a. Lattice Constant = a 4r = 2a 2 a = 4 R = 2 2 R = 2,8284 x 0,143 nm = 0,4045 nm 2

(1)

SOLUSI UJIAN TENGAH SEMESTER EL-3012 MATERIAL TEKNIK ELEKTRO Semester I 2013/2014, Selasa 12 Nopember 2012

Waktu : 07:00 – 09:00 (120menit)- Closed Book

SEKOLAH TEKNIK ELEKTRO DAN INFORMATIKA - INSTITUT TEKNOLOGI BANDUNG

Dosen : Dr. Basuki R. Alam (Kelas 1), Dr. Irman Idris(2), Ihsan Hariadi, MSc(3), Dr. M Amien Sulthoni (4)

1. Diketahui Aluminium pada 20⁰C memiliki jari-jari atom 0,143 nm, struktur kristal FCC, serta nomor dan berat atom adalah 13 dan 26,98 g/mol.

a. Berapa lattice constant dari atom Aluminium ? b. Berapa volume sel unit FCC dari atom Aluminium ? c. Berapa atomic packing factor (APF) atom Aluminium ? d. Berapa berat jenis Aluminium ?

Solusi :

T = 20⁰C; Jari-jari atom = R = 0,143 nm

Nomor atom = 13; Berat atom = BA = 26.98 g/mol

Struktur kristal : Face-Center-Cubic (FCC); N = jumlah atom dalam satu unit sel

NA = bilangan Avogradro = 6.023 x 10²³ atom/mol a. Lattice Constant = a

4r = √2a²

a = 4 R = 2√2 R = 2,8284 x 0,143 nm = 0,4045 nm √2

b. Volume sel unit FCC V = a³ = 0,0662 nm³ c. APF

1 sel unit FCC Aluminium terdiri dari 8 atom sudut (ukuran 1/8 atom) dan 6 atom muka (ukuran ½ atom) Jumlah atom Al = N = 8 x 1/8 + 6 x 1/2 = 4 atom (Sudut) (Muka)

Volume 1 atom Al = 4/3 𝜋 𝑅³ = 0,0122 nm³ APF = ^{N x V atom}

Volume Sel = ^{4 x 0,0122}

0.0662 = 0,7405 d. Berat Jenis

𝜌 =^N

V 𝐵𝐴

𝑁𝐴 atom/unitsel

cm3/unitsel ^g/mol

atom/mol

𝜌 = ⁴

0.0662x10⁻²¹ ^26.98

6.02𝑥10²³ = 2.708 g/cm³

(2)

2. Suatu bahan gallium arsenide intrinsik di doping dengan arsen dengan konsentrasi 1 x 10¹² cm^-3, kemudian didoping dengan bahan phospor sampai 5 x 10¹⁶ cm^-3; keduanya sampai terdistribusi homogen dalam bahan.

a. Apakah jenis pembawa muatan mayoritas bahan tersebut, dan berapakah konsentrasinya? Asumsikan kondisi ionisasi sempurna.

b. Hitunglah level energy intrinsik (EI) dan Fermi (EF) bahan tersebut, relatif terhadap level energy konduksi atau valensi (ECatau Ev), jika diketahui pada GaAs, NC = 4.7 x 10¹⁷ cm^-3 dan NV = 7 x 10¹⁸ cm^-3.

c. Buatlah sketsa diagram band energy bahan tersebut, yang memperlihatkan level energi konduksi (EC), level energi valensi (EV), Level energi intrinsik (EI), level energy Fermi EF), dan tunjukkan letak pembawa muatan mayoritas pada diagram tersebut. Anggaplah bahwa EV menjadi dasar diagram anda, dan diketahui energy bandgap bahan GaAs adalah 1.42eV.

d. Apabila bahan tersebut diberikan beda potensial V diantara kedua sisinya, gambarkan diagram band energy pada kasus tersebut dalam kondisi mendapat beda potensial sepanjang 0 sampai x, dan tunjukkan arah drift dan difusi pembawa muatan pada diagram tersebut.

Solusi :

a. Jumlah doping phospor jauh lebih besar dari arsen (1000x), sehingga pembawa muatan mayoritas adalah elektron (bahan tipe n), dengan konsentrasi ND = 5 x 10¹⁶ cm^-3.

b. Level energi intrinsik GaAs adalah𝐸_𝐼 =^𝐸^𝐶^+𝐸₂ ^𝑉+ (^𝑘𝑇₂) ln ^𝑁_𝑁^𝑉

𝐶, sehingga jika diukur dari level energi valensi 𝐸𝐼 = ^𝐸𝑔

2 + (^𝑘𝑇

2) ln^𝑁^𝑉

𝑁_𝐶 = 0.71 𝑥 0.026 ln 14.89 = 0.78eV

Pada bahan tipe p, selisih level energi Fermi terhadap level energi valensi dirumuskan 𝐸_𝐶 − 𝐸_𝐹= 𝑘𝑇 ln^𝑁^𝐶

𝑁_𝐷, sehingga EC – EF = 0.026 eV ln (9.4) = 0.026 x 2.24 eV = 0.058eV.

c. Diagram band energy adalah sebagai berikut:

(3)

d. Dibawah beda potensial V, diagram energy, pembawa muatan, dan arah drift sebagai berikut:

Karena tidak ada gradien konsentrasi, tidak ada difusi pembawa muatan

3. Keberadaan elektron pada atom hidrogen pada sistem koordinat Cartesian satu matra (1D) dapat dimodelkan sebagai sebuah partikel yang “terkurung” di dalam sebuah sumur potensial dengan fungsi tinggi potensial penghalang V(x) seperti tergambar di bawah ini:

Perilaku partikel tersebut untuk kasus time-independent dapat diwakili oleh persamaan Schrodinger

(4)

𝑑²𝜓_(𝑥) 𝑑𝑥² +^2𝑚

ћ² [𝐸 − 𝑉(𝑥)]𝜓_(𝑥) = 0 (*) Di mana 𝜓(𝑥) dan 𝑚 fungsi gelombang dan massa elektron, h tetapan Planck, dan E energi total dengan 2 syarat batas:

(i) V(x) = 0 di sepanjang daerah “interior”, 0 < x < L, dan (ii) V(x) = ∞ pada posisi x = 0 dan x = L

(a). Berdasarkan syarat batas (i) tunjukkan bahwa persamaan diferensial di atas untuk daerah

“interior” dapat ditulis sebagai:

𝑑²𝜓_(𝑥)

𝑑𝑥² + 𝑘²𝜓_(𝑥) = 0 (**) Apa hubungan antara parameter k di persamaan (**) dengan E, m, dan ћ pada persamaan (*) ? Jika syarat batas (ii) diabaikan, tunjukkan bahwa baik fungsi 𝜓_(𝑥) = 𝐴 𝑠𝑖𝑛 𝑘𝑥 maupun 𝜓_(𝑥)= 𝐴 𝑐𝑜𝑠 𝑘𝑥 merupakan solusi yang mungkin dari persamaan diferensial (**) di atas. Jika syarat batas (ii) diterapkan, mengapa bentuk fungsi cosinus menjadi tidak berlaku ?

(b). Berdasarkan syarat batas, 𝜓(𝑥)|

𝑥=𝐿= 0, nyatakan k sebagai kelipatan bulat n dari π 𝐿⁄ (𝑛 = 0,1,2, … ). Dari kedua “versi” persamaan untuk parameter k ini (soal a dan b), nyatakan hubungan antara energi E dengan n, dan L, dimana n = 0, 1, 2,... Apa penafsiran fisis untuk bentuk fungsi E (n) ini?

(c). Berdasarkan postulat ketiga dari persamaan gelombang (kebolehjadian menjumpai partikel dalam suatu ruang) untuk kasus 1D di atas berlaku hubungan:

∫ 𝜓^∗𝜓 𝑑𝑥 = ∫ |𝜓|²𝑑𝑥 = 1

𝐿

0

∞

−∞

Dari hubungan ini, hitunglah nilai ‘amplituda’ A sebagai fungsi dari L. Sekarang nyatakan bentuk penuh dari fungsi 𝜓𝑛(𝑥), dimana 𝑛 = 0,1,2, …. Lalu gambarkan sketsa bentuk fungsi

(i) 𝜓3(𝑥) untuk 0 < x < L (beri label nilai maksimumnya pada grafik) (ii) |𝜓₃(𝑥)|² untuk 0 < x < L (beri label nilai maksimumnya pada grafik)

Solusi:

a) Untuk daerah interior, V(x) = 0, sehingga persamaan Schroedinger pada soal menjadi : 𝑑²𝜓

𝑑𝑥² +2𝑚𝐸

ℏ² 𝜓_(𝑥) = 0 Jika didefinisikan suatu parameter k dengan hubungan

𝑘 =√2𝑚𝐸

ℏ (𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑘²=2𝑚𝐸 ℏ² ) maka persamaan diferensial di atas dapat ditulis sebagai

(5)

𝑑²𝜓_(𝑥)

𝑑𝑥² + 𝑘²𝜓_(𝑥)= 0 , 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑑²𝜓_(𝑥)

𝑑𝑥² = −𝑘²𝜓_(𝑥) … … … (∗)

dapat ditunjukkan bahwa dua fungsi trigonometri 𝜓(𝑥) = 𝐴 𝑠𝑖𝑛 𝑘𝑥 dan 𝜓(𝑥) = 𝐴 𝑐𝑜𝑠 𝑘𝑥 masing-masing merupakan bentuk solusi umum dari persamaan (*) di atas.

Jika (𝑥) = 𝐴 𝑠𝑖𝑛 𝑘𝑥 , maka ^{𝑑𝜓(𝑥)}

𝑑𝑥 = 𝑘𝐴 cos 𝑘𝑥 dan ^𝑑²^𝜓(𝑥)

𝑑𝑥² = −𝑘²𝐴 sin 𝑘𝑥 = −𝑘²𝜓(𝑥) Jika (𝑥) = 𝐴 𝑐𝑜𝑠 𝑘𝑥 , maka ^{𝑑𝜓(𝑥)}_𝑑𝑥 = −𝑘𝐴 sin 𝑘𝑥 dan ^𝑑²^𝜓(𝑥)

𝑑𝑥 = −𝑘𝐴 𝑠𝑖𝑛²𝑘𝑥 = −𝑘²𝜓(𝑥)

Syarat batas (ii), yaitu bahwa nilai potential barrier V(x) = ∞ untuk x = 0 dan x = L, artinya pada kedua posisi tersebut kebolehjadian adanya elektron adalah nihil/nol, jadi 𝜓(𝑥) = 0 untuk x = 0 dan x = L . Jika kedua nilai x ini dimasukkan ke fungsi (𝑥) = 𝐴 𝑐𝑜𝑠 𝑘𝑥 , nilainya ≠ 0, (tidak valid). Sedangkan jika dimasukkan ke fungsi 𝜓(𝑥) = 𝐴 𝑠𝑖𝑛 𝑘𝑥

Pada x = 0, 𝜓(0) = 𝐴 𝑠𝑖𝑛 𝑘. 0 = 0 (valid)

Pada x = L, 𝜓(𝐿) = 𝐴 𝑠𝑖𝑛 𝑘. 𝐿 , nilai 𝜓(𝐿) = 0 (𝑣𝑎𝑙𝑖𝑑) , jika dipenuhi hubungan 𝑘𝐿 = 𝑛𝜋 , atau 𝑘 =^𝑛𝜋

𝐿 , n = 1, 2, 3 …

b) Dari kedua hubungan untuk parameter k di atas 𝑘 =^√2𝑚𝐸

ℏ , dan 𝑘 =^𝑛𝜋_𝐿 , maka dapat diperoleh hubungan

𝐸_𝑛=𝑛²𝜋²ℎ² 2𝑚𝐿²

Persamaan di atas dapat ditafsiran bahwa menurut model ‘partikel di dalam kotak 1 dimensi’ ini electron-nya mempunyai tingkat-tingkat energi yang bersifat diskrit.

c) Berdasaran postulat ketiga dari persamaan gelombang Schroedinger:

∫ 𝜓^∗𝜓 𝑑𝑥 = ∫ |𝜓|²𝑑𝑥 = 1

𝐿

0

∞

−∞

Jadi ∫ |𝜓|₀^𝐿 ²𝑑𝑥 = ∫ 𝐴₀^L ² 𝑠𝑖𝑛² 𝑘𝑥 𝑑𝑥 = 𝐴²∫ 𝑠𝑖𝑛₀^𝐿 ²𝑘𝑥 𝑑𝑥 = 1. Mengingat sin² θ = ½ - ½ cos 2θ, maka ∫ |𝜓|₀^𝐿 ²𝑑𝑥= 𝐴²∫ [¹₂−¹

2𝑐𝑜𝑠 2𝑘𝑥] 𝑑𝑥

𝐿 0

=1

2𝐴²[𝑥]₀^𝐿− 1

4𝑘𝐴²[𝑠𝑖𝑛 2 𝑘𝑥]₀^𝐿 =1

2𝐴²𝐿 − 1

4𝑘𝐴 𝑠𝑖𝑛 2 𝑘𝐿 =1

2𝐴²𝐿 (𝑠𝑢𝑘𝑢 𝑘𝑒𝑑𝑢𝑎 = 0, 𝑘𝑎𝑟𝑒𝑛𝑎 𝑘𝐿 = 𝑛𝜋, 𝑛 = 1,2,3, … … ) Jadi ¹

2𝐴²𝐿 = 1, atau 𝐴 = √²

𝐿

(6)

Untuk n = 3, 𝑓𝑢𝑛𝑔𝑠𝑖 𝑔𝑒𝑙𝑜𝑚𝑏𝑎𝑛𝑔 𝑚𝑒𝑛𝑗𝑎𝑑𝑖 𝜓₃(𝑥) = √²

𝐿sin^3𝜋

𝐿 𝑥, dan 𝑃𝑟𝑜𝑏𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑡𝑦 𝐷𝑒𝑛𝑠𝑖𝑡𝑦 𝐹𝑢𝑛𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑚𝑒𝑛𝑗𝑎𝑑𝑖 𝜓₃²(𝑥) =²

𝐿𝑠𝑖𝑛^{2 3𝜋}_𝐿 𝑥 =²

𝐿(¹

2−¹

2𝑐𝑜𝑠^2.3𝜋

𝐿 𝑥)

Gambar sketsa grafik untuk fungsi gelombang serta Probability Density Function untuk n = 3 diperlihatkan pada gambar di bawah ini (dengan contoh untuk nilai L = 1.0 supaya sederhana).

4. Suatu semikonduktor Si didop dengan Aluminum dari golongan III dengan konsentrasi 10¹⁶ cm^-3. Temperatur kamar 27C. ‘Density of states’ ban konduksi dan ban Valensi sebagai berikut

N_c = 4π [^{2 m}ⁿ

h² ]

3

2 (−_c)^1/2 N_V= 4π[^{2 m}^p

h² ]

3

2 (_V−)^1/2

Persamaan distribusi Fermi Dirac, F_D dan konsentrasi elektron dan hole masing-masing, F_D() = ¹

1+ e (−F )

kT

; n = n_iexp [^^{F −}^ⁱ

kT ] ; p = n_iexp [^ⁱ^{− }^F

kT ]

Solusi :

(a) Tentukan level enerji Fermi, F (20) :

Konsentrasi dopant akseptor (Al) : NA = 10¹⁶ [cm^-3]

Pada temperatur kamar (300K) semua dopant terionisasi :  Konsentrasi hole : p = NA = 10¹⁶ [cm^-3] Konsentrasi intrinsik :

𝐧𝐢= 𝐩𝐢= 𝟏. 𝟏 𝐱 𝟏𝟎^𝟏𝟎 [𝐜𝐦^−𝟑]

𝑝 = p_iexpε_i− ε_F kT ; 𝑝

𝑝_𝑖 = 𝑒𝑥𝑝 (𝜀_𝑖− 𝜀_𝐹

𝑘𝑇 ) ⇒ ln𝑝

𝑝_𝑖 = 𝜀_𝑖− 𝜀_𝐹

𝑘𝑇 ⇒ 𝑘𝑇 ln𝑝

𝑝_𝑖 = 𝜀_𝑖− 𝜀_𝐹

(7)

𝜀_𝑖− 𝜀_𝐹= 𝑘𝑇 ln𝑝 𝑝_𝑖 ∴ 𝜀_𝑖− 𝜀_𝐹= 0,0256 ln [ ¹⁰¹⁶

1,1 𝑥 10¹⁰] = 0,0256 ∗ 13.72 = 0,35𝑒𝑉 (Fermi level 0.35eV dibawah enerji intrinsic 𝜀𝑖)

(b) Berikan ekspresi integral penurunan konsentrasi hole, p, menggunakan persamaan diatas (25)

Dimana : N() = N_V= 4π [^{2 m}^p

h² ]

3

2 (_V−)^1/2 , dan F(ε) = FD() = ¹

1+ e

(−F ) kT

;

Sehingga :

𝑝 = ∫ 𝜕𝜀 4𝜋 [^{2 𝑚}_ℎ₂^𝑝]

3

2(_𝑉 − 𝜀)¹²{1 − ¹

(1+ 𝑒 (𝜀−𝐹)

𝑘𝑇 ) 𝜀_𝑉 }

𝜀 (sampai disini Ok)

𝑝 = 4𝜋 [2 𝑚_𝑝 ℎ² ]

3

2∫ 𝜕𝜀 (_𝑉 − 𝜀)¹²{

(1 + 𝑒^(𝜀−^𝑘𝑇^^𝐹⁾) − 1 (1 + 𝑒^(𝜀−^𝑘𝑇^^𝐹⁾ )

}

𝜀𝑉

𝜀

= 𝑁_𝑉 ∫ 𝜕𝜀 (_𝑉 − 𝜀)¹²{ 𝑒^(𝜀^𝑉^𝑘𝑇⁻^^𝐹⁾⁻⁽^^𝑉^𝑘𝑇⁻^⁾ (1 + 𝑒^(𝜀^𝑉^𝑘𝑇⁻^^𝐹⁾⁻⁽^^𝑉^𝑘𝑇⁻^⁾ )

}

𝜀_𝑉

𝜀

Untuk enerji (_F−_V) > 4𝑘𝑇 → 𝑒^(𝜀𝑉−^𝑘𝑇^^𝐹)⁻

( _{𝑉 −})

𝑘𝑇 ≪ 1, 𝑝𝑒𝑟𝑠𝑎𝑚𝑎𝑎𝑛 𝑘𝑜𝑛𝑠𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑠𝑖 𝑝 𝑚𝑒𝑛𝑗𝑎𝑑𝑖 ∶ 𝑝 = 𝑁_𝑉 ∫ 𝜕𝜀 (_𝑉− 𝜀)¹²{𝑒^(𝜀^𝑉^𝑘𝑇^−^𝐹⁾⁻^{( }^𝑉^𝑘𝑇^{− )} }

𝜀_𝑉

𝜀

(c). Tentukan probabilitas menemukan hole pada level enerji  = F dan pada  < V ( level enerji maksimum ban Valensi) (25)

𝑭(𝜺) = {𝟏 − 𝟏

(𝟏 + 𝒆^(𝜺−^𝒌𝑻^𝑭⁾) }

Pada level enerji :  = F  𝑭(𝜺) = {𝟏 − ^𝟏

(𝟏+ 𝒆

(𝜺=𝑭−_𝑭) 𝒌𝑻 )

} =^𝟏

𝟐

 = V , _𝑽 − _𝑭= − {𝟎, 𝟓𝟓𝒆𝑽 − (𝜺_𝒊− 𝜺_𝑭)} = −𝟎, 𝟐𝒆𝑽

𝑭(𝜺) = {𝟏 − ^𝟏

(𝟏+ 𝒆

(𝜺=_𝑽−_𝑭) 𝒌𝑻 )

} = {𝟏 − ^𝟏

(𝟏+ 𝒆

−𝟎,𝟐 𝟎.𝟎𝟐𝟓𝟔)

} = {𝟏 −_{𝟏.𝟎𝟎𝟎𝟒}^𝟏 } = 𝟎, 𝟎𝟎𝟎𝟒𝟎𝟒 p =  N () [1 - F()] d

V

min

(8)

Dus, untuk 𝐩𝐫𝐨𝐛𝐚𝐛𝐢𝐥𝐢𝐭𝐚𝐬 𝐦𝐞𝐧𝐞𝐦𝐮𝐤𝐚𝐧 𝐡𝐨𝐥𝐞 𝐝𝐞𝐧𝐠𝐚𝐧 𝐞𝐧𝐞𝐫𝐣𝐢 𝛆 <_𝐕 (𝐝𝐚𝐥𝐚𝐦 𝐛𝐚𝐧 𝐕𝐚𝐥𝐞𝐧𝐬𝐢):

𝑭(𝜺) < 𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝟒𝟎𝟒

(a) Bila diinginkan level enerji Fermi F digeser 0,14eV dibawah ban Konduksi, tentukan jenis doping yang diperlukan (donor atau akseptor) dan konsentrasinya ? (30)

ε_C− ε_F = ε_g

2 + ε_i− ε_F = 0,55eV+ ε_i− ε_F = 0,14eV 0,41eV = ε_F− ε_i 𝑛

𝑛_𝑖 = 𝑒𝑥𝑝 (𝜀_𝐹− 𝜀_𝑖

𝑘𝑇 ) = 𝑒𝑥𝑝 ( 0,41

0,0256) ⇒ 𝑛 = 𝑛_𝑖 . 𝑒𝑥𝑝(16) ⇒ 𝑛 = 9.92𝑥10¹⁶ [𝑐𝑚⁻³] Konsentrasi hole semula : p=NA = 10¹⁶ 𝑐𝑚⁻³ ; Diperlukan doping Donor dengan konsentrasi yang diperlukan :

𝑁_𝐷= 𝑛 + 𝑁_𝐴= 10¹⁶+ 9.92𝑥10¹⁶= 10.92. 10¹⁶= 1.09 𝑥10¹⁷[𝑐𝑚⁻³]