GERAK DALAM BIDANG DATAR
BAB IV
GERAK DALAM BIDANG DATAR
4.1 Kecepatan Gerak Melengkung
Hingga saat ini telah dibahas gerakan partikel dalam satu dimensi yaitu gerakan searah sumbu-x. Berikut akan dibahas gerakan partikel dalam dua dimensi atau tiga dimensi. Perhatikan Gambar 4.1.
Jika partikel bergerak pada lintasan melengkung. Pada waktu t1, partikel berada di titik A, dinyatakan oleh posisi vektor = OA =
dengan i, j dan k adalah vektor satuan arah sumbu : x, y dan z. Pada waktu t
1 1
1 jy kz
ix + +
2, partikel berada di titik B dengan r2 = OB= ix2 + jy2 +kz2. Walaupun
partikel ini bergerak sepanjang busur AB = ∆s, pergeseran, yang berupa vektor, adalah AB= ∆r. Pada Gambar 4.1, dapat dilihat bahwa r2 = r1 + ∆r, jadi:
AB = ∆r
AB = r2-r2
AB = i(x2-x1) + j(y2-y1) + k(z2-z1)
= i ∆x + j ∆y + k ∆z 4.1
Dengan ∆x = x2-x1, ∆y = y2-y1, ∆z = z2-z1. Rata-rata kecepatan juga merupakan vektor, diperoleh dari :
v =
t r
∆ ∆
=
1 2
1 2
t t
r r
− −
4.2 Atau
v =
t z k t y j t x i
∆ ∆ + ∆ ∆ + ∆ ∆
4.3
O
r
2r
1∆
r
A B
x
y
GERAK DALAM BIDANG DATAR
Kecepatan rata-rata dinyatakan dengan vektor yang sejajar dengan pergeseran AB = ∆r. Untuk mendapatkan kecepatan sesaat, ∆t harus sangat kecil, sehingga :
t r v v t t ∆ ∆ = = → ∆ → ∆
lim
lim
0 0 Atau dt dz k dt dy j dt dx iv= + + 4.4
Nilai vx, vy, dan vz :
dt dz v dan dt dy v dy dx
vx = , y = , z = 4.5
Besar kecepatan, sering disebut laju :
2 2 2
y y
x v v
v
v= + + 4.6
Pada gerak lengkung, secara umum, besar kecepatan beserta arahnya selalu berubah. Besar kecepatan berubah karena kelajuan partikel bertambah ataupun berkurang. Arahnya berubah karena tangen lintasan dan kelengkungan lintasan yang kontinu. Kecepatan rata-rata tidak tergantung lintasan partikel hanya tergantung pada posisi awal r1 dan posisi akhir r2.
4.2. Percepatan Gerak Melengkung
Perhatikan Gambar 4.2. pada gambar tesebut dilukiskan kecepatan ketika waktunya t1 dan t2, partikel berada di A dan B. Perubahan vektor kecepatan dari A ke B dinyatakan oleh ∆v = v2-v1. Percepatan rata-rata dalam interval waktu ∆t :
t v a ∆ ∆ = = 1 2 1 2 t t v v − − 4.7
Dan sejajar dengan ∆v. Percepatan rata-rata itu dapat ditulis
t v k t v j v v i
a y z
t x ∆ ∆ + ∆ ∆ + ∆ ∆
GERAK DALAM BIDANG DATAR
A
B
r
1r
2
v
1v
2x
y
Gambar 4.2 Percepatan pada lintasan melengkung. Percepatan sesaat, sering disebut percepatan , diperoleh dari
t v a
a
t
t ∆
∆ =
=
→ ∆ →
∆
lim
lim
0 0
Atau
dt dv
a= 4.9
Percepatan a adalah vektor yang berarah sama dengan perubahan kecepatan. Apabila kecepatan berubah dalam arah pada kurva lintasan partikel, percepatannya selalu menuju pusat kelengkungan kurva. Persamaan (4.9) dapat ditulis
dt dv k dt dv j dv dv i
a y z
t
x + +
= 4.10
sehingga komponen percepatan sepanjang sumbu-x, y dan z adalah
dz dv a dan dt dv a dt dv
a z
z y
y x
x = , = , = 4.11
dan besarnya percepatan adalah :
2 2 2
z y
x a a
a
a= + + 4.12
4.3 Gerak peluru
GERAK DALAM BIDANG DATAR
ditembakkan dengan sudut elevasi θ dengan kecepatan awal v0, lintasannya berupa parabola seperti gambar 4.3
Gambar 4.3 : gerak peluru dengan lintasan berbentuk parabola
y
g
v
Bv
g
g
h
A
R
v
a =v
oxv
oθ
v
ov
ov
ox
Gerak peluru adalah gerak pada bidang, dengan percepatan a sama dengan percepatan gravitasi bumi g. Pada bidang dimana v0 dan a = g berada, pada sumbu y mempunyai arah keatas sehingga :
v0 = ivox + jvoy 4.13
dengan
v0x = v0 cos θ dan v0y = v0 sin θ 4.14
berdasarkan persamaan v = v0 + at , diperoleh : v = ivx + jvy
= (iv0x + jv0y ) - jg 4.15
atau
vx = v0x dan vy = v0 - gt 4.16
Pada saat waktu t kecepatannya adalah :
=
t
v v2x +v2y
dan arah kecepatan peluru α didapat dari :
α
tg =
y x
v v
Kecepatan arah sumbu x adalah tetap, sedangkan arah sumbu y adalah berubah beraturan. Jika vekor r = ix + jy, digabung dengan
persamaan 2
2 1 0
0 v t at
x
GERAK DALAM BIDANG DATAR
r = ix + jy
= (iv0x + jv0y ).t - j21 gt2 4.17
atau
x = v0x .t 4.18
dan
y = v0y.t - 21gt2 4.19
adalah merupakan kordinat posisi peluru sebagai fungsi waktu. Pada saat bola mencapai titik tertinggi A kecepatan arah sumbu y, vy = 0, sehingga waktu untuk mencapai titik tertinggi dapat dicari dari persamaan (4.16) :
vy = v0 – gt
t =
g v0y
atau
th = g v0sinθ
4.20 Tinggi maksimum h yang dapat dicapai peluru diperoleh dengan
memasukkan harga t pada persamaan (4.20) kedalam persamaan (4.19) sehingga diperoleh :
h =
g v
2 sin2
2
0 θ
4.21 Waktu yang diperlukan untuk sampai pada titik terjauh B, ditetukan
dengan masukkan harga y = 0 pada persamaan (4.19), ternyata waktu tersebut sama dengan dua kali waktu yang dibutuhkan untuk sampai pada titik tertinggi
tB = g
v sinθ
. 2 0
4.22 Jarak terjauh R ditentukan dengan memasukan persamaan (4.22) kedalam
persamaan (4.18) sehingga diperoleh :
R = v0x .tB = ( v0 cos θ ).
g
v sinθ
. 2 0
=
g v sinθcosθ 2 02
Karena
= θ
θcos sin
GERAK DALAM BIDANG DATAR
maka didapat : R =
g v02sin2θ
4.23 Contoh :
1. Sebuah benda dilemparkan dengan sudut elevasi 370 dan dengan kecepatan awal 10 m/s. Hitunglah :kecepatan dan posisi benda setelah 0,5 s, jika deketahui percepatan gravitasi bumi 10 m/s2
Penyelesaian : Diketahui :
v0 = 10 m/s g = 10 m/s2 t = 0,5 s θ = 370
Ditanya : v? dan x?
X 370
0 Y
Jawab :
v0x = v0 cos θ
= 10 cos 370 = 10 . 0,8
= 8 m/s
vx = v0x = 8 m/s
v0y = v0 sin θ
= 10 sin 370 = 10 . 0,6 = 6 m/s
vy = v0y – g.t
= 6 – 10 . 0,5 = 6 – 5
= 1 m/s v = 2 2
y
x v
v +
= 2 2
GERAK DALAM BIDANG DATAR
arah kecepatan adalah : tg θ =
x y
v v
=
8 1
= 0,125
θ = 7,10
Posisi pada t = 0,5 s x = v0x . t
= v0 cos θ. T = 8 . 0,5 = 4 m
y = 0 . . 2
2 1
.t g t
V y −
= 6 . 0,5 -
2 1
. 10 . 0,52 = 3 – 5 . 0.25
= 3 – 1.25 = 1,75 m
jadi kedudukan benda adalah pada kordinat ( 4, 1,75)
2. Sebuah sasaran terletak pada koordinat (50,8). Seseorang melempar batu dengan sudur elevasi 370, kearah sasaran tersebut dari pusat koordinat, berapa kecepatan yang harus diberikan agar batu dapat tepat mengenai sasaran?
Penyelesaian : agar sasaran kena maka x = 5 m dan y = 80 m Diketahui :
y0 = 0 y = 8 m
x0 = 0 x = 50 m
θ = 370
Ditanya : v0 ? Jawab :
v0x = v0 cos 370 = 0,8 v0 v0y = v0 sin 370 = 0,6 v0
GERAK DALAM BIDANG DATAR
Y
V0
370 X
x = x0 + v0x . t 50 = 0 + 0,8 v0 .t t =
0
. 8 , 0
50
v
=
0
5 , 62
v
y = y0 + v0y . t
-2 1
.g.t2
8 = 0 + 0,6 v0 (
0
5 , 62
v ) - 2
1
. 10. (
0
5 , 62
v )
2
8 = 37,5 – 5.( 2
0
25 , 3906
v )
29,5 = 2
0
25 , 19531
v
v2
0 =
5 , 29
25 , 19531
v0 = 662.08
= 25,73 m/s
3. Seorang pemain golf, memukul bola dengan kecepatan 6,5 m/s dan sudut elevasi 67,40, terhadap bidang horizontal.Jika percepatan gravitasi bumi 10 m/s2. Tentukanlah :
a. waktu yang di butuhkan untuk mencapai titik tejauh b. ketinggian maksimun yang dapat dicapai
c. jarak terjauh yang dapat dicapai
GERAK DALAM BIDANG DATAR
m/s
67,40
ang di perlukan bola jatuh ke tanah t0B 0B
v0 = 6,5 g = 10 m/s2
θ = Ditanya : t0B? Y0H? X0B? Jawab :
a. waktu y
t =
g
v sinθ
. 2 0 = 10 4 , 67 sin ) 6 , 5 .( 2 0
= 1,2 s
b. ketinggian maksimun yang dicapai yH :
H
y =
g v02
sin2θ 2 = 10 . 2 ) 5 , 6 ( 2
sin2 67,40
. jarak terjauh : x0B
= 1,8 m
c
x 0B =
g
v02 sin2θ
=
g v02
(2. sinθ . cos θ)
= 10 ) 5 , 6 ( 2
. (2 sin 67,40. cos 67,40)
4. ebuah peluru ditembakkan dengan kecepatan 50 m/s, dengan sudut
Penyelesaian :
m/s
m/s2
Di a : θ ab :
= 3 m
S
elavasi θ. Bila peluru sampai ditanah pada jarak 200 m dari tempat peluru ditembakkan, tentukanlah sudut elevasinya, jika perceptan gravitasi bumi 10 m/s2
Diketahui : v0 = 50 x0B = 200 m
g = 10
tany
GERAK DALAM BIDANG DATAR
x0B =
g v02
sin2θ
sin 2θ = 2
0 0 . v
g x B
= 2
50 10 . 200
= 0,8
sin 2θ = sin 53
( pada kuadran I)
(1800 - 530)
adi ada dua sudut elevasi yang menghasilkan jarak terjauh yang sama.
Y
θ ?
200 m
4 Gerak Melingkar
ebuah benda bergerak mengelilingi lingkaran yang berjari-jari R, 0
2θ = 530 θ1 = 26,50 atau
2θ =
θ2 = 63,50
J
Dimana kalau kedua sudut tersebut dijumlahkan, besarnya 900.
v0 = 50 m/s
X
4.
Gerak melingkar beraturan adalah suatu gerak dimana besar kecepatan dan percepatannya konstan tetapi arahnya berubah-ubah setiap saat. Dimana arah kecepatan disuatu titik sama dengan arah garis singgung lingkaran dititik itu dan arah percepatannya selalu mengarah ke pusat lingkaran.
Jika s
maka kecepatannya v akan menyinggung lingkaran dengan arah tegak lurus jari-jari R. Kalau diukur jarak sekeliling lingkaran dari titik pusat lingkaran maka panjang busur s = R.θ, sehingga :
v =
dt ds
=
dt d
GERAK DALAM BIDANG DATAR
Gambar 4.4 Gerak melingkar
Perubahan sudut yang disapu R setiap detik dinamakan kecepatan sudu
θ
t atau frekuensi sudut ω =
dt dθ
4.25
Hubungan kecepatan v (kecepatan tangensial atau kecepatan singg
v =
ung) dengan kecepatan sudut adalah :
R
ω 4.26
Waktu yang diperlukan untuk benda melakukan satu kali putaran penuh disebut periode (P), dan banyaknya putaran yang dilakukan tiap detik disebut frekuensi (f), maka :
f =
P
ω konstan persamaan (4.25) diintegralkan didapat :
1
4.27 Jika percepatan sudut
= dt
0
.
ω atau
∫
θ
θ θ
0
d
∫
t
t
) ( 0
0 + t−t
=θ ω
θ 4.28
pabila θ0 = 0 dan t0 = 0 maka,
θ = ω.t atau ω = A
t
θ
4.29
Untuk satu kali putaran t = P dan θ = 2 π, sehingga diperoleh :
ω =
P
π
2
= 2 π f 4.30
Apab cepatan sudut partikel berubah terhadap waktu, maka didapat percepatan sudut
ila ke
aC
B A
VA
GERAK DALAM BIDANG DATAR
α =
dt
dω
= 2
2
dt
d θ
4.31
Jika percepatan sudut tetap, persamaan (4.31) diintegralkan maka :
0 0
∫
dω=∫
αdt atau 0 (t t0)ω ω t t − + =ω α
ω 4.32
Kalau persamaan (4.25) dan persamaan (4.32), digabungkan maka didapat :
∫
θ θ 0 d θ = t t dt t t dt 0 0 ) ( . 0 0 α ω Jadi∫
+∫
− t t 2 0 2 1 0 00 + (t−t )+ (t−t )
=θ ω α
θ 4.33
Persamaan (4.33) merupakan posisi sudut pada setiap saat. Percepatan tangensial pada gerak melingkar adalah :
dt dv
aT = =
dt d
R ω = 2
2 d
R θ =
dt R.α 4.34
Sedangkan percepatan sentripetal adalah :
R v a
2
= = ω2R 4.35
C
Gambar 4.5 Percepatan tangensial dan percepatan sentripetal
Ji , tidak
da percepatan tangensial, tapi ada percepatan sentripetal yang akan meru
ka pada gerak melingkar beraturan tidak ada percepatan sudut a
bah arah gerak kecepatan. dimana ω tetap maka didapat :
R v
dR dv
a= =ω. =ω. =ω2
dt
dt 4.36
a
Ta
GERAK DALAM BIDANG DATAR
Percepatan total benda :
2 2
c
T a
a
a = + 4.37
Gaya centripetal adalah gay elingkar yang besarnya :
a yang harus bekerja pada benda bergerak m
r
v
m
F
c2
.
=
4.38Analogi gerak melin berubah beraturan
gkar berubah beraturan dengan gerak lurus
Gerak Lurus Gerak Melingkar
vr = 2
0 vt
v +
ωr = 2
0 ωt
ω +
x = v . t θ = ωr.t
v = v0 + a.t ω = ω0 + α.t v2 = v02 + 2.a.∆t ω2 = ω02 + 2. α.∆t x = x 0 + v .t 0 +
2 1
.a.t2 θ = θ0 ω+ 0.t +
2 1
α.t2
Contoh :
bola bermassa 0,5 kg diikat diujung seutas tali yang mempunyai dalam suatu lingkaran horisontal
a tegang tali (gaya sentripetal)
pu menahan tegangan 50
Penyelesaian : Diketahui :
m 20 rpm
Di T
Jawab 1. Sebuah
panjang 1,5 m. bola tersebut diputar
seperti tampak pada gambar di bawah ini. Bila bola tersebut berputar dengan laju konstan dengan membuat putaran 120 putaran permenit (rpm) dan tali tidak putus. Tentukan
a. Frekuensi f dan periodenya T
b. Kecepatan sudut dan kecepan linearnya c. Percepatan sentripetal dan gay
d. Laju linearnya, jika tali tersebut hanya mam newton
m = 50 kg
= 1,5 r
putaran = 1
tanya :f?, ?, ω? v? FC?
GERAK DALAM BIDANG DATAR
= Jumlah putaran perdetik
f
=
menit 120
=
s . 60 120
= 2 s
1.5 m
Perioda :
T =
f
1
=
2 1
= 0,5 s b. Kecepa t :
ω = 2π.f
d.s-1 aju
v
.s-1
c. Percepatan sentripetalnya
tan sudu = 2π 2 = 4π ra L linear :
= ω R = 4π . 1,5 = 6π m
aC =
r v 2
=
5 . 1
) 6 ( π 2
4π2
m
Fs = 2 .s-2
GERAK DALAM BIDANG DATAR
FC =
r
v
2m
.
= 0,5
5 .
2 1
) 6 ( π 2
= 12. π Newton
ampu menahan gaya tegangan tali 50 newton, maka laju
F =
Tali hanya m
linearnya dapat dicari dengan
C
r
v
2m
.
v2 =
m r FC.
v =
m r FC.
=
5 , 0
) 5 , 1 .( 50
= 12,25 m.s
. Sebuah mobil dengan massa 1500 kg bergerak pada suatu tikungan jalan
ekerja pada mobil tersebut dan berapa gaya
b. bil terlempar, jika koefisien gesek statis
enyelesaian :
= 1500 kg
Gaya sentripetal :
F =
-1
2
yang datar dengan laju 5 m/s tanpa tergelincir/terlempar. Radius tikungan tersebut 25 m. Tentukan
a. Gaya sentripetal yang b gesek pada mobil tersebut. Laju maksimum tanpa mo antara ban dan jalan µs = 0,6
P
Diketahui : m
v = 5 m.s-1
r = 25 m
µ = 0,6
C
r
v
2m
.
= 1 500 25 52
= 1 500 Newton
GERAK DALAM BIDANG DATAR
FC =
r
v
maks2m
.
vmaks =
m r FC.
Dimana FC sama dengan gaya gesek FS :
F = µs . N mg
0 kg. 10 m/s2
v = s
= µs . = 0,6 . 150 = 9000 newton
maks
m r FC.
=
1500 ) 25 ( 9000 v maks = 150
= 12,25 m/s
4.4.1 Pergerakan pada belokan miring
Untuk gerak mobil pada belokan miring dan sudut kemiringan jalan θ, sepe
ambar 4.6 Gerak mobil pada bidang datar dan miring
Mobil tersebut dapat bergerak pada tikungan tanpa terlempar keluar jika
N sin rti gambar (4.6)
G
gaya sentripetalnya tidak melebihi komponen gaya Normal (N) pada arah yang sejajar jalan, dengan kemiringan θ
θ =
r v m. 2
N cos θ - mg = 0
GERAK DALAM BIDANG DATAR cos . sin . N N θ = g m r .
tan θ =
.
tan θ =
v m.. 22
g r v . 2 4.39
Jika jalan mempunyai koefisien gesek statik µs, persamaan menjadi
s
N sin θ + µ N =
r v m. 2
N cos θ - mg = 0
N cos θ = mg
an diperoleh hubungan D θ µ θ cos . . sin . N N
N + S
= g m r v m . . 2 θ µ θ cos sin + S
= g r v . 2 4.40
4.4.2 Gerak melingkar pada bidang vertical
Benda bergerak pada lingkaran, pada titik A,B, C dan D dapat diten mg NC NB mg g cosθ g
Gambar 4.7 : Posisi gaya yang bergerak pada lingkaran
Pada titik A, titik terendah : tukan gaya :
C
NA ND B
D
θ
A m
m
GERAK DALAM BIDANG DATAR
F = m.a
=
r v m. A2
NA – mg =
r v m. A2
NA = m.g +
r v m. A2
4.41
Pada titik B, arah gaya garvitasi arah kebawah sedangkan arah gaya tekan
ada titik C, titik teratas :
arah keluar, sehingga gaya sentripetalnya berharga negatif, sehingga pada titik B akan jatuh
P
F = m.a
=
r v m. C2
NC + mg =
r v
m C
2
.
NC = - m.g +
r v m. C2
4.42
= m.a
= Pada titik D :
F
r v m. D2
ND - mg cos θ =
r v
m D
2
.
ND = mg cos θ +
r v
m D
2
.
4.43
4.4.3 Ay an konis
Ayunan konis adalah putaran dari sebuah benda yang diikat dengan tali, a
T sin = un
pabila tali membentuk kerucut, lihat gambar (4.8). θ
r v m. 2
T cos θ = mg
GERAK DALAM BIDANG DATAR
θ θ
cos .
sin .
T T
=
g m
r v m
. . 2
tan θ =
r g v
.
2
4.44
T cos θ
l θ
θ
Tsinθ m r
mg
Gambar 4.8 Ayunan Konis
4.5 Gerak relatif
Gerak relatif adalah merupakan perpaduan dua buah gerak lurus beraturan. Sebuah kapal laut bergerak dengan kecepatan v1 diatas kapal seorang penumpang bergerak dengan kecepatan v2 membentuk sudut θ terhadap gerak kapal. Bagaimana pepindahan penumpang menurut pengamat yang diam. Jika perpindahan kapal s1 dan perpindahan penumpang s2 maka vektor perpindahan penumpang menurut pengamat yang diam adalah :
s = s1 + s2
Misalkan kapal bergerak selama t detik maka : s1 = v1.t
s2 = v2.t sehingga :
GERAK DALAM BIDANG DATAR
Resultan kecepatan v1 dan v2 adalah v lihat gambar (4.9), sehingga persamaan dapat ditulis :
s = v. t dengan
v = v1 + v2
v2 v
θ
α
v1
Gambar 4.9. gerak relatif v1 dan v2 Besar kecepatannya adalah :
v = v12 +v22 +2.v1.v2cosθ 4.45 Jika kita ambil sudut terkecil :
v = v12 +v22 −2.v1.v2cosα 4.46
Secara umum, bila benda A bergerak dengan kecepatan Va terhadap suatu acuan dan benda B bergerak dengan kecepatan Vb terhadap acuan yang sama, maka kecepatan benda A terhadap benda B dinamakan kecepatan relatif dan dapat ditulis sebagai vab. Secara vektor dapat ditulis :
vab = va - vb
Besar vab dapat dihitung dengan menggunakan rumus cosinus, yaitu
vab = va2 +vb2 −2.va.vbcosα 4.47
Contoh :
1. Sebuah perahu menyeberangi sungai dengan kecepatan 5 m/s, dengan arah tegak lurus arah arus sungai, jika kecepatan alairan sungai 3 m/s.
GERAK DALAM BIDANG DATAR
vp= 5 m/s
va = 3 m/s
Diketahui : vpa = 5 m/s vat = 3 m/s
t = 15 s
Ditanya : arah perahu ? dan lebar sungai ?
Jawab :
a. Perhatikan gambar dibawah ini : vpt
vpa = 5 m/s α θ
vat = 3 m/s
Karena vpt tegak lurus vat maka sudu α dapat di cari dengan perbandingan cosinus :
cos α =
pt at
v v
=
5 3
α = 530
arah kecepatan perahu terhadap arus vpt, yaitu sudut θ yang merupakan sudut pelurus dari α sehingga di dapat :
α + θ = 1800
= 1800 - α = 1800 - 530 = 1270
b. Kita hitung dulu vpt dari gambar diatas vpt2 = vpa2 - vat2
= 52 - 32
GERAK DALAM BIDANG DATAR
vpt = 4 m/s
lintasan yang ditempuh perahu : s = vpt . t
= 4 .15 = 60 m
2. Dua orang A dan B, masing-masing mengendarai sepeda motor. A bergerak dengan kecepatan tetap 12 m/s relatif terhadap bumi, sedangkan B bergerak dengan kecepatan tetap 5 m/s relatif terhadap bumi juga. Tentukan kecepatan relatif B terhadap A jika:
a. Keduanya bergerak searah (ke timur)
b. Keduanya bergerak berlawanan arah (va ke barat dan Vb ke timur)
c. Keduanya bergerak dengan arah tegak lurus (va ke utara dan vb ke timur)
Jawab
Kecepatan A dan B masing-masing kita sebut va dan vb dan kecepatan B terhadap A dinotasikan vba
va = 12 m/s dan vb = 5 m/s
a. Jika A dan B searah, maka sudut antara kedua vektor 0°
vb va
Arah ke kanan kita ambil positif dan kecepatan B terhadap A dapat ditulis secara vektor
vba = vb - va adapun vba = vb - va
= 5 – 12 = - 7 m/s.
(tanda minus menyatakan bahwa, B bergerak kiri terhadap A atau dengan kata lain, B ketinggalan 7 m tiap detiknya terhadap A)
b. Jika A dan B berlawanan arah, maka sudut antara kedua vektor 180°
va
vb
GERAK DALAM BIDANG DATAR
vba = vb - va adapun
vba = vb - va = 5 – (-12) = 17 m/s
(B bergerak menjauhi A ke timur dengan kecepatan 17 m/s)
c. Jika A dan B geraknya saling tegak lurus, maka sudut antara kedua vektor 90°
va
vb
Arah ke kanan (timur) kita ambil positif dan kecepatan B terhadap A dapat ditulis secara vektor
vba = vb - va
Adapun besar vba dapat diperoleh dengan menggunakan Phytagoras vba = va2 +vb2 −2.va.vbcosα
vba = 52 +122 −2.5.12.cos900 = 25+144
= 13 m/s
3. Seorang anak yang berada di atas kapal bergerak dengan kecepatan 8 m/s relatif terhadap kapal. Kapal tersebut sedang bergerak di laut dengan kecepatan 8 m/s relatif terhadap bumi, kearah timur
Tentukan kecepatan anak tersebut relatif terhadap bumi jika : a. Arahnya sama dengan arah gerak kapal
b. Arahnya berlawanan dengan arah gerak kapal
c. Arah gerak anak tersebut membentuk sudut 120° dengan arah timur (atau 60° dengan arah barat)
Jawab
Jika kecepatan anak diberi notasi va dan kecepatan kereta diberi notasi vk serta kecepatan bumi disebut vb,
vak = va – vk= 8 m/s (*) vkb = vk – vb= 8 m/s (**)
GERAK DALAM BIDANG DATAR
vab = va – vb
= (va – vk) +( vk – vb) = vak + vkb
Ini merupakan penjumlahan vektor dan besarnya dapat diperoleh dengan
vab = vak2 +vkb2 +2.vak.vkbcosα
a. arah gerak anak searah dengan arah gerak kereta α = 0°, cos 0° = 1 vab = vak2 +vkb2 +2.vak.vkbcosα va
= 82 +82 +2.8.8
vk
= 64+64+128
= 256
= 16 m/s
Atau dengan cara lain vab = va – vb
besarnya dapat diperoleh dari persamaan (1) dan (2) vab = va – vb
= (va – vk) +(vk – vb) = 8 m/s + 8 m/s = 16 m/s
b. Jika arah gerak anak berlawanan arah gerak kereta α = 180° = -1 vab = vak2 +vkb2 +2.vak.vkbcosα
= 82 +82 +2.8.8.(−1) v
a
= 64 +64−128 vk
= 0 m/s
Atau dengan cara lain
Jika arah gerak anak berlawanan dengan arah gerak kereta maka va – vk = -8 m/s
vk – vb = 8 m/s vab = va – vb vab = va – vb
= (va – vk) +(vk – vb) = 8 m/s - 8 m/s = 0 m/s
GERAK DALAM BIDANG DATAR
vab = vak2 +vkb2 +2.vak.vkbcosα
= 2 2 0
120 cos 8 . 8 . 2 8
8 + +
= 64+64−64 = 8 m/s
1200 vk
va
GERAK DALAM BIDANG DATAR
SOAL – SOAL LATIHAN
A. PILIHAN GANDA :
1. Sebuah rakit menyeberangi sungai dengan arah kecepatan tegak lurus terhadap arah arus sungai. Kecepatan rakit 0,3 m/s dan kecepatan arus 0,4 m/s. Rakit mencapai seberang dalam waktu 150 sekon. Lebar sungai adalah :
A. 95 m D. 50 m
B. 75 m E. 45 m
C. 60 m
2. Dua kapal A dan B mula-mula berada pada kedudukan yang sama. Pada saat yang bersamaan, kapal A berlayar ke barat dengan kelajuan 30 km/jam dan kapal B derlayar ke utara dengan kelajuan 40 km/jam. Jarak antara kedua kapal setelah berlayar selama ½ jam adalah :
A. 20 km D. 40 km
B. 25 km E. 50 km
C. 30 km
3. Sebuah sungai mengalir dari barat ke timur dengan kelajuan 5 m/menit. Seorang anak pada tepi selatan sungai mampu berenang dengan kelajuan 10 m/menit dalam air tenang. Jika anak itu ingin berenang menyeberangi sungai dengan selang waktu tercepat, maka ia harus berenang dengan sudut θ terhadap arah utara. Nilai sin θ adalah : A.
2 1
D. 5
5 2
B. 2 E. 2
2 3
C. 3 3 2
4. Air sungai mengalir dari barat ke timur dengan kelajuan c. Seorang anak berenang searah arus sungai dengan kelajuan v sampai menempuh jarak d, kemudian anak tersebut berbalik arah dan berenang menuju ke titik berangkatnya semula. Selang waktu yang ditempuh anak itu adalah :
A.
c v
d
+
2
D. 22 2
c v
dv
−
B.
c v
d
−
2
E. 22 2
c v
dv
+
C. 23 2
c v
dv
GERAK DALAM BIDANG DATAR
5. Bola P beratnya dua kali bola Q. P dijatuhkan vertical ke bawah dari atap sebuah gedung dan pada saat bersamaan Q dilempar horizontal pada kelajuan tinggi. Abaikan gesekan udara dan tentukan pernyataan mana berikut ini yang benar :
A. P menumbuk tanah sebelum Q B. Q menumbuk tanah sebelum P
C. Saat P menumbuk tanah Q berada setengah ketinggian dari tanah D. Keduanya menumbuk tanah pada saat bersamaan
E. Tidak cukup data dalam soal ini untuk memungkinkan kita menentukan jawabannya.
6. Sebuah pesawat terbang bergerak mendarat dengan kecepatan 200 m/s melepaskan bom dari ketinggian 500 m. Jika bom jatuh di B dan g = 10 m/s2, maka jarak AB adalah :
A. 500 m D. 1.750 m
B A
B. 1.000 m E. 2.000 m
C. 1.500 m
7. Sebuah mobil hendak menyeberang sebuah parit yang lebarnya 4,0 meter. Perbedaan tinggi antara kedua sisi parit itu adalah 15 cm seperti yang ditunjukkan oleh gambar di bawah ini. Jika percepatan gravitasi g = 10 m/s2, maka kelajuan minimum yang diperlukan ole mobil itu tepat dapat berlangsung adalah :
15 cm
4 m
A. 10 m/s D. 20 m/s
B. 15 m/s E. 23 m/s
GERAK DALAM BIDANG DATAR
8. Sebuah benda dilempar mendatar dari pinggir sebuah jurang dengan kecepatan v. Tiga sekon kemudian kecepatan benda berarah 60o terhadap arah mendatar. Dengan mengabaikan gesekan udara dan memakai nilai g = 10 m/s2, maka nilai v adalah:
A. 30 3 m/s D. 30 2m/s
B. 10 3m/s E. 10 2m/s
C. 20 m/s
9. Sebuah peluru dengan massa 20 gram ditembakkan dengan sudut elevasi 30o dan dengan kecepatan 40 m/s. Jika gesekan dengan udara diabaikan, maka ketinggian maksimum peluru (dalam m) adalah:
A. 10 D. 30
B. 20 E. 40
D. 25
10. Peluru ditembakan dari tanah condong ke atas dengan kecepatan v dan sudut elevasi 45o, dan mengenai sasaran di tanah yang jarak mendatarnya sejauh 2 x 105 m. Bila percepatan gravitasi 9,8 m/s2, maka v adalah:
A. 7,0 x 102 m/s D. 3,5 x 103 m/s B. 1,4 x 103 m/s E. 4,9 x 103 m/s D. 2,1 x 103 m/s
11. Sebuah benda ditembakkan miring ke atas dengan sudut elevasi 60o dan mencapai jarak terjauh 10 3 m. Jika g = 10 m/s2. Maka kecepatan pada saat mencapai titik tertinggi (dalam m/s ) adalah:
A. 5 2 D. 10 2
B. 5 3 E. 10 3
C. 10
12. Sebuah benda dilemparkan dari suatu tempat di tanah, mencapai ketinggian maksimum 90 m dan jatuh kembali ke tanah sejauh 180 m dari tempat asal pelemparan. Berapakah laju awal horizontal dari benda itu? Ambil g = 9,8 m/s2.
A. 21 m D. 48 m
B. 24 m E. 84 m
C. 42 m
13. Sebuah peluru ditembakan dengan sudut elevasi α. Jika jarak terjauh peluru sama dengan tinggi maksimumnya, maka nilai tan α adalah :
A. 1 D. 6
B. 3 E. 4
GERAK DALAM BIDANG DATAR
14. Sebuah partikel menjalani gerak parabola dan posisi partikel itu pada saat t adalah x = 6t dan y = 12t – 5t2. Jika percepatan grafitasi g = 10 m/s2, maka laju awal partikel itu adalah :
A. 6 m/s D. 6 5 m/s
B. 6 2 m/s E. 12 m/s
C. 6 3 m/s
15. Sebuah bola ditendang dengan laju awal 20 m/s dan sudut elevasi 45o. Pada saat bersamaan seorang pemain yang segaris dengan arah tendangan dan berdiri di garis gol yang 60 m jauhnya, mulai berlari untuk menjemput bola. Berapa laju lari pemain itu agar ia dapat menerima bola umpan sebelum bola itu menumbuk tanah?
A. 5 m/s D. 10 2m/s
B. 5 2 m/s E. 20 m/s
C. 10 m/s
16. Sebuah gerak parabola memiliki kelajuan awal v. Jika jarak terjauh gerak parabola sama dengan jarak tempuh sebuah partikel yang jatuh bebas agar memiliki laju v, maka sudut elevasi gerak parabola tersebut adalah:
A. 30o D. 75o
B. 45o E. 90o
C. 60o
17. Gatotkaca memutar sebuah batu dalam suatu lingkaran horizontal 2 m diatas tanah dengan menggunakan tali sepanjang 1,5 m. Tali putus dan batu terbang secara horizontal dan menumbuk tanah 9 m jauhnya. Percepatan sentripetal yang dialami batu itu selama dipercepat adalah (g = 10 m/s2).
A. 120 m/s2 D. 145 m/s2
B. 125 m/s2 E. 150 m/s2
C. 135 m/s2
18. Suatu benda berotasi mengitari sebuah poros dengan posisi sudutnya,
θ, dapat dinyatakan sebagai θ = 2t2 – 9t + 4; θ dalam rad dan t dalam
sekon. Kecepatan sudut suatu partikel pada benda pada t = 1,0 sekon, dalam rad/s adalah :
A. –6,0 D. –3,0
B. –5,0 E. –2,0
C. –4,0
GERAK DALAM BIDANG DATAR
A. 2,0 D. 3,5
B. 2,5 E. 4,0
C. 3,0
20. Sebuah roda berputar terhadap suatu poros tetap dan kecepatan sudut partikel pada roda dapat dinyatakan sebagai ω = 2,0 t – 3,0 . t dalam sekon dan ω dalam rad/s. Jika posisi sudut awal θo = 1,5 radian, maka posisi sudut partikel pada t = 1,0 sekon dalam rad adalah :
A. –1,5 D. +0,5
B. –1,0 E. +1,0
GERAK DALAM BIDANG DATAR
B. ESSAY :
1. Apakah yang dimaksud dengan kecepatan relatif dari sebuah benda yang sedang bergerak?
2. Sebuah kapal bergerak dengan kecepatan relatif tetap sebesar 8 m/s melawan arus sungai yang mempunyai kecepatan tetap 5 m/s. apakah gerak dari kapal tersebut relatif terhadap sungai, merupakan gerak lurus beraturan? Jelaskan.
3. Sebuah kapal terbang bergerak ke utara dengan kecepatan tetap vk dengan angin pada saat tersebut berkecepatan tetap va ke arah timur. Apakah gerak kapal tersebut relatif terhadap bumi merupakan gerak lurus beraturan?. Tentukan harga tangen (tg) dari sudut yang dibentuk arah pesawat dengan arah timur (dinyatakan dengan vk dan va).
4. Buktikan secara matematis perpaduan dari dua gerak lurus beraturan, merupakan gerak lurus beraturan juga, jika
a. Keduanya searah
b. Keduanya beralawanan arah c. Keduanya saling tegak lurus d. Keduanya membentuk sudut α
5. Seseorang yang berada di dalam kereta yang sedang bergerak melemparkan vertikal ke atas sebuah bola dan jatuh kembali ketangganya. Apakah bentuk lintasan dari bola tersebut, bila dilihat oleh seorang pengamat yang berada di kereta dan pengamat yang berada di bumi.
6. Peluru yang ditembakkan dengan kecepatan awal vo dengan sudut elevasi α mempunyai, lintasan parabola. Besar-besaran di bawah ini yang konstan adalah berbentuk
a. Kecepatan horisontalnya b. Percepatan vertikalnya c. Kecepatan vertikalnya
7. Sebuah bola dan selembar daun dijatuhkan dari suatu ketinggian pada saat yang bersamaan. Bila keduanya berada di dalam ruang vakum, manakah yang akan jatuh terlebih dahulu.
GERAK DALAM BIDANG DATAR
9. Hal yang harus diperhatikan oleh seorang atlet lompat jauh adalah kecepatan dilemparkan horisontal. Bola manakah yang akan jatuh di tanah terlebih dahulu?
10. Pada keadaan hujan, seorang pengamat melihat butiran air hujan jatuh tegak lurus muka bumi. Bila pengamat tersebut mengendarai mobilnya dengan kecepatan tetap 60 km/jam, jejak air hujan di kaca mobil membentuk sudut 60° dengan vertikal. Tentukan kecepatan air hujan tersebut (relatif terhadap bumi).
11. Seseorang menyebrangi sungai dan mengarahkan perahunya tegak lurus tepian dengan kecepatan 3 m/s relatif terhadap air dan air mengalir dengan kecepatan 4 m/s relatif terhadap tepi sungai. Tentukan kecepatan orang tersebut relatif terhadap tepi sungai.
12. Dua buah kereta A dan B bergerak dengan berturut-turut 100 km/jam dan 150 km/jam. Arah gerak kedua kereta membentuk sudut 60° . Tentukan:
a. Kecepatan relatif A terhadap kereta B
b. Kecepatan relatif perahu B terhadap perahu A
13. Bapak Amir dengan menggunakan mobilnya, melakukan perpindahan ke timur dengan kecepatan tetap 50 km/jam selama 30 menit, kemudian ke selatan dengan kecepatan 60 km/jam selama 20 menit. Perpindahan yang ke tiga ke arah timur lagi dengan kecepatan tetap 30 km/jam selama 10 menit. Tentukan:
a. Posisi Bapak Amir pada akhir perpindahan dihitung dari titik awal berangkat
b. Jarak yang ditempuh untuk ketiga perpindahan tersebut
c. Sudut yang dibentuk antara vektor posisi akhir dengan arah timur
14. Seorang tentara menembakkan peluru dengan kecepatan awal 60 m/s dan sudut elevasi α = 53° (tg 53° = 4/3). Tentukan:
a. Kecepatan, tinggi pada saat peluru mencapai titik tertinggi b. Kecepatan peluru pada saat tiba kembali di tanah
c. Tinggi peluru dan kecepatannya pada saat t = 2 sekon
GERAK DALAM BIDANG DATAR
16. Buktikan bahwa pada gerak parabola peluru yang ditembakkan dengan kecepatan awal vo mempunyai jarak tembak terjauh pada saat sudut elevasi α = 45°.
17. Pada gerak parabola peluru yang ditembakkan dengan kecepatan awal vo dapat mempunyai sepasang sudut elevasi yaitu α1 dan α2 yang mempunyai jarak tembak yang sama. Buktikan bahwa α1 + α2 = 90°.
18. Di dalam sebuah gedung bertingkat 5 ada tangga berjalan, yang dipergunakan untuk naik maupun turun dari satu lantai ke lantai lainnya. Seorang anak menaiki tangga tersebut yang bergerak ke atas dengan kecepatan tetap 5 m/s terhadap bumi. Kecepatan anak tersebut 4 m/s terhadap tangga. Tentukan kecepatan relatif anak tersebut terhadap bumi.
19. Kecepatan A terhadap bumi va sebesar 8 m/s dan kecepatan B terhadap bumi vb sebesar 8 m/s juga. Ternyata besar kecepatan B relatif terhadap A, vba sebesar 8 m/s. Berapakah besar sudut yang dibentuk antara va dan vb?
20. Partikel melakukan gerak melingkar beraturan. Besar-besaran fisika dari partikel tersebut, yang konstan adalah
a. Kecepatan linear b. Laju linear
c. Kecepatan angular d. Percepatan sentripetal
21. Seseorang melakukan gerak dengan lintasan yang tidak lurus selalu mempunyai kecepatan yang tidak konstan. Jelaskan!
22. Setiap benda yang melakukan gerak dengan lintasan lengkung selalu mempunyai percepatan sentripetal. Jelaskan!
23. Seekor semut berada pada suatu piringan yang berputar dengan porosnya tegak lurus piringan tersebut. (Piringan terletak pada bagaian kertas ini). Jika jarak semut kesumbu putar makin jauh maka pernyataan di bawah ini yang benar:
a. Laju linear makin besar
b. Kecepatan angular tetap
c. Percepatan sentripetalnya makin besar
24. Dua buah roda masing-masing mempunyai jari-jari R1 dan R2, keduanya dihubungkan dengan tali, hubungan di bawah ini yang benar adalah
GERAK DALAM BIDANG DATAR
b. Kecepatan angular dari roda yang terkecil lebih besar dari kecepatan angular roda yang besar
25. Sebuah benda yang diikat dengan tali, kemudian diputar pada bidang horisontal dengan kecepatan makin besar. Pada suatu saat tali putus. Apa yang menyebabkan benda terlempar keluar.
26. Gaya apakah yang menyebabkan bulan dalam peredaran mengelilingi bumi tetap berada pada orbitnya?
27. Bila anda mengendarai mobil dengan kecepatan tinggi, dan tiba pada suatu tikungan anda dianjurkan mengurangi kecepatannya. Mengapa? 28. Dalam akrobatik pesawat terbang yang membentuk lintasan melingkar,
pada titik tertinggi pilot merasakan badannya lebih ringan. Jelaskan!
29. Jelaskan prinsip-prinsip mesin pesawat sentrifugal yang dapat digunakan untuk mengendapakan partikel-partikel.
30. Sebuah benda bermassa 0,2 kg diikat pada seutas tali yang mempunyai panjang 0,5 m. Benda diputar dalam suatu lingkaran horisontal dengan frekuensi 4 Hz. Tentukan besar gaya tegang tali yang terjadi.
31. Seorang anak mengendarai sebuah sepeda yang kedua rodanya mempunyai jari-jari 36 cm dengan kelajuan 20 km/jam. Tentukan:
a. Frekuensi dari roda tersebut
b. Kecepatan angular dan kemana arahnya
32. Atom Hidrogen mempunyai sebuah electron yang bermassa 9 x 10-31 kg dan bergerak mengelilingi inti dengan jari-jari 5 x 10-11. Jika gaya yang menarik elektron ke inti sebesar 10-7 newton. Tentukan besar laju elektron.
33. Sebuah mobil yang bermassa 1500 kg, bergerak menaiki suatu bukit yang mempunyai jari-jari kelengkungan 30 m. Tentukan kecepatan maksimum di puncak bukit supaya mobil tidak lepas dari bukit.
34. Sebuah piringan hitam yang berjari-jari 12 cm sedang berputar dengan frekuensi 15 putaran per menit. Tentukan laju linear dari seekor semut yang berada
a. Dipinggir piringan hitam b. 5 cm dari poros putar
GERAK DALAM BIDANG DATAR
24 jam untuk satu kali putar. Hitung gaya sentripetalnya jika radius bumi 6400 km. Berapakah laju linearnya?
36. Sebuah ayunan konis terdiri dari sebuah bandul kecil yang massanya 0,4 kg dan seutas tali yang ringan dan panjangnya 120 cm. Ayunan berputar pada bidang horisontal dengan jari-jari 50 cm (g = 10 m/s2). Tentukan:
a. Besar gaya tegang tali b. Frekuensi angular bandul c. Laju
37. Sebuah mobil yang mempunyai massa 2000 kg dan pengendaranya bermassa 60 kg, bergerak pada melintasi jembatan lengkung yang radiusnya 15 m. Mobil tersebut bergerak dengan kelajuan 10 m/s dipuncak jembatan. Tentukan:
a. Gaya tekan mobil pada jembatan
b. Gaya tekan pengendara terhadap kursi
38. Seorang anak membawa seember air yang digantung dengan seutas tali dan beratnya 100 newton. Jika ember diputar dengan laju linier 4 m/s dalam bidang vertikal, berapakah pertambahan berat ember yang berisi air pada saat berada pada titik terendah?
