Elsen Ronando, S.Si.,M.Si.,M.Sc.
elsen.ronando@untag-sby.ac.id
Teknik Informatika Fakultas Teknik
Universitas 17 Agustus 1945 Surabaya
1 Pendahuluan
Konsep Dasar
Jenis-Jenis Himpunan
2 Penerapan Himpunan
Permasalahan Paradoks Russell
Himpunan terdiri dari beberapa elemen anggota.
Notasi himpunan : {}.
Contoh :
Diketahui Bambang, Bimbing, dan Bombong adalah tiga siswa yang mengikuti kuliah matematika diskrit. Beberapa kemungkinan himpunan yang dapat dibentuk adalah{Bambang,Bimbing,Bombong},
{Bimbing,Bombong,Bambang},
{Bimbing,Bimbing,Bambang,Bombong,Bambang}. Himpunan{x ∈R| −2<x<5}.
Himpunan Bagian (Subset)
Jika A dan B adalah himpunan, maka A dikatakan himpunan bagian dari
B, dapat dituliskan A⊆B, jika dan hanya jika setiap elemen A merupakan
elemen B. Secara simbolis dapat dituliskan:
A⊆B ⇔ ∀x, jika x∈Amakax∈B
Sebaliknya, jika bukan himpunan bagiannya dapat disimbolkan:
A*B ⇔ ∃x, maka x∈Adanx∄B
Contoh
Diketahui B76, XR3, D54, ES2, and XL5 adalah nomor investaris peralatan. Diambil A={B76,XR3,D54,XL5I},B ={B76,D54} dan
Himpunan Setara
Diberikan himpunan A dan B, A samadengan B, dituliskan dengan A=B, jika dan hanya jika setiap elemen A didalam B dan setiap elemen B didalam A. Secara simbolis dituliskan:
A=B ⇔A⊆B danB⊆A
Contoh
Ambil himpunan A,B,C, dan D didefinisikan sebagai berikut:
A = {n∈Z|n= 2p, untuk seluruh bil. bulatp} B = himpunan seluruh bilangan bulat genap C = {m∈Z|m= 2q−2, untuk seluruh bil.bulatq} D = {k∈Z|k = 3r+ 1, untuk seluruh bil.bulatr}
Operator Himpunan
Ambil A dan B adalah himpunan bagian dari himpunan semesta U.
1 Gabungan A dan B dinotasikan denganA∪B, merupakan himpunan seluruh elemenx
didalamUyaituxdidalam A atauxdidalam B.
A∪B={x∈U|x∈Aataux∈B}
2 Interseksi A dan B dinotasikan denganA∩B, merupakan himpunan seluruh elemenx
didalamuyaituxdidalam A danxdidalam B.
A∩B={x∈U|x∈Adanx∈B}
3 Pembeda B minus A (atau komplemen relatif A didalam B), dinotasikanB−A,
merupakan himpunan seluruh elemenxdidalamUyaituxdidalam B danxtidak didalam A.
B−A={x∈U|x∈Bdanx∈/A}
4 Komplemen A dinotasikanAc, merupakan himpunan seluruh elemenxdidalamUyaitux
tidak didalam A.
Contoh
Ambil himpunan semesta U ={a,b,c,d,e,f,g} danA={a,c,e,g}
danB ={d,e,f,g}. Cari A∪B,A∩B,B−A, danAc !
Ambil himpunan semesta menjadi himpunan bilangan realR dan
A={x ∈R| −1<x≤0 dan B ={x∈R|0≤x <1}. Cari A∪B,
A∩B, dan Ac !
Himpunan Kosong
Himpunan kosong (∅) adalah himpunan yang tidak memiliki elemen.
Himpunan Partisi
Himpunan dibagi tanpa penumpukkan (ataudisjoint), atau biasanya
disebut juga partisi.
Dua himpunan disebutdisjoint jika dan hanya jika tidak ada elemen
yang bersama. Secara simbolis dituliskan:
AdanB adalah disjoint ⇔A∩B =∅
Contoh
Himpunan Saling Asing (Mutually Disjoint)
Himpunan A1,A2, ...,An adalah saling asing jika dan hanya jika tidak ada
dua himpunan Ai dan Aj dengan subskrip berbeda memiliki beberapa
elemen secara bersamaan. Untuk lebih spesifik, untuk semua,
i,j = 1,2, ...,n
Ai∩Aj =∅ ketikai 6=j
Contoh
Ambil A1={3,5},A2 ={1,4,6}, danA3 ={2}. Apakah A1,A2,A3
saling asing ?
Definisi Umum Partisi
Sebuah kumpulan dari himpunan tak kosong {A1,A2, ...,An} merupakan
partisi dari himpunan A jika dan hanya jika
1 A=A1∪A2∪...∪An
2 A1,A2, ...,An adalah saling asing.
Contoh
Himpunan Pangkat (Power Sets)
Diberikan himpunan A, himpunan pangkatAdinotasikan dengan P(A),
merupakan himpunan seluruh subset A.
Contoh
Tuple-n Terorde
Ambil n adlah bilangan bulat positif dan x1,x2, ...,xn merupakan elemen.
Dipasangkan berurutann, maka disimbolkan
Perkalian Kartesian
Diberikan dua himpunan AdanB, perkalian kartesianAdan B
dinotasikan A×B merupakan himpunan seluruh pasangan orde (a,b),
dengana didalam Adanb didalam B. Secara simbolis, dituliskan
A×B ={(a,b)|a∈A danb∈B}
A1×A2×...×An={(a1,a2, ...an)|a1∈A1,a2 ∈A2, ...,an∈An}
Contoh
Ambil A={x,y},B ={1,2,3}, danC ={a,b}. TentukanA×B,
Himpunan yang berisikan himpunan yang tidak memuat dirinya sendiri sebagai anggota.
Secara simbolis, dituliskan:
S ={A|Aadalah himpunan dan A∈/ A}
Apakah S elemen dari S ?
Contoh
Alkisah disuatu desa terpencil di pedalaman Papua, Hidup seorang tukang cukur, dialah satu-satunya tukang cukur didesa tersebut. Semua orang didesa tersebut mencukur rabutnya sendiri atau dicukuri oleh si Tukang cukur dan si Tukang hanya mencukur orang yang tidak dapat mencukur
rambutnya sendiri. Pertanyaannya: Apakah si tukang cukur mencukur
Himpunan yang berisikan himpunan yang tidak memuat dirinya sendiri sebagai anggota.
Secara simbolis, dituliskan:
S ={A|Aadalah himpunan dan A∈/ A}
Apakah S elemen dari S ?
Contoh
Alkisah disuatu desa terpencil di pedalaman Papua, Hidup seorang tukang cukur, dialah satu-satunya tukang cukur didesa tersebut. Semua orang didesa tersebut mencukur rabutnya sendiri atau dicukuri oleh si Tukang cukur dan si Tukang hanya mencukur orang yang tidak dapat mencukur
rambutnya sendiri. Pertanyaannya: Apakah si tukang cukur mencukur
Seluruh materi presentasi dapat didownload pada SIAKAD masing-masing atau link berikut :
https://sites.google.com/site/elsenronandosite/teaching Klik .
Apabila ada pertanyaan mengenai matematika diskrit dapat mengirim
