TEORI BAHASA DAN AUTOMATA

(1)

(2)

ABJAD, KATA DAN BAHASA

Perhatikan kalimat-kalimat berikut :

1. Program komputer ditulis dalam suatu bahasa pemrograman.

2. Pengetahuan sejati diperoleh dengan usaha pemikiran bukan dengan ingatan.

3. Barisan simbol-simbol yang biasa kita gunakan untuk menyajikan nilai bilangan ganjil (1,3,5,…) 4. Simbol adalah sebuah entitas abstrak bisa

(3)

Kalimat atau Pernyataan di atas mempunyai sekurang-kurangnya dua hal yang sama :

1. Masing-masing tersusun dari barisan

simbol (sequence of symbols) yang diambil dari suatu kumpulan yang

berhingga (finite).

2. Kardinal simbol di atas panjangnya

berhingga.

(4)

SIMBOL

Simbol adalah sebuah entitas abstrak (seperti halnya pengertian titik dalam geometri). Sebuah huruf atau sebuah angka adalah contoh simbol.

Contoh : - ‘a’,’b’,’c’,’d’,’e’,…a’,’b’,’c’,’d’,’e’,…

- ‘1’,’2’,’3’,’4’,’5’,…1’,’2’,’3’,’4’,’5’,…

(5)

ABJAD

• Sebuah himpunan berhingga tak kosong dari simbol-simbol dinamakan sebuah

abjad

abjad (alphabet). Notasi : __ • Contoh:

– Bahasa Inggris terdiri dari 26 simbol.



 = {a,b,c,….,z}= {a,b,c,….,z}

– Bahasa Arab terdiri dari 28 simbol

(6)

• Jika _ merupakan abjad apa saja, maka kita menulis __ untuk menotasikan



 adalah sebuah simbol dalam , maka

jika _={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} kita bisa menulis 00__..

(7)

• Karena sebuah abjad merupakan sebuah himpunan tak kosong, maka jika __1₁ dan 22

abjad-abjad, maka __₁₁__₂₂ juga abjad. Begitu pula __1₁- - 2 2 dan 221 1 yang

merupakan himpunan tidak kosong juga adalah abjad

(8)

KATA

/ UNTAI

/

UNTAI

/ STRING

/

STRING

• Sebuah barisan berhingga simbol dari suatu abjad sering dinamakan sebuah katakata (word) yang terbentuk dari abjad tsb.

• Sebagai contoh, jika a, b, dan c adalah tiga buah simbol maka abcb adalah sebuah kata yang dibangun dari ketiga simbol tersebut.

• Contoh lain :

(9)

• Untuk menghindari kekerliruan tentang kata, maka digunakan istilah untaiuntai (string) untuk menyatakan kata.

• Jika w adalah sebuah untaiuntai maka panjang untaiuntai

dinyatakan sebagai |w| dan didefinisikan sebagai cacahan (banyaknya) simbol yang menyusun untaiuntai

tersebut. Sebagai contoh, jika w = abcb maka |w|= 4.

• Untai_Untai hampa adalah sebuah string dengan nol buah simbol. String hampa dinyatakan dengan simbol _ (atau ^) sehingga |_|= 0. String hampa dapat dipandang sebagai simbol hampa karena keduanya tersusun dari nol buah simbol.

(10)

BAHASA

•

Suatu kumpulan dari kata-kata

atau untai

dinamakan sebuah

bahasa

(

language

). Sehingga

kumpulan

{1, 12, 123, 1234,

(11)

• Begitu

pula

dengan

kata

“

sebenarnya

” adalah sebuah bahasa

berdasarkan

abjad

Indonesia.

Sehingga

• Jika



merupakan sebuah abjad,

maka



juga sebuah bahasa-bahasa

yang terdiri dari semua untai simbol

tunggal.

(12)

• Bahasa yang tidak mempunyai untai

dinamakan bahasa kosong (empty

language), dinotasikan sbg _, tidak sama

dengan bahasa yang terdiri dari untai kosong {_}. Sebab _ tidak memiliki untai sedangkan {_} memiliki untai.

(13)

• Bahasa universal (universal language) dari _ adalah bahasa yang terdiri dari semua untai berdasarkan suatu abjad _.

• Notasi _*. • Contoh

– jika abjad _ = {1}, maka _* = {_, 1, 11, 111,

1111, …} tak berhingga karena

(14)

ABJAD, KATA, DAN BAHASA

• Jika

  adalah suatu abjad dan

– w adalah suatu untai berdasarkan _, dan

– L adalah sebuah bahasa yang terdiri dari beberapa untai berdasarkan _ dan

– jika w adalah sebuah untai dalam L, maka

wL, artinya w adalah elemen dari L

(15)

OPERASI

22

PADA UNTAI

• Jika w adalah sebuah untai berdasarkan suatu abjad, kita menotasikan panjang

(length) dari w dengan simbol |w|, yaitu banyaknya simbol di dalam untai itu,.

• Contoh

(16)

PERANGKAIAN

• Jika w dan z adalah untai-untai, perangkaian (concatenation) w dengan z adalah untai yang diperoleh dengan merekatkan untai z ke untai w, menjadi wz

atau w.z

• Contoh

(17)

• Kita dapatkan |wz| = |w| + |z|

• Concatenation _ ke w tidak mengubah w, sehingga _ dikatakan bertindak sebagai sebuah identitas (identity) terhadap operasi concatentaion

(18)

EKSPONENSIASI

• Kita dapat memperkenalkan pengertian eksponensiasi untuk untai2 berdasarkan

abjad sbr. Misalkan w merupakan sebuah kata atau untai; maka :

, jika n = 0 wn =

(19)

• Sehingga berdasarkan



= {1,2}, jika

w = 122, kita dapatkan

w0 = _

w1 = 122

w2 = 122122

w3 = 122122122

…

(20)

SAMA DENGAN

•

w

sama dengan

z

jika keduanya

mempunyai panjang sama dan

simbol-simbol sama pada posisi yang

sama.

(21)

OPERASI DASAR UNTAI

Diberikan dua string : x = abc, dan y = 123

• Prefik string w adalah string yang dihasilkan dari string w dengan

menghilangkan nol atau lebih simbol-simbol paling belakang dari

string w tersebut.

Contoh : abc, ab, a, dan  adalah semua Prefix(x)

• ProperPrefix string w adalah string yang dihasilkan dari string w

dengan menghilangkan satu atau lebih simbol-simbol paling

belakang dari string w tersebut.

Contoh : ab, a, dan  adalah semua ProperPrefix(x)

• Postfix (atau Sufix) string w adalah string yang dihasilkan dari string

w dengan menghilangkan nol atau lebih simbol-simbol paling depan

dari string w tersebut.

(22)

• ProperPostfix (atau PoperSufix) string w adalah string yang

dihasilkan dari string w dengan menghilangkan satu atau lebih

simbol-simbol paling depan dari string w tersebut.

Contoh : bc, c, dan  adalah semua ProperPostfix(x)

• Head string w adalah simbol paling depan dari string w.

Contoh : a adalah Head(x)

• Tail string w adalah string yang dihasilkan dari string w dengan

menghilangkan simbol paling depan dari string w tersebut.

Contoh : bc adalah Tail(x)

• Substring string w adalah string yang dihasilkan dari string w

dengan menghilangkan nol atau lebih simbol-simbol paling depan

dan/atau simbol-simbol paling belakang dari string w tersebut.

Contoh : abc, ab, bc, a, b, c, dan  adalah semua Substring(x)

(23)

• ProperSubstring string w adalah string yang dihasilkan dari string

w dengan menghilangkan satu atau lebih simbol-simbol paling

depan dan/atau simbol-simbol paling belakang dari string w

tersebut.

Contoh : ab, bc, a, b, c, dan  adalah semua Substring(x)

• Subsequence string w adalah string yang dihasilkan dari string w

dengan menghilangkan nol atau lebih simbol-simbol dari string w

tersebut.

Contoh : abc, ab, bc, ac, a, b, c, dan  adalah semua Subsequence(x)

• ProperSubsequence string w adalah string yang dihasilkan dari

string w dengan menghilangkan satu atau lebih simbol-simbol dari

string w tersebut.

Contoh : ab, bc, ac, a, b, c, dan  adalah semua Subsequence(x)

(24)

• Concatenation adalah penyambungan dua buah string. Operator concatenation adalah concate atau tanpa lambang apapun.

Contoh : concate(xy) = xy = abc123

• Alternation adalah pilihan satu di antara dua buah string. Operator alternation adalah alternate atau _.

Contoh : alternate(xy) = x_y = abc atau 123

• Kleene Closure : x* = _x_xx_xxx_… = _x_x _x _…

• Positive Closure : x = x_xx_xxx_… = x_x _x _…

(25)

BEBERAPA SIFAT OPERASI

• Tidak selalu berlaku : x = Prefix(x)Postfix(x)

• Tidak selalu berlaku : Prefix(x) = Postfix(x) atau Prefix(x)

 Postfix(x)

• Selalu berlaku : ProperPrefix(x) _ ProperPostfix(x) • Selalu berlaku : Head(x) _ Tail(x)

• Setiap Prefix(x), ProperPrefix(x), Postfix(x), ProperPostfix(x), Head(x), dan Tail(x) adalah Substring(x), tetapi tidak sebaliknya

(26)

• Dua sifat aljabar concatenation :

1. Operasi concatenation bersifat asosiatif : x(yz) = (xy)z

2. Elemen identitas operasi concatenation adalah _ : _x = x_ = x

• Tiga sifat aljabar alternation :

1. Operasi alternation bersifat komutatif : x_y = y_x

2. Operasi alternation bersifat asosiatif : x_(y_z) = (x_y)_z

3. Elemen identitas operasi alternation adalah dirinya sendiri : x_x = x

• Sifat distributif concatenation terhadap alternation : x (y_z) = xy_xz

(27)

OPERASI

22

PADA BAHASA

• Misalkan A dan B bahasa2 berdasarkan

suatu abjad. Kita mendefinisikan

Perangkaian bahasa A dan B. Notasi :

A  B = {w  x | w  A dan x  B}

Contoh :

– A = {merah, putih} dan B = {bendera} maka

(28)

• Untuk Eksponensiasi, misalkan A merupakan suatu bahasa berdasarkan suatu abjad _. Kita definisikan

_, jika n = 0 An =

AAn-1, jika n > 0

(29)

Contoh jika A = {ab} berdasarkan

abjad Inggris tersebut didapatkan:

A

0

= {



}

A

1

= A = {ab}

A

2

= A. A

1

= {abab}

A

3

= A. A

2

= {ababab}

(30)

• Jika A dan B adalah bahasa2 berdasarkan suatu

abjad _ maka Gabungan dari A dan B, ditunjukan sebagai A _ B, terdiri dari semua kata yang muncul sekurang-kurangnya sekali di dalam A dan B, artinya

A  B = {x | x  A atau x  B} Contoh

  = {0,1},

– A = {, 0, 1, 10, 11}, – B = {_, 1, 0110, 11010}

(31)

• Misalkan A dan B adalah bahasa-bahasa berdasarkan suatu abjad _, maka Irisan dari A dan B adalah terdiri dari untai-untai yang muncul baik di A maupun di B sekaligus.

A _ B = {x | x _ A dan x _ B Contoh :

  = {0,1}

– A = {_, 0, 1, 10, 11}

– B = {_, 1, 0110, 11010}

(32)

• Equal (sama) Misalkan bahwa A dan B adalah bahasa2 berdasarkan suatu abjad

. Maka A=B jika dan hanya jika AB dan

B_A sekaligus.

(33)

TEOREMA

• Untuk bahasa-bahasa A, B, dan C berdasarkan suatu abjad _, yang berikut ini terpenuhi

(34)

TERIMA KASIH

(35)

Pertanyaan.?

1. Misalkan _ = {a,u,k} jika w = {aku}

• Carilah wn_{untuk n=0,1,2,3,4,5.}

• Untai-untai apa sajakah di dalam wn_{untuk sembarang n?}

2. Misalkan A={Mouse, Keyboard} dan B = {Optik, USB}

Carilah Concatenation: A . B = ?

3. Tidak selalu berlaku : x = Prefix(x)Postfix(x)

4. Tidak selalu berlaku : Prefix(x) = Postfix(x) atau Prefix(x) 

Postfix(x)

5. Selalu berlaku : ProperPrefix(x)  ProperPostfix(x)

6. Selalu berlaku : Head(x)  Tail(x)