MODUL I
MODUL I
STATISTIKA DESKRIPTIF
1. TUJUAN PRAKTIKUM
1. Mahasiswa mampu mengumpulkan data dengan tingkat akurasi yang tinggi
2. Mahasiswa mampu mengolah dan menyajikan data dalam bentuk : - Tabel distribusi frekuensi dan distribusi frekuensi relatif
- Histogram dari distribusi frekuensi, distribusi frekuensi relatif atau diagram garis sehingga mudah dimengerti
3. Mahasiswa mampu menginterpretasikan tabel dan grafik sehingga memudahkan dalam memahami informasi
2. LANDASAN TEORI
Peneliti dalam melakukan percobaan, akan mendapatkan informasi-informasi dari kerja mereka. Data yang dapatkan tidak akan bermanfaat jika tidak bias mempresentasikan dan menganalisis data tersebut.Jadi, diperlukan metode ilmiah untuk memudahkan dalam memahami bentuk yang digunakan yang sering disebut dengan statistika.
2.1 Statistika
Secara umum, statistika adalah suatu metode ilmiah dalam mengumpulkan, mengklasifikasikan, meringkas, menyajikan, menginterpretasikan dan menganalisis data guna mendukung pengambilan kesimpulan yang valid dan berguna sehingga dapat menjadi dasar pengambilan keputusan yang masuk akal.
2.2 Populasi
Populasi adalah kumpulan dari keseluruhan pengukuran dan objek yang dikaji. Jadi, pengertian dari populasi dalam statistik tidak terbatas pada sekelompok / kumpulan orang-orang, namun mengacu pada seluruh ukuran, hitungan, ataupun kualitas yang menjadi fokus perhatian suatu
2 kajian. Suatu pengamatan terhadap seluruh anggota populasi disebut dengan sensus.
2.3 Sampel
Sampel adalah bagian dari populasi. Populasi dapat berisi data yang besar sekali jumlahnya, yang mengakibatkan sulit dilakukan pengkajian terhadap seluruh data tersebut sehingga pengkajian dilakukan terhadap sampelnya saja.
2.4 Parameter dan Statistik
Parameter adalah bilangan yang menggambarkan karakteristik suatu populasi, sedangkan statistik adalah bilangan yang menggambarkan karakteristik suuatu sampel. Seringkali sebuah parameter dari suatu populasi tidak bisa/ sulit diketahui sehingga yang digunakan adalah statistik dari sampelnya.
2.5 Data
Data adalah kelompok dari informasi yang menunjukkan sifat kualitatif atau kuantitatif dari suatu variabel. Data (bentuk jamak dari "datum") adalah bentuk khas dari hasil pengukuran dan menjadi dasar dari grafik, gambar, atau pengamatan dari variabel. Data selalu digambarkan sebagai level terendah dari pemindahan informasi dan pengetahuan yang diperoleh.
Data adalah sesuatu yang belum mempunyai arti bagi penerimanya dan masih memerlukan adanya suatu pengolahan. Data bisa berwujud suatu keadaan, gambar, suara, huruf, angka, matematika, bahasa ataupun simbol-simbol lainnya yang bisa kita gunakan sebagai bahan untuk melihat lingkungan, obyek, kejadian ataupun suatu konsep.
Klasifikasi Jenis Data: Sifat
Sumber
Cara Memperoleh Waktu Pengumpulan
Data menurut sifat terbagi sebagai berikut: Data takmetrik (nonmetric data)
Data nominal (nominal data) Data ordinal (ordinal data)
Data metrik (metric data)
Data interval (interval data) Data rasio (ratio data)
Data terbagi atas 2 menurut cara memperolehnya : a. Data Primer
Data primer diperoleh dari sumber pertama. Contohnya sperti hasil wawancara.
b. Data Sekunder
Data sekunder adalah data primer yang didapatkan dari pihak lain dan dipersentasikan dari pengamat primer atau pihak lain.
Macam-Macam Data Berdasarkan Sumber Data :
a. Data Internal Data internal adalah data yang menggambarkan situasi dan kondisi pada suatu organisasi secara internal. Misal : data keuangan, data pegawai, data produksi, dsb.
b. Data Eksternal
Data eksternal adalah data yang menggambarkan situasi serta kondisi yang ada di luarorganisasi. Contohnya adalah data jumlah penggunaan sua tu produk pada konsumen, tingkat preferensi pelanggan, persebaran penduduk, dan lain sebagainya.
Jenis-jenis Data Menurut Waktu Pengumpulannya : a. Data Cross Section
Data cross-section adalah data yang menunjukkan titik waktu tertentu. Contohnya laporan keuangan per 31 desember 2006, data pelanggan PT. Angin Ribut bulan mei 2004, dan lain sebagainya.
4 Data berkala adalah data yang datanya menggambarkan sesuatu dari waktu ke waktu atau periode secara historis. Contoh data time series adalah data perkembangan nilai tukar dollar amerika terhadap euro eropa dari tahun 2004 sampai 2006, jumlah pengikut jamaah nurdin m. top dan doktor azahari dari bulan ke bulan, dll.
c. Data dengan Variabel bebas dan variabel terikat :
Variabel bebas adalah data unit atau ukuran yang diubah dalam suatu pengamatan. Dalam hubungan sebab-akibat, variable terikat berperan sebagai sebab sementara variable bebas adalah akibat.
Data dengan variabel terikat adalah data unit atau ukuran yang berubah sesuai dengan berubahnya variable lain. Variabel terikat menjadi hal yang diperhatikan dalam suatu pengamatan.
Berdasarkan nilai, data diklasifikasikan menjadi data kualitatif dan data kuantitatif:
a. Pengertian kuantitatif adalah data yang berupa bilangan, nilainya bisa berubah-ubah atau bersifat variatif. Data bentuk kuantitatif terbagi atas 2 bagian, yaitu data cacahan kuantitatif dan data ukuran kuantitatif. Berikut ini contoh data kuantitatif dari data cacahan kuantitatif dan data ukuran kuantitatif.
1) Data cacahan (data diskrit) adalah data yang diperoleh dengan cara membilang. Contoh: Pegawai di perusahaan X terdiri atas 160 laki-laki dan 70 perempuan, Guru yang berpendidikan sarjana di SMA Bina Bangsa berjumlah 6 orang, Peserta SPMB pada tahun 2004 berjumlah 120.000 orang.
2) Data ukuran (data kontinu) adalah data yang diperoleh dengan cara mengukur. Contoh: Panjang lintasan jalan tol X adalah 12,8 km, Suhu badan penderita penyakit demam berdarah itu 41°C, Kecepatan kereta api ekspres Bandung–Jakarta adalah 110 km/jam.
b. Pengertian kualitatif adalah data yang bukan merupakan bilangan, atau bisa diartikan juga kualitatif merupakan data berupa ciri-ciri, sifat-sifat, keadaan, atau gambaran dari kualitas objek yang diteliti. Golongan
kualitatif data ini disebut atribut. Sebagai contoh data kualitatif adalah data bentuk kualitatif mengenai kualitas suatu produk, yaitu baik, sedang, dan kurang. Ukuran penilaian baik, sedang dan kurang inilah yang disebut dengan nilai kualitatif.
2.6 Klasifikasi dari Statistik
Berdasarkan defenisi dari statistika yang telah diterangkan sebelumnya, statistik dapat dibagi menjadi 2 kelompok, yaitu:
1. Statistika Deskriptif
Statistika deskriptif digunakan untuk menggambarkan bentuk dasar dari data dalam suatu studi. Statistika deskriptif membentuk dasar dari hampir tiap analisis kuantitatif data.
2. Statistika Inferensial
Statistika deskriptif berbeda dengan statistika inferensial.Dengan statistika inferensial, dapat ditarik kesimpulan yang melebihi data itu sendiri.Dengan demikian, kita menggunakan statistika inferensial untuk membuat kesimpulan dari data kita untuk kondisi yang lebih umum.
Pengelompokan data tunggal menjadi data berkelompok :
1. Tentukan jumlah data, data maksimum dan minimum dari data 2. Hitung nilai range (R) = data maks – data min
3. Hitung banyak kelas interval (JK) = 1 + 3,3 log N dengan N adalah banyak data.
4. Hitung lebar kelas (LK) = R / JK dengan R adalah range data dan JK adalah banyak kelas interval.
Penyajian data terdiri dari data tabel dan data gambar. Data tabel berupa data tunggal dan data berkelompok, sedangkan data gambar terdiri piktogram, diagram batang, diagram lingkaran, dan diagram garis.
1. Bentuk Angka/Tabel
6 a. Ukuran Pemusatan
Ukuran pemusatan adalah suatu nilai dalam rangkaian data yang dapat mewakili rangkaian data tersebut. Dimana terdapat tiga tipe utama dari perkiraan dalam ukuran pemusatan :
Mean
Mean adalah jumlah nilai pada data dibagi dengan banyaknya data tersebut. Data Tunggal : n Xi X n i
1 …(1) Data Berkelompok : n XiFi X n i
1 …(2) Keterangan: i x = data ke-i n = banyaknya data fi = frekuensi data ke-i MedianMedian adalah suatu nilai tengah yang telah diurutkan dari data terkecil ke data terbesar. Rumus yang digunakan untuk menghitung median adalah
Untuk n ganjil:
= ( )
…(3)
Untuk n genap
= …(4)
Untuk data berkelompok
Me = L + c ( (∑ ) …(5)
= Data pada urutan ke setelah diurutkan. L1 = Batas kelas bawah dari kelas median. N = Banyak data
(∑ f) = Jumlah frekuensi semua kelas yang lebih rendah
dari kelas median
F = Frekuensi kelas median c = Panjang kelas
Modus
Modus adalah data yang nilai terjadinya sering muncul atau yang mempunyai frekuensi paling tinggi.
Mo = L + ∆( ∆ )∆ c …(6)
Keterangan :
L1 = batas kelas bawah dari kelas modus.
∆ = selisih frekuensi kelas modus dan frekuensi kelas sebelumnya
∆ = selisih frekuensi kelas modus dan frekuensi kelas sesudahnya
c = panjang kelas b. Dispersi
Dispersi merupakan penyebaran dari nilai di sekitar ukuran pemusatan. Dimana terdapat tiga ukuran dari dispersi, yaitu jangkauan antar kuartil, standar deviasi dan variansi.
Jangkauan
Jangkauan antar kuartil adalah selisih dari nilai kuartil ketiga dan kuartil pertama.
H=Q3-Q1 …(7) Keterangan
Q3= Kurtil kelas ketiga Q1=Kuartil kelas pertama
8 Standart deviasi adalah akar dari jumlah kuadrat deviasi dibagi dengan banyaknya data.
= ∑ ( ) …(8) Keterangan:. S= Standar Deviasi Xi= Nilai Tengah = Rata-rata n=Banyak data Variansi
Variansi adalah nilai kuadrat dari deviasi standar.Rumus yang digunakan untuk menghitung varians adalah
s = ∑ ( ) …(9) Keterangan: S2= Varians Xi= Nilai Tengah = Rata-rata N=Banyak data c. Fraktil
Fraktil adalah nilai-nilai data yang membagi seperangkat data yang telah diurutkan menjadi beberapa bagian yang sama.
1. Kuartil. Adalah fraktil yang membagi data menjadi empat bagian yang sama.Nilai-nilai kuartil diberi simbol Q1, Q2 (sama dengan Median) dan Q3.
2. Desil adalah Fraktil yang membagi data menjadi sepuluh bagian yang sama, simbolnya adalah D1, D2, .., D9.
3. Persentil adalah Fraktil yang membagi data menjadi seratus
bagian yang sama, simbolnya adalah P1, P2, …, P99.
d. Skewness (kemencengan)
Skewness (kemencengan) adalah derajat ketidaksimetrisan atau penyimpangan dari kesimetrisan suatu distribusi. Skewness terdiri
dari kemencengan simetris, kemencengan negatif dan kemencengan positif.
Gambar 1.Skewness
Gambar 2.Skewness e. Kurtosis
Kurtosis adalah derajat keruncingan dari suatu distribusi relatif terhadap distribusi normal.
10 2. Bentuk gambar
Dalam situasi umum, kita dapat menggambarkan 5 karakteristik untuk masing-masing dari variabel dalam studi.
a. Histogram
Dalam statistik, histogram adalah suatu gambar yang menampilkan tabel frekuensi, yang telah ditampilkan sebagai batang. Itu menggambarkan proporsi dari kasus pada tiap katagori.
Gambar 4. Histogram
b. Ogive
Dalam statistik, ogive adalah grafik yang menggambarkan kurva dari suatu fungsi distribusi kumulatif. Ogive dikategorikan menjadi ogive positif dan ogive negatif.
Gambar 5.Ogive c. Diagram batang daun
Data dapat digambarkan dalam suatu variasi pada gambar, grafik, dan tabel.Diagram batang daun adalah suatu tipe grafik yang
similar dari histogram namu n menggambarkan informasi yang lebih.
Gambar 6. Diagram Batang Daun d. Diagram lingkaran
Diagram lingkaran adalah suatu gambar lingkaran yang dibagi dalam beberapa sektor. Tiap-tiap sektor menggambarkan persentase dari kelompok.
Gambar 7. Diagram Lingkaran
3. PROSEDUR PRAKTIKUM
Ikuti petunjuk sebelum melakukan praktikum :
1. Praktikan dibagi menjadi beberapa grup. Masing-masing grup terdiri dari 2 anggota.
2. Tempat pengamatan : SMA Negeri/Swasta di Kota padang 3. Pengamatan 1 :
Praktikan melakukan survey dengan menggunakan kuisioner. Jumlah Sampel yang harus diambil adalah 100 orang. Survey yang dilakukan terkait dengan minat dan pengetahuan Siswa SMA Negeri/Swasta di Kota Padang terhadap perguruan tinggi serta beberapa pertanyaan lainnya. Data yang dikumpulkan terdiri atas data kualitatif dan data kuantitatif.
Batang Daun 5 0 4 5 8 2 3 1 6 3 4 9 2 8 2 0 0 9 7 1 4 2 2 3 9 5 1 0 1 0 3 5
MODUL II
MODUL II
PROBABILITAS
I.
TUJUAN PRAKTIKUM
1. Mampu memahami konsep-konsep probabilitas dan dapat menentukan contoh dari probabilitas.
2. Mampu memahami perbedaan dari percobaan , kejadian, ruang sampel, dan titik sampel.
3. Mampu memahami kejadian di ruang sampel dari sebuah percobaan dan dapat menggunakan diagram venn serta mampu memahami perbedaan antara irisan dan komplemen.
4. Mampu memahami probabilitas dari sebuah kejadian.
5. Mampu memahami perbedaan antara permutasi dan kombinasi.
II.
TEORI PROBABILITAS
Probabilitas adalah suatu bilangan antara nol sampai satu yang menunjukkan kemungkinan dari suatu kejadian. Ruang sampel berarti seluruh kemungkinan hasil dari kejadian yang mungkin terjadi dalam suatu percobaan atau himpunan semua hasil yang mungkin dari suatu experiment probabilitas.Kejadian atau event adalah setiap hasil percobaan yang telah dilakukan.
Suatu probabilitas dapat diformulasikan sebagai berikut:
1 ) ( 0 ; ) ( ) ( ) ( P A S n A n A P Contoh:
Percobaan : Sebuah dadu 6 sisi dilemparkan sekali. Tentukan ruang sampel dari percobaan? Tentukan probabilitas munculnya angka ganjil dan probabilitas munculnya angka genap?
Ruang sampel : Ruang sampel dari percobaan ini adalah 1, 2, 3, 4, 5, dan 6.
13
P(ganjil)
=
= =Kejadian terbagi atas dua bagian yaitu : 1. Kejadian Bebas
Merupakan suatu kejadian dimana antara yang satu dengan yang lainnya tidak saling mempengaruhi. Kejadian bebas dinamakan juga Mutually Exclusive. Dalam percobaan probabilitas tertentu tidak jarang didefinisikan dua kejadian A dan B yang tidak mungkin terjadi sekaligus. Ke dua kejadian A dan B seperti itu dinamakan saling meniadakan atau saling terpisah. A dan B bersifat Mutually Exclusive jika A gabung B sama dengan 0 (A ∩ B = { }). Hal ini terjadi karena P (A ∩ B) = n (A ∩ B)
n (s)
Dalam kejadian bebas terdapat peluang yang mungkin terjadi, peluang itu
dinamakan “Peluang kejadian bebas”, yang mana peluang tersebut akan terjadi
jika :
- P (A ∩ B) = P (A) * P (B) - P (B ∩ C) = P (B) * P (C) - P (A ∩ C) = P (A) * P(C)
- P (A ∩ B ∩ C) = P (A) * P (B) * P (C)
Peluang terjadinya A, B, C secara bersama – sama adalah : P (ABC) = P (A ∩ B ∩ C) = P (A) * P (B) * P (C)
2. Kejadian Tak Bebas
Kejadian tak bebas dinamakan juga peluang bersyarat atau Not Mutually Exclusive. P (A/B) merupakan peluang terjadi A dengan syarat B telah terjadi terlebih dahulu atau P (B/A) merupakan peluang terjadinya B dengan syarat A telah terjadi. Jika A dan B tak bebas, maka peluang A dan B terjadi secara bersama – sama adalah :
- P (AB) = P (A ∩ B) = P (A) * P (B/A) - P (BA) = P (A ∩ B) = P (B) * P (A/B)
Beberapa operasi kejadian yang mungkin terjadi atau digunakan dalam melakukan pengamatan atau percobaan, yaitu :
a. irisan dua kejadian, merupakan kejadian yang mengandung semua persekutuan kejadian A dan B
b. kejadian saling pisah, A dan B tidak memiliki persekutuan
c. paduan dua kejadian atau gabungan dua kejadian, kejadian yang mengandung semua unsur yang termasuk A atau B ataupun keduanya
Beberapa aturan yang bisa digunakan dalam mencari atau menentukan suatu probabilitas dari suatu kejadian adalah :
- aturan perkalian
bila kejadian A dan B dapat terjadi pada suatu percobaan, maka
P(A ∩ B) = P (A) * P (B/A), jadi peluang A dan B terjadi serentak sama dengan peluang A terjadi dikalikan dengan peluang terjadinya B bila A terjadi.
- aturan perkalian khusus
bila dua kejadian A dan B bebas jika dan hanya jika P (A ∩ B) = P (A) * P (B)
- aturan penjumlahan
apabila terjadi gabungan dari suatu kejadian, bila A dan B kejadian sembarang, maka P (A U B) = P (A) + P (B) – P (A ∩ B)
- aturan penghapusan atau teorema jumlah
misalkan kejadian B1, B2,...,Bk merupakan suatu sekatan (partisi) dari ruang sampel T dengan P (B1) tidak sama dengan nol untuk i = 1, 2,..., k, maka untuk setiap kejadian A anggota T adalah
P (A) =
k i k i Bi A P Bi P A Bi P 1 1 ) / ( ) ( ) ( - aturan Bayesmisalkan kejadian B1, B2,...,Bk merupakan suatu sekatan (partisi) dari ruang sampel T dengan P (B1) tidak sama dengan nol untuk i = 1, 2,..., k. Misalkan A suatu kejadian sembarang dalam T dengan P (A)
15 P (Br/A) =
k i A Bi P A Br P 1 ) ( ) ( =
k i Bi A P Bi P Br A P Br P 1 ) / ( ) ( ) / ( ) ( Untuk r = 1, 2,..., kMenghitung titik sampel, dapat digunakan beberapa metode yang dapat membantu untuk mencari nilai titik sampel, diantaranya adalah :
a) Permutasi
Permutasi ialah suatu susunan yang dapat dibentuk dari suatu kumpulan benda yang diambil sebagian atau seluruhnya. Banyaknya permutasi n benda yang berlainan adalah n!.banyaknya permutasi n benda berlainan bila diambil r sekaligus adalah nPr = )! ( ! r n n
Banyaknya permutasi n benda berlainan yang disusun melingkar adalah (n – 1)! Banyaknya permutasi yang berlainan dari n benda bila n1 diantaranya berjenis pertama, n2 berjenis ke dua,...,nk berjenis k adalah
! !.... 2 ! 1 ! nk n n n b) Kombinasi
Merupakan banyaknya kombinasi r benda dari n benda yang berbeda yang dirumus nCr = )! ( ! ! r n r n
. Suatu kombinasi sesungguhnya merupakan sekatan
dengan dua sel, sel pertama berisi r unsur yang dipilih sedangkan sel lain berisi (n–r) sisanya.
III.
PROSEDUR PRAKTIKUM
Masing-masing kelompok menghitung probabilitas menggunakan data pada modul 1.
1. Perhitungan Probabilitas Responden Laki-Laki dan Perempuan (Dengan Menggunakan data Modul 1)
2. Penentuan Kombinasi dan probabilitas kesuksesan Responden terhadap Universitas yang dipilih (Berdasarkan Data Modul 1)
MODUL III
DISTRIBUSI VARIABEL
RANDOM DISKRIT
MODUL III
DISTRIBUSI VARIABEL RANDOM DISKRIT
1. TUJUAN PRAKTIKUM
Tujuan dari praktikum ini adalah sebagai berikut:
1. Mampu mengerti dan membedakan distribusi probabilitas untuk sampel binomial dan sampel hipergeometri
2. Menentukan parameter dari distribusi binomial, distribusi hipergeometri dan distribusi poisson
2. LANDASAN TEORI
2.1 Variabel Random Diskrit
Definisi 1:
Variabel acak adalah fungsi yang mengaitkan suatu bilangan real pada setiap unsur dalam ruang sampel. Peubah acak akan dinyatakan dengan huruf besar, misalnya X, sedangkan nilainya dinyatakan dengan huruf kecil padanannya misalnya x (Walpole, 1995).
Variabel random disebut juga peubah acak yang merupakan suatu fungsi yang menghubungkan sebuah bilangan real dengan setiap unsur di dalam ruang contoh. Peubah acak dilambangkan dengan huruf kapital X dan huruf kecilnya dalam hal ini
x, untuk menyatakan salah satu diantara nilai-nilainya. Dengan demikian suatu
bilangan X merupakan ukuran dari karakteristik yang diletakkan pada setiap kejadian dasar dari ruang contohnya.
Contoh 1:
Sebuah kantong berisi 10 kelereng yang terdiri dari 4 kelereng merah (M) dan 6 kelereng hitam (H). Dalam kantong diambil 2 kelereng berturut-turut, hasil yang mungkin untuk x sebagai peubah acak X yang menyatakan banyaknya kereng merah yang diambil. Jadi ruang contohnya { HH, MH,, HM, MM } dan peubah acak X = { 0, 1, 1, 2 }
Definisi 2 :
18 banyaknya sebanyak bilangan bulat. Variabel random yang didefinisikan di atas ruang sampel diskrit disebut variabel random diskrit.
Definisi 3 :
Variabel acak diskret adalah suatu peubah acak yang mengandung titik yang berhingga banyaknya atau sederetan anggota yang banyaknya sebanyak bilangan bulat (Walpole, 1995).
Contoh 2 :
- banyaknya barang yang cacat, dalam pengambilan sampel sebesar k barang. - banyaknya yang meninggal karena terserang suatu infeksi pernafasan setiap
tahun di Surabaya.
2.2 Distribusi Probabilitas Variabel Acak Diskrit
Distribusi probabilitas variabel acak menggambarkan bagaimana suatu probabilitas didistribusikan terhadap nilai-nilai dari variabel acak tersebut. Untuk variabel diskrit X, distribusi probabilitas didefinisikan dengan fungsi probabilitas dan dinotasikan sebagai p(x).
Fungsi probabilitas p(x) menyatakan probabilitas untuk setiap nilai variabel acak X.
Contoh :
Tabel 1. Jumlah Mobil Terjual Dalam Sehari Menurut Jumlah Hari Selama 300 Hari
Jumlah mobil terjual dalam sehari Jumlah hari 0 1 2 3 4 5 54 117 72 42 12 3 Total 300
Tabel 2. Distribusi Probabilitas Jumlah Mobil Terjual dalam Sehari X p(x) 0 1 2 3 4 5 0,18 0,39 0,24 0,14 0,04 0,01 Total 1,00
Dalam membuat suatu fungsi probabilitas untuk variabel acak diskrit, kondisi berikut harus dipenuhi.
1. p(x) 0 atau 0 p(x) 1 2. p(x) = 1
Kita juga bisa menyajikan distribusi probabilitas dengan menggunakan grafik.
Gambar 8. Grafik Distribusi Probabilitas 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0 1 2 3 4 5 p(x) x Probabilitas
20 2.3 Fungsi Probabilitas Kumulatif Variabel Acak diskrit
Fungsi probabilitas kumulatif digunakan untuk menyatakan jumlah dari seluruh nilai fungsi probabilitas yang lebih kecil atau sama dengan suatu nilai yang ditetapkan.
Secara matematis, fungsi probabilitas kumulatif dinyatakan sebagai berikut. F(x) = P(X x) = X p(x)
Dimana
F(x) = P(X x) menyatakan fungsi probabilitas kumulatif pada titik X = x yang merupakan jumlah dari seluruh nilai fungsi probabilitas untuk nilai X sama atau kurang dari x.
Contoh :
Tabel 3. Probabilitas Kumulatif Dari Jumlah Mobil Terjual Dalam Sehari
X F(x) 0 1 2 3 4 5 0,18 0,57 (= 0,18 + 0,39) 0,81 (= 0,18 + 0,39 + 0,24) 0,95 (= 0,18 + 0,39 + 0,24 + 0,14) 0,99 (= 0,18 + 0,39 + 0,24 + 0,14 + 0,04) 1,00 (= 0,18 + 0,39 + 0,24 + 0,14 + 0,04 + 0,01)
Kita bisa menyajikan fungsi probabilitas kumulatif dalam bentuk grafik, sbb.
Gambar 9. Grafik Fungsi Probabilitas Kumulatif
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
0
1
2
3
4
5
P(X) XHimpunan pasangan terurut (x, f(x)) merupakan suatu fungsi peluang, fungsi massa peluang, atau distribusi peluang peubah acak diskrit X bila, untuk setiap kemungkinan hasil X.
1. P(X=x) = f(x)
2. f(x) ≥ 0
3.
Rata-rata dan varians dari variabel random diskrit X
x x x f x X E x xf X E ) ( ) ( ] ) [( ) ( ) ( 2 2 2 2.4 Beberapa Distribusi Variabel Random Diskrit 1. Distribusi Binomial
Suatu distribusi binomial dibentuk oleh suatu ekperimen binomial.Ekperimen ini merupakan n kali percobaan bernouli, sehingga harus memenuhi kondisi-kondisi berikut:
1. Percobaan tersebut dilakukan berulang-ulang sebanyak n kali. Jumlah percobaan n adalah konstanta yang telah ditentukan sebelumnya (dinyatakan sebelum eksperimen dimulai).
2. Setiap pengulangan eksperimen, biasa disebut percobaan (trial), hanya dapat menghasilkan satu dari dua keluaran yang mungkin, sukses atau gagal.
3. Probabilitas sukses (p)dan probabilitas gagal (q = 1 – p)selalu konstan dalam setiap percobaan.
4. Setiap percobaan yang dilakukan bersifat independen.
Definisi 4 :
Suatu usaha Bernoulli mempunyai probabilitas sukses p dan gagal q = 1-p, maka distribusi peluang acak binomial X, yaitu banyaknya sukses dalam n usaha bebas ialah n x q p n x n x ,.... 2 , 1 , 0 , p) n, b(x;
22 Distribusi binomial b (X ; n ; p) mempunyai rataan dan variansi
= np
2 = npq SOAL 1:
Probabilitas sebuah komponen mobil tidak rusak ketika dijatuhkan adalah ¾. Berapakah probabilitasnya ada 2 dari 4 komponen yang akan dijatuhkan tidak rusak?
Jawab :
Misalkan definisikan “sukses” = tidak rusak, probabilitas “sukses”, p=3/4. Jadi
probabilitas “gagal, q= 1- p = ¼.
Total percobaan ada n = 4
Jumlah yg tidak rusak, “sukses”, x=2.
Jadi probabilitas 2 dari 4 komponen yg dijatuhkan tidak rusak diberikan oleh:
2. Distribusi Hipergeometrik
Cara mudah untuk membedakan distribusi binomial dengan distribusi hipergeometri adalah pada cara pengambilan sampelnya. Bila pada distribusi binomial, sampling harus dikerjakan dengan pengembalian setelah barang diamati, sedangkan pada distribusi hipergeometri didasarkan pada sampling tanpa pengembalian.
Suatu distribusi hipergeometrik dibentuk oleh suatu eksperimen yang memenuhi kondisi berikut :
1. Sampel acak ukuran n diambil tanpa pengembalian dari N benda.
2. Sebanyak k benda dapat diberi nama sukses sedangkan N-k, diberi nama gagal.
Definisi 5:
Distribusi peluang peubah acak hipergeometrik X, yaitu banyaknya sukses dalam sampel acak ukuran n yang diambil dari N benda yang mengandung k sukses dan N-k gagal, adalah sebagai berikut :
k x n N x n k N x k ,.... 2 , 1 , 0 , k) n, N, h(x;
Rataan dan variansi distribusi hipergeometrik ( ; , , ) adalah :
N k n k n N n N N nk 1 . . 1 2 SOAL 2:
Sekelompok orang terdiri dari 50 orang dan 3 diantaranya lahir pada tanggal 1 januari. Secara acak diambil 5 orang. Berapa peluangtidak ada orang yang lahir pada tanggal 1 januari ??
0,724 5 50 0 5 3 50 0 3 januari) 1 tanggal pada lahir P(tidak 3. Distribusi Poisson
Suatu percobaan yang dilakukan sebanyak N kali, mengahasilkan peubah acak X, misalkan banyaknya sukses selama selang waktu tertentu, dimana peluang terjadinya sangat kecil ( p → 0 ), maka percobaan tersebut dinamakan poisson. Suatu distribusi Poisson dapat digunakan dengan tepat dalam suatu eksperimen Poisson yang memenuhi kondisi berikut :
1. Banyaknya hasil percobaan yang terjadi dalam suatu selang waktu tertentu, tidak tergantung pada banyaknya hasil percobaan yang terjadi pada selang waktu lain yang terpisah.
24 tergantung pada banyaknya hasil percobaan yang terjadi di luar selang waktu tersebut.
3. Probabilitas lebih dari satu hasil percobaan akan terjadi dalam selang waktu yang singkat, dapat diabaikan.
Contoh eksperimen Poisson adalah :
1. Banyaknya orang yang menemukan barang yang hilang di suatu tempat tertentu
2. Banyaknya hari sekolah yang libur karena banjir di daerah tertentu 3. Dalam tempo 5 menit, operator telephone banyak menerima
permohonan untuk disambungkan dan salah dalam menyambungkan
Definisi 6 :
Distribusi peluang acak poisson X, yang menyatakan banyaknyasukses yang terjadi dalam suatu selang waktu atau daerah tertentu dinyatakan dengan t, diberikan oleh ,... 2 , 1 , 0 , ! ) p(x; x x t e x
λ menyatakan rata-rata banyaknya sukses yang terjadi per satuan waktu atau
daerah tersebut dan e = 2,71828…
Rataan dan variansi distribusi poisson p(x, λ) keduanya sama dengan λ.
SOAL 3 :
Peluang seseorang akan mendapat reaksi buruk setelah disuntik besarnya adalah 0,0005. Dari 4000 orang yang disuntik, tentukan peluang yang mendapat reaksi buruk : ( dari 4000 orang tersebut, diharapkan hanya ada 2 orang yang mendapat reaksi buruk). a. Tidak ada 1353 , 0 ! 0 2 ) 0 p( 0 2 e b. Ada 2 orang 2706 , 0 ! 2 2 ) 2 p( 2 2 e
a. Distribusi binomial Negatif b. Distribusi Geometrik c. Distribusi Multinomial
3. PROSEDUR PRAKTIKUM
1.
KelompokSeluruh mahasiswa dibagi menjadi beberapa kelompok yang terdiri dari dua orang tiap kelompok.
2.
Pengamatana. Distribusi Binomial
Dilakukan pengambilan sampel 5 unit bola plastik secara satu persatu dengan pengembalian dari 50 bola plastik untuk satu kali run menggunakan conveyor dengan jumlah bola plastik yang di nyatakan cacat sebanyak 10 buah dan baik sebanyak 40 buah serta informasi nilai probabilitas produk baik dan cacat. Informasi bola plastik di nyatakan cacat dengan bintik hitam lebih dari 2 titik sedangkan baik dinyatakan dengan titik kecil sama dengan 2 titik dan pengambilan data dilakukan sebanyak 50 trial.
b. Distribusi Hipergeometrik
Dilakukan pengambilan sampel 5 unit bola plastik sekaligus tanpa pengembalian dari 20 bola plastik untuk satu kali run menggunakan conveyor dengan informasi nilai probabilitas produk baik dan cacat. Informasi bola di nyatakan cacat dengan bintik hitam lebih dari 2 titik sedangkan baik dinyatakan kecil sama dengan 2 titik dan pengambilan data dilakukan sebanyak 50 trial.
c. Distribusi Poisson Dilakukan dengan mengambil data waktu Kedatangan Kendaraan di beberapa titik pengamatan di Universitas Andalas.
MODUL IV
DISTRIBUSI VARIABEL
RANDOM KONTINU
MODUL IV
DISTRIBUSI VARIABEL RANDOM KONTINU
1. TUJUAN PRAKTIKUM
Tujuan dari praktikum ini adalah sebagai berikut:
1. Praktikan mengerti tentang kurva distribusi normal dan kurva distribusi eksponensial
2. Praktikan dapat menentukan parameter distribusi normal 3. Praktikan dapat menggunakan tabel distribusi normal untuk :
a. Menentukan probabilitas dari setiap nilai di variabel acak b. Menentukan batas variabel acak dan nilai dari probabilitas
2. LANDASAN TEORI
2.1 Variabel Acak Kontinu
Distribusi variabel acak kontinu merupakan distribusi peluang yang memiliki ruang sampel yang mengandung titik sampel yang tak berhingga banyaknya. Distribusi peluang peubah acak kontinu tidak dapat disajikan dalam bentuk tabel karena peubah acak kontinu mempunyai peluang nol pada setiap titik x.
Contoh variabel acak kontinu :
1. Waktu tunggu pelanggan pada kasir swalayan 2. Curah hujan harian pada daerah tertentu 3. Kekuatan batang besi
4. Intensitas cahaya matahari pada waktu dan daerah tertentu
Distribusi probabilitas kontinu adalah distribusi peubah acak kontinu yang dinyatakan dalam persamaan yang merupakan fungsi nilai-nilai peubah acak kontinu dan digambarkan dalam bentuk kurva (Wibisono, 2009).
27 Bentuk distribusi kontinu adalah kurva yang halus, dengan luasan di bawah kurva sama dengan probabilitas, sehingga probabilitas bahwa x terletak di dalam interval dari a sampai b di tulis:
[ ≤ ≤ ] = ( )
Misalkan x suatu variabel random yang menunjukkan isi yang sebenarnya dalam ons kaleng kopi 1 pon. Distribusi probabilitas x dianggap sebagai:
( ) = 1.5 ; 15.5 ≤ ≤ 171
Ini adalah distribusi kontinu, karena ruang rentang x adalah interval [15,5 ; 17]. Distribusi ini dinamakan distribusi uniform, dan ditunjukkan dengan grafik dalam gambar 1. Perhatikan bahwa luasan dibawah fungsi f(x) berkaitan dengan probabilitas, sehingga probabilitas suatu kaleng akan berisi kurang dari 16,0 ons adalah
( ≤ 16,0) = ∫ ,, ( ) x 2.2 Distribusi Normal
Distribusi normal sering pula disebut distribusi Gauss untuk menghormati Karl Friedrich Gauss (1777-1855), yang juga menemukan persamaannya waktu meneliti galat dalam pengukuran yang berulang-ulang mengenai bahan yang sama.
Suatu peubah kontinu X yang distribusinya berbentuk lonceng disebut peubah acak normal. Persamaan matematika distribusi peluang peubah normal kontinu bergantung pada dua parameter μ dan σ, yaitu rataan dan simpangan bakunya, jadi fungsi padat X akan dinyatakan dengan n(x;μ,σ).
Distribusi normal fungsi pada t peubahacak normal x, dengan rataan
μ dan variansi σ², ialah ( ; , ) = √
( ( )) ………..
-∞ < X <∞ ,
Gambar 7. Kurva normal
Pemeriksaan turunan pertama dan kedua dari n(x ; μ, σ) dapat diperoleh lima sifat kurva normal berikut :
1. Modus, titik pada sumbu datar yang memberikan maksimum kurva, terdapat pada x = μ
2. Kurva setangkup terhadap garis tegak yang melalui rataan μ
3. Kurva mempunyai titik belok pada x = μ σ, cekung dari bawah bila μ
– σ < x < μ + σ, dan cekung dari atas untuk harga x lainnya
4. Kedua ujung kurva normal mendekati asimtot sumbu datar bila harga x bergerak menjauhi μ baik ke kiri maupun ke kanan
5. Seluruh luas di bawah kurva di atas sumbu datar sama dengan 1
Bila x menyatakan peubah acak distribusi maka P(x1 < x < x2) diberikan oleh daerah yang diarsir dengan garis yang turun dari kiri ke kanan. Jelas bahwa kedua daerah yang diarsir berlainan luasnya. Jadi, peluang yang berpadanan dengan masing-masing distribusi akan berlainan pula.
2.3 Distribusi Eksponensial dan Distribusi Gamma
Distribusi gamma dan eksponensial memaikan peran yang sangat penting di bidang teori antrian dan teori keandalan (reliabilitas). Distribusi eksponensial merupakan keadaan khusus dari distribusi gamma. Distribusi gamma mendapat namanya dari fungsi gamma yang sudah dikenal luas. Fungsi gamma didefinisikan sebagai berikut:
29
Γ( ) =
∞
Gambar 8.Kurva Gamma
Distribusi Eksponensial
Ciri dari distribusi ini adalah kurvanya mempunyai ekor di sebelah kanan dan nilai x dimulai dari 0 sampai tak hingga dan memiliki standar deviasi sama dengan rata-rata. Adapun syarat daridistribusi eksponensial yaitu :
X ≥ 0 λ > 0
Variabel random X berdistribusi Eksponensial dengan parameter β, memiliki fungsi :
Contoh Soal :
Suatu sistem mengandung sejenis komponen yang daya tahannya dalam tahun dinyatakan oleh variabel acak X yang berdistribusi eksponensial dengan rata-rata waktu sampai komponen rusak adalah 5 tahun. Bila sebanyak 5 komponen tersebut dipasang dalam sistem yang berlainan, berapakah probabilitas paling sedikit 2 komponen masih akan berfungsi pada akhir tahun ke delapan?
lainya x x e x f x ; 0 0 ; 1 ) ( / 2 2 ) ( ; ) ( ; 0 E X Var X
Jawab :
Probabilitas bahwa sebuah komponen masih akan berfungsi setelah 8 tahun :
Misalkan Y menyatakan banyaknya komponen yg masih berfungsi setelah 8 tahun, dengan menggunakan distribusi binomial diperoleh:
Gambar dari kurva distribusi eksponensial berbeda-beda tergantung dari
nilai x dan λ sebagai berikut :
Gambar 9. Kurva Eksponensial
2.4 DistribusiKhi-Kuadrat
Peubah acak kontinu X berdistribusi Khi-Kuadrat, dengan derajat kebebasan v, bila fungsi padatnya diberikan oleh
1
2 Γ( ) , > 0
0, untuk x yang lain
Dengan v bilangan bulat positif.
2 . 0 5 1 ) 8 ( 8/5 8 5 /
e dx e X p x 263 . 0 737 . 0 1 ) 8 . 0 ( ) 2 . 0 ( 5 1 ) 1 ( 1 ) 2 ( 1 0 5
c c c c X P Y P31 Gambar 10. Kurva Khi-Kuadrat
2.5 Distribusi Weibull
Peubah acak kontinu X berdistribusiWeibull, dengan parameter α dan β jika fungsi padatnya berbentuk
= 0, untuk x lainnya, > 0 Dengan α > 0 dan β > 0
Gambar 11. Kurva Weibull
2.6 Distribusi F Syarat distribusi F ( ) = ⎩ ⎨ ⎧ Γ Γ Γ v v x (v + v x) , untuk x > 0 0,
Distribusi F dengan derajat kebebasanv dan v disajikan dengan F(v , v ) atau X - F(v , v ).
Gambar 12. Kurva Distribusi F
2.7 Distribusi Uniform
33
Dari definisi tersebut dapat diturunkan sifat mean , variansi dan momennya.
Contoh:
Sebuah ruang konferensi dapat disewa untuk rapat yang lamanya tidak lebih dari 4 jam. Misalkan X adalah variabel random yang menyatakan waktu rapat, yang berdistribusi seragam.
• Tentukan fungsi densitas peluang X.
• Tentukan peluang suatu rapat berlangsung 3 jam atau lebih. Jawaban:
Contoh:
Di suatu perusahaan pembuat soft drink, suatu mesin yang disetel mengeluarkan minuman sebanyak 12 oz sesungguhnya akan mengeluarkan antara 11.5 and 12.5 oz. Anggap banyaknya minuman yang dikeluarkan berdistribusi uniform. Berapakah probabilitas minuman yang dikeluarkan kurang dari 11.8 oz?
Jawaban:
3. PROSEDUR PRAKTIKUM
1. Kelompok
Semua praktikan dibagi menjadi beberapa kelompok yang terdiri dari dua orang
2. Pengamatan
a. Distribusi Eksponensial
Tempat: Kelompok Melakukan Observasi di tempat tertentu
Waktu: Pengamatan dilakukan selama 1 hari pengamatan selama 3 jam. Menghitung waktu antar kedatangan kendaraan.
b. Distribusi Normal
Pengukuran waktu perakitan dan Lepas Rakit 1 Dinamo beserta perangkatnya sebanyak 100 kali percobaan
MODULV
MODUL V
DISTRIBUSI SAMPLING
1. TUJUAN PRAKTIKUM
Tujuan dari praktikum ini adalah sebagai berikut: 1. Mahasiswa mampu menentukan:
a. Mean sampel b. Variansi sampel
c. Perbedaan mean dua populasi d. Rasio variansi dua populasi e. Proporsi
2. Mahasiswa mengetahui pengaruh ukuran sampel terhadap ketelitian pada penentuan nilai rata-rata populasi.
3. Mahasiswa mampu membuktikan teorema limit pusat (central limit theorem).
2. LANDASAN TEORI
Sampling sering digunakan dalam kehidupan sehari-hari. Teknik sampling sangat berguna dalam upaya penarikan kesimpulan (inference) yang valid dan dapat dipercaya. Hal ini disebabkan karena informasi yang diperoleh dari data sampel tidak mungkin lebih baik dari pada informasi yang sesungguhnya pada populasi.
Sampel adalah suatu himpunan bagian dari populasi, yang dianggap bias mewakili populasi. Populasi merupakan kumpulan dari keseluruhan elemen-elemen suatu objek yang menjadi perhatianya memiliki kuantitas dan karakteristik tertentu. Berikut ini hubungan antara populasi dengan sampel yang digambarkan sebagai berikut :
36 Gambar 1. Hubungan Populasi dengan sampel
Distribusi Sampling merupakan distribusi teoritis (distribusi kemungkinan) dari semua hasil sampel yang mungkin, dengan ukuran sampel yang tetap N, pada statistik (karakteristik sampel) yang digeneralisasikan ke populasi. Cara- cara pengambilan sampel antara lain:
Daftar pertanyaan (questionnaire). Wawancara.
Observasi atau pengamatan langsung.
Melalui pos, telepon, atau alat komunikasi lainnya.
2.1 Parameter dan Statistik
Konstanta statistik dari populasi seperti mean/rataan (μ), variansi( ), proporsi (p) disebut dengan parameter. Jadi, parameter adalah bilangan/angka yang menggambarkan karakteristik dari populasi. Sedangkan ukuran statistik seperti mean/rataan ( ), variansi ( ), proporsi (p) yang dihitung dari pengamatan sampel dikenal dengan statistik. Statistik adalah bilangan/angka yang menggambarkan karakteristik suatu sampel. Statistik merupakan perkiraan/taksiran dasar pada sampel data untuk menggambarkan perbedaan tentang parameter populasi.
Tabel 1. Parameter dan Statisitk
2.2 Metode Penarikan Sampel
Gambar 2. Metode Penarikan Sampel
(i) Probabilitas sampling atau random sampling a. Probability sampling
Simple random sampling merupakan dasar dari probabilitas sampling. Pada kasus khusus probabilitas sampling dalam setiap unit pada populasi memiliki kemungkinan yang sama menjadi sampel.Sampling bisa dilakukan dengan atau tanpa penggantian.
38 b. Stratified Random Sampling
Stratified random sampling meliputi pembagian populasi menjadi kelompok yang disebut dengan strata dimana anggota di dalam satu strata cenderung sama (homogen) dan antara strata cenderung berbeda (heterogen). Langkah selanjutnya adalah mengambil sampel secara acak pada masing-masing strata. Kemudian sampel pada stratum atau subgroup tersebut digabung menjadi satu.
c. Systematic sampling
Systematicsampling merupakan teknik sampling yang membutuhkan waktu yang sedikit dan biaya yang murah dibandingkan dengan simple random sampling
d. Cluster sampling
Cluster sampling merupakan teknik sampling dimana populasi dibagi menjadi beberapa group/ gerombol (cluster) yang masing-masingnya dapat memrepresentasikan populasi tersebut.
(ii) Non-probability sampling atau non-random sampling a. Purposive sampling
Sampel diseleksi dengan tujuan yang jelas berdasarkan sudut pandang dan pemilihan unit sampel bergantung secara menyeluruh pada pertimbangan dan kebijakan dari pengamat. b. Quota sampling
Merupakan tipe pembatas dari purpose sampling. Sampling ini terdiri dari kuota sampel yang spesifik yang digambarkan dari kelompok-kelompok yang berbeda dan kemudian menggambarkan kebutuhan sampel dari kelompok tersebut dengan purposive sampling. Quota sampling ini sangat berguna sekali dalam penyelidikan/ survey pasar.
c. Expert opinion sampling or expert sampling
Expert opinion sampling melibatkan kumpulan dari beberapa orang yang memiliki pengetahuan dan keahlian dalam
pengambilan keputusan terhadap suatu permasalahan yang sangat penting.
2.3 Distribusi Sampling Rata- Rata
Distribusi sampling rata- rata adalah distribusi probabilitas untuk nilai-nilai yang dapat terjadi dari rata- rata sampel yang didasarkan pada sejumlah sampel tertentu.
Mean dan standar deviasinya:
Jika sampling tanpa pergantian dari suatu populasi terhingga berukuran N :
Jika sampling dengan pergantian, yang berarti populasi tak terhingga :
Keterangan:
Mean daridistribusi mean sampel Mean populasi
Deviasi standar dari distribusi mean populasi Deviasi standar sampel
Ukuran populasi Ukuran sampel
Contoh Soal:
Dalam suatu pengujian kelelahan (fatigue test), material titanium diberi pembebanan berulang sampai deteksi timbulnya retak (crack initiation). Siklus pembebanan rata-rata sampai mulai retak adalah 25000 kali dengan deviasi standar 5000. Jika diuji 25 spesimen material titanium yang dipilih
1
N
n
N
n
x x
n
x x
n
N
s
x x
40 Mean dari sampel tersebut?
Deviasi standar darisampel tersebut? Jawab:
Mean dari sampel
Deviasi standar dari sampel
2.4 Distribusi Proporsi Sampling
Distribusi proporsi sampling adalah distribusi proporsi-proporsi dari seluruh sampel acak berukuran n yang mungkin dipilih dari sebuah populasi. Jika populasinya tak berhingga dan probabilitas terjadinya suatu kejadian atau event dikatakan sukses adalah P . Dan Q = 1 P menunjukkan probabilitas gagal. Anggap semua kemungkinan ukuran sampel n digambarkan dari populasi. Sebagai contoh, tentukan proporsi p sukses. Dengan menggunakan Teorema Limit Pusat, jika ukuran sampel besar, distribusi proporsi sampel p mengikuti distribusi normal dengan
rataan/meanp= P dan S.Dp= . ContohSoal:
Divisi pengendalian mutu pabrik perkakas mesin mencatat bahwa 1,5% dari bearing mengalami cacat. Jika dalam pengiriman satu kotak produk terdiri dari 100 bearing, tentukan probabilitas banyaknya bearing yang cacat sebanyak 2% atau lebih!
Jawab:
Mean dan standar deviasi: p= P = 0,015 p= = 100 ) 015 , 0 1 ( 015 , 0 = 0,0122
Faktor koreksi variabel diskrit = 1/2n = 1/200 = 0,005 Proporsi (2%) setelah dikoreksi, p = 0,02 – 0,005 = 0,015
1000 25 5000 25000 n x x
Maka, % 50 5 , 0 1 ) 0 ( 1 0122 , 0 015 , 0 015 , 0 1 ) 01 , 0 ( 1 ) 01 , 0 ( p p Z P Z P p P p P
2.5 Distribusi Sampling Beda Rata- Rata
Merupakan distribusi dari perbedaan dari besaran rata-rata yang muncul dari sampel-sampel dua populasi.
Rata- rata
Simpangan Baku
2.6 Distribusi Sampling Beda Proporsi
Merupakan distribusi dari perbedaan dua besaran proporsi yang muncul dari sampel dua populasi.
Rata- rata
Simpangan Baku
2.7 Teorema Limit Pusat (Central Limit Theorem)
Suatu populasi yang memiliki distribusi normal, distribusi mean sampling juga terdistribusi normal untuk nilai n berapapun (tidak tergantung ukuran sampel). Dengan kata lain, jika dimisalkan X1, X2,X3, ...,Xn adalah suatu sampel acak dari suatu populasi yang terdistribusi normal dengan mean μ dan standar deviasi σ maka untuk sembarang nilai n.
2 1 2 1
XX
2 2 2 1 2 1 2 1 Xn
n
X
2 1 2 1 pP
P
p
2 2 2 1 1 1(
1
)
(
1
)
2 1n
P
P
n
P
P
p p
42 Sementara itu dari suatu populasi yang tidak terdistribusi secara normal, jika ukuran sampel cukup besar (n > 30), distribusi mean sampling akan mendekati suatu distribusi normal (gaussian) apapun bentuk asli distribusi probabilitasnya. Pernyataan ini dikenal sebagai Teorema Limit Pusat). Dengan kata lain, seandainya X1, X2,X3, ...,Xnadalah suatu sampel acak dari
suatu populasi tidak terdistribusi secara normal dengan mean μ dan standar
deviasi σ, maka untuk nilai n yang cukup besar (n > 30).
X ≈ 2 , N n
Gambar 14. Ilustrasi Teorema Limit Pusat
Contoh:
1) Suatu perusahaan memproduksi bola lampu yang umurnya berdistribusi hampir normal dengan rataan 800 jam dan simpangan baku 40 jam. Hitunglah peluangnya bahwa suatu sampel acak dengan 16 bola lampu akan mempunyai umur rata- rata kurang dari 775 jam. Jawab:
Misalkan: X = bola lampu. X ~ N[800, 40].
DistribusiPopulasi
(tidakterdistribusi normal)
DistribusiX jika n > 30
X= rataan/mean mean sampel. Kemudian
800,100
N 16 1600 , 800 N , N ~ 2 n X Maka, P(X< 775) = P(Z < -2.5) = 0.00622) Suatu pabrik dapat memproduksi voltmeter dengan kemampuan pengukuran tegangan, rataan 40 volt dan standar deviasi 2 volt. Misalkan tegangan tersebut berdistribusi normal. Dari 1000 voltmeter yang diproduksi, berapa voltmeter yang tegangannya melebihi 43 volt?
Jawab:
Misalkan: X = Tegangan voltmeter. X ~ N[40, 2]. Dengan transformasi = P(X > 43) = P (Z > ) = P (Z > 1,5) = 1 – P (Z≤ 1,5) = 1- 0,9332 = 0,0668 2.8 Standard error
Standar deviasi dari distribusi sampling pada statistik disebut standard
error. Standar deviasi dari distribusi mean sampel disebut standard errorof the mean. Begitu guja dengan standar deviasi pada distribusi
proporsi sampel disebut standard error of the proportion.Standard errors dari ratan sampel/mean sampel dan proporsi sampel p digunakan untuk memperoleh limit kepercayaan untuk rataan populasi and proporsi populasi P masing-masing.
44
3. PROSEDUR PRAKTIKUM
1. Bangkitkan populasi data dengan menggunakan Microsot Excel yang terdiri dari 2000 bilangan random dengan distribusi normal, dengan kondisi sebagai berikut:
Mean = dua digit terakhir dari No.BP (mahasiswa 1)
Standard deviasi = dua digit terakhir dari No.BP (mahasiswa 2)
2. Selanjutnya ikuti langkah – langkah berikut ini :
a. Tentukan mean and standar deviasi dari populasi (2000 bilangan random)
b. Ambil 10 sampel sebanyak 100 kali dan tentukan mean dan standar deviasi dari tiap-tiap sampel tersebut.
c. Hitung Mean dan Standar deviasi dari 100 sampel tersebut
d. Buat Histogram dari 100 sampel tersebut. Bandingkan Histogram Populasi dengan Sampel tersebut
3. Ulangi poin 2 untuk disribusi yang sama dengan ukuran sampel 30, 50, dan 100 sampel sebanyak 100 trial.
4. Ulangi poin 1 2, dan 3 untuk distribusi :
Uniform (rate interval = No.BP minimum sampai No.BP
maksimum)
Poisson (Lamda = dua digit terakhir No.BP Maksimum)
Binomial (Number of trial = 100, p = (Jumlah 2 digit No.BP
Maksimum dan Minimum) / 100)
Statistik Standar Error Keterangan
Ukuran populasi tak terhingga atau sampel dengan penggantian Ukuran populasi N terhingga atau sampel tanpa penggantian Ukuran populasi tak terhingga atau sampel dengan penggantian Ukuran populasi N terhingga atau sampel tanpa penggantian Mean sampel
X ̅
Proporsi sampel p
