BUKU PANDUAN LABORATORIUM S1 MATEMATIKA

(1)

BUKU PANDUAN LABORATORIUM S1 MATEMATIKA

PRAKTIKUM ANALISIS NUMERIK

NAMA :

NIM :

KELOMPOK :

ASISTEN : 1.

2.

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

(2)

BUKU PANDUAN LABORATORIUM S1 MATEMATIKA

PRAKTIKUM ANALISIS NUMERIK

NAMA :

NIM :

KELOMPOK :

ASISTEN : 1.

2.

KONTRAK PERKULIAHAN

KEHADIRAN : 15%

KUIS : 15%

TUGAS : 20%

UTS : 20%

UAS : 30%

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

(3)

ABSENSI PRAKTIKUM ANALISIS NUMERIK

Nama :

NIM :

Pertemuan Hari / Tgl Judul Paraf

Asisten Pertama Asisten Kedua

Diketahui Kepala Laboratorium Medan, 2016

S1 Matematika FMIPA USU Asisten Lab

Dr. Suyanto, M.Kom

(4)

DAFTAR ISI

Bab I METODE BISEKSI 1

Bab II METODE REGULA FALSI 4

Bab III METODE NEWTON RAPHSON 7

Bab IV METODE SECANT 10

Bab V METODE INTEGRASI REIMANN 13

Bab VI METODE INTEGRASI TRAPEZOIDA 16

(5)

1 Modul Praktikum Analisis Numerik S1 Matematika

BAB I

METODE BISEKSI

Metode Biseksi dapat digunakan untuk menyelesaikan persamaan non-linier. Penyelesaian persamaan non-linier adalah penentuan akar-akar persamaan non-linier, dimana akar sebuah persamaan 𝑓 𝑥 = 0 adalah nilai-nilai 𝑥 yang menyebabkan nilai 𝑓(𝑥) sama dengan nol. Dengan kata lain, akar persamaan 𝑓(𝑥) adalah titik potong antara kurva 𝑓(𝑥) dan sumbu 𝑥.

Metode Biseksi ini membagi range menjadi 2 bagian. Dari dua bagian ini, dipilih bagian yang mengandung akar dan yang tidak mengandung akar, dibuang. Hal ini dilakukan berulang-ulang hingga diperoleh akar persamaan.

Algoritma Metode Biseksi:

1. Definisikan fungsi 𝑓(𝑥).

2. Tentukan batas bawah (a) dan batas atas (b). 3. Tentukan toleransi error atau iterasi maksimum. 4. Hitung 𝑓(𝑎) dan 𝑓(𝑏).

5. Jika 𝑓 𝑎 ∗ 𝑓(𝑏) > 0 maka proses dihentikan karena tidak ada akar, bila tidak dilanjutkan ke langkah selanjutnya.

6. Hitung 𝑥=𝑎+𝑏 didapatkan akar = 𝑥, dan bila tidak ulangi langkah ke-6.

(6)

error = input ('Input toleransi error : '); iterasi = 1;

(7)

Latihan

1. Buatlah sebuah program MATLAB dengan memodifikasi program 1.1.

2. Buatlah sebuah program MATLAB menggunakan Metode Bisection dengan kasus yang berbeda.

(8)

BAB II

METODE REGULA FALSI

Metode Regula Falsi adalah metode pencarian akar persamaan dengan memanfaatkan kemiringan dan selisih tinggi dari dua titik batas range. Seperti halnya Metode Biseksi, metode ini bekerja secara iterasi dengan melakukan update range, titik pendekatan yang digunakan oleh Metode Regula Falsi adalah:

𝑥 = 𝑓 𝑏 ∗ 𝑎 − 𝑓 𝑎 ∗ 𝑏

𝑓 𝑏 − 𝑓(𝑎)

Algoritma Metode Regula Falsi:

(9)

(10)

Latihan

2. Buatlah sebuah program MATLAB menggunakan Metode Regula Falsi dengan kasus yang berbeda.

(11)

BAB III

METODE NEWTON RAPHSON

Metode Newton Raphson adalah metode pendekatan yang menggunakan satu titik awal dan mendekatinya dengan memperhatikan gradient pada titik tersebut. Titik pendekatan

𝑛+ 1 dituliskan dengan:

𝑥𝑛+1 = 𝑥𝑛 −

𝑓(𝑥_𝑛)

𝑓′₍_𝑥_𝑛₎ Algoritma Metode Newton Raphson:

1. Definisikan fungsi 𝑓(𝑥) dan 𝑓′(𝑥).

2. Tentukan toleransi error atau iterasi maksimum (N). 3. Tentukan nilai pendekatan awal 𝑥0.

4. Hitung 𝑓(𝑥_𝑜) dan 𝑓′(𝑥_𝑜)

5. Untuk iterasi i=1 sampai denga N

𝑥𝑖+1 =𝑥𝑖 −

𝑓(𝑥_𝑖)

𝑓′₍_𝑥_𝑖₎

6. Akar persamaan adalah 𝑥_𝑖 yang terakhir diperoleh.

Contoh:

(12)

8 Modul Praktikum Analisis Numerik S1 Matematika Program 3.1

clc;

f = inline ('x-exp(-x)'); g = inline ('1+exp(-x)');

x = input ('Input nilai pendekatan awal : '); N = input ('Input banyak iterasi : ');

(13)

Latihan

2. Buatlah sebuah program MATLAB menggunakan Metode Newton Raphson dengan kasus yang berbeda.

(14)

BAB IV

METODE SECANT

Metode Secant merupakan perbaikan dari Metode Regula Falsi dan Newton Raphson. Dimana kemiringan dua titik dinyatakan secara diskrit, dengan mengambil bentuk garis lurus yang melalui satu titik.

𝑥𝑛+1 = 𝑥𝑛 − 𝑦𝑛

𝑥𝑛 − 𝑥𝑛+1

𝑦𝑛 − 𝑦𝑛+1

Algoritma Metode Secant:

2. Tentukan toleransi error atau iterasi maksimum.

3. Tentukan dua nilai pendekatan awal yang diantaranya terdapat akar yaitu 𝑥₀ dan 𝑥₁. 4. Hitung 𝑓(𝑥_𝑜) dan 𝑓(𝑥1) sebagai 𝑦0dan 𝑦1.

5. Untuk iterasi i=1 sampai denga |𝑓 𝑥_𝑖 <𝑒

𝑥𝑖+1 =𝑥𝑖 − 𝑦𝑖

𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1

𝑦𝑖 − 𝑦𝑖−1

6. Akar persamaan adalah 𝑥 yang terakhir diperoleh.

Contoh:

Selesaikan persamaan 𝑥2 − 𝑥+ 1 𝑒−𝑥 = 0

Diketahui bahwa akar terletak pada range 𝑥= [0.8,0.9]

(15)

clc;

f = inline ('(x*x)-(x+1)*exp(-x)'); x0 = input ('Input nilai x0 : '); x1 = input ('Input nilai x1 : ');

disp('---'); disp(' i x f(x)'); disp('---');

while abs (f(x1)) > error

x = x1-f(x1)*(x1-x0)/(f(x1)-f(x0));

disp (sprintf('%3g %10.7f %10.7f %10.7f \n', iterasi, x, f(x)));

x0=x1; x1=x;

iterasi = iterasi+1; end

(16)

Latihan

2. Buatlah sebuah program MATLAB menggunakan Metode Secant dengan kasus yang berbeda.

(17)

BAB V

METODE INTEGRASI REIMANN

Metode Integral Reimann ini merupakan metode integral yang digunakan dalam kalkulus dan didefinisikan sebagai:

𝑓 𝑥 𝑑𝑥= 𝑕 𝑓 𝑥_𝑖

Algoritma Metode Integral Reimann:

2. Tentukan batas bawah (a) dan batas atas (b). 3. Tentukan jumlah pembagi area N.

(18)

clc;

f = inline('x*x');

a = input ('Input batas bawah(a) : '); b = input ('Input batas atas(b) : ');

N = input ('Input jumlah pembagi area(N) : ');

h = (b-a)/N; luas = f(a);

for i=1:N

x=a+(i*h);

fx=f(x);

luas = luas + fx; end

total = h*luas;

(19)

Latihan

2. Buatlah sebuah program MATLAB menggunakan Metode Integrasi Reimann dengan kasus yang berbeda.

(20)

BAB VI

METODE INTEGRASI TRAPEZOIDA

Pada Metode Integral Reimann, setiap daerah bagian dinyatakan sebagai empat persegi panjang dengan tinggi 𝑓(𝑥) dan lebar 𝑥. Sedangkan pada Metode Trapezoida ini, setiap bagian dinyatakan sebagai trapesium.

Algoritma Metode Integral Reimann:

(21)

clc;

f = inline('2*x*x*x');

a = input ('Input batas bawah(a) : '); b = input ('Input batas atas(b) : ');

N = input ('Input jumlah pembagi area(N) : ');

h = (b-a)/N;

luas = 0;

for i=1:N-1 x=a+(i*h);

fx=f(x);

luas = luas + fx; end

(22)

Latihan

2. Buatlah sebuah program MATLAB menggunakan Metode Integrasi Trapezoida dengan kasus yang berbeda.

(23)

BAB VII

METODE INTEGRASI SIMPSON

Metode Integrasi Simpson merupakan pengambangan dari Metode Integrasi Trapezoida yaitu daerah pembaginya berupa dua buah trapesium dengan menggunakan pembobot berat di titik tengahnya.

Algoritma Metode Simpson:

(24)

(25)

Latihan

2. Buatlah sebuah program MATLAB menggunakan Metode Integrasi Simpson dengan kasus yang berbeda.