LAB MANAJEMEN DASAR MODUL STATISTIKA 1 N

(1)

LAB MANAJEMEN DASAR

MODUL STATISTIKA 1

Nama :

NPM/Kelas :

Fakultas/Jurusan :

Hari dan Shift Praktikum :

Fakultas Ekonomi

Universitas Gunadarma

(2)

UKURAN STATISTIK

Pendahuluan

Ukuran statistik merupakan ukuran yang menunjukkan bagaimana suatu gugus data memusat dan menyebar. Di dalam ukuran statistik ada tiga bentuk ukuran deskripsi data, yaitu : ukuran pusat data, ukuran variabilitas data dan ukuran bentuk distribusi data. Ukuran pusat data yang banyak digunakan untuk mendeskripsikan data adalah mean (rata-rata hitung), median dan modus.

Ukuran penyebaran suatu kelompok data terhadap pusat data disebut disperse atau variasi atau keragaman data. Ukuran disperse data yang umum dipakai adalah jangkauan (range), variansi dan standar deviasi.

UKURAN PEMUSATAN

1.

MEAN (rata-rata hitung)

Rata-rata dihitung dengan menjumlahkan seluruh angka data yang selanjutnya dibagi dengan banyaknya (jumlah) data. Jumlah data untuk data sampel disebut sebagai ukuran sampel yang disimbolkan dengan n dan untuk data populasi disebut sebagai ukuran populasi yang disimbolkan dengan N.

Untuk rata-rata hitung sekumpulan data hasil observasi dihitung dengan menggunakan rumus berikut :

Rata-rata (X¯) = ∑(Xi) / N

Dimana : Xi = nilai dari observasi yang ke-i

N = banyaknya observasi ukuran sample.

2.

MEDIAN

Median adalah nilai yang membagi gugus data yang telah tersortir (ascending) menjadi 2 bagian yang sama besar.

Letak median = (n+1)/2

Kuartil adalah nilai yang membagi gugus data yang telah tersortir (ascending) menjadi empat bagian yang sama besar. Nilai kuartil terdiri dari kuartil 1, kuartil 2 dan kuartil 3.

Nilai kuartil 2 suatu gugus data sama dengan nilai median tersebut.

3.

MODUS

Modus merupakan nilai yang paling sering muncul atau nilai yang frekuensinya paling tinggi.

UKURAN PENYEBARAN 1. Jangkauan (range)

Jangkauan atau range (r) suatu gugus data adalah selisih antara nilai maksimum dengan nilai minimum.

2. Variansi

Variansi adalah rata-rata kuadrat selisih atau kuadrat simpangan dari semua nilai data terhadap rata-rata hitung. Variansi untuk sampel dilambangkan dengan s2. sedangkan untuk populasi dilambangkan dengan σ2

Variansi (s)2 = [∑(Xi-X)] / (n-1)

3. Standar Deviasi

(3)

Contoh :

Diketahui data umur pegawai PT DOFI yaitu 19 40 38 31 42 20 27 22 37 42

Untuk mencari nilai-nilai ukuran statistik data tersebut dengan menggunakan program R, ikutilah langkah-langkah berikut :

1. Tekan icon R Commander pada desktop, kemudian akan muncul tampilan seperti gambar di bawah ini.

2. Pilih menu Data, New data set. Masukkan nama dari data set adalah umur, lalu tekan tombol OK.

3. Masukkan data umur pegawai PT. DOFI. Jika data editor tidak aktif maka dapat diaktifkan dengan menekan RGui di taskbar windows pada bagian bawah layar monitor. Jika sudah selesai dalam pengisian data tekan tombol Close.

(4)

4. Untuk mengecek kebenaran data yang sudah dimasukkan, tekan tombol View data set maka akan muncul tampilan seperti gambar di bawah ini. Jika ada data yang salah, tekan tombol edit data

set, lalu perbaiki data yang salah.

(5)

6. Akan muncul tampilan :

Maka kita bisa mengetahui bahwa dari data umur pegawai PT. DOFI, memiliki nilai : Minimum : 19.00

(6)

Untuk mengetahui standar deviasi, lakukan langkah berikut : 1. Tekan Statistic, Summaries, Numerical Summeries.

2. Maka akan muncul tampilan seperti gambar di bawah ini, kemudian tekan tombol OK.

(7)

Dari tampilan ini, anda bisa mendapatkan tambahan informasi numeric, yaitu standar deviasi : 9.2111. Perhatikan perbandingan tampilan pertama dan kedua. Terlihat bahwa nilai minimum pada tampilan pertama sama dengan nilai kuartil 0% pada tampilan kedua. Nilai median sama dengan quartile 50% dan seterusnya. Nilai n menunjukkan banyaknya data.

Untuk melihat bentuk histogram dari data umur pegawai PT DOFI, lakukan langkah berikut :

1.

Tekan R Commander, Graphs, Histogram kemudian akan muncul tampilan seperti gambar di bawah ini.

2. Pilih Frequency Counts, OK.

3. Akan terlihat bahwa kelas modus adalah antara 40-42 dengan frekuensi 3. Jika histogram tidak

(8)

Untuk membersihkan script window pada R Commander, lakukan langkah berikut :

1. Letakkan kursor pada script window

2. Kilik Kanan

3. Klik kiri pada clear window

Untuk membersihkan output window pada R commander, lakukan langkah berikut :

1. Letakkan kursor pada output window

2. Kilik kanan

3. Klik kiri pada clear window

Untuk melakukan perhitungan, misalnya mencari nilai :

(9)

1. Aktifkan R Commander kemudian tuliskan pada script window, misalkan a=26. lalu tekan tombol

submit

2. Tuliskan pada script window, misalkan b=19. lalu tekan tombol submit 3. Tuliskan pada script window, c=a-b. lalu tekan tombol submit

(10)

DISTRIBUSI BINOMIAL

Pendahuluan

Distribusi binomial merupakan suatu proses distribusi probabilitas yang dapat digunakan apabila suatu proses sampling dapat diasumsikan sesuai dengan proses Bernoulli. Proses Bernoulli adalah suatu proses probabilitas yang dapat dilakukan berulang kali.

Misalnya :

 Dalam pelemparan sekeping uang logam sebanyak 5 kali. Hasil setiap pelemparan uang logam tersebut hanya mungkin muncul sisi gambar atau angka saja.

 Dalam pengambilan kartu yang dilakukan secara berturut-turut, kemungkinan yang muncul hanya kartu merah atau kartu hitam saja.

Dari contoh di atas dapat diberikan suatu label “berhasil” untuk sisi gambar dan label “gagal” untuk sisi angka ataupun sebaliknya. Begitu juga dengan pengambilan kartu, kita dapat memberi label “berhasil” untuk pengambilan kartu warna merah dan label “gagal” untuk pengambilan kartu warna hitam ataupun sebaliknya. Ulangan-ulangan tersebut bersifat bebas dan peluang berhasil atau gagal setiap ulangan memiliki probabilitas yang sama yaitu 50% atau ½.

Sebenarnya ada sedikit persamaan antara distribusi binomial dengan distribusi poisson. Keduanya berusaha mencari kemungkinan yang timbul dari suatu peristiwa/kejadian yang ada. Namun ada beberapa hal yang membedakan penggunaan kedua distribusi tersebut yaitu:



Distribusi binomial digunakan jika besarnya sampel (n) < 20 (kurang dari 20) dan nilai

peluang berhasil dalam setiap ulangan (p) > 0.05

 Distribusi poisson digunakan jika besarnya sampel (n) ≥ 20 (lebih dari 20 atau sama dengan 20) dan nilai peluang berhasil dalam setiap ulangan (p) ≤ 0.05 (kurang dari 0.05 atau sama dengan 0.05)

Adapun ciri-ciri atau karakteristik distribusi binomial antara lain : a. Percobaan diulang sebanyak n kali

b. Hasil setiap ulangan dapat dikategorikan dalam 2 kelas Misal :

 “berhasil” atau “gagal”

 “ya” atau “tidak”

 “success” atau “failed”

c. Peluang berhasil atau sukses disimbolkan dengan p dan dalam setiap ulangan nilai p tetap, dimana p = 1 - q sedangkan peluang gagal dinyatakan dengan q dimana q = 1 - p

d. Banyaknya keberhasilan dalam peubah acak disimbolkan dengan x e. Setiap ulangan bersifat bebas (independent) satu dengan lainnya.

Catatan

Untuk memberikan kemudahan dalam membedakan antara nilai p dan nilai q, terlebih dahulu

harus ditetapkan yang mana yang merupakan kejadian yang dapat dikategorikan “sukses

atau berhasil” dan yang mana kejadian yang dapat dikategorikan “gagal”. Perlu diingat

bahwa kejadian yang menjadi pertanyaan ataupun ditanyakan dari suatu permasalahan bisa

dikategorikan sebagai kejadian “sukses atau berhasil”. Dengan demikian kejadian yang

menjadi pertanyaan dari suatu permasalahan dapat disimbolkan dengan p.

Selain itu perlu diperhatikan juga penggunaan simbol yang tepat misalnya :

 Kurang dari disimbolkan dengan <

 Lebih dari disimbolkan dengan >

(11)

 Paling sedikit disimbolkan dengan ≥

 Kurang dari sama dengan disimbolkan dengan ≤

 Lebih dari sama dengan disimbolkan dengan ≥

Tujuan Praktikum Binomial

Tujuan dari praktikum materi distribusi binomial ini adalah untuk membantu praktikan dalam mempelajari dan memahami bagaimana cara mencari nilai probabilitas (kemungkinan) dari suatu kejadian binomial (kejadian dengan jumlah sampel < 20 dan nilai peluang berhasil > 0.05) dengan menggunakan program R.

Rumus umum binomial

b (x;n,p) = C

xn

p

x

q

n-x

Keterangan :

n = banyaknya kejadian berulang

x = banyaknya keberhasilan dalam peubah acak x

p = peluang berhasil dalam setiap ulangan dimana p = 1 - q

q = peluang gagal dimana q = 1 - p

Langkah-langkah mengoperasikan program R untuk distribusi binomial : a. Apabila diketahui x = …

 Tekan R Commander

 Perintah mencari probabilitas binomial pada Script Window atau dbinom (x,n,p), maka tuliskan nilai x,n,p pada Script Window tersebut.

 kemudian tekan Submit

 maka pada output window akan muncul nilai probabilitasnya.

b. Apabila diketahui nilai …≤…x…≤…… Atau nilai x = sampai …

 Perintah mencari probabilitas binomial pada Script Window adalah sum (dbinom

(x,n,p)),maka tuliskan nilai x,n,p pada Script Window tersebut.

 kemudian tekan Submit

 maka pada output window akan muncul nilai probabilitasnya.

c. Apabila diketahui kata-kata paling banyak … atau x ≤

 Tekan distribution, discret distributions, binomial distribution, lalu binomial tail probabilities.

 Input variabel value (s) = nilai x

Contoh :

Paling banyak 5 orang menyatakan tertarik menonton sepak bola. Maka nilai x ≤ 5, jadi input var value (s) =5

 Input binomial trial = nilai n

 Input probability of success = (nilai p)

 Lalu pilih lower tail (karena ditanyakan probabilitas paling banyak )

 Tekan ok

 Maka akan diperoleh nilai probabilitas tersebut.

d. Apabila diketahui kata-kata paling sedikit … atau x≥

(12)

 Tekan distribution, discret distributions, binomial distribution, lalu binomial tail probabilities

 Perhatikan bahwa yang ditanyakan adalah paling sedikit, maka x ≥ atau x >….

Contoh :

Paling sedikit 5 orang menyatakan tertarik menonton sepak bola. Maka nilai x ≥ 5 atau x > 4

 Input variabel value (s) = 4

 Input binomial trial s = nilai n

 Input probability of success = (nilai p)

 lalu pilih upper tail (karena yamg ditanyakan probabilitas paling sedikit atau lebih dari ).

 Tekan ok

 Maka akan diperoleh nilai probabilitas tersebut.

KASUS

Berdasarkan data BPS mengenai warga yang menerima BLT, 40 % warga miskin menyatakan menerima BLT dan sisanya tidak menerima BLT. Apabila ditanyakan pada 5 orang warga miskin di Indonesia, berapakah probabilitas:

a. Paling sedikit 4 orang diantaranya menerima BLT b. 3 orang diantaranya menerima BLT

c. Paling banyak 2 orang tidak menerima BLT d. Ada 2 sampai 4 orang yang tidak menerima BLT

JAWAB

a. x ≥ 4 atau x > 3

1. Tekan icon R Commander pada desktop,

2. Pilih menu Distribution, Discrete distributions, Binomial distribution, lalu Binomial tail probabilities

(13)

4. Maka nilai probabilitas paling sedikit 4 orang menerima BLT adalah 0.08704 atau jika dinyatakan dalam bentuk persentase sebesar 87.04%

b. X = 3

2. Perintah mencari probabilitas binomial pada script window adalah dbinom (x,n,p), , maka tuliskan pada script window dbinom (3,5,0.4) kemudian tekan tombol Submit

(14)

Atau

2. Pilih menu Distribution, Discrete distributions, Binomial distribution, lalu Binomial probabilities

3. Isi nilai n pada kotak binomial trials = 5 , kemudian input probabilities of success dengan nilai probabilitas berhasil ( probabilities of success = 0.4 ) kemudian tekan tombol OK

(15)

c. x ≤ 2

2. Pilih menu Distribution, Discrete distributions, Binomial distribution, lalu Binomial tail probabilities.

3. Input nilai variabel value (s) = 2, input binomial trial = 5, input probabilities of success = 0.6 (karena yang ditanyakan yang tidak menerima BLT), kemudian pilih lower tail (karena yang ditanyakan paling banyak ) dan tekan tombol OK

(16)

d. 2 ≤ x ≤ 4

2. Perintah mencari probabilitas binomial pada script window adalah sum(dbinom (x,n,p)), , maka tuliskan pada script window sum(dbinom (2:4 ,5,0.6))

3. Tekan submit

(17)

DISTRIBUSI POISSON

Pendahuluan

Distribusi poisson diberi nama sesuai dengan penemunya yaitu Siemon D. Poisson. Distribusi ini merupakan distribusi probabilitas untuk variabel diskrit acak yang mempunyai nilai 0, 1, 2, 3 dan seterusnya. Suatu bentuk dari distribusi ini adalah rumus pendekatan peluang poisson untuk peluang binomial yang dapat digunakan untuk pendekatan probabilitas binomial dalam situasi tertentu.

Rumus poisson dapat digunakan untuk menghitung probabilitas dari jumlah kedatangan, misalnya : probabilitas jumlah kedatangan nasabah pada suatu bank pada jam kantor. Distribusi poisson ini digunakan untuk menghitung probabilitas menurut satuan waktu.

Rumus Pendekatan Peluang Poisson untuk Binomial

Pendekatan peluang poisson untuk peluang binomial dilakukan untuk mendekatkan probabilitas probabilitas dari kelas sukses (x) dari n percobaan binomial dalam situasi dimana n sangat besar dan probabilitas kelas sukses (p) sangat kecil. Aturan yang diikuti oleh kebanyakan ahli statistika adalah bahwa n cukup besar dan p cukup kecil, jika n adalah 20 atau lebih dari 20 dan p adalah 0.05 atau kurang dari 0.05. Pada pendekatan ini rumusnya lebih mudah untuk digunakan dibandingkan dengan rumus binomial. Untuk menghitung probabilitas suatu peristiwa yang berdistribusi poisson digunakan rumus sebagai berikut

P ( x ; µ ) = (e – µ. µ X ) / X ! Dimana : e = 2.71828

µ = rata – rata keberhasilan = n . p

x = Banyaknya unsur berhasil dalam sampel n = Jumlah / ukuran populasi

p = probabilitas kelas sukses

Rumus Proses Poisson

Distribusi poisson dalam konteks yang lebih luas dari pada rumus pertama tadi. Sebagai ilustrasi, misalkan pada hari Senin ini adalah jam kerja yang sibuk pada suatu bank, dan kita tertarik oleh jumlah nasabah yang mungkin datang selama jam kerja tersebut, dengan ketertarikan kita sebenarnya terletak pada interval waktu dan jumlah kedatangan dalam interval waktu jika proses kedatangannya mempunyai karakteristik sebagai berikut :

1. Tingkat kedatangan rata-rata setiap unit waktu adalah konstant.

Dalam ilustrasi tadi dapat berarti bahwa jika tingkat kedatangan rata–rata untuk periode jam adalah, misalkan 72 kedatangan setiap jam, maka tingkat ini melambangkan interval waktu pada jam kerja tadi : yaitu tingkat yang dapat dirubah kepada rata–rata yaitu 36 kedatangan setiap ½ jam atau 1.2 kedatangan setiap menit.

2. Jumlah kedatangan pada interval waktu tidak bergantung pada apa yang terjadi di interval waktu yang sudah lewat. Dalam ilustrasi tadi, dapat berarti bahwa kesempatan dari sebuah kedatangan di menit berikutnya adalah sama.

3. Tidak memiliki kesamaan bahwa akan lebih dari satu kedatangan dalam interval pendek, semakin pendek interval, semakin mendekati nol adalah probabilitas yang lebih dari satu kedatangan. Dalam ilustrasi tadi, bisa berarti bahwa adalah tidak mungkin untuk lebih dari satu nasabah yang dapat melewati jalan masuk dalam waktu satu detik.

Untuk menghitung terjadinya suatu kedatangan yang mengikuti proses poisson digunakan rumus sebagai berikut :

P ( x ) = (e –λ . t . (λ.t) x ) / X!

Dimana : λ = Tingkat rata–rata kedatangan tiap unit waktu t = Jumlah unit waktu

(18)

Contoh :

Perusahaan kerajinan tangan “BAGUS ART” mampu menghasilkan 100 produk setiap harinya. Perusahaan memperkirakan 3 % diantara produk yang dihasilkan tidak sesuai dengan standar. Maka berapakah probabilitas 2 produk yang tidak sesuai standar ?

Untuk menyelesaikan persoalan distribusi poisson, dapat digunakan program R. Langkah-langkahnya adalah sebagai berikut :

8. Tuliskan pada Script window dpois(2,3).

Angka 2 menunjukkan nilai X dan angka 3 menunjukkan nilai µ yang didapat dari perkalian n * p (100 * 3%). Kemudian tekan tombol Submit.

(19)

Atau cara lain tekan icon R commander, pilih menu Distributions, discreate distribution, poisson

distribution, poisson probabilities

Kemudian masukan mean = 3 ( didapat dari n * p ) = 100 * 3%

(20)

Perusahaan kerajinan tangan “BAGUS ART” mampu menghasilkan 100 produk setiap harinya. Perusahaan memperkirakan 3% diantara produk yang dihasilkan tidak sesuai dengan standar. Maka berapakah probabilitas lebih dari 2 produk yang tidak sesuai standar ?

Jika dalam contoh kasus ditanyakan probabilitas lebih dari 2 produk yang tidak sesuai standar. Maka langkah penyelesaiannya adalah :

2.

Pilih menu Distributions, Discrete distribution, Poisson distribution, Poisson tail probabilities.

(21)

4. Maka probabilitas lebih dari 2 produk yang tidak sesuai standar adalah 0.5768099 atau 57.68099%

Perusahaan kerajinan tangan “BAGUS ART” mampu menghasilkan 100 produk setiap harinya. Perusahaan memperkirakan 3% diantara produk yang dihasilkan tidak sesuai dengan standar. Maka berapakah probabilitas kurang dari 2 produk yang tidak sesuai standar ?

Jika dalam contoh kasus ditanyakan probabilitas kurang dari 2 produk yang tidak sesuai standar. Maka langkah penyelesaiannya adalah :

(22)

3. Kemudian masukkan Variable value(s) = 2 (karena variabel yang diamati adalah 2) dan Mean = 3 (didapat dari n*p yaitu 100*3%) lalu pilih Lower tail (karena yang ditanyakan probabilitas kurang dari 2 orang). Kemudian tekan tombol OK

(23)

DISTRIBUSI NORMAL

Pendahuluan

Distribusi normal adalah suatu distribusi yang digunakan untuk mengetahui probabilitas yang telah diketahui rata-rata ( µ ) dan standar deviasinya ( σ ). Banyaknya kejadian yang terdistribusi normal, tanda =, ≥ , dan ≤ diabaikan, jadi hanya ada tanda > dan <. Perhitungan probabilitas suatu sampel yang diambil, didapat dengan cara melakukan transformasi nilai-nilai pengukuran ke dalam bentuk bakunya ( nilai Z ). Distribusi normal ini memiliki ciri yaitu n ≥ 30 dan n,p ≥ 5.

Distribusi normal sering digunakan dalam berbagai penelitian. Banyak kejadian yang dapat dinyatakan dalam data hasil observasi per eksperimen yang mengikuti distribusi normal, antara lain tinggi badan, berat badan, isi sebuah botol, nilai hasil ujian dan lain-lain.

KURVA NORMAL

Kurva normal berbentuk seperti lonceng dan simetris terhadap rata–rata ( µ ) Mencari luas daerah pada suatu kurva normal dengan menggunakan tabel: P( 0 ≤ z ≤ a )= nilai tabel a

P( z ≥ a )= 0.5 - nilai tabel a

(24)

P( z ≤ a )= nilai tabel a + 0.5

P( a1 ≤ z ≤ a2 )= nilai table a2 - nilai tabel a1

P( a1 ≤ z ≤ a2 )= nilai tabel a2 + nilai tabel a1

CONTOH KASUS

Diketahui bahwa rata-rata kedatangan bus dalam suatu terminal adalah 250 bus per jam dengan standar deviasi 15 per jam. Jika jumlah kedatangan bus tersebut berdistribusi normal, berapa probabilitas dari tiap kedatangan bus kurang dari 300 bus per jam ?

Langkah-langkah penyelesaian kasus

(25)

2. Pilih Distributions, Continous distributions, Normal distributions, normal probabilities.

a. Muncul Kotak dialog Normal probabilities. Input variabel Value(s) = 300 b. Input nilai mu (mean) = 250

c. Input nilai sigma (standar deviation) = 15 d. Pilih lower tail p(x < 300 ) tekan ok.

e. Maka pada output window akan diperoleh p (x<300) = 0.999571

(26)

Gambar kurvanya adalah….

Diketahui bahwa rata-rata kedatangan bus dalam suatu terminal adalah 250 bus per jam dengan standar deviasi 15 per jam. Jika jumlah kedatangan bus tersebut berdistribusi normal, berapa probabilitas dari kedatangan bus kurang dari 225 bus per jam ?

Langkah–langkah penyelesaian kasus

(27)

3. Input variabel Value(s) = 225 4. Input nilai mu (mean) = 250

5. Input nilai sigma (standar deviation) = 15 6. Pilih lower tail p(x < 225 ) tekan ok.

7. Maka akan diperoleh p (x<225) = 0.04779035

Gambar kurvanya adalah….

Diketahui bahwa rata-rata kedatangan bus dalam suatu terminal adalah 250 bus per jam dengan standar deviasi 15 per jam. Jika jumlah kedatangan bus tersebut berdistribusi normal berapa probabilitas dari kedatangan bus antara 225-300 bus per jam ?

(28)

Maka dengan menggunakan kalkulator akan diperoleh hasil 0.999571 - 0.04779035 = 0.95178065

2) Atau jika menggunakan program R dapat mengikuti langkah berikut :

 Tekan icon R Commander pada desktop, kemudian akan muncul tampilan seperti gambar di bawah ini.

 Klik kursor pada script window

 Tulis 0.999571 - 0.04779035. lalu tekan submit

(29)

Gambar kurvanya adalah..

Diketahui bahwa rata-rata kedatangan bus dalam suatu terminal adalah 250 bus per jam dengan standar deviasi 15 per jam. Jika jumlah kedatangan bus tersebut berdistribusi normal berapa probabilitas dari kedatangan bus lebih dari 300 bus per jam ?

(30)

3. Input variabel Value(s) = 300 4. Input nilai mu (mean) = 250

5. Input nilai sigma (standar deviation) = 15 6. Pilih Upper tail p(x > 300) tekan ok.

7. Maka akan diperoleh p (x > 300) = 0.0004290603

Gambar kurvanya adalah…..

 Untuk membersihkan Script Windows :

- Klik kiri pada Script Window

(31)

 Untuk membersihkan Output Windows :

- Klik kiri pada Output window