PROGRAM STUDI TEKNIK PERTANIAN FAKULTAS TEKNOLOGI PERTANIAN
UNIVERSITAS ANDALAS
KALKULUS 2018
DESKRIPSI SINGKAT MATA KULIAH
Mata Kuliah Kalkulus membahas tentang (1) Sistem bilangan, pertaksamaan serta koordinat kartesius, (2) fungsi dan limit, (3) turunan dan aplikasinya, (4) integral dan aplikasinyaserta (5) fungsi-fungsi transenden.
TUJUAN/CPL
Materi Ajar UTS/UAS
Pendahuluan & Sistem Bilangan
1
Fungsi dan Limit
2
Turunan
3
Turunan dan Aplikasinya
4
Diferensial dan Aproksimasi
5
Permasalahan Maksimum dan Minimum dari Suatu Fungsi
7
Maksimum dan Minimum
PROGRAM STUDI TEKNIK PERTANIAN FAKULTAS TEKNOLOGI PERTANIAN
UNIVERSITAS ANDALAS
Dr. DINAH CHERIE, S.TP., M.Si FADLI IRSYAD, S.TP., M.Si
Himpunan
Kalkulus merupakan ilmu yang mempelajari tentang perubahan dan pertumbuhan. Pendiferensialan dan penintegralan adalah proses dasar dari kalkulus.
Himpunan : koleksi / kumpulan sesuatu.
Elemen Suatu Himpunang : a adalah elemen himpunan S (a ∈ S), jika a bukan elemen himpunan S (a ∉ S), himpunan kosong di notasikan ∅
Himpunan S terdiri dari a, t, j, k : S = {a, t, j, k}
Himpunan A anggota himpunan B : A ⊆ B
Himpunan A anggota himpunan murni B : A ⊂ B
Gabungan Himpunan A dan B : A ∪ BLatihan 1
1.
A= {1, 2, 3, 4, 5}, B = {1, 4, 5, 6}, C = {2, 3, 5}; pernyataan yang benar adalah :a. 3 ∈ 𝐴 b. 1 ∈ 𝐶 c. 2 ∉ 𝐶 d. 3 ∉ 𝐵 e. 𝐵 ⊆ 𝐴 f. 𝐶 ⊆ 𝐴 g. 𝐶 ⊂ 𝐴
h. 4 ∈ 𝐴 ∪ 𝐶
Latihan 1
2.
Jika A = {a, c, d, e, g}, B = {b, c, d, f}, dan C = {d, e, g} . Tentukanlaha. A ∪ 𝐶
b. 𝐴 ∩ 𝐶 c. 𝐵 ∩ 𝐶 d. 𝐵 ∪ 𝐶
e. 𝐴 ∪ 𝐵 ∩ 𝐶
Sistem Bilangan Nyata/Real
Bilangan real, dinotasikan dengan memainkan peranan yang sangat penting dalam Kalkulus. Untuk itu, pertama kali akan diberikan beberapa fakta dan terminologi dari bilangan real. Secara geometri, bilangan real dapat digambarkan sebagai garis bilangan, dinotasikan denganSistem Bilangan Nyata/Real
Bilangan Rasional : Bilangan yang dapat dinyatakan sebagai a/b di mana a, b bilangan bulat dan b tidak sama dengan 0. Batasan dari bilangan rasional adalah mulai dari selanga (-∞, ∞).
Bilangan Irasional : Bilangan riil yang tidak bisa dibagi (hasil baginya tidak pernah berhenti). Bilangan irasional tidak bisa dinyatakan sebagai a/b, dengan a dan b sebagai bilangan bulat dan b tidak sama dengan nol. Jadi bilangan irasional bukan merupakan bilangan rasional. Contoh yang paling populer dari bilangan irasional adalah bilangan π,Interval
0
Bilangan Positif Bilangan Negatif
a b
Makna:
(a,b) = {x| a < x < b} (Interval Terbuka) [a,b] = {x| a ≤ x ≤ b} (Interval Tertutup)
(a,b] = {x| a < x ≤ b} (Interval Setengah Terbuka) [a,b) = {x| a ≤ x < b} (Interval Setengah Terbuka) (a,∞) = {x| a < x} (Interval Terbuka)
(a,-∞) = {x| x < a} (Interval Terbuka)
(b,∞) = {x| b < x} (Interval Terbuka) (b,-∞) = {x| x < b} (Interval Terbuka) [a,∞) = {x| a ≤ x} (Interval Tertutup) (a,-∞] = {x| a > x } (Interval Terbuka)
Desimal
Bentuk desimal yang berhenti atau berulangmenyatakan bilangan rasional. Contoh : ½ =0,5 ; 1/3 = 0.333…
Sistem bilangan real R dengan oprasi penjumlahan (+) dan perkalian (x) padanya memenuhi :
Sifat aljabar (komutatif, asosiatif, distributif, …)
Sifat urutan (hukum trikotomi, transitif, aditif) yang melibatkan simbol <, >, =.
Sifat kelengkapan, yaitu bahwa R ‘merupakan’ garis yang “tak berlubang”Logika
Dalam berargumen, kita akan sering menggunakan kalimat
“Jika … maka … ”
(dibaca : jika P maka Q
P Q
B B B
B S S
S B B
Kalkulasi dan Estimasi
( 430 + 10 + 3 7.8)/2.75
Bilangan mana yang lebih besar? 22/7 atau 3,14?
Benar/ Salah kalimat berikut? Jika x > 1, maka x2 > 1. Jika x2 > 1, maka x > 1.
Untuk semua ,
Untuk semua ,x 2
0
x
2
0 0
x x
Pertidaksamaan
Permasalahan Matematika yang berkaitan dengan interval terletak pada pertidaksamaan aljabar. Himpunan jawab atau solusi dari pertidaksamaan aljabar merupakan salah satu dari bentuk interval di atas. Adapun penjelasannya diberikan berikut. Bentuk umum pertidaksamaan aljabar :𝐴 𝑥
𝐵 𝑥 <
𝐶 𝑥 𝐷 𝑥
Solusi:
Menambahkan Bilangan yang samapada kedua ruas pertidaksamaan
Mengalikan bilangan positif yang sama pada kedua ruasPertidaksamaan
Contoh :
a.
1𝑥 < 3
b. x -1 < x + 3
c. 2x -7 < 4x - 2
d. -5 ≤ 2x +6 < 4
e.
𝑥2 − 𝑥 < 6f.
−𝑥3 < 2𝑥 + 1
g.
6𝑥−1 ≥ 5
h. -1 < -2x +3 ≤ 2
i.
𝑥 + 1 < −1𝑥−1
j.
𝑥−2𝑥−1 >
𝑥+3 𝑥+1
k.
𝑥2−4𝑥+3𝑥+2 > 0
l. x < x + 5
m.
− 𝑥+33 < 2𝑥 + 1
n.
6𝑥−1 ≥ 5 +2
o. -1+x < -2x +3 ≤ 2
p.
3 + 𝑥 < −1Nilai Absolut, Akar Kwadrat, Kwadrat
Nilai mutlak atau nilai absolut dari bilangan real x didefinisikan sebagai jarak dari x terhadap 0, sehingga nilai mutlak dari setiap bilangan selalu bernilai positif.
Nilai absolut x dinotasikan | 𝑥 |
a.
−𝑥 = 𝑥b.
𝑎𝑏 = 𝑎 𝑏c.
𝑎 + 𝑏 = 𝑎 + 𝑏d.
𝑎 − 𝑏 = 𝑎 − 𝑏Formula Akar Persamaan Kuadrat
Istilah ini umumnya disebut Quadratic Formula. Yang merupakan solusi dari persamaan kuadrat ax2 +bx +c = 0
𝑥 = −𝑏 ± 𝑏2𝑎2 − 4𝑎𝑐
•
d = (b2 – 4ac) merupakan diskriminan dari persamaankuadrat.
•
Jika d > 0 maka akar persamaannya adalah dua bilangan real•
Jika d = 0 maka akar persamaannya 1 bilangan realSistim Koordinat
Pelopor: Pierre de Fermat (1629) & Ren´e Descartes (1637)
Sistim Koordinat
Tunjukkan semua nilai x dengan batasan: -2 < x ≤ 3 dan semua nilai y dengan batasan: -3 ≤ y < 2 pada koordinat kartesius X-Y!
Garis Lurus
Bentuk umum: Ax + By + C = 0 dengan A,B, dan Ckonstanta.
Nilai A dan B tidak boleh nol secara bersamaan.
Grafik garis lurus ditentukan oleh dua titik (x1, y1) dan (x2, y2) yang memenuhi persamaan tersebut.
Misalkan (x1, y1) dan (x2, y2) dua titik pada garis tersebut. Kemiringan garis didefinisikan
sebagai m = (y2−y1)/(x2−x1)Garis Lurus
Persamaan garis lurus yang melalui dua titik (x1, y1) dan (x2, y2) : 𝑦−𝑦1𝑦2−𝑦1
=
𝑥−𝑥1 𝑥2−𝑥1
Persamaan garis lurus dengan kemiringan m dan melalui titik (x1, y1) :y – y1 = m (x – x1)
Misalkan garis l1 dan l2 dua buah garis dengan kemiringan m1
dan m2.
Jika kedua garis tersebut sejajar⇐⇒
m1 = m2Lingkaran
Lingkaran adalah himpunan titik-titik yang jaraknya sama terhadap titik tertentu (disebut pusat lingkaran).
Persamaan lingkaran yang berpusat di (0, 0) danjari-jari r adalah: x2 + y2 = r2 (gambar sebelah kiri).
Elips
Bentuk umum elips yang berpusat di (0, 0) :
Untuk elips yang berpusat di (p, q) persamaannya :(𝑥−𝑝)2 𝑎2 +
(𝑦−𝑞)2
𝑏2 =1
𝑥2 𝑎2 +
𝑦2
Hiperbola
Bentuk umum yang berpusat di (0, 0) :𝑥2 𝑎2 −
𝑦2
𝑏2 = 1 atau
−𝑥2 𝑎2 +
𝑦2
Soal
Tentukan persamaan lingkaran dan tentukan pusat lingkarannya serta radiusnya.x2 – 2x + y2 + 6y = –6
TERIMA KASIH
PROGRAM STUDI TEKNIK PERTANIAN FAKULTAS TEKNOLOGI PERTANIAN
UNIVERSITAS ANDALAS
FUNGSI DAN LIMIT
Fungsi
Misalkan A dan B dua buah himpunan. Fungsi dari A keB adalah aturan memasangkan (memadankan) setiap
elemen di A dengan satu elemen di B.
Fungsi
Jika f adalah fungsi yang memetakan X ke Y, maka ditulis: f : X Y atau f (x) dengan x anggota himpunan X.
f (x) = x2 – 3x + 2 dan X = {x | x: –1 ≤ x < 3, x ∈ B}
f (x) = x2 – 4f (3) = 32 – 4 = 5
f (a) = a2 – 4
f (a+h) = (a+h)2 – 4 a2 + 2ah + h2 –4
Untuk f (x) = x2 – 2x +3 tentukan :Pergeseran Grafik Fungsi
Diberikan grafik fungsi y = f(x) dan a > 0. Selanjutnya dibentuk fungsi g(x) = f(x − a), maka gambar grafik g(x) dapat diperoleh dengan menggeser grafik f(x) sejauh aOperasi pada Fungsi
Misalkan f(x) dan g(x) fungsi-fungsi real dengan daerah definisi Df dan Dg.(f + g)(x) = f(x) + g(x), Df+g = Df ∩ Dg
(f − g)(x) = f(x) − g(x), Df−g = Df ∩ Dg
(fg)(x) = f(x) g(x), Dfg = Df ∩ Dg
(f/g)(x) = f(x)/g(x), Df/g = Df ∩ Dg ∩ {x|g(x) = 0} fn(x) = f(x) f(x) …. f(x) Dfn = Df
Contoh: Misalkan f(x) = 4 𝑥 + 1 dan g(x) = 9 − 𝑥2
Tentukan f + g, f − g, fg, f/g, dan f5 beserta daerah definisinya.Fungsi Komposisi
Komposisi dari fungsi f(x) dan g(x) didefinisikan sebagai :(g o f) (x) = g(f(x))
syarat yang harus dipenuhi adalah Rf ∩ Dg ≠ ∅
Contoh Diketahui fungsi f(x)= 1 − 𝑥 dan g(x)= 𝑥 1 − 𝑥 Tentukan Domain dan range dari fungsi f(x) dan g(x)
Apakah g o f terdefinisi? Bila ya tentukan rumusnya?
Fungsi Trigonometri
r = 𝑥2 + 𝑦2
sin α = 𝑦𝑟 cosec α = 𝑟 𝑦
cos α = 𝑥𝑟 sec α = 𝑟 𝑥
tan α = 𝑦𝑥 cot α = 𝑥 𝑦
β
α
r
x
y
tan α = 𝑦𝑥 cot α = 𝑥 𝑦
tan α = cos αsin α
sin2α + cos2α = 𝑦𝑟 2
+ 𝑥𝑟 2 = 𝑦2+𝑥2
𝑟2 = 𝑟2
Menyelesaikan Persamaan Sinus
Jika Sin x0 = sin 0 (x Є R ), maka :
x0 = + k.3600, atau x0 = (1800-0) + k.3600
Jika Sin x0 = sin 0(x Є R ), maka :
x0 = 0+ k.2π, atau
x0 = (π-0) + k.2π, k Є B
Kuadran II
Sin xo = sin (180o – αo)
Pembuktian Menggunakan rumus trigonometri jumlah dan selisih dua sudut
Sin ( ) sin cos cos sin
Maka :
Sin xo = sin 180o cos αo – cos 180o sin αo
Sin xo = (0) cos αo – (-1) sin α0
Sin xo = sin αo (Terbukti)
Maka :
Besar dari Kuadran IV
Sin xo = sin (αo + k. 360o)
Pembuktian Menggunakan rumus trigonometri jumlah dan selisih dua sudut :
Sin ( + ) sin cos + cos sin
Maka :
Sin xo = sin αo cos (k.360o) + cos αo sin (k.360o)
Jika k = 0
Sin xo = sin αo cos (k.360o) + cos αo sin (k.360o)
Sin xo = sin αo cos (0.360o) + cos αo sin (0.360o)
Sin xo = sin αo cos 0o + cos αo sin 0o
Sin xo = sin αo (1) + cos αo sin (0)
Besar dari Kuadran IV
Sin xo = sin (αo + k. 360o)
Pembuktian Menggunakan rumus trigonometri jumlah dan selisih dua sudut :
Sin ( + ) sin cos + cos sin
Maka :
Sin xo = sin αo cos (k.360o) + cos αo sin (k.360o)
Jika k = 1
Sin αo = sin αo cos (k.360o) + cos αo sin (k.360o) Sin αo = sin αo cos (1.360o) + cos αo sin (1.360o) Sin αo = sin αo cos 360o + cos αo sin 360o
Contoh soal 1
Tentukan himpunan penyelesaian
sin x = sin 200 ; 0 ≤x ≤3600 adalah?...
Jawab :
sin x = sin 200 ; 0 ≤x ≤3600
x1 = αo + k.3600
x1 = 20o + k.3600
Untuk k=0 x1 = 200 + (0).3600 = 200
Untuk k=1 x1 = 200 + (1).3600
= 200 + 3600
x2 = (180o–αo) + k.3600
x2 = (180o–20o) + k.3600
x2 = 160o + k.3600
Untuk k=0 x2 = 1600 + (0).3600
= 1600
Untuk k=1 x2 = 1600 + (1).3600
= 160o + 360o
= 5200 (Tidak Memenuhi)
Contoh soal 2
Tentukan himpunan penyelesaian
sin x = sin 1/3 π ; 0 ≤x ≤ 2π adalah?... Jawab :
sin x = sin 1/3 π; 0 ≤x ≤ 2π x1 = αo + k. 2π
x1 = 1/3 π + k. 2π
Untuk k=0 x1 = 1/3 π + (0). 2π = 1/3 π
Untuk k=1 x1 = 1/3 π + (1). 2π = 1/3 π + 2π
x2 = (π – αo) + k. 2π , 0 ≤x ≤ 2π x2 = (π – 1/3 π) + k. 2π
x2 = 2/3 π + k. 2π
Untuk k=0 x2 = 2/3 π + (0). 2π = 2/3 π
Untuk k=1 x2 = 2/3 π + (1). 2π = 2/3 π + 2π
Contoh soal 3
Tentukan himpunan penyelesaian sin x = 1/2 ; 0 ≤x ≤3600 adalah?...
Jawab :
sin x = ½ ; 0 ≤x ≤3600
sin x = 30o
x1 = αo + k.3600
x1 = 30o + k.3600,
Untuk k=0 x1 = 300 + (0).3600
= 300
Untuk k=1 x1 = 300 + (1).3600
= 300 + 3600
x2 = (1800–αo) + k.3600 x2 = (1800–30o) + k.3600
x2 = 1500 + k.3600
Untuk k=0 x2 = 1500 + (0).3600
= 1500
Untuk k=1 x2 = 1500 + (1).3600
= 1500 + 3600
= 5200 (Tidak Memenuhi)
sin2α + cos2α = 1
sin (-x ) = - sin x ; cos ( -x ) = cos x; tan ( -x ) = - tan x
sin ( 𝜋/2 - x ) = cos x ; cos (𝜋/2 - x ) = sin x ; tan (𝜋/2 - x ) = cot x
sin ( x + y ) = sin x cos y + sin y cos x
cos ( x + y ) = cos x cos y – sin x sin y
tan (x+y) =
tan 𝑥 +tan 𝑦1−tan 𝑥.tan 𝑦
Fungsi
tan (x
–
y) =
tan 𝑥 −tan 𝑦1−tan 𝑥.tan 𝑦
sin 2x = 2 sin x cos x
cos 2x = 2 cos2x –1 = 1 – 2 sin2xos x
tan 2x=
2tan 𝑥1−tan2 𝑥
PROGRAM STUDI TEKNIK PERTANIAN FAKULTAS TEKNOLOGI PERTANIAN
UNIVERSITAS ANDALAS
LIMIT
Konsep Limit
Definisi Intuitif
Misalkan y=f(x) suatu fungsi, a dan L bilangan riil sedemikian hingga:
Bila x dekat a tetapi tidak sama dg a (xa), f(x) dekat ke L
Bila x mendekati a tetapi xa, maka f(x) mendekati L
Misalkan f(x) dapat kita buat sedekat mungkin ke L dg membuat x cukup dekat a tetapi tdk sama dg a
Maka dapat dikatakan bhw limit f(x) bila x mendekati aadalah L,
L
x
f
a
x
(
)
Limit
Fungsi f(x) = (x2 – 1)/(x – 1) terdefinisi untuk x disekitar 1 tetapi tidak di x = 1. Pertanyaannya sekarang adalah: berapa nilai f(x) untuk x di sekitar 1?
Persisnya: jika x mendekati 1, maka f(x) akanmendekati bilangan apa? (Catat di sini bahwa
ungkapan x mendekati 1 tidak
mengharuskan x = 1.?
LIMIT
Misalkan I = (a, b) suatu interval buka di R dan c∈
I. Fungsi f(x) dikatakan terdefinisi di I kecuali mungkin di c, artinya f(x) terdefinisi disemua titik pada I\{c} dan diLIMIT
Misalkan akan dicari lim𝑥→∞ 1
𝑥 (dibaca limit satu per x
dengan x mendekati takhingga) maka diambillah
beberapa nilai x seperti berikut:
x 1 2 1000 1.000.000 … ∞
Limit
Bila nilai f(x) mendekati L untuk nilai x mendekati a dari arah kanan maka dikatakan bahwa limit fungsi f(x) untuk x mendekati a dari kanan sama dengan L dan dinotasikan:lim
𝑥→𝑎 + 𝑓 𝑥 = 𝐿
Bila nilai f(x) mendekati l untuk nilai x mendekati a dari arah kiri maka dikatakan bahwa limit fungsi f(x) untuk x mendekati a dari arah kiri sama dengan l dan dinotasikan :lim
G
(limit dari f , g ada dan berhingga)
maka
,n bilangan bulat positif
n
5. bila n genap L harus positif 1.
Contoh 1
Lim
𝑥→−2(𝑥2 + 5𝑥) = lim𝑥→−2𝑥2 + 𝑥→−2lim 5𝑥
= lim
𝑥→−2 𝑥 𝑥→−2lim 𝑥 + 𝑥→−2lim 5𝑥 = −2 −2 + 5 −2 = -6
Tentukan Lim
𝑥→−2(x4 + 3x – 2) = 8
Lim
𝑥→2 3𝑥2 − 6 = Lim𝑥→2 (3𝑥2 − 6)= 3 2 2 − 6 = 6
Tentukan Lim
𝑥→−1 2𝑥2 + 2
Lim
𝑥→2
Limit Indeterminate Form
Jika lim𝑥→𝑐 𝑓 𝑥 = 0 dan 𝑥→𝑐lim 𝑔 𝑥 = 0 , selanjutnya
dibagi menjadi lim
𝑥→𝑐
𝑓 𝑥
𝑔 𝑥 ; maka ini dikatakan
indeterminate/ tidak tentu.
Jika lim𝑥→𝑐 𝑓 𝑥 = 𝐿, L ≠ 0, dan 𝑥→𝑐lim 𝑔 𝑥 = 0 , maka
lim
𝑥→𝑐
𝑓 𝑥
Contoh
lim𝑥→1
𝑥−1
𝑥2−1 = 𝑥→1lim
𝑥−1
(𝑥−1)(𝑥+1) = 𝑥→1lim
1
𝑥+1 = 1 2
lim𝑥→1
𝑥−1 2
𝑥2−1 = 𝑥→1lim
(𝑥−1)(𝑥−1)
(𝑥−1)(𝑥+1) = 𝑥→1lim
(𝑥−1) (𝑥+1) =
0
2 = 0
lim𝑥→1
𝑥2−1
𝑥−1 2 = 𝑥→1lim
(𝑥−1)(𝑥+1)
(𝑥−1)(𝑥−1) = 𝑥→1lim
(𝑥+1) (𝑥−1) =
2
mengingat konsep limit karena konsep turunan dijelaskan lewat limit suatu fungsi
Turunan sebuah fungsi f adalah fungsi lain f’ (dibaca “f aksen”) yang nilainya pada sembarang bilangan c adalah:
Asalkan limit ini ada dan bukan ∞ atau -∞
Jika limit ini ada, dikatakan bahwa f terdiferensiasikandi c.
Pencarian turunan disebut diferensiasih
c f h
c f c
f
h
) ( )
( lim
) ( '
0
Garis Tangen
Misalkan diberikan suatu fungsi f(x), maka kemiringan garis tangen L di titik P(a, f(a)) pada kurva y=f(x) dapat diaproksimasi dengan kemiringan garis secant antara titik P dan titik Q(a+h, f(a+h)).
Bila Q dibuat mendekati P dgn menelusuri kurva y=f(x)dan h menuju 0, maka diperoleh kemiringan garis
tangen kurva y=f(x) di titik P(a,f(a)):
Limit Indeterminate pada fungsi
𝑓 𝑥 + ℎ − 𝑓(𝑥) ℎ
Contoh tentukan limitnya untuk fungsi berikut:
𝑓 𝑥 = 7 − 2𝑥 ; limℎ→0
𝑓 4+ℎ −𝑓(4) ℎ
𝑓 𝑥 = 𝑥 − 1 ; limℎ→0
𝑓 1+ℎ −𝑓(1) ℎ
𝑓 𝑥 = 𝑥 ; limℎ→0
Penyelesaian
𝑓 𝑥 = 7 − 2𝑥
𝑓 4 + ℎ = 7 − 2 4 + ℎ = 7 − 8 − 2ℎ = −1 − 2ℎ 𝑓 4 = 7 − 2 4 = −1
lim
ℎ→0
𝑓 4 + ℎ − 𝑓(4)
ℎ = limℎ→0
(−1 − 2ℎ) − (−1) ℎ
Penyelesaian
𝑓 𝑥 = 𝑥 − 1
𝑓 1 + ℎ = 1 + ℎ − 1 = ℎ 𝑓 1 = 1 − 1 = 0
lim
ℎ→0
𝑓 1 + ℎ − 𝑓(1)
ℎ = limℎ→0
ℎ − 0
ℎ = limℎ→0
ℎ ℎ
lim
ℎ→0−
ℎ
ℎ = −1 lim
ℎ→0+
ℎ
ℎ = 1
𝑓 𝑥 = 𝑥
𝑓 3 + ℎ = 3 + ℎ 𝑓 3 = 3
lim
ℎ→0
𝑓 3 + ℎ − 𝑓(3)
ℎ = limℎ→0
3 + ℎ − 3 ℎ
= limℎ→0 3 + ℎ − 3ℎ × 3 + ℎ − 3 3 + ℎ − 3 = limℎ→0 3 + ℎ − 3
ℎ ( 3 + ℎ − 3) = limℎ→0
Teorema Limit Trigonometri
cos(x) sin(x)/x 1/cos(x)1 )
sin( lim
maka
, ) cos(
1 lim
1 )
cos( lim
0 0
0
x
x x
x
x x
Contoh
Tunjukkan 2
TERIMA KASIH
PROGRAM STUDI TEKNIK PERTANIAN FAKULTAS TEKNOLOGI PERTANIAN
UNIVERSITAS ANDALAS
TURUNAN
Turunan Aljabar
Materi:
Pengertian Turunan Fungsi Aljabar
Rumus Turunan Fungsi Aljabar
Turunan Berantai Fungsi Aljabar
Turunan Tingkat Tinggi Fungsi Aljabar
Turunan Implisit
Turunan Aljabar
Tujuan Perkuliahan:
Pengertian Turunan
Suatu fungsi dikatakan dapat didiferensiasi di bila
fungsi itu mempunyai turunan di titik tersebut.
Suatu fungsi dikatakan dapat didiferensiasi pada suatu selang bila fungsi itu dapat didiferensiasi di setiap titik pada selang tersebut.
Aplikasi: mencari kecepatan sesaat (fisika), laju
pertumbuhan organisme (biologi), keuntungan marjinal (ekonomi), dll
0
Konsep Limit
mengingat konsep limit karena konsep turunandijelaskan lewat limit suatu fungsi
Turunan sebuah fungsi f adalah fungsi lain f’ (dibaca “f aksen”) yang nilainya pada sembarang bilangan c adalah:
Asalkan limit ini ada dan bukan ∞ atau -∞
Jika limit ini ada, dikatakan bahwa f terdiferensiasikan di c.
Pencarian turunan disebut diferensiasih
c f h
c f c
f
h
) ( )
( lim
) ( '
0
Secara Grafis
pengertian turunan dapat dijelaskan sebagai berikut:
Misal P(a,f(a)) adalah sembarang titik pada sebuah grafik suatu fungsi f. Titik lain pada gambar dinotasikan dengan Q(a+h,f(a+h)),dimana h adalah beda antara absis Q dan P. Kemiringan tali busur yang melalui titik P dan Q adalah
mPQ
h
a f
h a
f ( ) ( )
Secara Grafis
Jika sebuah fungsi f didefinisikan pada sebuah interval terbuka yang memuat a, maka kemiringan garis singgung m dari grafik fungsi f pada titik P(a,f(a)) adalah:
Dengan catatan limitnya ada.
h
a f
h a
f m
h
) ( )
( lim
0
Contoh
Diketahui fungsi f(x) = x2 dapatkan kemiringan garis singgung ke grafik f(x) pada titik P(a,a2)
Penyelesaian:
Dengan menggunakan penjelasan di atas maka
Jadi turunan suatu fungsi adalah kemiringan garis
Rumus Turunan Fungsi Aljabar (i)
Teorema I (Aturan Fungsi Konstanta)Jika f(x) = k dengan k adalah suatu konstanta untuk sembarang x, f’(x)= 0.
Bukti:
Contoh: f(x) = 2 maka f’(x) = 0
0
0
lim
lim
)
(
)
(
lim
)
(
0 0
0
'
h h
h
h
k
k
h
x
f
h
x
f
x
Rumus Turunan Fungsi Aljabar (i)
Teorema II (Aturan Fungsi Identitas)Rumus Turunan Fungsi Aljabar (ii)
Teorema III (Aturan Pangkat)Rumus Turunan Fungsi Aljabar (ii)
Semua suku di dalam tanda kurung siku kecuali suku pertama mempunyai h sebagai faktor, sehingga masing-masing suku ini mempunyai limit nol bila h mendekati nol. Jadi
Contoh:
f(x)=x2 maka f’(x) = 2x
1
)
(
Rumus Turunan Fungsi Aljabar (iii)
Teorema IV (Aturan Kelipatan Konstanta)Jika k suatu konstanta dan f suatu fungsi yang terdiferensialkan, maka (kf)’ (x). Bukti: Misalkan F(x) = k. f(x). Maka
Rumus Turunan Fungsi Aljabar (iii)
Teorema V (Aturan Jumlah)Rumus Turunan Fungsi Aljabar (iv)
Teorema VI (Aturan Selisih)Jika f dan g adalah fungsi-fungsi yang terdiferensialkan, maka (f-g)’(x) = f’ (x) - g’ (x). Bukti: (f-g)’(x) = (f+(-1)g)’ (x) = f’(x) – g’(x)
Contoh:
Rumus Turunan Fungsi Aljabar (v)
Teorema VII (Aturan Hasil Kali)Rumus Turunan Fungsi Aljabar (v)
Contoh :
Rumus Turunan Fungsi Aljabar (vi)
Teorema VIII (Aturan Hasil Bagi)Rumus Turunan Fungsi Aljabar (vi)
)
(
)
(
'
)
(
)
(
'
)
(
)
(
2'
x
g
x
g
x
f
x
f
x
g
x
g
f
Bedakan antara Turunan dan Diferensial !
Pada waktu anda menuliskan Dxy atau dy/dx = anda
menuliskan lambang turunan
Jika dy = anda menyatakan lambang diferensial
Contoh:
Cari dy jika y = x3 - 3x+1
Jika kita mengetahui bagaimana menghitung turunan, maka kita tahu bagaimana menghitung diferensial. Yaitu cukup menghitung turunan lalu mengalikannya dengan dx
Dy = (3x2-3) dx
Turunan Berantai Fungsi Aljabar
Contoh:
1). y = (x2+3x+5)9
x
x
y
1
1
2
).
2
2 2
3
2
).
3
x
x
x
Turunan Tingkat Tinggi Aljabar
Turunan tingkat tinggi adalah turunan fungsi yang tidak hanya sampai turunan pertama, bisa turunan kedua, ketiga, bahkan sampai turunan ke n. Jika f’ adalah turunan suatu fungsi f, maka f’ juga merupakan suatu fungsi, f’ adalah turunan pertama dari f. Jika turunan dari f’ ada, turunan ini dinamakan turunan kedua dan ditulis f’’. Dengan cara yang sama turunan ketiga dari f didefinisikan sebagai turunan pertama dari
f’’, jika turunan ini ada. Turunan ketiga, ditulis f’’’. Turunan ke-n dari fungsi f, di mana n bilangan positif yang lebih besar dari 1, adalah turunan pertama dari turunan ke (n-1) dari f. Turunan ke n dinyatakan dengan f(n). Berikut ini adalah tabel cara penulisan turunan sampai
Turunan Tingkat Tinggi Aljabar
Contoh:
Turunan Trigonometri
Turunan dari:
Sin x = cos x
Cos x = -sin x
Tan x = sec
2x
Sec x = sec x tan x
Cot x = -csc
2x
Turunan Trigonometri
Contoh:
2
3)
1
sin(
)
1
y
x
)
2
cos
sin
)
2
y
x
)
1
(
cos
)
Turunan Fungsi Implisit
Andaikan kita menjumpai sebuah persamaan sebagai berikut :
y 3 + 7y = x3
dan kita menginginkan untuk mencari turunannya, maka hal seperti ini tentulah tidak dapat secara gamblang
(eksplisit) terselesaikan , akan tetapi kita harus
Turunan Fungsi Implisit lanjutan
Hal seperti di atas yang kita sebut sebagai Turunan fungsi Implisit.
Cara untuk mendapatkan turunan fungsi Implisit, yaitu :
Turunan Fungsi Implisit
lanjutanContoh 1:
Tentukan turunan pertama dari 4x 2 y - 3y = x3 - 1
Fungsi Implisit tersebut diubah terlebih dahulu ke dalam fungsi eksplisit menjadi :
4x 2 y - 3y = x3 - 1
Turunan Fungsi Implisit
lanjutan Atau:
Setelah berubah menjadi fungsi eksplisit, maka tinggal diturunkan sehingga menjadi
Soal-soal latihan (i)
Carilah turunan pertama fungsi-fungsi di bawah ini:
5
2
2
5
)
(
)
1
2
x
x
x
f
3
)
2
)(
1
(
)
(
)
2
f
x
x
x
)
5 34
)
(
)
Soal-soal latihan (ii)
Carilah turunan berantai fungsi-fungsi di bawah ini:
Soal-soal latihan (iii)
Carilah turunan kedua fungsi-fungsi di bawah ini:
2
4
3
)
(
)
1
f
x
x
4
x
2
x
2
5
)
(
)
2
g
z
z
2 / 3
)
2
(
)
(
)
3
f
t
t
x
x
x
f
4
2
1
)
(
)
5.1 Menggambar grafik fungsi
Informasi yang dibutuhkan:A. Titik potong dengan sumbu x dan sumbu y
B. Asimtot fungsi
Definisi 5.1: Asimtot fungsi adalah garis lurus yang didekati oleh grafik fungsi. Ada Tiga jenis asimtot fungsi, yakni
(i) Asimtot Tegak
Garis x = c disebut asimtot tegak dari y = f(x) jika (ii) Asimtot Datar
Garis y = b disebut asimtot datar dari y = f(x) jika (iii) Asimtot Miring
Garis y = ax + b disebut asimtot miring jika
dan
( )
lim f x
c x
b x
f
xlim ( )
a x
x f
x
) (
lim f x ax b
x=a asimtot tegak
Dalam kasus
dan
x=a asimtot tegak
Dalam kasus
y= b
Garis y = b asimtot datar karena
Asimtot datar mungkin dipotong oleh grafik fungsi untuk x hingga Tapi, jika untuk x menuju tak hingga asimtot datar dihampiri oleh Grafik fungsi(tidak dipotong lagi)
b x
f
b ax
y
y=f(x)
Garis y = ax + b asimtot miring
Contoh Tentukan semua asimtot dari
Jawab :
(i) Asimtot tegak : x = 2, karena dan
(ii) Asimtot datar :
Maka asimtot datar tidak ada
MA1114 KALKUU I 113
(iii) Asimtot miring
1
Tentukan semua asimtot dari fungsi berikut : Soal Latihan
C. Kemonotonan Fungsi
Definisi 5.2 Fungsi f(x) dikatakan
monoton naik pada interval I jika untuk
)
x
f
)
x
x
x
I
f
x
x
1
2
1
2,
1,
2
x1 f(x1)
x2 f(x2)
I
Fungsi f monoton turun pada selang I
f(x1) f(x2)
x1 x2
monoton turun pada interval I jika untuk
)
x
f
)
x
x
x
I
f
x
x
1
2
1
2,
1,
2
Teorema 5.1 : Andaikan f diferensiabel di selang I, maka
Fungsi f(x) monoton naik pada I jika
Fungsi f(x) monoton turun pada I jika
D. Ekstrim FungsiDefinisi 5.3 Misalkan f(x) kontinu pada selang I yang memuat c,
f(c) disebut nilai global dari f pada I jika
f(c) disebut nilai lokal dari f pada I jika terdapat selang
buka yang memuat c sehingga untuk setiap x pada
selang buka tadi. Nilai maksimum dan minimum fungsi disebut juga nilai ekstrim
imum
Max lokal
Min lokal
Max
global Min
global Max lokal
Min lokal
a b c d e f
Ada tiga jenis titik kritis : Titik ujung selang I
Titik stasioner ( yaitu x = c dimana ) ,
secara geometris : garis singgung mendatar dititik (c,f(c))
Titik singulir ( x = c dimana tidak ada ), secara geometris: terjadi patahan pada grafik f di titik (c,f(c))
0 )
(
' c f
Teorema 5.3 : Uji turunan pertama untuk ekstrim lokal
pada dan pada
) ,
(c c Maka f(c) merupakan nilai
minimum
maksimum lokal
c
Disebelah kiri c monoton naik
(f ’>0) dan disebelah kanan c monoton turun (f’<0)
f(c) nilai maks lokal
c
f(c) nilai min lokal
Disebelah kiri c monoton turun
(f ’<0) dan disebelah kanan c monoton naik (f’>0)
f(c)
Teorema 5.4 Uji turunan kedua untuk ekstrim lokal
Misalkan . Jika ,maka f(c) merupakan
nilai lokal f
Contoh :Tentukan nilai ekstrim dari
Jawab:
Dengan menggunakan uji turunan pertama : di x = 0 tercapai maksimum lokal dengan nilai di x = 4 tercapai minimum lokal dengan nilai
Soal Latihan
Tentukan selang kemonotonan dan ektrim fungsi berikut :
1.
2.
3.
E. Kecekungan Fungsi
Fungsi f(x) dikatakan cekung ke atas pada interval I bila naik pada
interval I, dan f(x) dikatakan cekung kebawah pada interval I bila turun pada interval I.
Teorema 5.6 Uji turunan kedua untuk kecekungan
1. Jika , maka f cekung ke atas pada I.
2. Jika , maka f cekung ke bawah pada I.
) ( ' x f
) ( ' x f
I x x
f "( ) 0,
I x x
f"( ) 0,
Grafik fungsi cekung keatas Grafik fungsi cekung kebawah x
y
F. Titik belok Definisi 5.4 Misal f(x) kontinu di x = b. Maka (b,f(b)) disebut
titik belok dari kurva f(x) jika :
terjadi perubahan kecekungan di x = b, yaitu di sebelah kiri dari x =b, fungsi f cekung ke atas dan di sebelah kanan dari x =b fungsi f cekung ke bawah atau
sebaliknya
x = b adalah absis titik belok, jika atau tidak ada.
c f(c)
(c,f(c)) titik belok
c f(c)
(c,f(c)) titik belok Karena disebelah kiri c cekung
keatas dan disebelah kanan c cekung kebawah
c f(c)
(c,f(c)) bukan titik belok Karena disekitar c tidak
Terjadi perubahan kecekungan
c
Walaupun di sekitar c Terjadi perubahan
1
Tentukan titik belok (jika ada) dari
2
Di x = 0 terjadi perubahan kecekungan, dan f(0)= -1 maka (0,-1) merupakan titik belok
2
2
Walaupun di x = 2, terjadi perubahan kecekungan, tidak ada titik belok karena fungsi f(x) tidak terdefinisi di x = 2
f”(x)
x Tidak
Soal Latihan
Tentukan selang kecekungan dan titik belok fungsi berikut :
2
Contoh: Diketahui
a. Tentukan selang kemonotonan dan ekstrim fungsi b. Tentukan selang kecekungan dan titik belok
c. Tentukan semua asimtot d. Gambarkan grafik f(x)
a. Fungsi f(x) monoton naik pada selang (,0) , (4,) monoton turun pada selang (0,2) dan (2,4).
2
di x = 0 tercapai maksimum lokal dengan nilai di x = 4 tercapai minimum lokal dengan nilai
b. Grafik f cekung keatas pada (2,) dan cekung kebawah pada selang (,2) , tidak ada titik belok
d. Grafik f(x)
2
y=x
0 2 4
++++++
---++++++ f '
2
--- +++++++++++ f ''
-2 4
6
0 0 Tidak ada
Tidak ada
x
2
A. Gambarkan grafik fungsi berikut dengan mencari terlebih dahulu selang kemonotonan,ekstrim fungsi, kecekungan, titik belok, dan asimtot
Soal Latihan
1.
2.
3.
4.
) ( ' x f y
B. Misalkan f suatu fungsi kontinu dan f(-3)=f(0)=2, serta nilai fungsi yg lain dibutuhkan, silakan didefinisikan sendiri. Jika grafik seperti gambar berikut :
a. Tentukan selang kemonotonan fungsi f
b. Tentukan selang kecekungan fungsi f
5.2 Menghitung limit fungsi dengan Aturan L’Hôpital
Bentuk tak tentu dalam limit :
1. Aturan L’Hôpital untuk bentuk
2
lim cos lim sin lim cos
x x x
Contoh Hitung
Jawab
bentuk (0/0)
Ctt : aturan L’hopital bisa digunakan beberapa kali asalkan
syaratnya dipenuhi
2. Aturan L’Hôpital untuk bentuk
Contoh Hitung
Ctt: walaupun syarat di penuhi, belum tentu limit dapat
dihitung dengan menggunakan dalil L’Hopital
Contoh Hitung
Soal seperti diatas tidak bisa diselesaikan dengan menggunakan aturan L’Hopital, karena setelah
dilakukan aturan L’Hopital muncul lagi bentuk semula
Soal seperti diatas diselesaikan dengan cara sbb
3. Bentuk 0 .
Untuk menyelesaikannya rubah kedalam bentuk atau
Contoh : Hitung
Jawab :
0
0
lim csc
x0 x x 2
0 cos
2 lim sin
lim csc
lim
0 2
0 2
0
x
x x
x x
x
x x
4. Bentuk - Misalkan lim f(x)=lim g(x) = . Untuk menghitung
lim [ f(x) - g(x) ] dilakukan dengan menyederhanakan
bentuk [ f(x)- g(x) ] sehingga dapat dikerjakan menggunakan cara yang telah dikenal sebelumnya
Contoh : Hitung
Jawab :
)
lim csc cot
x0 x x
)
lim csc cot lim
sin
cos
sin lim
cos
sin lim
sin cos
x x x x x x x
x x
x x
x x
0 0 0 0
1 1
Soal Latihan
lim csc
x0 2x x
lim
x x x x
2
lim sin cos
lim cot cos
x x x
Hitung limit berikut ( bila ada )
5.4 Teorema Nilai Rata-rata
Teorema 5.8 Misalkan
f
kontinu pada [a,b
] dandiferensiabel pada (
a,b
), maka terdapat paling sedikitsatu
atau
5.5 Masalah maksimum minimum lainnya
Turunan dapat juga dipergunakan dalam menyelesaikan masalah sehari-hari yang berkaitan dengan masalah memaksimumkan/ meminimumkan fungsi. Langkah pertama yang harus dilakukan adalah memodelkan masalah tersebut menjadi fungsi satu peubah.
Setelah itu gunakan aturan-aturan turunan untuk menentukan nilai maksimum atau nilai minimum
Contoh:
1. Tentukan ukuran persegi panjang yang dapat dibuat dari kawat sepanjang 100 cm agar luasnya maksimum
jawab
Misal panjang y, lebar x
y
x
Luas= L = x y, karena 2x + 2y = 100 y = 50 - x
Sehingga Luas = L(x) = x(50-x) 50x x2, 0 x 50
x x
L'( ) 50 2 x = 25
0 2 )
25 (
''
L
MA1114 KALKULUS I
145
2. Sehelai karton berbentuk persegipanjang dengan ukuran
45 x 24 cm. Karton ini akan dibuat kotak tanpa tutup dengan cara memotong keempat pojoknya berupa bujur sangkar dan melipatnya. Tentukan ukuran kotak agar volume kotak maksimum.
x
Misal, panjang sisi potongan di pojok persegi panjang x, sehingga
45-2x
MA1114 KALKULUS I
146
276 24
) (
'' x x V
Sehingga
0 156
) 18 (
''
V
0 156
) 5 (
''
V
di x =18 terjadi min lokal
di x = 5 terjadi maks lokal
Untuk menentukan volume maksimum bandingkan nilai Volume jika x = 5 dan x = 0, x = 12 (batas Df)
V(0) = 0 V(12)= 0
V(5) =2450
MA1114 KALKULUS I 147
Bisa saja masalah yang dihadapi harus dimodelkan kedalam bentuk fungsi implisit, seperti contoh berikut
Contoh
Sebuah roket yang diluncurkan vertikal diamati dari menara kontrol yang berjarak 3 km dari tempat peluncuran. Tentukan kecepatan vertikal roket pada saat jaraknya dari tempat peluncuran 5 km dan dan jarak ini bertambah dengan kecepatan 5000 km/jam
Menara kontrol
3 km
Misal ketinggian roket y dan jarak dari menara z
y
z Diketahui
5000
dt
MA1114 KALKULUS I 148
Dengan menggunakan dalil pythgoras diperoleh
2 2
9 z
y
Pada saat z = 5 y = 4
Dengan menggunakan turunan fungsi implisit didapatkan
dt dz z dt
dy
y 2
2
Jika data y = 4, z = 5, dan 5000
dt dz
disubstitusikan diperoleh
6250 5000
. 4
5
dt dy
MA1114 KALKULUS I
149 Soal Latihan
1. Tentukan dua buah bilangan yang selisihya 100 dan hasil kalinya minimum
2. Tentukan ukuran persegi panjang dengan luas 1000 dan kelilingnya minimum
2
cm
3. Tentukan titik pada garis 6x + y = 9 yang terdekat ke titik (-3,1)
4. Tentukan ukuran persegi panjang yang memiliki luas terbesar
dengan alas pada sumbu x serta dua titik sudutnya di atas sumbu x
serta terletak pada parabola 2 8 x y
MA1114 KALKULUS I
150
6. Kota A terletak 3 km dari garis pantai yang lurus dan kota B
terletak 4 km dari titik di pantai yang terdekat dari A. Pemerintah Daerah setempat akan memasang kabel telepon dari kota A
ke kota B. Jika biaya pemasangan kabel dari A ke B untuk setiap
kilometer melewati jalan laut dua kali besarnya dibandingkan biaya
pasang kabel lewat darat. Tentukan letak titik di pantai agar biaya pemasangan kabel telepon dari A ke B semurah mungkin.
UTS Semester Pendek 2006/ 2007 Kalkulus I
Hari/ Tanggal: Rabu/ 25 Juli 2007 Waktu: 13 s/d 15
TERIMA KASIH
PROGRAM STUDI TEKNIK PERTANIAN FAKULTAS TEKNOLOGI PERTANIAN
UNIVERSITAS ANDALAS
TURUNAN DAN
APLIKASINYA
TERIMA KASIH
PROGRAM STUDI TEKNIK PERTANIAN FAKULTAS TEKNOLOGI PERTANIAN
UNIVERSITAS ANDALAS
DIFERENSIAL DAN
APROKSIMASI
TERIMA KASIH
PROGRAM STUDI TEKNIK PERTANIAN FAKULTAS TEKNOLOGI PERTANIAN
UNIVERSITAS ANDALAS
MAKSIMUM DAN
MINIMUM
TERIMA KASIH
PROGRAM STUDI TEKNIK PERTANIAN FAKULTAS TEKNOLOGI PERTANIAN
UNIVERSITAS ANDALAS
PERMASALAHAN
MAKSIMUM DAN
MINIMUM DARI SUATU
FUNGSI
TERIMA KASIH
Integral Tak Tentu
Jika diketahui F(x) = x2, maka turunannya adalah F’(x) = 2x = f(x). Bila operasi dibalik yakni diketahui f(x) = 2x dapatkah ditemukan F(x) sebagai anti turunan dari f(x) sedemikian sehingga F’(x) = 2x = f(x)? Jawabannya adalah DAPAT. Caranya adalah sebagai berikut:
F(x) = x2 sebab F’(x) = 2x = f(x) atau
F(x) = x2 + 1 sebab F’(x) = 2x = f(x) atau
F(x) = x2 + 7 sebab F’(x) = 2x = f(x) atau
F(x) = x2 - 10 sebab F’(x) = 2x = f(x) atau
………… dan seterusnya sehingga dapat ditulis F(x) = x2 + C untuk sembarang konstanta C.
Ternyata anti turunan F dari f jawabnya tidak hanya satu. Dapat dikatakan bahwa himpunan anti turunan F dari f(x)=2x adalah F(x) = x2 + C berlaku untuk sembarang konstanta C.
Dapat dimengerti bahwa himpunan anti turunan F dari f yang dirumuskan oleh f(x) = xn adalah
Sebab turunannya F’(x) = x2 = f(x)
Himpunan anti turunan F dari f ditulis dalam bentuk integral (Leibniz)
1 ,
1
1 )
( 1
n C
x n
x
F n
f x dx x
Kemunculan C ini disebut konstanta integrasi
Dari definisi , maka f(x) disebut integran
Sedang F(x) adalah hasil integrasi.
Karena hasil penghitungan bertambah dengan konstanta
sembarang C maka disebut integral tak tentu adalah rumus dasar
integral tak tentu
d[F(x)] F(x) C
f x dx x
F( ) ( )
f (x) F(x) C1
,
1
1
1
x
C
n
n
dx
Teori I (Aturan Pangkat)
Jika r adalah sembarang bilangan rasional kecuali -1, maka:
Contoh:
Berapa anti turunan dari f(x) = x4/3
1
,
C
1
r
x
dx
x
1 r
r
Teori III (Integral Tak Tentu - Linier)
Jika f dan g memiliki anti turunan (integral tak tentu) dan andaikan k suatu konstanta, maka:
Contoh:
Tentukan besarnya nilai integral berikut!
3x
4x
)
dx
.
1
2
u
3
u
12
)
du
.
2
3/2
dt
t
t
2
1
Teori IV (Aturan Pangkat yang digeneralisir)
Andaikan g suatu fungsi terdiferensiasikan dan r suatu bilangan rasional yang bukan -1, maka:
C
r
x
g
x
g
r
r
(
)
'
(
)
dx
g(x)
1
Contoh:
Selesaikan integral berikut!
x
3x
)
4x
3
)
dx
.
1
4
30 3
dx
x
x
cos
sin
.
2
10
x
6x
)
6x
1
2
)
dx
.
3
3
5 2
dx
x
x
2 2 23
2
.
4
x
4
)
2
x
dx
.
Selesaikan integral berikut!
x
x
)
dx
.
1
2
x
1
)
dx
.
2
2
)
dz
z
z
1
.
3
2 2
sin
cos
)
d
.
4
dy
5
2y
3y
.
5
2