• Tidak ada hasil yang ditemukan

DESKRIPSI SINGKAT MATA KULIAH

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2019

Membagikan "DESKRIPSI SINGKAT MATA KULIAH"

Copied!
184
0
0

Teks penuh

(1)

PROGRAM STUDI TEKNIK PERTANIAN FAKULTAS TEKNOLOGI PERTANIAN

UNIVERSITAS ANDALAS

KALKULUS 2018

(2)

DESKRIPSI SINGKAT MATA KULIAH

Mata Kuliah Kalkulus membahas tentang (1) Sistem bilangan, pertaksamaan serta koordinat kartesius, (2) fungsi dan limit, (3) turunan dan aplikasinya, (4) integral dan aplikasinyaserta (5) fungsi-fungsi transenden.

(3)

TUJUAN/CPL

(4)

Materi Ajar UTS/UAS

Pendahuluan & Sistem Bilangan

1

Fungsi dan Limit

2

Turunan

3

Turunan dan Aplikasinya

4

Diferensial dan Aproksimasi

5

Permasalahan Maksimum dan Minimum dari Suatu Fungsi

7

Maksimum dan Minimum

(5)

PROGRAM STUDI TEKNIK PERTANIAN FAKULTAS TEKNOLOGI PERTANIAN

UNIVERSITAS ANDALAS

Dr. DINAH CHERIE, S.TP., M.Si FADLI IRSYAD, S.TP., M.Si

(6)

Himpunan

Kalkulus merupakan ilmu yang mempelajari tentang perubahan dan pertumbuhan. Pendiferensialan dan penintegralan adalah proses dasar dari kalkulus.

Himpunan : koleksi / kumpulan sesuatu.

Elemen Suatu Himpunang : a adalah elemen himpunan S (a ∈ S), jika a bukan elemen himpunan S (a ∉ S), himpunan kosong di notasikan ∅

Himpunan S terdiri dari a, t, j, k : S = {a, t, j, k}

Himpunan A anggota himpunan B : A ⊆ B

Himpunan A anggota himpunan murni B : A ⊂ B

Gabungan Himpunan A dan B : A ∪ B

(7)

Latihan 1

1.

A= {1, 2, 3, 4, 5}, B = {1, 4, 5, 6}, C = {2, 3, 5}; pernyataan yang benar adalah :

a. 3 ∈ 𝐴 b. 1 ∈ 𝐶 c. 2 ∉ 𝐶 d. 3 ∉ 𝐵 e. 𝐵 ⊆ 𝐴 f. 𝐶 ⊆ 𝐴 g. 𝐶 ⊂ 𝐴

h. 4 ∈ 𝐴 ∪ 𝐶

(8)

Latihan 1

2.

Jika A = {a, c, d, e, g}, B = {b, c, d, f}, dan C = {d, e, g} . Tentukanlah

a. A ∪ 𝐶

b. 𝐴 ∩ 𝐶 c. 𝐵 ∩ 𝐶 d. 𝐵 ∪ 𝐶

e. 𝐴 ∪ 𝐵 ∩ 𝐶

(9)

Sistem Bilangan Nyata/Real

Bilangan real, dinotasikan dengan  memainkan peranan yang sangat penting dalam Kalkulus. Untuk itu, pertama kali akan diberikan beberapa fakta dan terminologi dari bilangan real. Secara geometri, bilangan real  dapat digambarkan sebagai garis bilangan, dinotasikan dengan

(10)

Sistem Bilangan Nyata/Real

Bilangan Rasional : Bilangan yang dapat dinyatakan sebagai a/b di mana a, b bilangan bulat dan b tidak sama dengan 0. Batasan dari bilangan rasional adalah mulai dari selanga (-∞, ∞).

Bilangan Irasional : Bilangan riil yang tidak bisa dibagi (hasil baginya tidak pernah berhenti). Bilangan irasional tidak bisa dinyatakan sebagai a/b, dengan a dan b sebagai bilangan bulat dan b tidak sama dengan nol. Jadi bilangan irasional bukan merupakan bilangan rasional. Contoh yang paling populer dari bilangan irasional adalah bilangan π,

(11)
(12)

Interval

0

Bilangan Positif Bilangan Negatif

a b

Makna:

(a,b) = {x| a < x < b} (Interval Terbuka) [a,b] = {x| axb} (Interval Tertutup)

(a,b] = {x| a < xb} (Interval Setengah Terbuka) [a,b) = {x| ax < b} (Interval Setengah Terbuka) (a,∞) = {x| a < x} (Interval Terbuka)

(a,-∞) = {x| x < a} (Interval Terbuka)

(b,∞) = {x| b < x} (Interval Terbuka) (b,-∞) = {x| x < b} (Interval Terbuka) [a,∞) = {x| ax} (Interval Tertutup) (a,-∞] = {x| a > x } (Interval Terbuka)

(13)

Desimal

Bentuk desimal yang berhenti atau berulang

menyatakan bilangan rasional. Contoh : ½ =0,5 ; 1/3 = 0.333…

Sistem bilangan real R dengan oprasi penjumlahan (+) dan perkalian (x) padanya memenuhi :

Sifat aljabar (komutatif, asosiatif, distributif, …)

Sifat urutan (hukum trikotomi, transitif, aditif) yang melibatkan simbol <, >, =.

Sifat kelengkapan, yaitu bahwa R ‘merupakan’ garis yang “tak berlubang”

(14)

Logika

Dalam berargumen, kita akan sering menggunakan kalimat

“Jika … maka … ”

(dibaca : jika P maka Q

P Q

B B B

B S S

S B B

(15)

Kalkulasi dan Estimasi

( 430 + 10 + 3 7.8)/2.75

Bilangan mana yang lebih besar?  22/7 atau 3,14?

Benar/ Salah kalimat berikut?  Jika x > 1, maka x2 > 1.

 Jika x2 > 1, maka x > 1.

 Untuk semua ,

Untuk semua ,

x 2

0

x

2

0 0

x   x

(16)

Pertidaksamaan

Permasalahan Matematika yang berkaitan dengan interval terletak pada pertidaksamaan aljabar. Himpunan jawab atau solusi dari pertidaksamaan aljabar merupakan salah satu dari bentuk interval di atas. Adapun penjelasannya diberikan berikut. Bentuk umum pertidaksamaan aljabar :

𝐴 𝑥

𝐵 𝑥 <

𝐶 𝑥 𝐷 𝑥

Solusi:

Menambahkan Bilangan yang sama

pada kedua ruas pertidaksamaan

Mengalikan bilangan positif yang sama pada kedua ruas

(17)

Pertidaksamaan

Contoh :

a.

1

𝑥 < 3

b. x -1 < x + 3

c. 2x -7 < 4x - 2

d. -5 2x +6 < 4

e.

𝑥2 − 𝑥 < 6

f.

−𝑥

3 < 2𝑥 + 1

g.

6

𝑥−1 ≥ 5

h. -1 < -2x +3 2

i.

𝑥 + 1 < −1

𝑥−1

j.

𝑥−2

𝑥−1 >

𝑥+3 𝑥+1

k.

𝑥2−4𝑥+3

𝑥+2 > 0

l. x < x + 5

m.

− 𝑥+3

3 < 2𝑥 + 1

n.

6

𝑥−1 ≥ 5 +2

o. -1+x < -2x +3 2

p.

3 + 𝑥 < −1

(18)

Nilai Absolut, Akar Kwadrat, Kwadrat

Nilai mutlak atau nilai absolut dari bilangan real x didefinisikan sebagai jarak dari x terhadap 0, sehingga nilai mutlak dari setiap bilangan selalu bernilai positif.

Nilai absolut x dinotasikan | 𝑥 |

a.

−𝑥 = 𝑥

b.

𝑎𝑏 = 𝑎 𝑏

c.

𝑎 + 𝑏 = 𝑎 + 𝑏

d.

𝑎 − 𝑏 = 𝑎 − 𝑏

(19)

Formula Akar Persamaan Kuadrat

Istilah ini umumnya disebut Quadratic Formula. Yang merupakan solusi dari persamaan kuadrat ax2 +bx +c = 0

𝑥 = −𝑏 ± 𝑏2𝑎2 − 4𝑎𝑐

d = (b2 4ac) merupakan diskriminan dari persamaan

kuadrat.

Jika d > 0 maka akar persamaannya adalah dua bilangan real

Jika d = 0 maka akar persamaannya 1 bilangan real

(20)

Sistim Koordinat

 Pelopor: Pierre de Fermat (1629) & Ren´e Descartes (1637)

(21)

Sistim Koordinat

 Tunjukkan semua nilai x dengan batasan: -2 < x ≤ 3 dan semua nilai y dengan batasan: -3 ≤ y < 2 pada koordinat kartesius X-Y!

(22)

Garis Lurus

Bentuk umum: Ax + By + C = 0 dengan A,B, dan C

konstanta.

Nilai A dan B tidak boleh nol secara bersamaan.

Grafik garis lurus ditentukan oleh dua titik (x1, y1) dan (x2, y2) yang memenuhi persamaan tersebut.

Misalkan (x1, y1) dan (x2, y2) dua titik pada garis tersebut. Kemiringan garis didefinisikan

sebagai m = (y2−y1)/(x2−x1)

(23)

Garis Lurus

Persamaan garis lurus yang melalui dua titik (x1, y1) dan (x2, y2) : 𝑦−𝑦1

𝑦2−𝑦1

=

𝑥−𝑥1 𝑥2−𝑥1

Persamaan garis lurus dengan kemiringan m dan melalui titik (x1, y1) :

y y1 = m (x x1)

Misalkan garis l1 dan l2 dua buah garis dengan kemiringan m1

dan m2.

Jika kedua garis tersebut sejajar

⇐⇒

m1 = m2

(24)

Lingkaran

Lingkaran adalah himpunan titik-titik yang jaraknya sama terhadap titik tertentu (disebut pusat lingkaran).

Persamaan lingkaran yang berpusat di (0, 0) dan

jari-jari r adalah: x2 + y2 = r2 (gambar sebelah kiri).

(25)

Elips

Bentuk umum elips yang berpusat di (0, 0) :

Untuk elips yang berpusat di (p, q) persamaannya :

(𝑥−𝑝)2 𝑎2 +

(𝑦−𝑞)2

𝑏2 =1

𝑥2 𝑎2 +

𝑦2

(26)

Hiperbola

Bentuk umum yang berpusat di (0, 0) :

𝑥2 𝑎2 −

𝑦2

𝑏2 = 1 atau

−𝑥2 𝑎2 +

𝑦2

(27)

Soal

Tentukan persamaan lingkaran dan tentukan pusat lingkarannya serta radiusnya.

x2 2x + y2 + 6y = 6

(28)

TERIMA KASIH

(29)

PROGRAM STUDI TEKNIK PERTANIAN FAKULTAS TEKNOLOGI PERTANIAN

UNIVERSITAS ANDALAS

FUNGSI DAN LIMIT

(30)

Fungsi

Misalkan A dan B dua buah himpunan. Fungsi dari A ke

B adalah aturan memasangkan (memadankan) setiap

elemen di A dengan satu elemen di B.

(31)

Fungsi

Jika f adalah fungsi yang memetakan X ke Y, maka ditulis: f : XY atau f (x) dengan x anggota himpunan X.

f (x) = x23x + 2 dan X = {x | x:1x < 3, xB}

f (x) = x24

f (3) = 324 = 5

f (a) = a24

f (a+h) = (a+h)24a2 + 2ah + h2 4

Untuk f (x) = x22x +3 tentukan :

(32)

Pergeseran Grafik Fungsi

Diberikan grafik fungsi y = f(x) dan a > 0. Selanjutnya dibentuk fungsi g(x) = f(x a), maka gambar grafik g(x) dapat diperoleh dengan menggeser grafik f(x) sejauh a

(33)

Operasi pada Fungsi

Misalkan f(x) dan g(x) fungsi-fungsi real dengan daerah definisi Df dan Dg.

(f + g)(x) = f(x) + g(x), Df+g = Df Dg

(f g)(x) = f(x) g(x), Df−g = Df Dg

(fg)(x) = f(x) g(x), Dfg = Df Dg

(f/g)(x) = f(x)/g(x), Df/g = Df Dg {x|g(x) = 0} fn(x) = f(x) f(x) …. f(x) Dfn = Df

Contoh: Misalkan f(x) = 4 𝑥 + 1 dan g(x) = 9 − 𝑥2

Tentukan f + g, f g, fg, f/g, dan f5 beserta daerah definisinya.

(34)

Fungsi Komposisi

Komposisi dari fungsi f(x) dan g(x) didefinisikan sebagai :

(g o f) (x) = g(f(x))

syarat yang harus dipenuhi adalah RfDg ≠ ∅

Contoh Diketahui fungsi f(x)= 1 − 𝑥 dan g(x)= 𝑥 1 − 𝑥

 Tentukan Domain dan range dari fungsi f(x) dan g(x)

 Apakah g o f terdefinisi? Bila ya tentukan rumusnya?

(35)

Fungsi Trigonometri

r = 𝑥2 + 𝑦2

sin α = 𝑦

𝑟  cosec α = 𝑟 𝑦

cos α = 𝑥

𝑟  sec α = 𝑟 𝑥

tan α = 𝑦

𝑥  cot α = 𝑥 𝑦

β

α

r

x

y

tan α = 𝑦

𝑥  cot α = 𝑥 𝑦

tan α = cos αsin α

sin2α + cos2α = 𝑦

𝑟 2

+ 𝑥𝑟 2 = 𝑦2+𝑥2

𝑟2 = 𝑟2

(36)

Menyelesaikan Persamaan Sinus

Jika Sin x0 = sin 0 (x Є R ), maka :

x0 =  + k.3600, atau x0 = (1800-0) + k.3600

Jika Sin x0 = sin 0(x Є R ), maka :

x0 = 0+ k.2π, atau

x0 = (π-0) + k.2π, k Є B

(37)

Kuadran II

Sin xo = sin (180o – αo)

Pembuktian Menggunakan rumus trigonometri jumlah dan selisih dua sudut

Sin (  )  sin  cos   cos  sin 

Maka :

Sin xo = sin 180o cos αo – cos 180o sin αo

Sin xo = (0) cos αo – (-1) sin α0

Sin xo = sin αo (Terbukti)

Maka :

(38)

Besar dari Kuadran IV

Sin xo = sin (αo + k. 360o)

Pembuktian Menggunakan rumus trigonometri jumlah dan selisih dua sudut :

Sin ( + )  sin  cos  + cos  sin 

Maka :

Sin xo = sin αo cos (k.360o) + cos αo sin (k.360o)

Jika k = 0

Sin xo = sin αo cos (k.360o) + cos αo sin (k.360o)

Sin xo = sin αo cos (0.360o) + cos αo sin (0.360o)

Sin xo = sin αo cos 0o + cos αo sin 0o

Sin xo = sin αo (1) + cos αo sin (0)

(39)

Besar dari Kuadran IV

Sin xo = sin (αo + k. 360o)

Pembuktian Menggunakan rumus trigonometri jumlah dan selisih dua sudut :

Sin ( + )  sin  cos  + cos  sin 

Maka :

Sin xo = sin αo cos (k.360o) + cos αo sin (k.360o)

Jika k = 1

Sin αo = sin αo cos (k.360o) + cos αo sin (k.360o) Sin αo = sin αo cos (1.360o) + cos αo sin (1.360o) Sin αo = sin αo cos 360o + cos αo sin 360o

(40)

Contoh soal 1

Tentukan himpunan penyelesaian

sin x = sin 200 ; 0 ≤x ≤3600 adalah?...

Jawab :

sin x = sin 200 ; 0 ≤x ≤3600

x1 = αo + k.3600

x1 = 20o + k.3600

Untuk k=0 x1 = 200 + (0).3600 = 200

Untuk k=1 x1 = 200 + (1).3600

= 200 + 3600

(41)

x2 = (180o–αo) + k.3600

x2 = (180o–20o) + k.3600

x2 = 160o + k.3600

Untuk k=0 x2 = 1600 + (0).3600

= 1600

Untuk k=1 x2 = 1600 + (1).3600

= 160o + 360o

= 5200 (Tidak Memenuhi)

(42)

Contoh soal 2

Tentukan himpunan penyelesaian

sin x = sin 1/3 π ; 0 ≤x ≤ adalah?... Jawab :

sin x = sin 1/3 π; 0 ≤x ≤ x1 = αo + k. 2π

x1 = 1/3 π + k. 2π

Untuk k=0 x1 = 1/3 π + (0). 2π = 1/3 π

Untuk k=1 x1 = 1/3 π + (1). 2π = 1/3 π + 2π

(43)

x2 = (π – αo) + k. 2π , 0 ≤x ≤ x2 = (π 1/3 π) + k. 2π

x2 = 2/3 π + k. 2π

Untuk k=0 x2 = 2/3 π + (0). 2π = 2/3 π

Untuk k=1 x2 = 2/3 π + (1). 2π = 2/3 π + 2π

(44)

Contoh soal 3

Tentukan himpunan penyelesaian sin x = 1/2 ; 0 ≤x ≤3600 adalah?...

Jawab :

sin x = ½ ; 0 ≤x ≤3600

sin x = 30o

x1 = αo + k.3600

x1 = 30o + k.3600,

Untuk k=0 x1 = 300 + (0).3600

= 300

Untuk k=1 x1 = 300 + (1).3600

= 300 + 3600

(45)

x2 = (1800–αo) + k.3600 x2 = (1800–30o) + k.3600

x2 = 1500 + k.3600

Untuk k=0 x2 = 1500 + (0).3600

= 1500

Untuk k=1 x2 = 1500 + (1).3600

= 1500 + 3600

= 5200 (Tidak Memenuhi)

(46)
(47)
(48)

sin2α + cos2α = 1

sin (-x ) = - sin x ; cos ( -x ) = cos x; tan ( -x ) = - tan x

sin ( 𝜋/2 - x ) = cos x ; cos (𝜋/2 - x ) = sin x ; tan (𝜋/2 - x ) = cot x

sin ( x + y ) = sin x cos y + sin y cos x

cos ( x + y ) = cos x cos y – sin x sin y

tan (x+y) =

tan 𝑥 +tan 𝑦

1−tan 𝑥.tan 𝑦

(49)

Fungsi

tan (x

y) =

tan 𝑥 −tan 𝑦

1−tan 𝑥.tan 𝑦

sin 2x = 2 sin x cos x

cos 2x = 2 cos2x –1 = 1 – 2 sin2xos x

tan 2x

=

2tan 𝑥

1−tan2 𝑥

(50)
(51)

PROGRAM STUDI TEKNIK PERTANIAN FAKULTAS TEKNOLOGI PERTANIAN

UNIVERSITAS ANDALAS

LIMIT

(52)

Konsep Limit

Definisi Intuitif

Misalkan y=f(x) suatu fungsi, a dan L bilangan riil sedemikian hingga:

Bila x dekat a tetapi tidak sama dg a (xa), f(x) dekat ke L

Bila x mendekati a tetapi xa, maka f(x) mendekati L

Misalkan f(x) dapat kita buat sedekat mungkin ke L dg membuat x cukup dekat a tetapi tdk sama dg a

Maka dapat dikatakan bhw limit f(x) bila x mendekati a

adalah L,

L

x

f

a

x

(

)

(53)

Limit

Fungsi f(x) = (x2 – 1)/(x – 1) terdefinisi untuk x disekitar 1 tetapi tidak di x = 1. Pertanyaannya sekarang adalah: berapa nilai f(x) untuk x di sekitar 1?

Persisnya: jika x mendekati 1, maka f(x) akan

mendekati bilangan apa? (Catat di sini bahwa

ungkapan x mendekati 1 tidak

mengharuskan x = 1.?

(54)
(55)

LIMIT

Misalkan I = (a, b) suatu interval buka di R dan c

I. Fungsi f(x) dikatakan terdefinisi di I kecuali mungkin di c, artinya f(x) terdefinisi disemua titik pada I\{c} dan di

(56)

LIMIT

Misalkan akan dicari lim

𝑥→∞ 1

𝑥 (dibaca limit satu per x

dengan x mendekati takhingga) maka diambillah

beberapa nilai x seperti berikut:

x 1 2 1000 1.000.000

(57)

Limit

Bila nilai f(x) mendekati L untuk nilai x mendekati a dari arah kanan maka dikatakan bahwa limit fungsi f(x) untuk x mendekati a dari kanan sama dengan L dan dinotasikan:

lim

𝑥→𝑎 + 𝑓 𝑥 = 𝐿

Bila nilai f(x) mendekati l untuk nilai x mendekati a dari arah kiri maka dikatakan bahwa limit fungsi f(x) untuk x mendekati a dari arah kiri sama dengan l dan dinotasikan :

lim

(58)

G

(limit dari f , g ada dan berhingga)

maka

  ,n bilangan bulat positif

n

5. bila n genap L harus positif 1.

(59)

Contoh 1

Lim

𝑥→−2(𝑥2 + 5𝑥) = lim𝑥→−2𝑥2 + 𝑥→−2lim 5𝑥

= lim

𝑥→−2 𝑥 𝑥→−2lim 𝑥 + 𝑥→−2lim 5𝑥 = −2 −2 + 5 −2 = -6

 Tentukan Lim

𝑥→−2(x4 + 3x – 2) = 8

Lim

𝑥→2 3𝑥2 − 6 = Lim𝑥→2 (3𝑥2 − 6)= 3 2 2 − 6 = 6

 Tentukan Lim

𝑥→−1 2𝑥2 + 2

Lim

𝑥→2

(60)

Limit Indeterminate Form

Jika lim

𝑥→𝑐 𝑓 𝑥 = 0 dan 𝑥→𝑐lim 𝑔 𝑥 = 0 , selanjutnya

dibagi menjadi lim

𝑥→𝑐

𝑓 𝑥

𝑔 𝑥 ; maka ini dikatakan

indeterminate/ tidak tentu.

Jika lim

𝑥→𝑐 𝑓 𝑥 = 𝐿, L ≠ 0, dan 𝑥→𝑐lim 𝑔 𝑥 = 0 , maka

lim

𝑥→𝑐

𝑓 𝑥

(61)

Contoh

lim

𝑥→1

𝑥−1

𝑥2−1 = 𝑥→1lim

𝑥−1

(𝑥−1)(𝑥+1) = 𝑥→1lim

1

𝑥+1 = 1 2

lim

𝑥→1

𝑥−1 2

𝑥2−1 = 𝑥→1lim

(𝑥−1)(𝑥−1)

(𝑥−1)(𝑥+1) = 𝑥→1lim

(𝑥−1) (𝑥+1) =

0

2 = 0

lim

𝑥→1

𝑥2−1

𝑥−1 2 = 𝑥→1lim

(𝑥−1)(𝑥+1)

(𝑥−1)(𝑥−1) = 𝑥→1lim

(𝑥+1) (𝑥−1) =

2

(62)

mengingat konsep limit karena konsep turunan dijelaskan lewat limit suatu fungsi

Turunan sebuah fungsi f adalah fungsi lain f’ (dibaca “f aksen”) yang nilainya pada sembarang bilangan c adalah:

Asalkan limit ini ada dan bukan ∞ atau -∞

Jika limit ini ada, dikatakan bahwa f terdiferensiasikan

di c.

Pencarian turunan disebut diferensiasi

h

c f h

c f c

f

h

) ( )

( lim

) ( '

0

 

(63)

Garis Tangen

Misalkan diberikan suatu fungsi f(x), maka kemiringan garis tangen L di titik P(a, f(a)) pada kurva y=f(x) dapat diaproksimasi dengan kemiringan garis secant antara titik P dan titik Q(a+h, f(a+h)).

Bila Q dibuat mendekati P dgn menelusuri kurva y=f(x)

dan h menuju 0, maka diperoleh kemiringan garis

tangen kurva y=f(x) di titik P(a,f(a)):

(64)

Limit Indeterminate pada fungsi

𝑓 𝑥 + ℎ − 𝑓(𝑥) ℎ

Contoh tentukan limitnya untuk fungsi berikut:

𝑓 𝑥 = 7 − 2𝑥 ; lim

ℎ→0

𝑓 4+ℎ −𝑓(4) ℎ

𝑓 𝑥 = 𝑥 − 1 ; lim

ℎ→0

𝑓 1+ℎ −𝑓(1) ℎ

𝑓 𝑥 = 𝑥 ; lim

ℎ→0

(65)

Penyelesaian

𝑓 𝑥 = 7 − 2𝑥

𝑓 4 + ℎ = 7 − 2 4 + ℎ = 7 − 8 − 2ℎ = −1 − 2ℎ 𝑓 4 = 7 − 2 4 = −1

lim

ℎ→0

𝑓 4 + ℎ − 𝑓(4)

ℎ = limℎ→0

(−1 − 2ℎ) − (−1) ℎ

(66)

Penyelesaian

𝑓 𝑥 = 𝑥 − 1

𝑓 1 + ℎ = 1 + ℎ − 1 = ℎ 𝑓 1 = 1 − 1 = 0

lim

ℎ→0

𝑓 1 + ℎ − 𝑓(1)

ℎ = limℎ→0

ℎ − 0

ℎ = limℎ→0

ℎ ℎ

lim

ℎ→0−

ℎ = −1 lim

ℎ→0+

ℎ = 1

(67)

𝑓 𝑥 = 𝑥

𝑓 3 + ℎ = 3 + ℎ 𝑓 3 = 3

lim

ℎ→0

𝑓 3 + ℎ − 𝑓(3)

ℎ = limℎ→0

3 + ℎ − 3 ℎ

= limℎ→0 3 + ℎ − 3 × 3 + ℎ − 3 3 + ℎ − 3 = limℎ→0 3 + ℎ − 3

ℎ ( 3 + ℎ − 3) = limℎ→0

(68)

Teorema Limit Trigonometri

cos(x)  sin(x)/x  1/cos(x)

1 )

sin( lim

maka

, ) cos(

1 lim

1 )

cos( lim

0 0

0     

x

x x

x

x x

(69)

Contoh

Tunjukkan 2

(70)

TERIMA KASIH

(71)

PROGRAM STUDI TEKNIK PERTANIAN FAKULTAS TEKNOLOGI PERTANIAN

UNIVERSITAS ANDALAS

TURUNAN

(72)

Turunan Aljabar

Materi:

Pengertian Turunan Fungsi Aljabar

Rumus Turunan Fungsi Aljabar

Turunan Berantai Fungsi Aljabar

Turunan Tingkat Tinggi Fungsi Aljabar

Turunan Implisit

(73)

Turunan Aljabar

Tujuan Perkuliahan:

(74)

Pengertian Turunan

Suatu fungsi dikatakan dapat didiferensiasi di bila

fungsi itu mempunyai turunan di titik tersebut.

Suatu fungsi dikatakan dapat didiferensiasi pada suatu selang bila fungsi itu dapat didiferensiasi di setiap titik pada selang tersebut.

Aplikasi: mencari kecepatan sesaat (fisika), laju

pertumbuhan organisme (biologi), keuntungan marjinal (ekonomi), dll

0

(75)

Konsep Limit

mengingat konsep limit karena konsep turunan

dijelaskan lewat limit suatu fungsi

Turunan sebuah fungsi f adalah fungsi lain f’ (dibaca “f aksen”) yang nilainya pada sembarang bilangan c adalah:

Asalkan limit ini ada dan bukan ∞ atau -∞

Jika limit ini ada, dikatakan bahwa f terdiferensiasikan di c.

Pencarian turunan disebut diferensiasi

h

c f h

c f c

f

h

) ( )

( lim

) ( '

0

 

(76)

Secara Grafis

pengertian turunan dapat dijelaskan sebagai berikut:

Misal P(a,f(a)) adalah sembarang titik pada sebuah grafik suatu fungsi f. Titik lain pada gambar dinotasikan dengan Q(a+h,f(a+h)),dimana h adalah beda antara absis Q dan P. Kemiringan tali busur yang melalui titik P dan Q adalah

mPQ

h

a f

h a

f (  )  ( )

(77)
(78)

Secara Grafis

Jika sebuah fungsi f didefinisikan pada sebuah interval terbuka yang memuat a, maka kemiringan garis singgung m dari grafik fungsi f pada titik P(a,f(a)) adalah:

Dengan catatan limitnya ada.

h

a f

h a

f m

h

) ( )

( lim

0

 

(79)

Contoh

Diketahui fungsi f(x) = x2 dapatkan kemiringan garis singgung ke grafik f(x) pada titik P(a,a2)

Penyelesaian:

Dengan menggunakan penjelasan di atas maka

Jadi turunan suatu fungsi adalah kemiringan garis

(80)
(81)
(82)

Rumus Turunan Fungsi Aljabar (i)

Teorema I (Aturan Fungsi Konstanta)

Jika f(x) = k dengan k adalah suatu konstanta untuk sembarang x, f’(x)= 0.

Bukti:

Contoh: f(x) = 2 maka f’(x) = 0

0

0

lim

lim

)

(

)

(

lim

)

(

0 0

0

'

 

h h

h

h

k

k

h

x

f

h

x

f

x

(83)

Rumus Turunan Fungsi Aljabar (i)

Teorema II (Aturan Fungsi Identitas)

(84)

Rumus Turunan Fungsi Aljabar (ii)

Teorema III (Aturan Pangkat)

(85)

Rumus Turunan Fungsi Aljabar (ii)

Semua suku di dalam tanda kurung siku kecuali suku pertama mempunyai h sebagai faktor, sehingga masing-masing suku ini mempunyai limit nol bila h mendekati nol. Jadi

Contoh:

f(x)=x2 maka f’(x) = 2x

1

)

(

(86)

Rumus Turunan Fungsi Aljabar (iii)

Teorema IV (Aturan Kelipatan Konstanta)

Jika k suatu konstanta dan f suatu fungsi yang terdiferensialkan, maka (kf)’ (x). Bukti: Misalkan F(x) = k. f(x). Maka

(87)

Rumus Turunan Fungsi Aljabar (iii)

Teorema V (Aturan Jumlah)

(88)

Rumus Turunan Fungsi Aljabar (iv)

Teorema VI (Aturan Selisih)

Jika f dan g adalah fungsi-fungsi yang terdiferensialkan, maka (f-g)’(x) = f’ (x) - g’ (x). Bukti: (f-g)’(x) = (f+(-1)g)’ (x) = f’(x) – g’(x)

Contoh:

(89)

Rumus Turunan Fungsi Aljabar (v)

Teorema VII (Aturan Hasil Kali)

(90)

Rumus Turunan Fungsi Aljabar (v)

Contoh :

(91)

Rumus Turunan Fungsi Aljabar (vi)

Teorema VIII (Aturan Hasil Bagi)

(92)
(93)

Rumus Turunan Fungsi Aljabar (vi)

)

(

)

(

'

)

(

)

(

'

)

(

)

(

2

'

x

g

x

g

x

f

x

f

x

g

x

g

f





(94)
(95)

Bedakan antara Turunan dan Diferensial !

Pada waktu anda menuliskan Dxy atau dy/dx = anda

menuliskan lambang turunan

Jika dy = anda menyatakan lambang diferensial

Contoh:

Cari dy jika y = x3 - 3x+1

Jika kita mengetahui bagaimana menghitung turunan, maka kita tahu bagaimana menghitung diferensial. Yaitu cukup menghitung turunan lalu mengalikannya dengan dx

Dy = (3x2-3) dx

(96)

Turunan Berantai Fungsi Aljabar

Contoh:

1). y = (x2+3x+5)9

x

x

y

1

1

2

).

2

2 2

3

2

).

3

x

x

x

(97)

Turunan Tingkat Tinggi Aljabar

Turunan tingkat tinggi adalah turunan fungsi yang tidak hanya sampai turunan pertama, bisa turunan kedua, ketiga, bahkan sampai turunan ke n. Jika f’ adalah turunan suatu fungsi f, maka f’ juga merupakan suatu fungsi, f’ adalah turunan pertama dari f. Jika turunan dari f’ ada, turunan ini dinamakan turunan kedua dan ditulis f’’. Dengan cara yang sama turunan ketiga dari f didefinisikan sebagai turunan pertama dari

f’’, jika turunan ini ada. Turunan ketiga, ditulis f’’’. Turunan ke-n dari fungsi f, di mana n bilangan positif yang lebih besar dari 1, adalah turunan pertama dari turunan ke (n-1) dari f. Turunan ke n dinyatakan dengan f(n). Berikut ini adalah tabel cara penulisan turunan sampai

(98)

Turunan Tingkat Tinggi Aljabar

Contoh:

(99)

Turunan Trigonometri

Turunan dari:

Sin x = cos x

Cos x = -sin x

Tan x = sec

2

x

Sec x = sec x tan x

Cot x = -csc

2

x

(100)

Turunan Trigonometri

 Contoh:

2

3

)

1

sin(

)

1

y

x

 )

2

cos

sin

)

2

y

x

)

1

(

cos

)

(101)

Turunan Fungsi Implisit

Andaikan kita menjumpai sebuah persamaan sebagai berikut :

y 3 + 7y = x3

dan kita menginginkan untuk mencari turunannya, maka hal seperti ini tentulah tidak dapat secara gamblang

(eksplisit) terselesaikan , akan tetapi kita harus

(102)

Turunan Fungsi Implisit lanjutan

Hal seperti di atas yang kita sebut sebagai Turunan fungsi Implisit.

Cara untuk mendapatkan turunan fungsi Implisit, yaitu :

(103)

Turunan Fungsi Implisit

lanjutan

Contoh 1:

Tentukan turunan pertama dari 4x 2 y - 3y = x3 - 1

Fungsi Implisit tersebut diubah terlebih dahulu ke dalam fungsi eksplisit menjadi :

4x 2 y - 3y = x3 - 1

(104)

Turunan Fungsi Implisit

lanjutan

 Atau:

 Setelah berubah menjadi fungsi eksplisit, maka tinggal diturunkan sehingga menjadi

(105)

Soal-soal latihan (i)

 Carilah turunan pertama fungsi-fungsi di bawah ini:

5

2

2

5

)

(

)

1

2

x

x

x

f

3

)

2

)(

1

(

)

(

)

2

f

x

x

x

)

5 3

4

)

(

)

(106)

Soal-soal latihan (ii)

 Carilah turunan berantai fungsi-fungsi di bawah ini:

(107)

Soal-soal latihan (iii)

 Carilah turunan kedua fungsi-fungsi di bawah ini:

2

4

3

)

(

)

1

f

x

x

4

x

2

x

2

5

)

(

)

2

g

z

z

2 / 3

)

2

(

)

(

)

3

f

t

t

x

x

x

f

4

2

1

)

(

)

(108)

5.1 Menggambar grafik fungsi

Informasi yang dibutuhkan:

A. Titik potong dengan sumbu x dan sumbu y

B. Asimtot fungsi

Definisi 5.1: Asimtot fungsi adalah garis lurus yang didekati oleh grafik fungsi. Ada Tiga jenis asimtot fungsi, yakni

(i) Asimtot Tegak

Garis x = c disebut asimtot tegak dari y = f(x) jika (ii) Asimtot Datar

Garis y = b disebut asimtot datar dari y = f(x) jika (iii) Asimtot Miring

Garis y = ax + b disebut asimtot miring jika

dan

 

 ( )

lim f x

c x

b x

f

xlim ( ) 

a x

x f

x 

) (

lim f x ax b

(109)

x=a asimtot tegak

Dalam kasus

dan

x=a asimtot tegak

Dalam kasus

(110)

y= b

Garis y = b asimtot datar karena

Asimtot datar mungkin dipotong oleh grafik fungsi untuk x hingga Tapi, jika untuk x menuju tak hingga asimtot datar dihampiri oleh Grafik fungsi(tidak dipotong lagi)

b x

f

(111)

b ax

y  

y=f(x)

Garis y = ax + b asimtot miring

(112)

Contoh Tentukan semua asimtot dari

Jawab :

(i) Asimtot tegak : x = 2, karena dan

(ii) Asimtot datar :

Maka asimtot datar tidak ada

(113)

MA1114 KALKUU I 113

(iii) Asimtot miring

(114)

1

Tentukan semua asimtot dari fungsi berikut : Soal Latihan

(115)

C. Kemonotonan Fungsi

Definisi 5.2 Fungsi f(x) dikatakan

monoton naik pada interval I jika untuk

 )

x

f

 )

x

x

x

I

f

x

x

1

2

1

2

,

1

,

2

x1 f(x1)

x2 f(x2)

I

(116)

Fungsi f monoton turun pada selang I

f(x1) f(x2)

x1 x2

monoton turun pada interval I jika untuk

 )

x

f

 )

x

x

x

I

f

x

x

1

2

1

2

,

1

,

2

(117)

Teorema 5.1 : Andaikan f diferensiabel di selang I, maka

 Fungsi f(x) monoton naik pada I jika

 Fungsi f(x) monoton turun pada I jika

(118)

D. Ekstrim Fungsi

Definisi 5.3 Misalkan f(x) kontinu pada selang I yang memuat c,

f(c) disebut nilai global dari f pada I jika

f(c) disebut nilai lokal dari f pada I jika terdapat selang

buka yang memuat c sehingga untuk setiap x pada

selang buka tadi. Nilai maksimum dan minimum fungsi disebut juga nilai ekstrim

imum

(119)

Max lokal

Min lokal

Max

global Min

global Max lokal

Min lokal

a b c d e f

(120)

Ada tiga jenis titik kritis :

 Titik ujung selang I

 Titik stasioner ( yaitu x = c dimana ) ,

secara geometris : garis singgung mendatar dititik (c,f(c))

 Titik singulir ( x = c dimana tidak ada ), secara geometris: terjadi patahan pada grafik f di titik (c,f(c))

0 )

(

' cf

(121)

Teorema 5.3 : Uji turunan pertama untuk ekstrim lokal

pada dan pada

) ,

(c c   Maka f(c) merupakan nilai

minimum

maksimum lokal

c

Disebelah kiri c monoton naik

(f ’>0) dan disebelah kanan c monoton turun (f’<0)

f(c) nilai maks lokal

c

f(c) nilai min lokal

Disebelah kiri c monoton turun

(f ’<0) dan disebelah kanan c monoton naik (f’>0)

f(c)

(122)

Teorema 5.4 Uji turunan kedua untuk ekstrim lokal

Misalkan . Jika ,maka f(c) merupakan

nilai lokal f

Contoh :Tentukan nilai ekstrim dari

Jawab:

Dengan menggunakan uji turunan pertama : di x = 0 tercapai maksimum lokal dengan nilai di x = 4 tercapai minimum lokal dengan nilai

(123)

Soal Latihan

Tentukan selang kemonotonan dan ektrim fungsi berikut :

1.

2.

3.

(124)

E. Kecekungan Fungsi

Fungsi f(x) dikatakan cekung ke atas pada interval I bila naik pada

interval I, dan f(x) dikatakan cekung kebawah pada interval I bila turun pada interval I.

Teorema 5.6 Uji turunan kedua untuk kecekungan

1. Jika , maka f cekung ke atas pada I.

2. Jika , maka f cekung ke bawah pada I.

) ( ' x f

) ( ' x f

I x x

f "( )  0,  

I x x

f"( )  0, 

Grafik fungsi cekung keatas Grafik fungsi cekung kebawah x

y

(125)
(126)

F. Titik belok

Definisi 5.4 Misal f(x) kontinu di x = b. Maka (b,f(b)) disebut

titik belok dari kurva f(x) jika :

terjadi perubahan kecekungan di x = b, yaitu di sebelah kiri dari x =b, fungsi f cekung ke atas dan di sebelah kanan dari x =b fungsi f cekung ke bawah atau

sebaliknya

x = b adalah absis titik belok, jika atau tidak ada.

(127)

c f(c)

(c,f(c)) titik belok

c f(c)

(c,f(c)) titik belok Karena disebelah kiri c cekung

keatas dan disebelah kanan c cekung kebawah

(128)

c f(c)

(c,f(c)) bukan titik belok Karena disekitar c tidak

Terjadi perubahan kecekungan

c

Walaupun di sekitar c Terjadi perubahan

(129)

1

Tentukan titik belok (jika ada) dari

2

Di x = 0 terjadi perubahan kecekungan, dan f(0)= -1 maka (0,-1) merupakan titik belok

2

(130)

2

Walaupun di x = 2, terjadi perubahan kecekungan, tidak ada titik belok karena fungsi f(x) tidak terdefinisi di x = 2

f”(x)

x Tidak

(131)

Soal Latihan

Tentukan selang kecekungan dan titik belok fungsi berikut :

(132)

2

Contoh: Diketahui

a. Tentukan selang kemonotonan dan ekstrim fungsi b. Tentukan selang kecekungan dan titik belok

c. Tentukan semua asimtot d. Gambarkan grafik f(x)

a. Fungsi f(x) monoton naik pada selang (,0) , (4,) monoton turun pada selang (0,2) dan (2,4).

2

di x = 0 tercapai maksimum lokal dengan nilai di x = 4 tercapai minimum lokal dengan nilai

b. Grafik f cekung keatas pada (2,) dan cekung kebawah pada selang (,2) , tidak ada titik belok

(133)

d. Grafik f(x)

2

y=x

0 2 4

++++++

---++++++ f '

2

--- +++++++++++ f ''

-2 4

6

0 0 Tidak ada

Tidak ada

x

(134)

2

A. Gambarkan grafik fungsi berikut dengan mencari terlebih dahulu selang kemonotonan,ekstrim fungsi, kecekungan, titik belok, dan asimtot

Soal Latihan

1.

2.

3.

4.

(135)

) ( ' x f y

B. Misalkan f suatu fungsi kontinu dan f(-3)=f(0)=2, serta nilai fungsi yg lain dibutuhkan, silakan didefinisikan sendiri. Jika grafik seperti gambar berikut :

a. Tentukan selang kemonotonan fungsi f

b. Tentukan selang kecekungan fungsi f

(136)

5.2 Menghitung limit fungsi dengan Aturan L’Hôpital

Bentuk tak tentu dalam limit :

1. Aturan L’Hôpital untuk bentuk

(137)

2

lim cos lim sin lim cos

x x x

Contoh Hitung

Jawab

bentuk (0/0)

Ctt : aturan L’hopital bisa digunakan beberapa kali asalkan

syaratnya dipenuhi

2. Aturan L’Hôpital untuk bentuk

(138)

Contoh Hitung

Ctt: walaupun syarat di penuhi, belum tentu limit dapat

dihitung dengan menggunakan dalil L’Hopital

Contoh Hitung

(139)

Soal seperti diatas tidak bisa diselesaikan dengan menggunakan aturan L’Hopital, karena setelah

dilakukan aturan L’Hopital muncul lagi bentuk semula

Soal seperti diatas diselesaikan dengan cara sbb

(140)

3. Bentuk 0 .

Untuk menyelesaikannya rubah kedalam bentuk atau

Contoh : Hitung

Jawab :

0

0 

lim csc

x0 x x 2

0 cos

2 lim sin

lim csc

lim

0 2

0 2

0     

x

x x

x x

x

x x

(141)

4. Bentuk-

Misalkan lim f(x)=lim g(x) = . Untuk menghitung

lim [ f(x) - g(x) ] dilakukan dengan menyederhanakan

bentuk [ f(x)- g(x) ] sehingga dapat dikerjakan menggunakan cara yang telah dikenal sebelumnya

Contoh : Hitung

Jawab :

)

lim csc cot

x0 xx

)

lim csc cot lim

sin

cos

sin lim

cos

sin lim

sin cos

x x x x x x x

x x

x x

x x

      

 

 

    

0 0 0 0

1 1

(142)

Soal Latihan

lim csc

x0 2x x

lim

x x  x x

 2 

lim sin cos

lim cot cos

xx x

Hitung limit berikut ( bila ada )

(143)

5.4 Teorema Nilai Rata-rata

Teorema 5.8 Misalkan

f

kontinu pada [

a,b

] dan

diferensiabel pada (

a,b

), maka terdapat paling sedikit

satu

atau

5.5 Masalah maksimum minimum lainnya

Turunan dapat juga dipergunakan dalam menyelesaikan masalah sehari-hari yang berkaitan dengan masalah memaksimumkan/ meminimumkan fungsi. Langkah pertama yang harus dilakukan adalah memodelkan masalah tersebut menjadi fungsi satu peubah.

Setelah itu gunakan aturan-aturan turunan untuk menentukan nilai maksimum atau nilai minimum

(144)

Contoh:

1. Tentukan ukuran persegi panjang yang dapat dibuat dari kawat sepanjang 100 cm agar luasnya maksimum

jawab

Misal panjang y, lebar x

y

x

Luas= L = x y, karena 2x + 2y = 100 y = 50 - x

Sehingga Luas = L(x) = x(50-x)  50xx2, 0x50

x x

L'( )  50 2  x = 25

0 2 )

25 (

''   

L

(145)

MA1114 KALKULUS I

145

2. Sehelai karton berbentuk persegipanjang dengan ukuran

45 x 24 cm. Karton ini akan dibuat kotak tanpa tutup dengan cara memotong keempat pojoknya berupa bujur sangkar dan melipatnya. Tentukan ukuran kotak agar volume kotak maksimum.

x

Misal, panjang sisi potongan di pojok persegi panjang x, sehingga

45-2x

(146)

MA1114 KALKULUS I

146

276 24

) (

'' xxV

Sehingga

0 156

) 18 (

''  

V

0 156

) 5 (

''   

V

di x =18 terjadi min lokal

di x = 5 terjadi maks lokal

Untuk menentukan volume maksimum bandingkan nilai Volume jika x = 5 dan x = 0, x = 12 (batas Df)

V(0) = 0 V(12)= 0

V(5) =2450

(147)

MA1114 KALKULUS I 147

Bisa saja masalah yang dihadapi harus dimodelkan kedalam bentuk fungsi implisit, seperti contoh berikut

Contoh

Sebuah roket yang diluncurkan vertikal diamati dari menara kontrol yang berjarak 3 km dari tempat peluncuran. Tentukan kecepatan vertikal roket pada saat jaraknya dari tempat peluncuran 5 km dan dan jarak ini bertambah dengan kecepatan 5000 km/jam

Menara kontrol

3 km

Misal ketinggian roket y dan jarak dari menara z

y

z Diketahui

5000

dt

(148)

MA1114 KALKULUS I 148

Dengan menggunakan dalil pythgoras diperoleh

2 2

9 z

y  

Pada saat z = 5  y = 4

Dengan menggunakan turunan fungsi implisit didapatkan

dt dz z dt

dy

y 2

2 

Jika data y = 4, z = 5, dan 5000

dt dz

disubstitusikan diperoleh

6250 5000

. 4

5

dt dy

(149)

MA1114 KALKULUS I

149 Soal Latihan

1. Tentukan dua buah bilangan yang selisihya 100 dan hasil kalinya minimum

2. Tentukan ukuran persegi panjang dengan luas 1000 dan kelilingnya minimum

2

cm

3. Tentukan titik pada garis 6x + y = 9 yang terdekat ke titik (-3,1)

4. Tentukan ukuran persegi panjang yang memiliki luas terbesar

dengan alas pada sumbu x serta dua titik sudutnya di atas sumbu x

serta terletak pada parabola 2 8 x y  

(150)

MA1114 KALKULUS I

150

6. Kota A terletak 3 km dari garis pantai yang lurus dan kota B

terletak 4 km dari titik di pantai yang terdekat dari A. Pemerintah Daerah setempat akan memasang kabel telepon dari kota A

ke kota B. Jika biaya pemasangan kabel dari A ke B untuk setiap

kilometer melewati jalan laut dua kali besarnya dibandingkan biaya

pasang kabel lewat darat. Tentukan letak titik di pantai agar biaya pemasangan kabel telepon dari A ke B semurah mungkin.

UTS Semester Pendek 2006/ 2007 Kalkulus I

Hari/ Tanggal: Rabu/ 25 Juli 2007 Waktu: 13 s/d 15

(151)
(152)

TERIMA KASIH

(153)

PROGRAM STUDI TEKNIK PERTANIAN FAKULTAS TEKNOLOGI PERTANIAN

UNIVERSITAS ANDALAS

TURUNAN DAN

APLIKASINYA

(154)
(155)

TERIMA KASIH

(156)

PROGRAM STUDI TEKNIK PERTANIAN FAKULTAS TEKNOLOGI PERTANIAN

UNIVERSITAS ANDALAS

DIFERENSIAL DAN

APROKSIMASI

(157)
(158)

TERIMA KASIH

(159)

PROGRAM STUDI TEKNIK PERTANIAN FAKULTAS TEKNOLOGI PERTANIAN

UNIVERSITAS ANDALAS

MAKSIMUM DAN

MINIMUM

(160)
(161)

TERIMA KASIH

(162)

PROGRAM STUDI TEKNIK PERTANIAN FAKULTAS TEKNOLOGI PERTANIAN

UNIVERSITAS ANDALAS

PERMASALAHAN

MAKSIMUM DAN

MINIMUM DARI SUATU

FUNGSI

(163)
(164)

TERIMA KASIH

(165)

Integral Tak Tentu

Jika diketahui F(x) = x2, maka turunannya adalah F’(x) = 2x = f(x). Bila operasi dibalik yakni diketahui f(x) = 2x dapatkah ditemukan F(x) sebagai anti turunan dari f(x) sedemikian sehingga F’(x) = 2x = f(x)? Jawabannya adalah DAPAT. Caranya adalah sebagai berikut:

F(x) = x2 sebab F’(x) = 2x = f(x) atau

F(x) = x2 + 1 sebab F’(x) = 2x = f(x) atau

F(x) = x2 + 7 sebab F’(x) = 2x = f(x) atau

F(x) = x2 - 10 sebab F’(x) = 2x = f(x) atau

………… dan seterusnya sehingga dapat ditulis F(x) = x2 + C untuk sembarang konstanta C.

(166)

Ternyata anti turunan F dari f jawabnya tidak hanya satu. Dapat dikatakan bahwa himpunan anti turunan F dari f(x)=2x adalah F(x) = x2 + C berlaku untuk sembarang konstanta C.

Dapat dimengerti bahwa himpunan anti turunan F dari f yang dirumuskan oleh f(x) = xn adalah

Sebab turunannya F’(x) = x2 = f(x)

Himpunan anti turunan F dari f ditulis dalam bentuk integral (Leibniz)

1 ,

1

1 )

( 1   

 

n C

x n

x

F n

f x dx x

(167)

Kemunculan C ini disebut konstanta integrasi

Dari definisi , maka f(x) disebut integran

Sedang F(x) adalah hasil integrasi.

Karena hasil penghitungan bertambah dengan konstanta

sembarang C maka disebut integral tak tentu adalah rumus dasar

integral tak tentu

d[F(x)]  F(x)  C

f x dx x

F( ) ( )

f (x)  F(x) C

1

,

1

1

1

x

C

n

n

dx

(168)

Teori I (Aturan Pangkat)

Jika r adalah sembarang bilangan rasional kecuali -1, maka:

Contoh:

Berapa anti turunan dari f(x) = x4/3

1

,

C

1

r

x

dx

x

1 r

r

(169)
(170)
(171)

Teori III (Integral Tak Tentu - Linier)

Jika f dan g memiliki anti turunan (integral tak tentu) dan andaikan k suatu konstanta, maka:

(172)

Contoh:

Tentukan besarnya nilai integral berikut!

3x

4x

)

dx

.

1

2

u

3

u

12

)

du

.

2

3/2

dt

t

t

2

1

(173)

Teori IV (Aturan Pangkat yang digeneralisir)

Andaikan g suatu fungsi terdiferensiasikan dan r suatu bilangan rasional yang bukan -1, maka:

C

r

x

g

x

g

r

r

(

)

'

(

)

dx

g(x)

1

(174)

Contoh:

Selesaikan integral berikut!

x

3x

) 

4x

3

)

dx

.

1

4

30 3

dx

x

x

cos

sin

.

2

10

x

6x

) 

6x

1

2

)

dx

.

3

3

5 2

dx

x

x

2 2 2

3

2

.

4





x

4

)

2

x

dx

.

(175)

Selesaikan integral berikut!

x

x

)

dx

.

1

2

x

1

)

dx

.

2

2

)

dz

z

z

1

.

3

2 2

sin

cos

)

d

.

4

dy

5

2y

3y

.

5

2

(176)

Gambar

grafik fungsi. Ada Tiga jenis asimtot fungsi, yakni
Grafik fungsi(tidak dipotong lagi)

Referensi

Dokumen terkait

Kelas kemampuan lahan ini pada umumnya berada pada daerah yang memiliki sudut lereng tinggi, bahaya dan kepekaan erosi tinggi serta faktor fisik lain yang menyebabkan kondisi

Peserta didik yang memiliki minat terhadap subjek (media pembelajaran) maka akan cenderung untuk memberikan perhatian yang lebih besar terhadap media tersebut.

Dari Hasil Putusan Mahkamah Kontitusi sebagai lembaga yang berwenang menangani perkara Yudisial Review maka diputuskan melalui Putusan No 92/PUU-X/2012 yang

The aims in this research is to know the students’ reading achievement becomes more understand about reading, besides that this aims also to know the positive

Pada ransum basal yang disuplementasi lisin, bahan pakan dengan. porsi kecil ditambahkan L-Lysine HCl sesuai dengan

Diharapkan dapat memberikan edukasi kepada anggota keluarga mengenai bagaimana cara memelihara lingkungan terhadap keluarga yang didalamnya terdapat penderita

Hasil penelitian dapat disimpulkan bahwa pengusaha batik di kelurahan Banyurip sudah melakukan strategi pemasaran marketing mix, mereka membuat produk batik dengan sangat

Hal ini disebabkan kapur sirih dan garam dengan lama perendaman biji durian menggunakan larutan dengan persentase yang sama sebanyak 5% tidak mempengaruhi nilai