Manajemen Sains. Model Transportasi. Eko Prasetyo Teknik Informatika Univ. Muhammadiyah Gresik 2011

(1)

Model Transportasi

Manajemen Sains

Model Transportasi

(2)

Pengertian

Model transportasi adalah kelompok khusus program

linear yang menyelesaikan masalah pengiriman

komoditas dari sumber (misalnya pabrik) ke tujuan

(misalnya gudang).

Tujuannya adalah untuk menentukan jadwal

pengiriman dengan meminimalkan total biaya

pengiriman dengan memenuhi batas pasokan dan

kebutuhan.

Aplikasi transportasi dapat dikembangkan didaerah

operasi yang lain, misalnya inventory control,

(3)

(4)

Contoh kasus MG Auto

MG Auto mempunyai tiga area produksi (plant) di Los

Angeles. Detroit, dan New Orleans, dan dua pusat

distribusi utama di Denver dan Miami.

Kapasitas tiga plant pada kuartalan adalah 1000,

1500, dan 1200 mobil. Kebutuhan kuartalan pada dua

pusat distribusi adalah 2300 dan 1400 mobil. Tabel

jarak antara plant dan pusat distribusi di Tabel 1.

Trucking Company meminta biaya transportasi mobil

sebesar 8 sen per mil per mobil. Biaya transportasi

per mobil pada rute yang berbeda, disesuaikan pada

nilai dolar terdekat, ditampilkan dalam Tabel 2.

Model pemrograman linier masalah sebagai berikut :

Minimalkan Z = 80x

₁₁

+ 215x

₁₂

+ 100x

₂₁

+ 108x

₂₂

+

(5)

Contoh kasus MG Auto

Tabel 1 Jarak (mil)

(6)

Model Transportasi MG Auto

Denver Miami Supply

(7)

Solusi MG Auto

Solusi optimal yang didapatkan seperti pada Gambar

menyatakan bahwa untuk pengiriman 1000 mobil dari Los

Angeles ke Denver, 1300 dari Detroit ke Denver, 200 dari Detroit ke Miami, dan 1200 dari New Orleans ke Miami.

(8)

Menyeimbangkan model transportasi

Algoritma transportasi didasarkan pada asumsi bahwa model

dalam keadaan seimbang, artinya total kebutuhan sama dengan total pasokan (supply).

Jika model tidak seimbang, maka dapat ditambahkan sumber

dummy atau tujuan dummy untuk memberikan keseimbangan

Dalam model MG, andaikan kapsitas plant Detroit adalah 1300

mobil (bukan 1500). Total supply (=3500 mobil) lebih kecil dari total kebutuhan (=3700 mobil), artinya ada sebagian dari Denver total kebutuhan (=3700 mobil), artinya ada sebagian dari Denver atau Miami yang yang tidak akan dicapai kapasitasnya.

Karena kebutuhan melebihi pasokan, sebuah sumber dummy

(plant) dengan kapasitas 200 mobil (=3700 – 3500) ditambahkan untuk menyeimbangkan model transportasi.

Biaya unit transportasi dari plant dummy ke dua tujuan adalah

(9)

Kasus model MG dengan sumber

dummy

Denver Miami Supply

(10)

Menyeimbangkan model transportasi

Untuk kasus dimana pasokan melebihi kebutuhan

misalnya dalam kasus model MG kebutuhan di

Denver adalah 1900 mobil.

Dalam kasus ini, kita perlu menambahkan tujuan

(11)

Kasus model MG dengan tujuan

dummy

Denver Miami Dummy Supply

(12)

Varian model transportasi

Penerapan model transportasi tidak dibatasi hanya pada pengiriman komoditas antara

sumber dan tujuan secara geografis.

Bidang lain yang dapat menerapkan model transportasi diantaranya adalah

production-inventory control dan sharpening service.

Boralis memproduksi tas ransel untuk para pendaki. Kebutuhan produk terjadi selama blan

Maret sampai Juni setiap tahun.

Perusahaan menggunakan tenaga kerja paruh waktu untuk memproduksi tas ransel, dan

ternyata kapasitas produksi bervariasi setiap bulannya. Diperkirakan bahwa Boralis akan memproduksi 50, 180, 280, dan 270 unit di bulan Maret sampai Juni.

Karena kapasitas produksi dan kebutuhan ternyata berbeda pada tiap bulannya, kebutuhan Karena kapasitas produksi dan kebutuhan ternyata berbeda pada tiap bulannya, kebutuhan

bulan saat ini dapat dipenuhi dengan tiga cara : Produksi pada bulan ini

Kelebihan (surplus) produksi pada bulan sebelumnya

Kelebihan (surplus) produksi pada bulan berikutnya (backordering)

Dalam kasus yang pertama, biaya produksi per tas ransel adalah $40. Pada kasus kedua

terjadi biaya tambahan untuk pengelolaan (inventory) sebesar $0.5 per tas ransel per bulan. Pada kasus ketiga, biaya tambahan pelanggaran (penalty) sebesar $2 per tas ransel pada delay setiap bulannya.

Boralis menginginkan untuk menentukan jadwal produksi yang optimal untuk empat bulan

(13)

Paralelisme antara masalah

production-inventory dan model transportasi

Transportasi Production-inventory

Sumber i Periode produksi i

Tujuan j Kebutuhan periode j

Jumlah pasokan di sumber i Kapasitas produksi periode i

Kebutuhan tujuan j Kebutuhan periode j

Biaya transportasi unit dari sumber i ke tujuan j

(14)

Model transportasi kasus Boralis

Biaya kapasitas produksi ($)

Supply 1 2 3 4 Bulan produksi 1 40 40.5 41 41.5 50 2 42 40 40.5 41 180 3 44 42 40 40.5 280 produksi 3 44 42 40 40.5 280 4 46 44 42 40 270 Kebutuhan 100 200 180 300

(15)

Solusi optimal model

production-inventory

Garis putus-putus menunjukkan backordering Garis titik-titik menunjukkan produksi untuk bulan berikutnya, dan garis solid

menunjukkan produksi menunjukkan produksi pada periode saat itu.

Total biaya Z adalah 50

(16)

Solusi awal Model Transportasi

Ada tiga metode yang bisa diplih untuk mendapatkan

solusi layak awal model transportasi :

Metode northwest-corner

Metode least-cost

Metode Vogel approximation

Tiga metode diatas berbeda dalam kualitas basis

solusi awal yang dihasilkan, dalam kaitan bahwa

solusi awal nilainya lebih kecil.

Metode Vogel memberikan basis solusi awal yang

paling baik, dan metode northwest-corner yang paling

jelek. Tradeoffnya adalah metode northwest-corner

menggunakan usaha yang paling sedikit dalam

(17)

Contoh kasus SunRay

SunRay Transport Company mengirimkan

muatan truk berupa tepung dari tiga silo ke empat

mill.

Pasokan (muatan truk) dan kebutuhan (muatan

truk) bergabung dengan biaya transportasi unit

per muatan truk pada rute yang berbeda

ditunjukkan pada tabel x.

Biaya transportasi unit, c

_ij

(pojok kanan atas

kotak) dalam ratusan dollar.

Model mencari jadwal pengiriman x

_ij

antara silo i

(18)

Tabel transportasi kasus SunRay

Mill 1 Mill 2 Mill 3 Mill 4 Supply

(19)

Menggunakan metode

Northwest-Corner

1.

Alokasikan sebanyak mungkin pada sel yang dipilih,

dan sesuaikan jumlah supply dan kebutuhan

dengan mengurangi alokasi yang dibutuhkan.

2.

Pindah ke garis atau kolom dengan nilai alokasi

supply atau kebutuhan nol (belum dialokasikan).

Jika baris dan kolom sel tadi belum ada alokasi

maka alokasikan sisa tadi ke sel ini. Jika masih

kurang, maka pindah ke baris atau kolom lainnya

untuk menambah alokasi.

3.

Jika masih ada baris atau kolom yang jumlah

(20)

Solusi awal dengan metode NWC

Dari tabel diatas,

basis solusi adalah

:

x

₁₁

= 5, x

₁₂

= 10

x

₂₂

= 5, x

₂₃

= 15,

x

₂₄

= 5

(21)

Menggunakan metode Least-Cost

1. Sel (1,2) mempunyai biaya unit terkecil dalam

tabel (=$2). Jumlah terbanyak yang dapat

dikirimkan pada jalur (1,2) adalah x

₁₂

= 15.

2. Sel (3.1) mempunyai biaya unit terkecil

berikutnya (=$4). Berikan x31 = 5 karena

kapasitas maksimal di kolom 1 adalah 5, alokasi

supply yang dibutuhkan tinggal 10 – 5 = 5.

3. Lanjutkan cara yang sama, sehingga sel (2.3)

(22)

Solusi awal dengan metode

Least-Cost

Dari tabel diatas,

basis solusi

adalah :

x

₁₂

= 15

x

₂₃

= 15, x

₂₄

= 10

x

₃₁

= 5, x

₃₄

= 5

(23)

Menggunakan VAM

1. Untuk setiap baris (kolom), tentukan ukuran penalty dengan

mengurangkan elemen unit biaya terkecil dalam baris (kolom) dari elemen unit biaya terkecil berikutnya dalam baris (kolom) yang sama.

2. Identifikasi baris (kolom) dengan penalty terbesar. Alokasikan

sebanyak mungkin pada variabel dengan biaya unit terkecil dalam baris (kolom) terpilih. Sesuaikan supply dan kebutuhan, dan

mencapai batas maksimal supply atau kebutuhan. Jika baris (kolom) tercapai secara simultan, maka sisa alokasi pada baris (kolom)

tersebut menjadi nol. tersebut menjadi nol.

3. (a) Jika tepat satu baris atau kolom dengan sisa nol supply atau

kebutuhan, berhenti.

(b) Jika satu baris (kolom) dengan supply (kebutuhan) positif belum mencapai maksimal, tentukan variabel basis dalam baris (kolom) dengan metode least-cost, berhenti.

(c) Jika semua baris dan kolom yang belum maksimal mempunyai (sisa) supply dan kebutuhan nol, tentukan basis variabel nol dengan metode least-corner, berhenti.

(24)

Iterasi 1

(25)

Iterasi 2

Mill 1 Mill 2 Mill 3 Mill 4 Supply Baris Penalty

(26)

Iterasi 3

(27)

Iterasi 4

(28)

Hasil solusi awal dengan VAM

Baris Penalty Silo 1 10 2 20 11 15 -15 0 Silo 2 12 7 9 20 25 -15 10

Nilai tujuan pada solusi ini menjadi : Z = 15 * 2 + 0 * 11 + 15 * 9 +

10 * 20 + 5 * 4 + 5 * 18 = $475.

Hasil ini sama seperti yang didapatkan pada metode least-cost

(29)

-Metode menuju solusi optimal

1. Stepping Stone ( batu loncatan )

(30)

Stepping Stone ( batu loncatan )

Syarat : Jumlah rute atau sel yang mendapat alokasi harus

sebanyak :

Jumlah Kolom + Jumlah Baris – 1

Langkah – langkahnya :

1. Memilih salah satu sel kosong (yang tidak mendapatkan alokasi). 2. Mulai dari sel ini, kita membuat jalur tertutup melalui sel-sel yang

mendapatkan alokasi menuju sel kosong terpilih kembali. Jalur tertutup ini bergerak secara horisontal dan vertikal saja.

ini bergerak secara horisontal dan vertikal saja.

3. Mulai dengan tanda (+) pada sel kosong terpilih, kita menempatkan

tanda (-) dan (+) secara bergantian pada setiap sudut jalur tertutup.

4. Menghitung indeks perbaikan dengan cara menjumlahkan biaya

transportasi pada sel bertanda (+) dan mengurangkan biaya transportasi pada sel bertanda (-).

5. Mengulangi tahap 1 sampai 4 hingga indeks perbaikan untuk semua

(31)

Modified Distribution Method (MODI)

Indeks perbaikan dihitung dengan terlebih dahulu menentukan

nilai baris dan kolom. Notasi dalam metode MODI terdiri dari:

R_i = nilai yang ditetapkan untuk baris i

K_j = nilai yang ditetapkan untuk kolom j

C_ij = biaya transportasi dari sumber i ke tujuan j

Ada lima langkah dalam aplikasi metode MODI, yaitu:

1. Menghitung nilai setiap baris dan kolom, dengan menetapkan

R + K = C . Formula tersebut berlaku untuk sel yang

R_i + K_j = C_ij . Formula tersebut berlaku untuk sel yang

mendapat alokasi saja.

2. Setelah semua persamaan telah tertulis, tetapkan R₁ = 0

3. Mencari solusi untuk semua R dan K.

4. Menghitung indeks perbaikan dengan menggunakan formula

I_ij= C_ij - R_i - K_j .

5. Mengaplikasikan kriteria optimalitas sebagaimana pada

(32)

Contoh kasus 3 pabrik

Tiga pabrik dalam satu group (W,H,P) dengan kapasitas

produksi masing-masing adalah 90, 60, dan 50.

Hasil produksi akan didistribusikan ke tiga gudang (A,B,C) yang

kapasitas penyimpanan masing-masing adalah 50, 110, dan 40.

Tabel biaya pengiriman produk dari pabrik ke gudang

ditampilkan pada tabel dibawah ini.

Perusahaan ingin mendistribusikan produk ke masing-masing

(33)

Metode NWC

Biaya yang dikeluarkan

(34)

Metode Least-Cost

Biaya yang dikeluarkan :

Z = (90 . 5) + (20. 15) + (40 . 10) +(30 .25) + (20. 10) =

(35)

(36)

MENGOPTIMALKAN TABEL

(Stepping Stone) - 1

Setelah dihitung dengan trial dan error , biaya yang dikeluarkan

adalah:

Z = (50 . 15) + (90 . 5) + (10 . 20) + (10 . 10) + (40 . 19) =

(37)

MENGOPTIMALKAN TABEL

(Stepping Stone) - 2

Setelah dihitung dengan trial dan error , biaya yang dikeluarkan

(38)

MENGOPTIMALKAN TABEL

(Stepping Stone) - 3

Biaya yang dikeluarkan :

Z = (60 . 5) + (30 . 8) + (50 . 15) + (10 .10) + (50 . 10) = 1890 (paling optimal)

Jika hasil belum optimal, lakukan perbaikan terus sampai

(39)

MENGOPTIMALKAN TABEL (MODI)

- 1

Hitung sel yang berisi (nilai tiap kolom dan tiap baris)

Ri + Kj = Ci

baris kolom biaya

1. W-A = R1 + K1 = 20 2. W-B = R1 + K2 = 5 3. H-B = R2 + K2 = 20 4. P-B = R3 + K2 = 10 5. P-C = R3 + K3 =19 5. P-C = R3 + K3 =19

dari persamaan di atas, hitung K1 dan R1 dengan cara meng-nol-kan

(40)

(41)

MENGOPTIMALKAN TABEL (MODI)

- 1

Hitung nilai/ index perbaikan setiap sel yang kosong

dengan rumus:

Cij - Ri - Kj

1. H-A = 15 – 15 – 20 = - 20

2. P-A = 25 – 5 – 20 = 0

3. W-C = 8 – 0 – 14 = - 14

4. H-C = 10 – 15 – 14 = - 19

(optimal jika pada sel yang kosong, indek

perbaikannya ≥ 0, jika belum maka pilih yang

negatifnya besar)

Memilih titik tolak perubahan Pilih nilai yang

(42)

(43)

(44)

MENGOPTIMALKAN TABEL (MODI)

- 3

Biaya transportasi : Z = (90 . 5) + (50 . 15) + (10 .

(45)

Hitung sel yang berisi :

W-B = R1 + K2 = 5 => 0 + K2 = 5 , K2 = 5

P-B = R3 + K2 = 10 => R3 + 5 = 10 , R3 = 5

P-C = R3 + K3 = 19 => 5 + K3 = 19 , K3 = 14

H-C = R2 + K3 = 10 => R2 + 14 = 10 , R2 = - 4

H-A = R2 + K1 = 15 => - 4 + K1 = 15 , K1 = 19

Perbaikan indeks (sel kosong) :

W-A = 20 – 0 – 0 = 20

W-C = 8 – 0 – 14 = - 6

H-B = 20 – 15 – 5 = 0

(46)

MENGOPTIMALKAN TABEL (MODI)

- 3

Biaya transportasi :

(47)

Sel berisi:

W-B = R1 + K2 = 5 => 0 + K2 = 5 , K2 = 5

W-C = R1 + K3 = 8 => 0 + K3 = 8 , K3 = 8

H-C = R2 + K3 = 10 => R2 + 8 = 10 , R2 = 2

H-A = R2 + K1 = 15 => 2 + K1 = 15 , K1 = 13

P-B = R3 + K2 = 10 => R3 + 5 = 10 , R3 = 5

Indeks perbaikan:

W-A = 20 – 0 – 19 = 1

H-B = 20 – (-4) – 5 = 19

P-A = 25 – 5 – 19 = 1

P-C = 19 – 5 – 14 = 0

Indeks perbaikan sudah positif semua, berarti sudah

(48)

Solusi optimal metode MODI

Biaya transportasi :

(49)

Latihan

Benar atau salah ?

Untuk menyeimbangkan model transportasi, perlu menambah

sumber dummy dan tujuan dummy.

Jumlah yang dikirimkan pada tujuan dummy

merepresentasikan kelebihan (surplus) pada sumber pengiriman.

Jumlah yang dikirim dari sumber dummy merepresentasikan

kekurangan pada tujuan pengiriman. kekurangan pada tujuan pengiriman.

Disetiap kasus dibawah ini, manakah sumber dummy atau

tujuan dummy yang harus ditambahkan untuk

menyeimbangkan model :

Supply : a₁ = 10, a₂ = 5, a₃ = 4, a₄ = 6. Sedangkan kebutuhan :

b₁ = 10, b₂ = 5, b₃ = 7, b₄ = 9.

Supply : a₁ = 30, a₂ = 44. Sedangkan kebutuhan : b₁ = 25, b₂ =

(50)

Tugas

Baca Modul 6 Model Penugasan

Kerjakan soal Modul 5 :

Kelompok 1 : 5.3

Kelompok 2 : 5.4

Kelompok 3 : 5.5

Kelompok 4 : 5.6 metode Stepping Stone

Kelompok 5 : 5.7 metode Stepping Stone

Kelompok 6 : 5.6 metode MODI

Kelompok 7 : 5.7 metode MODI

Pengerjaan :

Satu kelompok berisi maksimal 9 orang

Ditulis tangan pada kertas folio bergaris oleh masing-masing

anggota