan Gambar 3, hasil dari Algoritma Welch Powell yaitu terdapat 7 bilangan kromatik untuk 7 mata kuliah yang berbeda. Sehingga dari 7 mata kuliah yang deprogram tersebut, masing-masing mata kuliah dapat dijadwalkan seefisien mungkin dengan 1 ruang dan 2 slot waktu. Berikut ini adalah hasil penjadwalan yang ditunjukkan pada Tabel 5 berikut ini
Tabel2.
Hasil Penjadwalan dengan Data Real
Gambar. 3. Pewarnaan Graf dengan 7 Mata Kuliah
Tabel5.
Hasil Penjadwalan dengan 7 Mata Kuliah
Senin Slot
Waktu Jam Ruang 1
Senin
1 07.00 - 08.50
Kecerdasan Buatan
Semester 7
2 09.00 - 10.50 Pengemb. Aplikasi dan Web Semester 7
Selasa
1 07.00 - 08.50 PCD Semester 7
2 09.00 - 10.50
Kapsel Ilkom I
Semester 7
Rabu
1 07.00 - 08.50 Sistem Operasi Semester 5
2 09.00 - 10.50 Sistem Basis Data Semester 5
Kamis 1 07.00 - 08.50
Desain dan Analisis Algoritma
Semester 5
2 09.00 - 10.50
Jumat 1 07.00 - 08.50 2 09.00 - 10.50 Gambar. 2. Graf dengan 7 Mata Kuliah
Tabel4.
Hasil Penjadwalan dengan Case 3
Simpul Tetangga Derajat
DAA SBD, SO, Kapsel Ilkom I, PCD, Peng. Web, KB 6
SBD DAA, SO, Kapsel Ilkom I, PCD, Peng. Web, KB 6
SO DAA, SBD, Kapsel Ilkom I, PCD, Peng. Web, KB 6
Kapsel
Ilkom I DAA, SBD, SO, PCD, Peng. Web, KB 6
PCD DAA, SBD, SO, Kapsel Ilkom I, Peng. Web, KB 6
Peng.
Web DAA, SBD, SO, Kapsel Ilkom I, PCD, KB 6
IV. KESIMPULAN/RINGKASAN
Berdasarkan analisis terhadap hasil pengujian program, maka dapat diambil kesimpulan sebagai berikut :
1.Algoritma Welch Powell telah berhasil diterapkan untuk menyelesaikan masalah penjadwalan mata kuliah Departemen Matematika ITS.
2.Untuk pengujian dengan case real, semester gasal tahun ajaran 2015/2016, perangkat lunak ini mampu menghasilkan jadwal yang tidak bertubrukan, sehingga aplikasi ini dapat membantu pembuatan jadwal mata kuliah dengan batasan-batasan pembuatan jadwal yang ada pada tugas akhir ini.
3.Untuk pengujian dengan 7 Mata Kuliah, perangkat lunak mampu menghasilkan jadwal yang tidak bertubrukan dengan 1 ruang dan 2 slot waktu.
Terrdapat beberapa hal yang penulis sarankan untuk pengembangan penelitian selanjutnya :
1.Perlu dilakukan studi lebih lanjut dalam penjadwalan mata kuliah Departemen Matematika ITS menggunakan algoritma pewarnaan graf lainnya.
2.Data yang digunakan dalam Tugas Akhir ini adalah data mata kuliah di Departemen Matematika ITS dengan penjadwalan normal yang ada di DM ITS. Sehingga, lebih baik apabila data yang digunakan dapat melibatkan mata kuliah UPMB yang ada di DM ITS.
3.Perlu dilakukan studi lebih lanjut dalam penjadwalan mata kuliah Departemen Matematika ITS dengan slot waktu real dari mata kuliah wajib dan mata kuliah pilihan.
DAFTARPUSTAKA
[1] Rachmawati, Heni at al. 2013. “Analisis Penyelesaian Masalah
Penjadwalan Kuliah Menggunakan Teknik Pewarnaan Graph dengan
Algoritma Koloni Lebah”. Bidang Keahlian Telematika, Jurusan Teknik Elektro, Institut Teknologi Sepuluh Nopember Surabaya. [2] Munir, Rinaldi. 2008. Diktat Kuliah IF2031: “Struktur Diskrit”.
Departemen Teknik Informatika, Institut Teknologi Bandung. [3] K.A. Dowsland dan J.M.Thompson. 2005. “Ant Colony Optimization
for the Examination Schedulling Problem”, Journal of the
Operational Research Society, 56, 426-438.
[4] F.T.Leighton. 1979. “A Graph Coloring Algorithm for Large Schedulling Problems”, Journal of Research of The National Bureau
of Standards, 84(1979),489-506.
[5] A. Gamst. 1999. “Some Lower Bounds for a Class of Frequency Assignment Problem”, IEEETransaction of Vehicular Technology, 35, 8-14.
[6] D. de Werra. 1985. “An introduction to timetabling”. European
Journal of Operational Research, 19(2):151–162, February 1985.
[7] Dessy H, Ely Rosely, and RA. Paramita M. 2016. “Penerapan
Algoritma Welch Powell dengan Pewarnaan Graf pada Penjadwalan
Mata Pelajaran SMA”. Seminar Nasional Sistem Informasi Indonesia,
1 November 2016.
[8] Tiagio Januario, Sebastian Urrutia, Celso C. Ribeiro, and Dominique
de Werra. 2016. “A Natural Model for Sports Scheduling”, European
Journal of Operational Research, 254, 1–8
[9] Cahyo Heny Meliana, and Dwi Maryono. 2014. “Aplikasi Pewarnaan
Graf untuk Optimalisasi Pengaturan Traffic Light di Sukoharjo”.
JIPTEK, Vol. VII No. 1, Januari 2014
[10]Nisky Imansyah Yahya, Perry Zakaria, and Lailany Yahya. 2013.
“Penerapan Konsep Graf dalam Penyusunan Jadwal Perkuliahan Jurusan Pendidikan Matematika FMIPA UNG”. Jurusan Pendidikan
Matematika FMIPA UNG, Vol. 1, No. 1 2013.
[11]Ardiansyah, Fery Sofian Efendi, Syaifullah, Mateus Pinto, Pujianto,
and Hendro Steven Tempake. 2010. “Implementasi Algoritma Greedy
untuk Melakukan Graph Coloring : Studi Kasus Peta Propinsi Jawa
Timur”. JURNAL INFORMATIKA, Vol 4, No. 2, Juli 2010.
[12]Astuti, Setia. 2011. “Penyusunan Jadwal Ujian Mata Kuliah Dengan
Algoritma Pewarnaan Graf Welch Powell”. Jurnal Dian Vol. 11 No. 1
Januari 2011
[13]Munir, Rinaldi. 2010. ”Matematika Diskrit Edisi Keempat”. Bandung
