BAB I LOGIKA MATEMATIKA

A. Ringkasan Materi

1. Pernyataan dan Bukan Pernyataan

Pernyataan adalah kalimat yang mempunyai nilai benar atau salah, tetapi tidak sekaligus benar dan salah. (pernyataan disebut juga preposisi, kalimat deklaratif ). Benar diartikan ada kesesuaian antara apa yang dinyatakan dengan keadaan yang sebenarnya.

Perhatikan beberapa contoh berikut!

1) Al-Quran adalah sumber hukum pertama umat Islam 2) yang duduk di bawah pohon itu cantik rupanya 3) seseorang memakai kacamata

4) 4 + 3 = 8 5) 2x + 8y > 0 6) x + 2 = 8

Contoh nomor 1 bernilai benar, sedangkan contoh nomor 4 bernilai salah, dan keduanya adalah pernyataan. Suatu pernyataan biasa kita simbolkan dengan huruf kecil p,q,r,s, dan sebagainya.

Sementara contoh nomor 2, 3, 5 dan 6 belum tentu bernilai benar atau salah. Kalimat yang demikian itu dinamakan kalimat terbuka dan bukan pernyataan. Kalimat terbuka biasa- nya ditandai dengan adanya variabel (peubah). Jika variabelnya diganti dengan konstanta dalam semesta yang sesuai maka kalimat itu akan menjadi sebuah pernyataan.

2. Ingkaran/Negasi

Ingkaran/Negasi adalah kalimat berisi sanggahan, sangkalan dan dilambangkan dengan

∼ p dibaca tidak benar bahwa p.

Perhatikan beberapa contoh berikut!

1) p : Al-Quran adalah sumber hukum pertama umat Islam (Benar)

∼ p : tidak benar bahwa Al-Quran adalah sumber hukum pertama umat Islam (Salah) 2) q : 4 + 3 = 8 (Salah)

∼ q : 4 + 3 6= 8 (Benar)

Artinya jika pernyataan bernilai benar maka negasinya bernilai salah, dan sebaliknya.

3. Pernyataan Majemuk

Pernyataan yang dirangkaikan dengan perangkat logika “dan”, “atau”, “tidak”, “meskipun”,

“walaupun”, “jika ··· maka”, disebut pernyataan majemuk. Dalam logika matematika, nilai

kebenaran untuk sebuah pernyataan majemuk sudah dirumuskan secara pasti, sehingga

setiap proses penarikan kesimpulan menggunakan logika matematika selalu dapat dikon-

trol kevalidannya. Beberapa pernyataan majemuk yang akan diuraikan dalam bab ini ada-

lah negasi, konjungsi, disjungsi, implikasi dan biimplikasi.

a. Konjungsi

Konjungsi adalah gabungan dua pernyataan tunggal yang menggunakan kata penghu- bung “dan”.

Operasi konjungsi dapat ditunjukkan dengan hubungan seri pada rangkaian listrik se- perti gambar berikut:

––

p q

1) Jika saklar p dan q tertutup (on) ternyata lampu menyala.

2) Jika salah satu saklar p atau q terbuka (off ) ternyata lampu tidak menyala.

3) Jika keduanya saklar p dan q terbuka (off ) ternyata lampu juga tidak menyala.

Berdasar kasus di atas, dapat disimpulkan bahwa suatu konjungsi p ∧q pada lampu ak- an menyala (benar) hanya jika keduanya sama-sama tertutup (on/benar) .

b. Disjungsi

Disjungsi adalah pernyataan majemuk yang menggunakan perangkai “atau” yang dino- tasikan dengan p ∨ q.

Operasi Disjungsi dapat juga ditunjukkan dengan hubungan paralel pada rangkaian lis- trik seperti gambar berikut :

––

p

q

1) Jika saklar p dan q tertutup (on) ternyata lampu menyala.

2) Jika salah satu saklar p atau q terbuka (off ) ternyata menyala.

3) Jika keduanya saklar p dan q terbuka (off ) ternyata lampu juga tidak menyala.

Dari gambar rangkaian diatas tampak bahwa lampu tidak menyala jika saklar p mau- pun q sama-sama terbuka atau keduanya salah.

c. Implikasi

Misalkan ada dua pernyataan p dan q. Yang sering menjadi perhatian para ilmuwan maupun matematikawan adalah menunjukkan atau membuktikan bahwa jika p ber- nilai benar akan mengakibatkan q bernilai benar juga. Untuk mencapai keinginannya tersebut, diletakkanlah kata “Jika” sebelum pernyataan pertama lalu diletakkan juga ka- ta “maka” di antara pernyataan pertama dan pernyataan kedua, sehingga didapatkan suatu pernyataan majemuk yang disebut dengan implikasi, pernyataan bersyarat, kon- disional, atau “hypothetical” dengan notasi “⇒” seperti ini: p ⇒ q.

Notasi di atas dapat dibaca dengan:

1) Jika p maka q;

2) q jika p;

3) p adalah syarat cukup untuk q; atau

4) q adalah syarat perlu untuk p.

Dalam pernyataan implikasi, komponen kalimat yang terletak diantara “jika” dan “ma- ka”, yaitu bagian kalimat yang lebih dulu yang menjadi syarat disebut “ anteseden” (an- tecedent). Sedangkan komponen pernyataan yang ditulis kemudian, yaitu bagian bela- kang yang merupakan akibatnya atau yang mengikutinya disebut “konsekwen” (conse- quent).

Untuk contoh kalimat:

“Jika segitiga ABC samakaki, maka segitiga ABC mempunyai dua sudut yang sama.”

Yang menjadi anteseden adalah kalimat p: “Segitiga ABC samakaki”, dan yang menjadi konsekwen adalah kalimat q: “Segitiga ABC mempunyai dua sudut yang sama”.

d. Biimplikasi

Perhatikanlah pernyataan : “Jika sore ini hujan, maka jalan raya basah”.

Apakah jalan raya basah selalu disebabkan oleh hujan? Tidak, karena jalan raya basah bisa saja disebabkan disiram, banjir, ataupun hal lainnya. Pernyataan seperti ini telah kita ketahui sebagai sebuah implikasi.

Sekarang, perhatikan : “Jika orang masih hidup maka dia masih bernafas”.

Jika seseorang masih bernafas, apakah bisa dipastikan orang tersebut masih hidup? Ya, karena jika dia sudah tidak bernafas, pasti orang tersebut sudah meninggal. Pernyataan yang demikian disebut biimplikasi atau bikondisional atau bersyarat ganda.

Pernyataan biimplikasi dilambangkan dengan “⇔” yang berarti “jika dan hanya jika”

Salah satu contoh biimplikasi dalam matematika adalah:

Suatu barisan disebut barisan aritmetika jika dan hanya jika U

n

−U

_n−1

= k, n ∈ A dan n > 1.

Pernyataan majemuk dan nilai kebenarannya Misal p dan q adalah suatu pernyataan maka,

a. Konjungsi dari p dan q, bernilai benar jika keduanya benar dan dinotasikan dengan p ∧ q (dibaca p dan q).

b. Disjungsi dari p dan q, bernilai salah jika keduanya salah dan dinotasikan de- ngan p ∨ q (dibaca p atau q).

c. Implikasi p dan q, bernilai salah jika pernyataan p benar dan q salah dinota- sikan p ⇒ q (dibaca jika p maka q).

d. Biimplikasi dari pernyataan p dan q, bernilai benar jika kedua pernyataan me- miliki nilai kebenaran yang sama dan dinotasikan dengan p ⇔ q (dibaca p jika dan hanya jika q).

p q p ∧ q p ∨ q p ⇒ q p ⇔ q

B B B B B B

B S S B S S

S B S B B S

S S S S B B

e. Konvers, Invers dan Kontraposisi Konvers, Invers dan Kontraposisi

Misal p : anteseden atau hipotesis pada implikasi dan Misal q : konsekuen atau konklusi pada implikasi

1) Konvers adalah menukar anteseden dengan konsekuen. Pernyataan q ⇒ p di- sebut Konvers dari p ⇒ q.

2) Invers adalah menegasikan anteseden dan konsekuan. Pernyataan ∼ p ⇒∼ q disebut Invers dari p ⇒ q.

3) Kontraposisi adalah menegasikan anteseden dan konsekuen, kemudian di tu- kar letaknya. Pernyataan ∼ q ⇒∼ p disebut Invers dari p ⇒ q.

p q ∼ p ∼ q p ⇒ q q ⇒ p ∼ p ⇒∼ q ∼ q ⇒∼ p

B B S S B B B B

B S S B S B B S

S B B S B S S B

S S B B B B B B

Contoh

Implikasi dari pernyataan p dan q adalah :

p ⇒ q : Jika segitiga ABC sama sisi maka ketiga sudutnya sama besar 1) Konversnya

q ⇒ p : Jika ketiga sudutnya sama besar maka segitiga ABC sama sisi 2) Inversnya

∼ p ⇒∼ q : Jika segitiga ABC buka sama sisi maka ketiga sudutnya tidak sama besar 3) Kontraposisinya

∼ q ⇒∼ p : Jika ketiga sudutnya tidak sama besar maka segitiga ABC bukan sama sisi 4. Urutan Pemakaian Operasi

Untuk menentukan nilai kebenaran sebuah pernyataan majemuk yang lebih dari dua per- ny ataan tunggal, dan lebih dari satu operasi, pertama-tama dicari nilai kebenaran pernyataan- pernyataan yang terletak didalam tanda kurung kecil (···), kemudian yang terletak di da- lam tanda kurung siku [···], dan seterusnya.

Jika dalam sebuah pernyataan majemuk tidak ada tanda-tanda pengelompokan, maka operasi-operasi logikadikerjakan menurut urutan berikut :

1) Negasi

2) Konjungsi

3) Disjungsi

4) Implikasi

5) Biimplikasi

Contoh

Tentukan nilai kebenaran daripernyataan majemuk berikut:

1) ∼ £p ∧ (∼ q ∨ r )¤

2) p ∨ q ⇒ r ∧ ∼ p ⇔ r Penyelesaian

1) Nilai kebenaran ∼ £p ∧ (∼ q ∨ r )¤

(1) (2) (3) (4)

p q r ∼ q ∼ q ∨ r p ∧ (∼ q ∨ r ) ∼ £p ∧ (∼ q ∨ r )¤

B B B S B B S

B B S S S S B

B S B B B B S

B S S B B B S

S B B S B S B

S B S S S S B

S S B B B S B

S S S B B S B

2) Nilai kebenaran p ∨ q ⇒ r ∧ ∼ p ⇔ r sama dengan £(p ∨ q) ⇒ (r ∧ ∼ p)¤ ⇔ r Buatlah tabel nilai kebenarannya sebagai latihan

5. Ingkaran atau kesetaraan dari pernyataan majemuk

berikut ini beberapa pernyatan majemuk yang setara (ekuivalen).

Pernyatan majemuk yang ekuivalen

Misal p dan q adalah suatu pernyataan maka, 1. Sifat Komutatif pada konjungsi

p ∧ q ≡ q ∧ p.

2. Sifat Assosiatif pada konjungsi dan disjungsi

¡p ∧ q¢ ∧ r ≡ p ∧ ¡q ∧ r ¢

¡p ∨ q¢ ∨ r ≡ p ∨ ¡q ∨ r ¢

3. Sifat distributif pada konjungsi dan disjungsi p ∨ ¡q ∧ r ¢ ≡ ¡p ∨ q¢ ∧ ¡q ∨ r ¢

p ∧ ¡q ∨ r ¢ ≡ ¡p ∧ q¢ ∨ ¡q ∧ r ¢

4. Ingkaran dari konjungsi dan disjungsi

∼ ¡p ∧ q¢ ≡∼ p∨ ∼ q

∼ ¡p ∨ q¢ ≡∼ p∧ ∼ q

5. Implikasi dan Ingkarannya p ⇒ q ≡∼ p ∨ q

∼ ¡p ⇒ q¢ ≡ p∧ ∼ q

6. Biimplikasi dan Ingkarannya p ⇔ q ≡ ¡p ⇒ q¢ ∧ ¡q ⇒ p¢

∼ ¡p ⇔ q¢ ≡ ¡p∧ ∼ q¢ ∨ ¡q∧ ∼ q¢

6. Konvers, Invers dan Kontraposisi

p ⇒ q ≡∼ q ⇒∼ p Implikasi ekuivalen Kontraposisi q ⇒ p ≡∼ p ⇒∼ q Konvers ekuivalen Invers

6. Pernyataan berkuantor dan ingkarannya a. Kuantor universal

Berikut ini beberapa contoh pernyataan yang menggunakan kuantor universal.

1) Semua kucing mengeong.

2) Tiap-tiap manusia yang dilahirkan memilikim seorang ibu.

3) Setiap benda langit berbentuk bola.

4) Setiap bilangan asli lebih besar daripada nol.

Misalkan p(x) adalah kalimat terbuka yang didefinisikan pada himpunan semesta S, maka pernytaaan:

“Untuk setiap x di dalam S, maka p(x) benar.”

Disebut pernyataan kuantor universal dan kata untuk setiap dalam pernytaan di atas disebut kuantor universal.

Kata-kata yang sering muncul/dipakai dalam pernyataan kuantor universal adalah se- mua dan untuk setiap. Simbol matematis untuk kedua kata tersebut adalah “∀”.

Dalam aljabar, pernyataan kuantor universal ini dapat digunakan untuk mengubah ka- limat terbuka menjadi kalimat tertutup (pernyataan). Misalkan p(x) adalah sebuah ka- limat terbuka, maka untuk menyatakan himpunan penyelesaian dari p(x) pada him- punan semesta S dapat ditulis sebagai berikut:

∀x, P (x) dibaca “semua x bersifat p(x)”.

∀x ∈ S, p(x) dibaca “semua x anggota S bersifat p(x)”. Nilai kebenaran dari pernyata- an berkuantor ∀x, P(x) bergantung pada himpunan semesta yang ditinjau dan kalimat terbuka p(x).

Nilai kebenaran dari pernyataan berkuantor ∀x, P(x) bergantung pada himpunan se- mesta yang ditinjau dan kalimat terbuka p(x).

Contoh:

1) Apabila p(x) : x +4 > 3 dengan himpunan semesta Z (himpunan bilangan asli), maka pernyataan: ∀x ∈ Z; x + 4 > 3 adalah suatu pernyataan yang bernilai benar, karena H P = {1,2,3,4,...} = Z

2) Apabila q(x) : x +1 > 8 dengan himpunan semesta Z (himpunan bilangan asli), maka

pernyataan: ∀x ∈ Z; x + 1 > 8 adalah suatu pernyataan yang bernilai salah, karena

untuk x = 1,1 + 1 < 8 dan HP = {8,9,10,...} 6= Z

b. Kuantor Eksistensial

Eksistensial merupakan kata sifat dari eksis, yaitu keberadaan. Kuantor eksistensial ar- tinya penukur jumlah yang menunjukkan keberadaan. Dalam matematika â ˘ AIJadaâ ˘ A˙I artinya tidak kosong atau setidaknya satu. Contoh kuantor eksistensial adalaha ada, be- berapa, terdapat, atau sekurang-kurangnya satu. Berikut beberapa contoh pernyataan menggunakan kuantor eksistensial.

1) Ada rumah yang tak memiliki jendela.

2) Ada bilangan cacah yang kurang dari satu.

3) Beberapa presiden adalah wanita.

4) Terdapat bilangan asli x yang jika dikalikan 5 hasilnya 6,24.

Misalkan p(x) adalah suatu kalimat terbuka yang didefinisikan pada himpunan semes- ta S, maka pernyataan: “ada x di dalam S sedemikian sehingga p(x) benar” disebut pernyataan eksistensial (khusus) dan kata ada dalam pernyataan di atas disebut kuan- tor eksistensial.

Kata-kata yang sering muncul/dipakai dalam pernyataan eksistensial adalah ada, be- berapa, dan paling sedikit satu. Simbol matematis untuk ketiga kata tersebut sama ya- itu “∃”. ∃x ∈ Z, p(x) dibaca “ada nilai x anggota Z sedemikian sehingga p(x) menjadi pernyataan benar” atau secara singkat dapat dikatakan “terdapat x yang bersifat p(x)”.

Bentuk ∃x ∈ Z, p(x) dapat pula ditulis sebagai ∃x, p(x) bergantung pada himpunan se- mesta yang ditinjau dan kalimat terbuka p(x).

Contoh:

1) Apabila ∃n ∈ Z,n + 4 < 7, dengan Z = himpunan bilangan asli adalah pernyataan benar, karena: {n|n + 4 < 7} = {1,2}

2) Apabila ∃n ∈ Z,n + 6 < 4, dengan Z = himpunan bilangan asli adalah pernyataan salah, karena: {n|n + 6 < 4} = {1,2}

Pernyataan berkuantor dan ingkarannya

Pernyataan berkuantor dibedakan menjadi dua yaitu Kuantor Universal dan Ku- antor Eksistensial.

Kuantor Penulisan Ingkaran Kuantor Universal ∀x, P (x) ∼ (∀x, P (x)) ≡ ∃x, ∼ P (x) Eksistensial ∃x, P (x) ∼ (∃x, P (x)) ≡ ∀x, ∼ P (x)

∀x dibaca Untuk semua x dan ∃x dibaca Ada beberapa x

7. Jenis-jenis Penarikan kesimpulan.

Suatu pembuktian dalam kehidupan sehari-hari maupun dalam matematika berkenaan

dengan pernyataan-pernyataan yang saling berkait. Pernyataan-pernyataan tersebut ada-

lah pernyataan-pernyataan yang kebenarannya dapat dibuktikan atau dapat diterima. De-

ngan pernyataan-pernyataan tersebut orang berargumen agar dapat menarik suatu kesim-

pulan atau konklusi. Pernyataan-pernyataan yang digunakan untuk menarik suatu kesim- pulan disebut premis. Hasil dari suatu penarikan kesimpulan disebut konklusi atau ke- simpulan. Rangkaian premis dan konklusi yang memuat bukti disebut argumen.

Suatu argumen dikatakan valid bila kesimpulan dalam argumen tersebut benar-benar di- turunkan dari premis-premisnya. Validitas suatu argumen dapat dilihat dari nilai kebena- rannya. Secara teknis dapat dilihat dengan menyelidiki apakah argumen tersebut selalu bernilai benar. Dengan kata lain implikasi dari konjungsi premis-premisnya dan konklusi- nya selalubernilai benar.

Pernyataan yang selalu bernilai benar disebut tautologi. Pernyataan yang selalu bernilai salah disebut kontradiksi. Sedangkan pernyataan yang dapat bernilai benar atau salah disebut kalimat sintetis atau kontingensi.

Penarikan kesimpulan

Cara Penarikan Kesimpulan dari dua premis:

1. Modus Ponens

Premis 1 : p ⇒ q

Premis 2 : p

Kesimpulan : q

2. Modus Tollens

Premis 1 : p ⇒ q

Premis 2 : ∼ q

Kesimpulan : ∼ p 3. Silogisme

Premis 1 : p ⇒ q Premis 2 : q ⇒ r Kesimpulan : p ⇒ r

B. Latihan Soal