TEORI DASAR METODE CHAIN LADDER STOKASTI

(1)

JUDUL : PREDIKSI CADANGAN KLAIM DENGAN METODE CHAIN LADDER STOKASTIK DAN TEKNIK BOOTSTRAP PADA MODEL OVER DISPERSED POISSON (ODP)

APLIKASI TEKNIK BOOTSTRAP UNTUK MENAKSIR STANDAR ERROR SUATU STATISTIK PADA GENERALIZED LINEAR MODEL (GLM) DALAM MEMPREDIKSI CADANGAN KLAIM

#METODE CHAIN LADDER

Data segitiga run-off klaim incremental:

i\j 1 2 3 … n-1 n

C

_{i , j} : Besar Klaim Incremental

D_{i , j}: Besar Klaim Kumulatif

Asumsi bahwa pada setiap tahun kejadian (accident year) tiap data memiliki faktor development yang sama untuk

¿

1,2, 3,

… , n

:

(2)

#Generalized Linear Model & Claim Reserving Methods [Pendahuluan GLM secara umum – dari buku Piet De Jong] Keluarga Distribusi Eksponensial

***

Model stokastik untuk menghitung cadangan klaim melalui nilai rataan dari suatu keluarga distribusi pada generalized linear model (McCullagh dan Nelder (1989) pada pengenalan GLM).

Struktur pada GLM yaitu:

(1)

Y

ij

f

(

y ;μ

ij

,

∅

)

dengan

Y

ij saling bebas,

μ

ij

=

E

(

Y

ij

)

, dan f(.) fungsi density

(peluang) dari Y_ij yang termasuk ke dalam distribusi keluarga eksponensial. _∅ adalah scale parameter.

Diketahui bahwa model GLM dengan struktur pada (3) dengan nilai

V

(

μ

_ij

)

=

μ

_ij , adalah distribusi quasi over-dispersed Poisson yang memberikan nilai prediksi yang sama dengan teknik Chain Ladder (Renshaw and Verral (1994)).

Saat menggunakan distribusi quasi over-dispersed Poisson, diperlukan adanya konstrain (kendala) dimana penjumlahan klaim incremental pada setiap kolom lebih besar dari nol.

Pada prediksi cadangan klaim, the figures of interest will be the aggregate value

Y

¿

=

∑

dan total pada baris

i

∗

¿

=

∑

j=n−i+2

n

Y

_ij

(3)

Nilai taksiran akan dihasilkan pada

^

μ

¿

=

∑

Prosedur yang perlu dilakukan untuk memperoleh nilai prediksi/taksiran yaitu:

(1) Mendefinisikan model.

(2) Estimasi parameter c , α_i, β_j untuk i, j=1,2,… ,n dan ∅ .

(3) Diperoleh nilai hasil fit model

^

μ

_ij

(

i

=

1,2,

… , n dan j

=

1,2,

… , n

−

i

+

1 )

(4) Periksa model

(5) Diperoleh nilai prediksi individu yaitu

^

μ

ij

=^

c

+ ^

α

i

+ ^

β

j

(

i=2,… , n dan j=n−i+2,… ,n

)

(6) Memperoleh prediksi nilai untuk besar cadangan pada baris (masing-masing tahun kejadian)

i

∗

¿

=

∑

(7) Memperoleh prediksi nilai cadangan total

^

pustaka: [7]pineiro_silva_centeno-bootstrap methodology in claim reserving

# Distribusi Tweedie > Keluarga Distribusi Dispersed Exponential

Pustaka: modern actuarial risk theory book p.317

#Model Over-Dispersed Poisson

Model distribusi over-dispersed poisson merupakan jenis model non-rekursif. Pada model ini diasumsikan bahwa besar klaim incremental Cij berdistribusi saling bebas (independent). Klaim

incremental

C

_ij merupakan variabel acak berdistribusi over-dispersed poisson dengan nilai mean dan variansi sebagai berikut

E

_[

C

_ij

_]

=

m

_ij

(4)

Sebagai contoh berikut bentuk model over-dispersed poisson yang digunakan untuk memprediksi besar klaim/banyak klaim dimasa mendatang dengan metode chain ladder (dibawah kondisi tertentu)

log

(

m

ij

)

=

c

+

α

i

+

β

j

,

dimana i=1,2,… , n , j=1,2,… , n dan α1=β1=0.

Fungsi link yang digunakan yaitu fungsi log. Dengan

α

menyatakan parameter pada tahun kejadian (accident year), β parameter terhadap tahun development, dan c level parameter. Parameter

∅

merupakan scale parameter.

#Estimasi Parameter (

α , β , c dan

_∅

¿

Pustaka: buku piet de jong (materi MLE)

#Prediksi Standar Error (dkk)

Paper: a flexible framework for stochastic claims (verral-England)/ di pinheiro jg ada

#Metode Bootstrap

Metode Bootstrap adalah metode untuk menghasilkan distribusi sampling untuk Ini adalah metode untuk mendapatkan distribusi sampling untuk sejumlah statistic dengan membuat sampel semu (pseudo-sample) yang diperoleh secara acak dengan penggantian, dari data pengamatan.

Contoh sederhana*

(5)

Akan dilakukan proses resampling data residual dari model ODP. Asumsi yang harus dipenuhi yaitu variabel respon berdistribusi saling bebas dan identik (iid)

Berikut langkah-langkah:

1. Fit model ODP ke data klaim dan hitung nilai besar klaim inkremental. 2. Hitung nilai adjusted residual dan scaled residual

3. Lakukan bootstrapresampling residuals

4. Diperoleh pseudo data dari resampled residual dan lakukan fit untuk menentukan nilai klaim inkremental

5. Dengan metode chain ladder, dilakukan estimasi nilai klaim inkremental di masa yang akan datang