Penyelesaian Persamaan Saint Venant dengan Metode Numerik

Penyelesaian Persamaan Saint

Venant dengan Metode Numerik

Prof. Dr. Ir. Arwin, MS.

Prof.Arwin Sabar bid keahlian PSDA &

Konservasi ,ITB

2

Model Fisik Hidrologi F(x,y,z,t ):

HYDROLOGY MODEL

Kawasan Hulu

Boundary Hilir

Q

Boundary Hulu

Persamaan Saint Venant :

 

0

1 2 _

   

  _

  

    

f S x h h gB x

h Q B t Q

b t

h B x

Q

   

 

DAS HULU (Watershed Model)

Aliran pada Saluran Terbuka

I(t)

0

0 t t

Q(t)

Dx

0 L

Dx Dx Dt

Persamaan Saint Venant

 Persamaan Kesinambungan Air

Volume Kontrol Massa Air

Aliran masuk

Aliran keluar

Δx

x x + Δx F

V V+ Δx F + Δx

𝛾 𝑔 𝐹

𝜕𝐹

𝜕𝑥 ∆𝑥 𝑉+ 𝜕𝑉 𝜕𝑥 ∆𝑥

𝛾

𝑔 𝐹 + 𝜕𝐹

𝜕𝑥 ∆𝑥 𝑉

𝜕𝑉 𝜕𝑥 ∆𝑥

Jarak Luas

Kecepatan

h h + 𝜕𝑕_𝜕𝑥∆𝑥

Persamaan Kesinambungan Air (1)

 Massa air yang masuk volume kontrol

= 𝛾

𝑔 . 𝐹. 𝑉

 Massa air yang keluar volume kontrol

= 𝛾

𝑔 𝐹 +

𝜕𝐹

𝜕𝑥 ∆𝑥 𝑉 +

𝜕𝑉

𝜕𝑥 ∆𝑥

 Neraca massa air pada volume kontrol

= 𝛾

𝑔 𝑉. 𝜕𝐹

𝜕𝑥 ∆𝑥 − 𝛾

𝑔 𝐹. 𝜕𝑉

𝜕𝑥 ∆𝑥

(1.1)

(1.2)

Persamaan Kesinambungan Air (2)

 Massa air yang bertambah pada volume kontrol

Dengan menerapkan hukum kekekalan massa pada volume kontrol, maka persamaan yang diperoleh adalah (1.5)

= 𝛾

𝑔 𝜕𝐹

𝜕𝑡 ∆𝑥

𝛾 𝑔

𝜕𝐹

𝜕𝑡 ∆𝑥 = − 𝛾

𝑔 𝑉. 𝜕𝐹

𝜕𝑥 ∆𝑥 − 𝛾

𝑔 𝐹. 𝜕𝑉

𝜕𝑥 ∆𝑥 (1.5)

Persamaan Kesinambungan Air (3)

 Bagi dengan 𝛾 , segingga persamaan (1.5) menjadi (1.6)

𝑔∆𝑥 𝜕𝐹

𝜕𝑡 + 𝑉. 𝜕𝐹

𝜕𝑥 + 𝐹. 𝜕𝑉

𝜕𝑥 = 0 𝜕𝐹

𝜕𝑥 = 𝑑𝐹 𝑑𝑕

𝜕𝑕

𝜕𝑥 = 𝐵 𝜕𝑕 𝜕𝑥 𝜕𝐹

𝜕𝑡

𝑑𝐹 𝑑𝑕

𝜕𝑕

𝜕𝑡 𝐵 𝜕𝑕

𝜕𝑡

(1.6)

Disubstitusi ke

(1.5) 𝐵

𝜕𝑕

𝜕𝑡 + 𝑉. 𝜕𝐹

𝜕𝑥 + 𝐹. 𝜕𝑉

𝜕𝑥 = 0

𝜕𝐹

𝜕𝑡 +𝑉. 𝜕𝐹

𝜕𝑥 +𝐹. 𝜕𝑉 𝜕𝑥 = 0 𝜕𝐹

𝜕𝑥 = 𝑑𝐹 𝑑𝑕

𝜕𝑕 𝜕𝑥 = 𝐵

𝜕𝑕 𝜕𝑥 𝜕𝐹

𝜕𝑡 = 𝑑𝐹 𝑑𝑕

𝜕𝑕 𝜕𝑡 = 𝐵

𝜕𝑕 𝜕𝑡 Dimana:

Persamaan Kesinambungan Air (4)

 Dengan meninjau turunan pertama dari Q = F x V, yaitu

(1.7)

𝜕𝑄

𝜕𝑥 = 𝑉. 𝜕𝐹

𝜕𝑥 + 𝐹. 𝜕𝑉

𝜕𝑥 Disubstitusikan ke persamaan (1.6)

 Sehingga diperoleh persamaan (1.7) sebagai Persamaan

Kesinambungan Air

𝜕𝑄

𝜕𝑥

+

𝐵

.

𝜕𝑕

Gaya-gaya yang Bekerja pada

Volume Kontrol

h K1 K2 h + 𝜕𝑕_𝜕𝑥∆𝑥

K3

K4

g I

Persamaan Momentum (1)

 Gaya Hidrostatis

𝐾1 = 𝛾.𝐹.𝑕

𝐾2 = 𝛾.𝐹. 𝑕 + 𝜕𝑕

𝜕𝑥 ∆𝑥

 Gaya Geser

𝐾3 = 𝛾.𝐹.𝑆_𝑓. ∆𝑥

sehingga persamaannya menjadi 𝑆_𝑓 = 𝑉

2

𝐶2𝑅 =

𝑉 𝑉 𝐶2𝑅

𝐾3 = 𝛾.𝐹.𝑉 𝑉 𝐶 𝑅 .∆𝑥

dimana _{𝑆𝑓 =} 𝑉

𝐶2𝑅 =

𝑉 𝑉 𝐶2𝑅

𝐾3 = 𝛾.𝐹.𝑉 𝑉

𝐶2𝑅 .∆𝑥

(2.1)

(2.2)

Persamaan Momentum (2)

 Gaya Gravitasi Volume Kontrol

𝐾4 = 𝛾.𝐹.∆𝑥. sin𝐼

𝐾4 = 𝛾.𝐹.∆𝑥. 𝐼

Kemiringan dasar saluran sangan kecil, maka sin I = I sehingga persamaannya menjadi

 Resultan gaya-gaya yang bekerja pada volume kontrol

= 𝐾1 − 𝐾2 − 𝐾3 − 𝐾4

𝐾 = 𝛾.𝐹.𝑕 − 𝛾.𝐹. 𝑕 + 𝜕𝑕

𝜕𝑥 ∆𝑥 − 𝛾.𝐹.

𝑉 𝑉

𝐶2𝑅 ∆𝑥 − 𝛾.𝐹.∆𝑥. 𝐼

(2.4)

Persamaan Momentum (3)

 Momentum yang masuk ke volume kontrol

= 𝛾

𝑔 𝐹.𝑉2 +

𝜕(𝐹.𝑉2)

𝜕𝑥 ∆𝑥

 Neraca pemasukan momentum pada volume kontrol

= − 𝛾

𝑔

𝜕(𝐹. 𝑉2)

𝜕𝑥 ∆𝑥

 Penambahan momentum pada volume kontrol

= 𝜕 𝛾𝑔

.𝐹. 𝑉.∆𝑥

𝜕𝑡

(2.6)

(2.7)

Persamaan Momentum (4)

 Dengan menerapkan hukum momentum terhadap volume kontrol, maka diperoleh

𝜕 𝛾𝑔.𝐹.𝑉.∆𝑥

𝜕𝑡 = −

𝛾 𝑔

𝜕 𝐹.𝑉2

𝜕𝑥 ∆𝑥 + 𝛾.𝐹.𝑕 − 𝛾.𝐹. 𝑕 + 𝜕𝑕

𝜕𝑥 ∆𝑥 − 𝛾.𝐹.

𝑉 𝑉

𝐶2𝑅 ∆𝑥 − 𝛾.𝐹.∆𝑥.𝐼

𝜕 𝛾𝑔.𝐹.𝑉.∆𝑥

𝜕𝑡 = −

𝛾 𝑔

𝜕 𝐹.𝑉2

𝜕𝑥 ∆𝑥 + −𝛾.𝐹. 𝜕𝑕

𝜕𝑥 ∆𝑥 − 𝛾.𝐹.

𝑉 𝑉

𝐶2𝑅 ∆𝑥 − 𝛾.𝐹.∆𝑥.𝐼

Persamaan Momentum (5)

 Bagi dengan 𝛾 , segingga persamaan (2.9) menjadi (2.10)

𝑔∆𝑥

𝜕 𝐹.𝑉

𝜕𝑡 +

𝜕 𝐹.𝑉2

𝜕𝑥 + 𝑔.𝐹. 𝜕𝑕

𝜕𝑥 + 𝑔.𝐹.

𝑉 𝑉

𝐶2𝑅 + 𝑔.𝐹.𝐼 = 0

𝜕 𝐹.𝑉 𝜕𝑡 = 𝐹

𝜕𝑉 𝜕𝑡 + 𝑉

𝜕𝐹 𝜕𝑡 𝜕 𝐹.𝑉2

𝜕𝑡 = 𝐹.𝑉 𝜕𝑉

𝜕𝑡 + 𝑉2 𝜕𝐹

𝜕𝑡 +𝐹.𝑉 𝜕𝑉

𝜕𝑡 𝜕 𝐹.𝑉2

𝜕𝑥 = 𝐹.𝑉 𝜕𝑉

𝜕𝑥 +𝑉2 𝜕𝐹

𝜕𝑥 + 𝐹.𝑉2 𝜕𝑉 𝜕𝑥

 Dimana

Persamaan Momentum (6)

𝐹 𝜕𝑉_𝜕𝑡 + 𝑉 𝜕𝐹

𝜕𝑡 + 𝐹.𝑉 𝜕𝑉

𝜕𝑥 + 𝑉2 𝜕𝐹

𝜕𝑥 +𝐹.𝑉2 𝜕𝑉

𝜕𝑥 + 𝑔.𝐹.

𝜕𝑕

𝜕𝑥 + 𝑔.𝐹.

𝑉 𝑉

𝐶2𝑅 +𝑔.𝐹.𝐼 = 0

 Substitusi

𝜕𝑉 𝜕𝑡 +

𝑉 𝐹

𝜕𝐹 𝜕𝑡 + 𝑉

𝜕𝑉 𝜕𝑥 +

𝑉2

𝐹 𝜕𝐹

𝜕𝑥 +𝑉2 𝜕𝑉

𝜕𝑥 + 𝑔 𝜕𝑕

𝜕𝑥 + 𝑔

𝑉 𝑉

𝐶2𝑅 +𝑔.𝐼 = 0

𝜕𝑉 𝜕𝑡 +𝑉

𝜕𝑉 𝜕𝑥 +

𝑉 𝐹

𝜕𝐹 𝜕𝑡 + 𝑉

𝜕𝐹 𝜕𝑥 +𝑉

𝜕𝑉

𝜕𝑥 + 𝑔 𝜕𝑕

𝜕𝑥 +𝑔

𝑉 𝑉

𝐶2𝑅 +𝑔.𝐼 = 0

 Persamaan (2.11) dibagi F

(2.11)

Persamaan Momentum (7)

𝜕𝑉

𝜕𝑡 + 𝑉

𝜕𝑉

𝜕𝑥 + 𝑔

𝜕𝑕

𝜕𝑥 + 𝑔

𝑉 𝑉

𝐶2𝑅 + 𝑔. 𝐼 = 0

 Dimana

𝜕𝐹 𝜕𝑡 + 𝑉

𝜕𝐹 𝜕𝑥 + 𝑉

𝜕𝑉

𝜕𝑥 = 0

𝜕𝑉 𝜕𝑡 +

𝑉 𝐹

𝜕𝐹 𝜕𝑡 + 𝑉

𝜕𝑉 𝜕𝑥 +

𝑉 𝐹

𝜕𝐹

𝜕𝑥 +𝑉2 𝜕𝑉

𝜕𝑥 + 𝑔 𝜕𝑕

𝜕𝑥 + 𝑔

𝑉 𝑉

𝐶2𝑅 +𝑔.𝐼 = 0

𝜕𝑉 𝜕𝑡 +𝑉

𝜕𝑉 𝜕𝑥 +

𝑉 𝐹

𝜕𝐹 𝜕𝑡 + 𝑉

𝜕𝐹 𝜕𝑥 +𝑉

𝜕𝑉

𝜕𝑥 + 𝑔 𝜕𝑕

𝜕𝑥 +𝑔

𝑉 𝑉

𝐶2𝑅 +𝑔.𝐼 = 0

 Persamaan (2.12)

 Disubstitusikan ke persamaan (2.12) sehingga menghasilkan persamaan (2.13) sebagai Persamaan Momentum

Skema

Finite Difference

Initial condition

Boundary condition

Kontinuitas

 0 

 

 

t H B

Momentum

 ₂  0

  

 

AR C

Q Q g

x H gA t

Penyelesaian dengan Metode

Implsit

2 / 1 

Modifikasi Persamaan Momentum (1)

 _{Karena alirannya steady, maka tinggi muka air di hulu}

dan di hilir sama

 Akibatnya kecepatan tidak berubah; = 0; dan h + I = H

 Sehingga persamaannya menajadi

𝑉 𝜕𝑉_𝜕𝑥

𝜕𝑉

𝜕𝑡 + 𝑉 𝜕𝑉

𝜕𝑥 + 𝑔 𝜕𝑕

𝜕𝑥 + 𝑔

𝑉 𝑉

𝐶2𝑅 + 𝑔.𝐼 = 0

𝜕𝑉

𝜕𝑡 + 𝑔 𝜕𝑕

𝜕𝑥 + 𝐼 + 𝑔

𝑉 𝑉

𝐶2𝑅 = 0

𝜕𝑉

𝜕𝑡 + 𝑔 𝜕𝐻

𝜕𝑥 + 𝑔

𝑉 𝑉

Modifikasi Persamaan Momentum (2)

𝜕𝑉

𝜕𝑡 𝑉

𝜕𝑉

𝜕𝑥 𝑔 𝜕𝑕

𝜕𝑥 𝑔

𝑉 𝑉

𝐶 𝑅 𝑔 𝐼 𝜕𝑉

𝜕𝑡 + 𝑔 𝜕𝑕

𝜕𝑥 + 𝐼 + 𝑔

𝑉 𝑉

𝐶2𝑅 = 0

𝜕𝑉

𝜕𝑡 + 𝑔 𝜕𝐻

𝜕𝑥 + 𝑔

𝑉 𝑉

𝐶2𝑅 = 0

Seluruh ruasnya dikalikan dengan A, maka persamaannya menjadi:

𝜕𝑄

𝜕𝑡 + 𝑔𝐴 𝜕𝐻

𝜕𝑥 + 𝑔

𝑄 𝑄

𝐴𝐶2𝑅 = 0

Segmen Aliran (1)

 _{Persamaan pada ruas 1, yaitu:}

𝜕𝑄 𝜕𝑡 =

𝑄_𝑖−𝑗 2 − 𝑄𝑖−𝑗 −2 1

∆𝑡

𝜕𝐻 𝜕𝑥 =

𝐻_𝑖−𝑗 1 − 𝐻𝑖−𝑗−3 1

+ 𝐻_𝑖−𝑗−₁1 − 𝐻_𝑖−𝑗 ₃ 2∆𝑥

 _{Persamaan pada ruas 1 disubstitusi pada persamaan}

momentum (3.1) menjadi

𝑄_𝑖−𝑗 2 − 𝑄𝑖−𝑗−2 1

∆𝑡 + 𝑔𝐴

𝐻_𝑖−𝑗 1 − 𝐻𝑖−𝑗−3 1

+ 𝐻_𝑖−𝑗−₁1 − 𝐻_𝑖−𝑗 ₃

2∆𝑥 + 𝑔

𝑄 𝑄

𝐴𝐶2𝑅 = 0

(3.2)

(3.3)

Segmen Aliran (2)

 Persamaan (3.4) dikalikan dengan 2∆𝑥 menjadi persamaan (3.5)

𝑔𝐴 2∆𝑥

𝑔𝐴∆𝑡 𝑄𝑖−𝑗 2 −

2∆𝑥

𝑔𝐴∆𝑡 𝑄𝑖−𝑗−2 1

+ 𝐻_𝑖−𝑗 ₁ − 𝐻_𝑖−𝑗−₃1 + 𝐻_𝑖−𝑗−₁1 − 𝐻_𝑖−𝑗 ₃ + 2∆𝑥 𝐴

𝑄 𝑄

𝐴𝐶2𝑅 = 0

𝑄_𝑖−𝑗 _{2 𝑔𝐴∆𝑡}2∆𝑥 +2∆𝑥 𝐴

𝑄 𝑄

𝐴𝐶2𝑅 −

2∆𝑥

𝑔𝐴∆𝑡 𝑄𝑖−𝑗 −2 1

+ 𝐻_𝑖−𝑗 ₁ − 𝐻_𝑖−𝑗−₃1 + 𝐻_𝑖−𝑗−₁1 − 𝐻_𝑖−𝑗 ₃ = 0

 Dimana : _𝑎 = 2∆𝑥

𝑔𝐴∆𝑡;𝑏 =

2∆𝑥

𝑔𝐴∆𝑡+

2∆𝑥

𝐴

𝑄 𝑄 𝐴𝐶2𝑅

 Sehingga persamaan (3.5) berubah menjadi persamaan (3.6)

𝑏𝑄_𝑖−𝑗 2 − 𝑎𝑄𝑖−𝑗 −2 1

+𝐻_𝑖−𝑗 ₁ − 𝐻_𝑖−𝑗−₃1 +𝐻_𝑖−𝑗−₁1 − 𝐻_𝑖−𝑗 ₃ = 0

𝑯_𝒊−𝟑𝒋−𝟏 + 𝒂𝑸_𝒊−𝟐𝒋−𝟏 − 𝑯_𝒊−𝟏𝒋−𝟏 = −𝑯_𝒊−𝟑𝒋 +𝒃𝑸_𝒊−𝟐𝒋 + 𝑯_𝒊−𝟏𝒋

(3.5)

Segmen Aliran (3)

 _{Persamaan pada ruas 2, yaitu:}

𝜕𝑄 𝜕𝑥 =

𝑄_𝑖𝑗 − 𝑄_𝑖−𝑗−₂1

+ 𝑄_𝑖𝑗 −1 − 𝑄_𝑖−𝑗 ₂ 2∆𝑥

𝜕𝐻 𝜕𝑥 =

𝐻_𝑖−𝑗 ₁ − 𝐻_𝑖−𝑗 −₁1

∆𝑡

 _{Persamaan pada ruas 2 disubstitusi pada persamaan}

kesiambungan air menjadi

𝑄_𝑖𝑗 − 𝑄_𝑖−𝑗 −₂1

+ 𝑄_𝑖𝑗−1 − 𝑄_𝑖−𝑗 ₂

2∆𝑥 + 𝐵

𝐻_𝑖−𝑗 ₁ − 𝐻_𝑖−𝑗−₁1

∆𝑡 = 0

(4.1)

(4.2)

Segmen Aliran (4)

 Persamaan (4.3) dikalikan dengan ∆𝑡 menjadi persamaan (4.4)

𝐵

∆𝑡

2𝐵∆𝑥 𝑄𝑖

𝑗 _{− 𝑄} 𝑖−2

𝑗−1

+ 𝑄_𝑖𝑗−1 − 𝑄_𝑖−𝑗 ₂ + 𝐻_𝑖−𝑗 ₁ − 𝐻_𝑖−𝑗−₁1 = 0

 Dimana : 𝑐 = ∆𝑡

2𝐵∆𝑥

 Sehingga persamaan (4.4) berubah menjadi persamaan (4.5)

𝑐 𝑄_𝑖𝑗 − 𝑄_𝑖−2 𝑗−1

+ 𝑄_𝑖𝑗 −1 − 𝑄_𝑖−𝑗 ₂ + 𝐻_𝑖−𝑗 ₁ − 𝐻_𝑖−𝑗−₁1 = 0

𝑐𝑄_𝑖𝑗 − 𝑐𝑄_𝑖−2 𝑗 −1

+ 𝑐𝑄_𝑖𝑗−1 − 𝑐𝑄_𝑖−𝑗 ₂ + 𝐻_𝑖−𝑗 ₁ − 𝐻_𝑖−𝑗−₁1 = 0

𝒄𝑸_𝒊−𝟐𝒋−𝟏 + 𝑯_𝒊−𝟏𝒋−𝟏 − 𝒄𝑸_𝒊𝒋−𝟏 = −𝒄𝑸_𝒊−𝟐𝒋 + 𝑯_𝒊−𝟏𝒋 + 𝒄𝑸_𝒊𝒋

(4.4)

Review

(1)

 _{Dengan mensubstitusi j=n (new) dan j-1 = o (old)}

𝑯_𝒊−𝟑𝒐 + 𝒂𝑸_𝒊−𝟐𝒐 − 𝑯_𝒊−𝟏𝒐 = −𝑯_𝒊−𝟑𝒏 +𝒃𝑸_𝒊−𝟐𝒏 + 𝑯_𝒊−𝟏𝒏

 _{Persamaan Momentum jadi:}

 _{Persamaan kesinambungan air mjadi:}

Review

(2)

 _{3 Ruas selanjutnya adalah}

𝑯_𝒊−𝟏𝒐 + 𝒂𝑸_𝒊𝒐 − 𝑯_𝒊𝒐_+𝟏 = −𝑯_𝒊−𝟏𝒏 +𝒃𝑸_𝒊𝒏 + 𝑯_𝒊𝒏_+𝟏

𝒄𝑸_𝒊𝒐 + 𝑯_𝒊𝒐_+𝟏 − 𝒄𝑸_𝒊𝒐_+𝟐 = −𝒄𝑸_𝒊𝒏 + 𝑯_𝒊𝒏_+𝟏 + 𝒄𝑸_𝒊𝒏_+𝟐

Persamaan Matriks

1

1 𝑎

𝑐 −11 1 −𝑐𝑎

𝑐 −11 1

−𝑐 𝑎

1

−1

𝐻𝑖−𝑜 3 𝑄_𝑖−𝑜 2 𝐻_𝑖−𝑜 1

𝑄_𝑖𝑜 𝐻_𝑖𝑜+1 𝑄_𝑖𝑜+2 𝐻_𝑖𝑜+3

= 1

−1 𝑏

−𝑐 11

−1 𝑏𝑐

−𝑐 11

−1

𝑐 𝑏

1 1

𝐻𝑖−𝑛 3 𝑄_𝑖−𝑛 2 𝐻_𝑖−𝑛 1

Penyelesaian Persamaan Matriks

 _{Metode eliminasi}

Prinsip yang digunakan pada metode eliminasi adalah dengan mengeliminasi variabel-variabel yang tidak diketahui

 _{Metode Iterasi}

Metode Eliminasi Gauss

Solusi dapat dihitung dengan teknik subtitusi mundur

Metode Eliminasi Gauss (2)

Apabila x_n, x_n-1, x_n-2 diketahui maka nilai x_k dapat dihitung dengan

0

1 ,..., 2 ,

1

1



 









 

kk

kk n

k j

j kj k

k

a

n n

k

a

x a b

Metode Iterasi Gauss Seidel

Syarat Metode Iterasi (1)

𝐶_𝑗𝑗 ≥ 𝐶_𝑗,𝑗 −1 + 𝐶𝑗,𝑗+1

𝐶_𝑗𝑗 = 1

𝐶_𝑗,𝑗 −1 = 𝐶𝑗,𝑗+1 = 𝑐 =

∆𝑡

2𝐵∆𝑥

𝑗 = 1,3, . . 2𝑛 + 1

∆𝑡

Syarat Metode Iterasi (2)

𝐴

_𝑗𝑗

≥ 𝐴

_𝑗,𝑗−1

+

𝐴

𝑗,𝑗+1

𝐴

_𝑗𝑗

=

2

∆𝑥

𝑔𝐴∆𝑡

+

2

∆𝑥

𝐴

𝑄 𝑄

𝐴𝐶

2

𝑅

𝐴

_𝑗,𝑗−1

=

𝐴

𝑗,𝑗+1

= 1

∆𝑥

𝑔𝐴∆𝑡

+

∆𝑥

𝐴

𝑄 𝑄

𝐴𝐶

2

𝑅 ≥

1

Syarat Metode Iterasi (3)

 _{Untuk semua j = 1,2,3,.. 2n+1, dan untuk sedikitnya}

satu j harus ada:

𝐶

_𝑗𝑗

>

𝐶

_{𝑗,𝑗 −1}

+

𝐶

_𝑗,𝑗+1

𝐴

_𝑗𝑗

>

𝐴

_{𝑗,𝑗−1}

+

𝐴

_𝑗,𝑗+1

∆𝑡

𝐵∆𝑥 < 1 ∆𝑥

𝑔𝐴∆𝑡 +

∆𝑥 𝐴

𝑄 𝑄

Penyelesaian Simultan Gerak Air

 _{Mempunyai dominan diagonal, dengan syarat:}

∆𝑡 ≤ 𝐵∆𝑥

𝑗 = 1,3, . . 2𝑛 + 1

∆𝑡 ≤ ∆𝑥_𝐴 + ∆𝑥 𝐴

𝑄 𝑄 𝐴𝐶2𝑅

𝑗 = 2,4,6, . . 2𝑛

∆𝑡 < 𝐵∆𝑥

∆𝑡 < ∆𝑥

𝐴 +

∆𝑥 𝐴

𝑄 𝑄

n i o

i o

i o

i Q H Q

H _3  _2  _1   _2

n i o

i o

i o

i H Q H

Q_2  _1   _1



n i o

i o

i o

i H Q H

Q  _1  _2  _1



n i o

i o

i o

i Q H Q

H _1   _1  

n i o

i o

i o

i Q H Q

o i n

i n

i n

i H Q H

Q_2  _1  _1

 

o i n

i n

i n

i Q H Q

H _3  _2  _1  _2

  

o i n

i n

i n

i Q H Q

H    

 _{1 1}

n i o

i o

i o

i H Q H

Q  _1  _2  _1

 

o i n

i n

i n

i Q H Q

H _1  _2  _3  _2