Penyelesaian Persamaan Saint Venant dengan Metode Numerik

Penyelesaian Persamaan Saint

Venant dengan Metode Numerik

Prof. Dr. Ir. Arwin, MS.

Prof.Arwin Sabar bid keahlian PSDA &

Konservasi ,ITB

2

Model Fisik Hidrologi F(x,y,z,t ):

HYDROLOGY MODEL

Kawasan Hulu

Boundary Hilir

Q

Boundary Hulu

Persamaan Saint Venant :

  0 1 2 _       _         f S x h h gB x h Q B t Q b t h B x Q      

DAS HULU (Watershed Model)

DAS HILIR ,aliran permukaan bebas (Deterministik Model)

Aliran pada Saluran Terbuka

I(t) 0 0 t t Q(t) Dx 0 L Dx Dx Dt

Model Deterministik pada Aliran Saluran Terbuka (Chow, et all )

Persamaan Saint Venant

 Persamaan Kesinambungan Air

Volume Kontrol Massa Air

Aliran masuk Aliran keluar Δx x x + Δx F V V+ Δx F + Δx = 𝛾 𝑔 𝐹 + 𝜕𝐹 𝜕𝑥∆𝑥 𝑉 + 𝜕𝑉 𝜕𝑥∆𝑥 = 𝛾 𝑔 𝐹 + 𝜕𝐹 𝜕𝑥∆𝑥 𝑉 + 𝜕𝑉 𝜕𝑥∆𝑥 Jarak Luas Kecepatan h h + 𝜕𝑕_𝜕𝑥∆𝑥 I

Persamaan Kesinambungan Air (1)

 Massa air yang masuk volume kontrol = 𝛾

𝑔 . 𝐹. 𝑉

 Massa air yang keluar volume kontrol

= 𝛾 𝑔 𝐹 + 𝜕𝐹 𝜕𝑥 ∆𝑥 𝑉 + 𝜕𝑉 𝜕𝑥 ∆𝑥

 Neraca massa air pada volume kontrol

= 𝛾 𝑔 𝑉. 𝜕𝐹 𝜕𝑥 ∆𝑥 − 𝛾 𝑔 𝐹. 𝜕𝑉 𝜕𝑥 ∆𝑥 (1.1) (1.2) (1.3)

Persamaan Kesinambungan Air (2)

 Massa air yang bertambah pada volume kontrol

Dengan menerapkan hukum kekekalan massa pada volume kontrol, maka persamaan yang diperoleh adalah (1.5)

= 𝛾 𝑔 𝜕𝐹 𝜕𝑡 ∆𝑥 𝛾 𝑔 𝜕𝐹 𝜕𝑡 ∆𝑥 = − 𝛾 𝑔 𝑉. 𝜕𝐹 𝜕𝑥 ∆𝑥 − 𝛾 𝑔 𝐹. 𝜕𝑉 𝜕𝑥 ∆𝑥 (1.5) (1.4)

Persamaan Kesinambungan Air (3)

 Bagi dengan 𝛾 , segingga persamaan (1.5) menjadi (1.6)

𝑔∆𝑥 𝜕𝐹 𝜕𝑡 + 𝑉. 𝜕𝐹 𝜕𝑥 + 𝐹. 𝜕𝑉 𝜕𝑥 = 0 𝜕𝐹 𝜕𝑥 = 𝑑𝐹 𝑑𝑕 𝜕𝑕 𝜕𝑥 = 𝐵 𝜕𝑕 𝜕𝑥 𝜕𝐹 𝜕𝑡 = 𝑑𝐹 𝑑𝑕 𝜕𝑕 𝜕𝑡 = 𝐵 𝜕𝑕 𝜕𝑡 (1.6) Disubstitusi ke (1.5) 𝐵 𝜕𝑕 𝜕𝑡 + 𝑉. 𝜕𝐹 𝜕𝑥 + 𝐹. 𝜕𝑉 𝜕𝑥 = 0 𝜕𝐹 𝜕𝑡 + 𝑉. 𝜕𝐹 𝜕𝑥 + 𝐹. 𝜕𝑉 𝜕𝑥 = 0 𝜕𝐹 𝜕𝑥 = 𝑑𝐹 𝑑𝑕 𝜕𝑕 𝜕𝑥 = 𝐵 𝜕𝑕 𝜕𝑥 𝜕𝐹 𝜕𝑡 = 𝑑𝐹 𝑑𝑕 𝜕𝑕 𝜕𝑡 = 𝐵 𝜕𝑕 𝜕𝑡 Dimana: (1.6)

Persamaan Kesinambungan Air (4)

 Dengan meninjau turunan pertama dari Q = F x V, yaitu

(1.7) 𝜕𝑄 𝜕𝑥 = 𝑉. 𝜕𝐹 𝜕𝑥 + 𝐹. 𝜕𝑉 𝜕𝑥 Disubstitusikan ke persamaan (1.6)

 Sehingga diperoleh persamaan (1.7) sebagai Persamaan

Kesinambungan Air

𝜕𝑄

𝜕𝑥

+ 𝐵.

𝜕𝑕

Gaya-gaya yang Bekerja pada

Volume Kontrol

h h + 𝜕𝑕_𝜕𝑥∆𝑥 K1 K2 K3 K4 g I I

Persamaan Momentum (1)

 Gaya Hidrostatis 𝐾1 = 𝛾. 𝐹. 𝑕 𝐾2 = 𝛾. 𝐹. 𝑕 + 𝜕𝑕 𝜕𝑥 ∆𝑥  Gaya Geser 𝐾3 = 𝛾. 𝐹. 𝑆_𝑓. ∆𝑥

sehingga persamaannya menjadi 𝑆_𝑓 = 𝑉 2 𝐶2𝑅 = 𝑉 𝑉 𝐶2𝑅 𝐾3 = 𝛾. 𝐹.𝑉 𝑉 𝐶2_𝑅 . ∆𝑥 dimana _{𝑆𝑓 =} 𝑉2 𝐶2_𝑅 = 𝑉 𝑉 𝐶2_𝑅 𝐾3 = 𝛾. 𝐹.𝑉 𝑉 𝐶2𝑅 . ∆𝑥 (2.1) (2.2) (2.3)

Persamaan Momentum (2)

 Gaya Gravitasi Volume Kontrol

𝐾4 = 𝛾. 𝐹. ∆𝑥. sin 𝐼

𝐾4 = 𝛾. 𝐹. ∆𝑥. 𝐼

Kemiringan dasar saluran sangan kecil, maka sin I = I sehingga persamaannya menjadi

 Resultan gaya-gaya yang bekerja pada volume kontrol

= 𝐾1 − 𝐾2 − 𝐾3 − 𝐾4 𝐾 = 𝛾. 𝐹. 𝑕 − 𝛾. 𝐹. 𝑕 + 𝜕𝑕 𝜕𝑥 ∆𝑥 − 𝛾. 𝐹. 𝑉 𝑉 𝐶2𝑅 ∆𝑥 − 𝛾. 𝐹. ∆𝑥. 𝐼 (2.4) (2.5)

Persamaan Momentum (3)

 Momentum yang masuk ke volume kontrol

= 𝛾

𝑔 𝐹. 𝑉

2 ₊ 𝜕(𝐹. 𝑉 2₎

𝜕𝑥 ∆𝑥

 Neraca pemasukan momentum pada volume kontrol = − 𝛾

𝑔

𝜕(𝐹. 𝑉2)

𝜕𝑥 ∆𝑥

 Penambahan momentum pada volume kontrol

= 𝜕 _𝑔𝛾 . 𝐹. 𝑉. ∆𝑥 𝜕𝑡 (2.6) (2.7) (2.8)

Persamaan Momentum (4)

 Dengan menerapkan hukum momentum terhadap volume kontrol, maka diperoleh

𝜕 _{𝑔 . 𝐹. 𝑉. ∆𝑥} 𝛾 𝜕𝑡 = − 𝛾 𝑔 𝜕 𝐹. 𝑉2 𝜕𝑥 ∆𝑥 + 𝛾. 𝐹. 𝑕 − 𝛾. 𝐹. 𝑕 + 𝜕𝑕 𝜕𝑥 ∆𝑥 − 𝛾. 𝐹. 𝑉 𝑉 𝐶2_𝑅 ∆𝑥 − 𝛾. 𝐹. ∆𝑥. 𝐼 𝜕 𝛾_𝑔. 𝐹. 𝑉. ∆𝑥 𝜕𝑡 = − 𝛾 𝑔 𝜕 𝐹. 𝑉2 𝜕𝑥 ∆𝑥 + −𝛾. 𝐹. 𝜕𝑕 𝜕𝑥 ∆𝑥 − 𝛾. 𝐹. 𝑉 𝑉 𝐶2𝑅 ∆𝑥 − 𝛾. 𝐹. ∆𝑥. 𝐼 (2.9)

Persamaan Momentum (5)

 Bagi dengan 𝛾 , segingga persamaan (2.9) menjadi (2.10)

𝑔∆𝑥 𝜕 𝐹. 𝑉 𝜕𝑡 + 𝜕 𝐹. 𝑉2 𝜕𝑥 + 𝑔. 𝐹. 𝜕𝑕 𝜕𝑥 + 𝑔. 𝐹. 𝑉 𝑉 𝐶2𝑅 + 𝑔. 𝐹. 𝐼 = 0 𝜕 𝐹. 𝑉 𝜕𝑡 = 𝐹 𝜕𝑉 𝜕𝑡 + 𝑉 𝜕𝐹 𝜕𝑡 𝜕 𝐹. 𝑉2 𝜕𝑡 = 𝐹. 𝑉 𝜕𝑉 𝜕𝑡 + 𝑉 2𝜕𝐹 𝜕𝑡 + 𝐹. 𝑉 𝜕𝑉 𝜕𝑡 𝜕 𝐹. 𝑉2 𝜕𝑥 = 𝐹. 𝑉 𝜕𝑉 𝜕𝑥 + 𝑉 2 𝜕𝐹 𝜕𝑥 + 𝐹. 𝑉 2𝜕𝑉 𝜕𝑥  Dimana (2.10)

Persamaan Momentum (6)

𝐹 𝜕𝑉 𝜕𝑡 + 𝑉 𝜕𝐹 𝜕𝑡 + 𝐹. 𝑉 𝜕𝑉 𝜕𝑥 + 𝑉 2 𝜕𝐹 𝜕𝑥 + 𝐹. 𝑉 2 𝜕𝑉 𝜕𝑥 + 𝑔. 𝐹. 𝜕𝑕 𝜕𝑥 + 𝑔. 𝐹. 𝑉 𝑉 𝐶2𝑅 + 𝑔. 𝐹. 𝐼 = 0  Substitusi 𝜕𝑉 𝜕𝑡 + 𝑉 𝐹 𝜕𝐹 𝜕𝑡 + 𝑉 𝜕𝑉 𝜕𝑥 + 𝑉2 𝐹 𝜕𝐹 𝜕𝑥 + 𝑉 2𝜕𝑉 𝜕𝑥 + 𝑔 𝜕𝑕 𝜕𝑥 + 𝑔 𝑉 𝑉 𝐶2_𝑅 + 𝑔. 𝐼 = 0 𝜕𝑉 𝜕𝑡 + 𝑉 𝜕𝑉 𝜕𝑥 + 𝑉 𝐹 𝜕𝐹 𝜕𝑡 + 𝑉 𝜕𝐹 𝜕𝑥 + 𝑉 𝜕𝑉 𝜕𝑥 + 𝑔 𝜕𝑕 𝜕𝑥 + 𝑔 𝑉 𝑉 𝐶2_𝑅 + 𝑔. 𝐼 = 0  Persamaan (2.11) dibagi F (2.11) (2.12)

Persamaan Momentum (7)

𝜕𝑉 𝜕𝑡 + 𝑉 𝜕𝑉 𝜕𝑥 + 𝑔 𝜕𝑕 𝜕𝑥 + 𝑔 𝑉 𝑉 𝐶2𝑅 + 𝑔. 𝐼 = 0  Dimana 𝜕𝐹 𝜕𝑡 + 𝑉 𝜕𝐹 𝜕𝑥 + 𝑉 𝜕𝑉 𝜕𝑥 = 0 𝜕𝑉 𝜕𝑡 + 𝑉 𝐹 𝜕𝐹 𝜕𝑡 + 𝑉 𝜕𝑉 𝜕𝑥 + 𝑉2 𝐹 𝜕𝐹 𝜕𝑥 + 𝑉 2𝜕𝑉 𝜕𝑥 + 𝑔 𝜕𝑕 𝜕𝑥 + 𝑔 𝑉 𝑉 𝐶2_𝑅 + 𝑔. 𝐼 = 0 𝜕𝑉 𝜕𝑡 + 𝑉 𝜕𝑉 𝜕𝑥 + 𝑉 𝐹 𝜕𝐹 𝜕𝑡 + 𝑉 𝜕𝐹 𝜕𝑥 + 𝑉 𝜕𝑉 𝜕𝑥 + 𝑔 𝜕𝑕 𝜕𝑥 + 𝑔 𝑉 𝑉 𝐶2_𝑅 + 𝑔. 𝐼 = 0  Persamaan (2.12)

 Disubstitusikan ke persamaan (2.12) sehingga menghasilkan persamaan (2.13) sebagai Persamaan Momentum

Skema Finite Difference

Initial condition Boundary condition Boundary condition

Kontinuitas

 0      t H B x Q

Momentum

 ₂  0      AR C Q Q g x H gA t Q

Penyelesaian dengan Metode

Implsit

2 / 1  

Modifikasi Persamaan Momentum (1)

 Karena alirannya steady, maka tinggi muka air di hulu

dan di hilir sama

 Akibatnya kecepatan tidak berubah; = 0; dan h + I = H

 Sehingga persamaannya menajadi

𝑉 𝜕𝑉 𝜕𝑥 𝜕𝑉 𝜕𝑡 + 𝑉 𝜕𝑉 𝜕𝑥 + 𝑔 𝜕𝑕 𝜕𝑥 + 𝑔 𝑉 𝑉 𝐶2_𝑅 + 𝑔. 𝐼 = 0 𝜕𝑉 𝜕𝑡 + 𝑔 𝜕𝑕 𝜕𝑥 + 𝐼 + 𝑔 𝑉 𝑉 𝐶2𝑅 = 0 𝜕𝑉 𝜕𝑡 + 𝑔 𝜕𝐻 𝜕𝑥 + 𝑔 𝑉 𝑉 𝐶2_𝑅 = 0

Modifikasi Persamaan Momentum (2)

𝜕𝑉 𝜕𝑡 + 𝑉 𝜕𝑉 𝜕𝑥 + 𝑔 𝜕𝑕 𝜕𝑥 + 𝑔 𝑉 𝑉 𝐶2_𝑅 + 𝑔. 𝐼 = 0 𝜕𝑉 𝜕𝑡 + 𝑔 𝜕𝑕 𝜕𝑥 + 𝐼 + 𝑔 𝑉 𝑉 𝐶2𝑅 = 0 𝜕𝑉 𝜕𝑡 + 𝑔 𝜕𝐻 𝜕𝑥 + 𝑔 𝑉 𝑉 𝐶2_𝑅 = 0

Seluruh ruasnya dikalikan dengan A, maka persamaannya menjadi:

𝜕𝑄 𝜕𝑡 + 𝑔𝐴 𝜕𝐻 𝜕𝑥 + 𝑔 𝑄 𝑄 𝐴𝐶2𝑅 = 0 (3.1)

Segmen Aliran (1)

 Persamaan pada ruas 1, yaitu:

𝜕𝑄 𝜕𝑡 = 𝑄_𝑖−2𝑗 − 𝑄_𝑖−2𝑗 −1 ∆𝑡 𝜕𝐻 𝜕𝑥 = 𝐻_𝑖−1𝑗 − 𝐻_𝑖−3𝑗 −1 + 𝐻_𝑖−1𝑗 −1 − 𝐻_𝑖−3𝑗 2∆𝑥

 Persamaan pada ruas 1 disubstitusi pada persamaan

momentum (3.1) menjadi 𝑄_𝑖−2𝑗 − 𝑄_𝑖−2𝑗 −1 ∆𝑡 + 𝑔𝐴 𝐻_𝑖−1𝑗 − 𝐻_𝑖−3𝑗 −1 + 𝐻_𝑖−1𝑗 −1 − 𝐻_𝑖−3𝑗 2∆𝑥 + 𝑔 𝑄 𝑄 𝐴𝐶2_𝑅 = 0 (3.2) (3.3) (3.4)

Segmen Aliran (2)

 Persamaan (3.4) dikalikan dengan 2∆𝑥 menjadi persamaan (3.5)

𝑔𝐴 2∆𝑥 𝑔𝐴∆𝑡 𝑄𝑖−2 𝑗 − 2∆𝑥 𝑔𝐴∆𝑡 𝑄𝑖−2 𝑗 −1 + 𝐻_𝑖−1𝑗 − 𝐻_𝑖−3𝑗 −1 + 𝐻_𝑖−1𝑗 −1 − 𝐻_𝑖−3𝑗 + 2∆𝑥 𝐴 𝑄 𝑄 𝐴𝐶2𝑅 = 0 𝑄_𝑖−2𝑗 2∆𝑥 𝑔𝐴∆𝑡 + 2∆𝑥 𝐴 𝑄 𝑄 𝐴𝐶2_𝑅 − 2∆𝑥 𝑔𝐴∆𝑡𝑄𝑖−2 𝑗 −1 + 𝐻_𝑖−1𝑗 − 𝐻_𝑖−3𝑗 −1 + 𝐻_𝑖−1𝑗 −1 − 𝐻_𝑖−3𝑗 = 0  Dimana : 𝑎 = 2∆𝑥 𝑔𝐴∆𝑡; 𝑏 = 2∆𝑥 𝑔𝐴∆𝑡+ 2∆𝑥 𝐴 𝑄 𝑄 𝐴𝐶2_𝑅

 Sehingga persamaan (3.5) berubah menjadi persamaan (3.6)

𝑏𝑄_𝑖−2𝑗 − 𝑎𝑄_𝑖−2𝑗 −1 + 𝐻_𝑖−1𝑗 − 𝐻_𝑖−3𝑗 −1 + 𝐻_𝑖−1𝑗 −1 − 𝐻_𝑖−3𝑗 = 0 𝑯_𝒊−𝟑𝒋−𝟏 + 𝒂𝑸_𝒊−𝟐𝒋−𝟏 − 𝑯_𝒊−𝟏𝒋−𝟏 = −𝑯_𝒊−𝟑𝒋 +𝒃𝑸_𝒊−𝟐𝒋 + 𝑯_𝒊−𝟏𝒋

(3.5)

Segmen Aliran (3)

 Persamaan pada ruas 2, yaitu:

𝜕𝑄 𝜕𝑥 = 𝑄_𝑖𝑗 − 𝑄_𝑖−2𝑗 −1 + 𝑄_𝑖𝑗 −1 − 𝑄_𝑖−2𝑗 2∆𝑥 𝜕𝐻 𝜕𝑥 = 𝐻_𝑖−1𝑗 − 𝐻_𝑖−1𝑗 −1 ∆𝑡

 Persamaan pada ruas 2 disubstitusi pada persamaan

kesiambungan air menjadi

𝑄_𝑖𝑗 − 𝑄_𝑖−2𝑗 −1 + 𝑄_𝑖𝑗 −1 − 𝑄_𝑖−2𝑗 2∆𝑥 + 𝐵 𝐻_𝑖−1𝑗 − 𝐻_𝑖−1𝑗 −1 ∆𝑡 = 0 (4.1) (4.2) (4.3)

Segmen Aliran (4)

 Persamaan (4.3) dikalikan dengan ∆𝑡 menjadi persamaan (4.4) 𝐵 ∆𝑡 2𝐵∆𝑥 𝑄𝑖 𝑗 − 𝑄_𝑖−2𝑗 −1 + 𝑄_𝑖𝑗 −1 − 𝑄_𝑖−2𝑗 + 𝐻_𝑖−1𝑗 − 𝐻_𝑖−1𝑗 −1 = 0  Dimana : 𝑐 = ∆𝑡 2𝐵∆𝑥

 Sehingga persamaan (4.4) berubah menjadi persamaan (4.5)

𝑐 𝑄_𝑖𝑗 − 𝑄_𝑖−2𝑗 −1 + 𝑄_𝑖𝑗 −1 − 𝑄_𝑖−2𝑗 + 𝐻_𝑖−1𝑗 − 𝐻_𝑖−1𝑗 −1 = 0 𝑐𝑄_𝑖𝑗 − 𝑐𝑄_𝑖−2𝑗 −1 + 𝑐𝑄_𝑖𝑗 −1 − 𝑐𝑄_𝑖−2𝑗 + 𝐻_𝑖−1𝑗 − 𝐻_𝑖−1𝑗 −1 = 0

𝒄𝑸_𝒊−𝟐𝒋−𝟏 + 𝑯_𝒊−𝟏𝒋−𝟏 − 𝒄𝑸_𝒊𝒋−𝟏 = −𝒄𝑸_𝒊−𝟐𝒋 + 𝑯_𝒊−𝟏𝒋 + 𝒄𝑸_𝒊𝒋

(4.4)

Review (1)

 Dengan mensubstitusi j=n (new) dan j-1 = o (old)

𝑯_𝒊−𝟑𝒐 + 𝒂𝑸_𝒊−𝟐𝒐 − 𝑯_𝒊−𝟏𝒐 = −𝑯_𝒊−𝟑𝒏 +𝒃𝑸_𝒊−𝟐𝒏 + 𝑯_𝒊−𝟏𝒏

 Persamaan Momentum jadi:

 Persamaan kesinambungan air mjadi:

Review (2)

 3 Ruas selanjutnya adalah

𝑯_𝒊−𝟏𝒐 + 𝒂𝑸_𝒊𝒐 − 𝑯_𝒊+𝟏𝒐 = −𝑯_𝒊−𝟏𝒏 +𝒃𝑸_𝒊𝒏 + 𝑯_𝒊+𝟏𝒏

𝒄𝑸_𝒊𝒐 + 𝑯_𝒊+𝟏𝒐 − 𝒄𝑸_𝒊+𝟐𝒐 = −𝒄𝑸_𝒊𝒏 + 𝑯_𝒊+𝟏𝒏 + 𝒄𝑸_𝒊+𝟐𝒏

Persamaan Matriks

1 1 𝑎 𝑐 −1 1 1 −𝑐𝑎 𝑐 −1 1 1 −𝑐 𝑎 1 −1 𝐻_𝑖−3𝑜 𝑄_𝑖−2𝑜 𝐻_𝑖−1𝑜 𝑄_𝑖𝑜 𝐻_𝑖+1𝑜 𝑄_𝑖+2𝑜 𝐻_𝑖+3𝑜 = 1 −1 𝑏 −𝑐 1 1 −1 𝑏𝑐 −𝑐 1 1 −1 𝑐 𝑏 1 1 𝐻_𝑖−3𝑛 𝑄_𝑖−2𝑛 𝐻_𝑖−1𝑛 𝑄_𝑖𝑛 𝐻_𝑖+1𝑛 𝑄_𝑖+2𝑛 𝐻_𝑖+3𝑛

Penyelesaian Persamaan Matriks

 Metode eliminasi

Prinsip yang digunakan pada metode eliminasi adalah dengan mengeliminasi variabel-variabel yang tidak diketahui

 Metode Iterasi

Metode Eliminasi Gauss

                                                 n n nn n n n b b b b x x x x a a a a a a a a a a ... ... ... 0 0 0 ... .. 0 0 ... 0 ... 3 2 1 3 2 1 3 33 2 23 22 1 13 12 11

Solusi dapat dihitung dengan teknik subtitusi mundur

2 , 2 , 2 1 1 , 2 2 2 2 , 2 1 1 , 2 2 2 , 2 1 , 1 , 1 1 1 1 , 1 1 1 , 1                                          n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n nn n n n n nn a x a x a b x b x a x a x a a x a b x b x a x a a b x b x a

Metode Eliminasi Gauss (2)

Apabila x_n, x_n-1, x_n-2 diketahui maka nilai x_k dapat dihitung dengan

0 1 ,..., 2 , 1 1      



  kk kk n k j j kj k k a n n k a x a b x

Metode Iterasi Gauss Seidel

 Metode iterasi Gauss Seidel digunakan khusus untuk

menyelesaikan persamaan simulasi gerak air pada

Syarat Metode Iterasi (1)

𝐶_𝑗𝑗 ≥ 𝐶_{𝑗 ,𝑗 −1} + 𝐶_{𝑗 ,𝑗 +1} 𝐶_𝑗𝑗 = 1 𝐶_{𝑗 ,𝑗 −1} = 𝐶_{𝑗 ,𝑗 +1} = 𝑐 = ∆𝑡 2𝐵∆𝑥 𝑗 = 1,3, . . 2𝑛 + 1

∆𝑡

𝐵∆𝑥

≤ 1

Syarat Metode Iterasi (2)

𝐴

_𝑗𝑗

≥ 𝐴

_{𝑗 ,𝑗 −1}

+ 𝐴

_{𝑗 ,𝑗 +1}

𝐴

_𝑗𝑗

=

2∆𝑥

𝑔𝐴∆𝑡

+

2∆𝑥

𝐴

𝑄 𝑄

𝐴𝐶

2

𝑅

𝐴

_{𝑗 ,𝑗 −1}

= 𝐴

_{𝑗 ,𝑗 +1}

= 1

∆𝑥

𝑔𝐴∆𝑡

+

∆𝑥

𝐴

𝑄 𝑄

𝐴𝐶

2

𝑅

≥ 1

𝑗 = 2,4,6, . . 2𝑛

Syarat Metode Iterasi (3)

 Untuk semua j = 1,2,3,.. 2n+1, dan untuk sedikitnya

satu j harus ada:

𝐶

_𝑗𝑗

> 𝐶

_{𝑗 ,𝑗 −1}

+ 𝐶

_{𝑗 ,𝑗 +1}

𝐴

_𝑗𝑗

> 𝐴

_{𝑗 ,𝑗 −1}

+ 𝐴

_{𝑗 ,𝑗 +1}

∆𝑡 𝐵∆𝑥 < 1 ∆𝑥 𝑔𝐴∆𝑡 + ∆𝑥 𝐴 𝑄 𝑄 𝐴𝐶2𝑅 > 1

Penyelesaian Simultan Gerak Air

 Mempunyai dominan diagonal, dengan syarat:

∆𝑡 ≤ 𝐵∆𝑥 𝑗 = 1,3, . . 2𝑛 + 1 ∆𝑡 ≤ ∆𝑥 𝐴 + ∆𝑥 𝐴 𝑄 𝑄 𝐴𝐶2𝑅 𝑗 = 2,4,6, . . 2𝑛 ∆𝑡 < 𝐵∆𝑥 ∆𝑡 < ∆𝑥 𝐴 + ∆𝑥 𝐴 𝑄 𝑄 𝐴𝐶2𝑅

t u u t u n _in _io i D          





x u u x u u x u o _in _in _io _io i D    D           _{1 1} 1   0  





x u u x u x u u x u u x u o i o i n i o i o i n i n i n i D           D    D              1 1 1 0 1 0

n i o i n i o i o i o i n i o i o i o i o i n i o i o i o i o i n i Q AR C Q g t Q x H gA t Q x H gA Q AR C Q g x H gA x H gA t Q AR C Q Q g x H H gA t Q Q AR C Q Q g x H gA t Q 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 0 0 0  D   D  D  D    D  D  D    D   D                        D D    D D   _{ } AR C Q g t gA x Q H t Q gA x H o i n i o i o i o i 1 1 2 1          D D  D D  AR C Q g t gA x t gA x j i 2 1   gA x D  n i o i o i o i Q H Q H _1   _1   x H H x H n _io _io i D           _{1 1} t Q Q t Q n _in _io i D          

t H B x Q t H B x Q t H B t H B x Q x Q t H H B x Q Q t H B x Q n i o i o i o i o i n i o i o i o i n i o i o i D   D  D  D   D  D  D  D  D   D                 1 2 1 1 1 2 1 1 2 0 0 0 t H H t H _in _io D           x Q Q x Q _io _io D           _2 B t D  n i o i o i o i _H x Q B t H x Q B t 1 2 1      D D   D D  1 1 2 1        j i j i j i j i H Q H Q   x B t D D  

n i o i o i o i Q H Q H _3  _2  _1   _2 n i o i o i o i H Q H Q_2  _1   _1  n i o i o i o i H Q H Q  _1  _2  _1  n i o i o i o i Q H Q H _1   _1   n i o i o i o i Q H Q H _1  _2  _3   _2

 Perhitungan dilakukan baris demi baris                                                                       n i n i n i n i n i o i o i o i o i o i o i o i Q H Q H Q H Q H Q H Q H 2 1 1 2 3 2 1 1 2 3 1 1 1 1 1 1 1 1          

t u u t u _in _io D          





x u u x u u x u _in _in _io _io D    D           _{1 1} 1   1  

 

x u u x u x u u x u u x u n i n i o i o i n i n i D           D    D              1 1 1 1 1 1

R A C Q Q g t Q x H gA t Q x H gA R A C Q Q g x H gA x H gA t Q t Q R A C Q Q g x H H gA t Q Q R A C Q Q g x H A g t Q o i o i o i n i n i n i o i o i n i n i o i n i o i o i n i n i o i n i 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 0 0 0  D  D  D  D    D  D  D  D   D   D               x H H x H _in _in D           _{1 1} t Q Q t Q _in _io D           gA x D  R A C Q Q g gA x t Q gA x H t Q gA x H o i o i o i n i n i n i 1 1 2 D  D D   D D   _{ } o i n i n i n i Q H Q H      _{1 1}          D D  D D  R A C Q g t gA x t gA x j i 2 1  

x Q Q x Q _in _in D           _2 t H H t H _in _io D           _{1 1} t H B x Q t H B x Q t H B t H B x Q x Q t H H B x Q Q t H B x Q o i n i n i n i o i n i n i n i o i n i n i n i D  D  D  D   D  D  D  D  D   D                 1 2 1 1 1 2 1 1 2 0 0 0 B t D  o i n i n i n i _H x Q B t H x Q B t 1 2 1     D D   D D  o i n i n i n i H Q H Q  _1  _2  _1   x B t D D  

o i n i n i n i H Q H Q_2  _1  _1   o i n i n i n i Q H Q H _3  _2  _1  _2    o i n i n i n i Q H Q H      _{1 1} n i o i o i o i H Q H Q  _1  _2  _1   o i n i n i n i Q H Q H _1  _2  _3  _2   

 Perhitungan dilakukan baris demi baris                                                                       o i o i o i o i o i j i n i n i n i n i n i n i Q H Q H Q H Q H Q H Q H 2 1 1 2 3 2 1 1 2 3 1 1 1 1 1 1 1 1          