contoh pemanfaatan persamaan linier 2
variabel dan 3 variabel dalam kehidupan
sehari hari
Salah satu manfaat SPLDV dalam matematika khususnya menentukan koordinat titik potong dua garis, menentukan persamaan garis, menentukan konstanta-konstanta pada suatu persamaan.
Untuk menyelesaikan permasalahan sehari-hari yang memerlukan penggunaan matematika, maka langkah pertama yang harus dilakukan adalah menyusun model matematika dari masalah tersebut. Data yang terdapat dalam permasalahan itu diterjemahkan ke dalam satu atau beberapa PLDV. Selanjutnya penyelesaian dari SPLDV digunakan untuk memecahkan permasalahan tersebut.
Permasalahan-permasalahan tersebut bias mengenai angka dan bilangan, umur, uang, investasi dan bisnis , ukuran, sembako,gerakan dan lain-lain.]
Membuat model matematika dari masalah sehari-hari
Contoh soal:
Dalam suatu hari seorang pedagang berhasil menjual sandal dan sepatu sebanyak 12 pasang. Uang yang diperoleh hasil dari penjualan adalah Rp. 300.000,-. Jika harga sepasang sandal Rp. 20.000,- dan harga sepasang sepatu Rp. 40.000,-tentukanlah model matematikanya!
Jawab
Misalkan, banyak sandal yang terjual = x pasang
Banyak sepatu yang terjual = y pasang
Persamaan pertama : x + y =12
Persamaan kedua : 20.000x + 40.000 = 300.000 (kedua ruas dibagi 10.000)
2x + 4y = 30
Jadi model matematika adalah x + y = 12 dan 2x + 4y = 30
Contoh soal :
Penyelesaian:
Misalkan umur ayah sekarang x tahun dan umur anaknya y tahun, maka
x – 2 = 6( y – 2 )
x – 6y = -10………… (1)
x + 18 = 2(y + 18 )
x – 2y = 18 ………… (2)
dari persamaan (1) dan (2) diperoleh
x – 6y = -10
x – 2y = 18 –
-4y = – 28
y = 7
subtitusikan nilai y = 7 ke dalam persaman x – 2y = 18, maka diperoleh
x – 2(7) = 18
x – 14 =18
x = 32
jadi, sekarang umur ayah 32 tahun dan anaknya berumur 7 tahun.
2. Keliling sebidang tanah yang berbentuk persegi panjang adalah 48 m. panjangnya lebih 6 meter dari lebarnya. Tentukan ukuran tanah itu!
Penyelesaian
Misalnya panjang dan lebar tanah itu adalah x m dan y m.
Keliling = 2( panjang + lebar)
48 = 2(x + y) atau x + y = 24 ……….(1)
x = y + 6 atau x – y = 6 ……….(2)
x + y = 24
x – y = 6 –
2x = 30
x = 15
subtitusikan x = 15 ke dalam persamaan x + y = 24, sehingga diperoleh
15 + y = 24
y = 24 – 15
y = 9
jadi, ukuran tanah itu adalah 15 m x 9 m.
3. Harga sebuah buku dan sebuah pensil RP 5.500,- harga 2 buku dan 3 buah pensil RP 12.500,-.
4. Nyatakan kalimat diatas dalam bentuk persamaan dengan peubah x dan y!
5. Selesaikan persamaan itu!
6. Tentukan harga 4 buah buku dan 3 buah pensil!
Penyelesaian:
1. Misalkan harga sebuah buku = x,rupiah
Harga sebuah pensil =y, rupiah
Maka persamaan dalam x dan y adalah
x + y = 5.500 …..(1)
2x + 3y = 12.500 …..(2)
1. Menyelesaikan persamaan diatas dengan disubtitusikan
x + y = 5.500
x = 5.500 – y
untuk x = 5.500 – y → maka 2x + 3y = 12.500
2(5.500 – y) + 3y = 12.500
11.000 – 2y + 3y = 12.500
11.000 + y = 12.500
y = 12.500-11.000
y = 1.500
subtitusikan y = 1.500 ke persamaan x = 5.500 – y
x = 5.500 – 1.500
x = 4.000
jadi nilai x dan y adalah Rp. 4.000 dan Rp. 1.500
1. Harga 4 buah buku dan 3 buah pensil
= 4x + 3y
= 4(Rp.4.000,-) + 3(Rp. 1.500,-)
= Rp. 16.000,- + Rp.
4.500,-= Rp.
Jadi, harga 4 buah buku dan 3 buah pensil adalah Rp.
20.500,-sumber:http://heni05.wordpress.com/2009/01/17/penerapan-spldv-dalam-kehidupan-sehari-hari/
A. Pengertian Persamaan Linear Dua Variabel
Persamaan linear dua variabel adalah persamaan yang mengandung dua variabel dimana pangkat/derajat tiap-tiap variabelnya sama dengan satu.
Bentuk umum persamaan linear dua variabel adalah: ax + by = c
dimana = x dan y adalah variabel
B. Sistem Persamaan Linear Dua Variabel
linear dua variabel adalah: ax + by = c
px + qy = d
dimana: x dan y disebut variabel a, b, p dan q disebut koefisien c dan r disebut konstanta
C. Penyelesaian Sistem Persamaan Linear Dua Variabel
1. Metode Eliminasi
Pada metode eliminasi, untuk menentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linear dua variabel, caranya adalah dengan menghilangkan (mengeliminasi) salah satu variabel dari sistem persamaan tersebut. Jika variabelnya x dan y, untuk menentukan variabel x kita harus mengeliminasi variabel y terlebih dahulu, atau sebaliknya. Perhatikan bahwa jika koefisien dari salah satu variabel sama maka kita dapat mengeliminasi atau menghilangkan salah satu variabel tersebut, untuk selanjutnya menentukan variabel yang lain.
Contoh:
Dengan metode eliminasi, tentukan himpunan penyelesaian sistem persamaan 2x + 3y = 6 dan x – y = 3 !
Penyelesaian:
2x + 3y = 6 dan x – y = 3 Langkah I (eliminasi variabel y)
Untuk mengeliminasi variabel y, koefisien y harus sama, sehingga persamaan 2x + 3y = 6 dikalikan 1 dan persamaan
Metode Substitusi Untuk menyelesaikan sistem persamaan linear dua variabel dengan metode substitusi, terlebih dahulu kita n yatakan variabel yang satu ke dalam variabel yang lain dari suatu persamaan, kemudian menyubstitusikan (menggantikan) variabel itu dalam persamaan yang lainnya.
Contoh:
Dengan metode substitusi, tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan 2x +3y = 6 dan x – y = 3 !
Penyelesaian:
Persamaan x – y = 3 ekuivalen dengan x = y + 3. Dengan menyubstitusi persamaan x = y + 3 ke persamaan 2x + 3y = 6 diperoleh sebagai berikut:
2x + 3y = 6
Selanjutnya untuk memperoleh nilai x, substitusikan nilai y ke persamaan x = y + 3, sehingga diperoleh:
Untuk menyelesaikan sistem persamaan linear dua variabel dengan metode gabungan, kita menggabungkan metode eliminasi dan substitusi.
Contoh:
Dengan metode gabungan tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan 2x – 5y = 2 dan x + 5y = 6 !
Penyelesaian:
Langkah pertama yaitu dengan metode eliminasi, diperoleh. 2x – 5y = 2 ×1 2x – 5y = 2
x + 5y = 6 ×2 2x +10y = 12 -15y = -10
y = (-10)/(-15) y = 2/3
Kemudian, disubstitusikan nilai y ke persamaan x + 5y = 6 sehingga diperoleh. x + 5y = 6
<=> x + 5 (2/3) = 6 <=> x + 10/15 = 6
<=> x = 22/3
Jadi, himpunan penyelesaiaanya adalah {(2 2/3,2/3)}
PERSAMAAN LINIER 3 VARIABEL
Persamaan Linier 3 variabel Metode untuk menyelesaikan sistem persamaan linier Paling sedikit ada lima cara. yaitu
• Eliminasi • Substitusi • Grafik
Sebagai contoh, marilah kita coba untuk mencari solusi sistem persamaan linier dengan tiga variabel berikut ini
x + y − z = 1 (1) 8x + 3y − 6z = 1 (2) −4x − y + 3z = 1 (3)
Metode eliminasi
Metode ini bekerja dengan care mengeliminasi (menghilangkan) variabel-variabel di dalam sistem persamaan hingga hanya satu variabel yang tertinggal.
Pertama-tama, lihat persamaan-persamaan yang ada dan coba cari dua persamaan yang mempunyai koefisien yang sama (baik positif maupun negatif) untuk variabel yang sama. Misalnya, lihat persamaan (1) dan (3). Koefisien untuk y adalah 1 dan -1 untuk masing-masing persamaan. Kita dapat menjumlah kedua persamaan ini untuk menghilangkan y dan kita mendapatkan persamaan (4).
x + y − z = 1 (1) −4x − y + 3z = 1 (3) ————————- +
−3x + 2z = 2 (4)
Perhatikan bahwa persamaan (4) terdiri atas variabel x dan z. Sekarang kita perlu persamaan lain yang terdiri atas variabel yang sama dengan persamaan (4). Untuk mendapatkan persamaan ini, kita akan menghilangkan y dari persamaan (1) dan (2). Dalam persamaan (1) dan (2), koefisien untuk y adalah 1 dan 3 masing-masing. Untuk menghilangkan y, kita kalikan persamaan (1) dengan 3 lalu mengurangkan persamaan (2) dari persamaan (1).
x + y − z = 1 (1) × 3 3x + 3y − 3z = 3 (1) 8x + 3y − 6z = 1 (2) 8x + 3y − 6z = 1 (2) ————————- –
−5x + 3z = 2 (5)
Dengan persamaan (4) dan (5), mari kita coba untuk menghilangkan z. −3x + 2z = 2 (4) × 3 −9x + 6z = 6 (4) −5x + 3z = 2 (5) × 2 −10x + 6z = 4 (5) ————————- −
x = 2 (6)
Dari persamaan (6) kita dapatkan x = 2. Sekarang kita bisa subtitusikan (masukkan) nilai dari x ke persamaan (4) untuk mendapatkan nilai z.
−3(2) + 2z = 2 (4) −6 + 2z = 2
z = 4
Akhirnya, kita substitusikan (masukkan) nilai dari z ke persamaan (1) untuk mendapatkan y. 2 + y − 4 = 1 (1)
y = 1 − 2 + 4 y = 3
Jadi solusi sistem persamaan linier di atas adalah x = 2, y = 3, z = 4.
Metode substitusi
Pertama-tama, marilah kita atur persamaan (1) supaya hanya ada 1 variabel di sebelah kiri. x = 1 − y + z (1)
Sekarang kita substitusi x ke persamaan (2). 8(1 − y + z) + 3y − 6z = 1 (2) 8 − 8y + 8z + 3y − 6z = 1
−5y + 2z = 1 − 8 −5y + 2z = −7 (4)
Dengan cara yang sama seperti di atas, substitusi x ke persamaan (3). −4(1 − y + z) − y+ 3z = 1 (3)
−4 + 4y − 4z − y+ 3z = 1 3y − z = 1 + 4
3y − z = 5 (5)
Sekarang kita atur persamaan (5) supaya hanya ada 1 variabel di sebelah kiri. z = 3y − 5 (6)
Kemudian, substitusi nilai dari z ke persamaan (4). −5y + 2(3y − 5) = −7 (4)
−5y + 6y − 10 = −7 y = −7 + 10
y = 3
Sekarang kita sudah tahu nilai dari y, kita dapat masukkan nilai ini ke persamaan (6) untuk mencari z.
z = 3(3) − 5 (6) z = 9 − 5
z = 4
Akhirnya, kita substitusikan nilai dari y dan z ke persamaan (1) untuk mendapatkan nilai x. x = 1 − 3 + 4 (1)
x = 2
Jadi, kita telah menemukan solusi untuk sistem persamaan linier di atas: x = 2, y = 3, z = 4.
Metode grafik
Penyelesaian sistem persamaan linier dengan metode grafik dilakukan dengan cara menggambar garis garis atau bidang planar yang merupakan representasi dari persamaan-persamaan yang ada dalam sistem tersebut. Solusinya adalah koordinat-koordinat yang merupakan titik potong dari garis-garis ataupun bidang-bidang planar itu.
Sebagai contoh, marilah kita lihat sistem persamaan liniear dengan dua variabel berikut ini. x + y = 3 (1)
2x − y = −3 (2)
Seperti terlihat pada grafik di atas, kedua garis itu bertemu (mempunyai titik potong) pada titik (0,3). Ini adalah solusi dari sistem persamaan linier tersebut, yaitu x = 0, y = 3.
Daftar pustaka: https://ghinasalsabilla.wordpress.com/2014/10/09/contoh-pemanfaatan-persamaan-linier-2-variabel-dan-3-va
