PENAKSIR RATA-RATA DISTRIBUSI EKSPONENSIAL TERPOTONG
Agustinus Simanjuntak
Mahasiswa Program Studi S1 Matematika
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Riau Kampus Bina Widya Pekanbaru 28293, Indonesia
ABSTRACT
This article discusses mean estimator of truncated exponential distribution published by Al-athari [Journal of Mathematics and Statistics, 4 (2008), 284-288]
using Maximum Likelihood Estimator (MLE ) and Modified Maximum Likelihood Estimator (MMLE ). Both of estimators will be determined accurate estimator by calculated Mean Square Error (MSE ) with numerical simulation. Result of simulation explain that M M LE is better to estimate of mean of truncated exponential distribution.
Keywords: Truncated exponential distribution, MLE, MMLE, MSE, Converge in distribution
ABSTRAK
Artikel ini membahas tentang penaksir rata-rata distribusi eksponensial terpotong yang dipublikasikan oleh Al-athari [Journal of Mathematics and Statistics, 4 (2008), 284-288] menggunakan Maximum Likelihood Estimator (MLE ) dan Modified Maximum Likelihood Estimator (MMLE ). Kedua estimator akan ditentukan estimator yang akurat dengan menghitung Mean Square Error (MSE ) menggunakan simulasi numerik. Hasil simulasi menjelaskan MMLE lebih baik dalam menaksir rata-rata distribusi eksponensial terpotong.
Kata kunci: Distribusi eksponensial terpotong, MLE, MMLE, MSE, konvergen dalam peluang
1. PENDAHULUAN
Pendugaan parameter adalah bagian dari statistik inferensi yang merupakan suatu cara untuk memprediksi karakteristik dari suatu populasi berdasarkan sampel yang diambil. Secara umum pendugaan parameter digolongkan menjadi dua yaitu pendugaan titik dan pendugaan selang. Beberapa metode pendugaan titik yang digunakan untuk menduga parameter diantaranya adalah metode momen, metode
kuadrat terkecil, M LE dan metode Bayes. M LE merupakan suatu estimator pendugaan parameter yang memaksimalkan fungsi likelihood yang diperkenalkan oleh seorang ahli genetika dan statistik Sir R. A. Fisher antara tahun 1912 sampai 1922 [8]. M LE adalah estimator yang paling populer dari estimasi parameter dan merupakan alat untuk banyak teknik pemodelan statistik, khusus- nya dalam pemodelan non-linear dengan data non-normal.
Dalam kasus sederhana persamaan maximum likelihood, untuk menemukan perkiraan parameter dapat diselesaikan dengan menetapkan derivatif pertama ke nol. Kasus lainnya tidak dapat diselesaikan dalam situasi dimana model adalah kompleks dan melibatkan banyak parameter. Mengevaluasi setiap likelihood untuk semua nilai parameter menjadi sulit dilakukan, bahkan dengan komputer modern. Inilah sebabnya digunakan algoritma optimasi untuk statistik. Tujuan dari optimasi algoritma untuk menemukan secepat mungkin nilai-nilai parameter data yang diamati diperoleh. Ada banyak algoritma tersedia seperti metode Newton Raphson dan algoritma EM.
Dalam menemukan sebuah estimator yang lebih mungkin dari M LE, diberikan modifikasi terhadap M LE yaitu M M LE sehingga memenuhi kelayakan pada parameter yang akan ditaksir. Clifford dan Betty [3] melakukan penelitian mengenai modifikasi momen dan M LE untuk pendugaan tiga parameter distribusi gamma dan distribusi Weibull. Dalam penelitian ini M LE dan M M LE digunakan untuk penaksir rata-rata distribusi ekponensial terpotong.
2. DISTRIBUSI EKSPONENSIAL TERPOTONG
Salah satu distribusi probabilitas kontinu adalah distribusi eksponensial. Variabel random X dikatakan berdistribusi eksponensial dengan parameter θ mempunyai fkp sebagai berikut [4, h. 194]
f (x; θ) = θe−θx, x > 0, θ > 0. (1) Ekspektasi dan variansi dari distribusi eksponensial adalah E(X)=1θ dan V ar(X) = θ12.
Distribusi eksponensial telah banyak digunakan sebagai model di berbagai bidang.
Mulai dari studi umur suatu barang produksi [7], studi kelangsungan hidup dan remisi penyakit kronis [9]. Dalam beberapa situasi, diperlukan perkiraan rata- rata antara unsur-unsur dari kelompok populasi tertentu. Sebagai contoh, dalam pengujian masalah distribusi eksponensial adalah estimasi yang terpisah dari rata-rata umur hidup lampu yang bertahan dalam mendekati kurang dari waktu suatu konstanta. Dalam kasus seperti ini, keluarga distribusi terpotong memberikan pemodelan untuk populasi tersebut, kemudian Al-athari [1] memberikan distribusi eksponensial terpotong (truncated exponential distribution).
Penelitian ini membahas tentang penaksiran parameter distribusi eksponensial terpotong yang merupakan kajian dari artikel Al-athari [1]. Distribusi ini merupakan
distribusi eksponensial dengan nilai variabel random X terbatas pada interval [a, b]
atau a ≤ X ≤ b. Titik a adalah titik terpotong di sebelah kiri dan titik b adalah titik terpotong kanan. Penelitian hanya membahas titik terpotong di sebelah kanan (b). Distribusi terpotong muncul dalam statistika dalam kasus di mana kemampuan untuk merekam kejadian terbatas pada nilai-nilai yang berada di atas atau di bawah ambang batas tertentu atau dalam kisaran tertentu. Misalkan X adalah variabel random dengan fungsi kepadatan probabilitas eksponensial dari rata-rata (1/θ) pada persamaan (1), maka fkp dari variabel random Y versi terpotong di sebelah kanan dari X sebagai berikut
f (y; θ) = {
θe−θy(1− e−θb)−1, jika 0 < y ≤ b
0, lainnya . (2)
dengan b adalah bilangan konstan yang diketahui dan θ > 0.
Distribusi eksponensial terpotong mempunyai fungsi kumulatif, ekspektasi dan variansi berturut - turut sebagai berikut
F (x) = −e−θx + 1
1− e−θb . (3)
E(Y ) = 1
θ − b(eθb− 1)−1. (4)
V ar(Y ) = 1
θ2 − b2[
eθb− 1]−1
− b2[
eθb− 1]−2 .
Selanjutnya akan dibahas penaksir rata-rata dari distribusi eksponensial ter- potong menggunakan M LE dan M M LE.
3. PENAKSIR DARI MLE DAN MMLE
Misalkan Y1, Y2, . . . , Yn merupakan sampel random dari distribusi eksponensial terpotong dengan fkp pada persamaan (2) maka fungsi likelihood dari distribusi eksponensial terpotong menjadi
L(y; θ) = θne−θ∑ni=1yi[
1− e−θb]−n
. (5)
Rata-rata sampel ¯y =
∑yi
n , diperoleh fungsi log-likelihood sebagai berikut ln L(y; θ) = n ln θ− n ln(
1− e−θb)
− θn¯y. (6)
Untuk memperoleh penaksir parameter θ dilakukan dengan mencari turunan pertama dari persamaan (6) terhadap θ sehingga diperoleh
∂
∂θln L(y; θ) = n (1
θ − be−θb[
1− e−θb]−1
− ¯y )
. (7)
Untuk mendapatkan ˆθ maka persamaan (7) disamakan dengan nol, maka diperoleh
θ =ˆ 1
b (eθb− 1)−1+ ¯y. (8)
Solusi ˆθ sulit secara analitik atau dengan kata lain tidak diperolehnya θ secaraˆ eksak, hal ini dikarenakan bentuk solusi persamaan yang sangat kompleks. Dalam penelitian ini digunakan Pendekatan limit untuk menyelesaikan solusi ˆθ yaitu dengan menggunakan aturan L’Hopital .
Karena fungsi log-likelihood terdefinisi dan terdeferensial pada interval (0,∞), nilai maksimum dari L(y; θ) ada. Dari pengaturan ∂ ln L(y; θ)/∂θ = 0 persamaan (7) menjadi sebagai berikut
1 θ − b[
eθb− 1]−1
− ¯y = 0. (9)
Sisi kiri Persamaan (9) merupakan persamaan yang monoton turun di θ. Jika θ → 0, cenderung menuju ke b2− ¯y. Jika θ → ∞, cenderung menuju -¯y. Oleh karena sisi kiri persamaan (9) monoton turun maka solusi persamaannya adalah unik, jika dan hanya jika 0 < ¯y < b/2. Pada saat 0 < ¯y < b/2, terdapat titik stasioner yaitu θ∗ dengan ∂ ln L(y; θ)/∂θ = 0 dan tidak terjadi pada sembarang titik batas dari interval (0,∞). Rata-rata sampel yaitu ¯y yang diperoleh memberikan representasi yang memadai untuk rata-rata populasi yaitu ¯Y . M LE dari parameter θ adalah
θ =ˆ {
θ∗, jika ¯Y < b/2 tidak ada , jika ¯Y ≥ b/2.
Jika n→ ∞, ¯Y konvergen dalam peluang rata-rata µ(θ) dari fkp distribusi eksponensial terpotong diberikan dalam persamaan (2). Fkp distribusi eksponensial terpotong (2) adalah monoton menurun, argumen geometris sederhana menunjukkan bahwa rata-rata harus terletak di kiri setengah dari interval (0, b) dan µ(θ) < b/2. Jika n → ∞ maka P ( ¯Y < b/2) → 1 sehingga MLE θ∗ ada dengan peluang mendekati 1 dengan n → ∞. Oleh karena itu, MLE katakan ˆµ1 dari µ(θ) sebagai berikut
ˆ µ1 =
{Y ,¯ jika ¯Y < b/2
tidak ada , jika ¯Y ≥ b/2. (10) Al-athari [1] memberikan modifikasi dari M LE yang diberikan dalam per- samaan (10) yaitu didasarkan dengan menemukan sebuah estimator yang sedekat mungkin ke M LE ˆµ1 dan lebih mungkin untuk memenuhi Kondisi kelayakan 0 < µ(θ) < b/2. Hal ini menunjukkan M M LE katakan ˆµ2 sebagai berikut
ˆ µ2 =
{Y ,¯ jika ¯Y < b/2
b/2, jika ¯Y ≥ b/2. (11)
M M LE dari parameter θ katakan ¯θ adalah θ =¯
{
θ∗, jika ¯Y < b/2 0, jika ¯Y ≥ b/2.
Penaksir rata-rata distribusi eksponensial terpotong dengan M M LE diberikan pada persamaan (11). Untuk menentukan penaksir terbaik antara penaksir dari M LE dan penaksir dari M M LE dilakukan perbandingan M SE dari kedua estima- tor.
4. MEAN SQUARE ERROR (MSE )
Penaksir terbaik antara penaksir yang diperoleh dari M LE dan penaksir yang diperoleh dari M M LE didapatkan setelah sifat dari penaksir tersebut diketahui.
Sifat penaksir yang digunakan adalah penaksir bias dan penaksir tak bias. Jika penaksir merupakan penaksir tak bias maka dicari variansi, namun jika penaksir adalah penaksir bias dicari M SE penaksir tersebut. Berikut diberikan Teorema M SE:
Teorema 1 [2, h. 309] Jika ˆθ adalah penaksir dari θ maka M SE(ˆθ) = V ar(ˆθ) +
[ b(ˆθ)
]2
.
Bukti: Pembuktian dari Teorema 1 dapat dilihat pada buku Bain [2, h. 309].
5. SIMULASI
Nilai sampel random distribusi eksponensial terpotong dapat diperoleh dengan metode transformasi invers fungsi kumulatif distribusi. Dengan menggunakan fkp distribusi eksponensial terpotong pada persamaan (2) dan U i adalah variabel random distribusi Uniform (0,1) diperoleh
Yi =−1 θlog[
1− Ui(1− e−θb)]
. (12)
Setelah mendapatkan nilai sampel random pada persamaan (12), selanjutnya akan dicari M SE dari M LE dan M M LE. Software yang digunakan adalah M atlab [5] versi 7.0.1. Simulasi dilakukan dengan menggunakan ukuran sampel n= 5, 20, 80 dan 150. Nilai parameter θ= 0.05, 0.25, 0.5, 1, batas kanan terpotong b=1 serta pengulangan(replace) sebanyak R=30.
Dari Tabel 1 dapat dilihat bahwa pada saat nilai-nilai θ yang berbeda, nilai M SE(¯θ) lebih kecil dibandingkan dengan nilai M SE(ˆθ). Untuk θ=0.05 ukuran sampel 5, maka diperoleh nilai M SE(ˆθ)= 0.0054 dan nilai M SE(¯θ)= 0.0048. Pada ukuran sampel 20 nilai M SE(ˆθ)= 0.0060 dan M SE(¯θ)=0.0055. Hingga pada
Tabel 1: M SE dari M LE dan M M LE dengan b=1, θ=0.05, 0.25, 0.5 dan 1.
n θ = 0.05 θ = 0.25
M SE(ˆθ) M SE(¯θ) Selisih Nilai M SE(ˆθ) M SE(¯θ) Selisih Nilai
5 0.0054 0.0048 0.0006 0.0051 0.0044 0.0007
20 0.0060 0.0055 0.0005 0.0057 0.0051 0.0006
80 0.0067 0.0063 0.0004 0.0062 0.0058 0.0004
150 0.0073 0.0070 0.0003 0.0068 0.0065 0.0003
n θ = 0.5 θ = 1
M SE(ˆθ) M SE(¯θ) Selisih Nilai M SE(ˆθ) M SE(¯θ) Selisih Nilai
5 0.0044 0.0037 0.0007 0.0034 0.0026 0.0008
20 0.0049 0.0044 0.0005 0.0040 0.0034 0.0006
80 0.0055 0.0051 0.0004 0.0046 0.0042 0.0004
150 0.0062 0.0059 0.0003 0.0053 0.0051 0.0002
ukuran sampel 80 nilai M SE(ˆθ) dan M SE(¯θ) semakin naik yaitu 0.0067 dan 0.0063 serta pada ukuran sampel 150 nilai M SE(ˆθ) menjadi 0.0073 dan 0.0070. Selisih nilai M SE untuk ukuran sampel 5 yaitu 0.0006, hingga pada ukuran sampel 150 selisih nilai M SEnya menurun mencapai 0.0003. Ketika θ=1 ukuran sampel yang diambil 5 nilai M SE(ˆθ)= 0.0034 dan nilai M SE(¯θ)= 0.0026. Sampai pada ukuran yang besar yaitu 150 nilai M SE(ˆθ) adalah 0.0053 sedangkan nilai M SE(¯θ) bernilai 0.0051.
Hal ini menunjukkan bahwa nilai M SE(ˆθ) akan mendekati nilai M SE(¯θ) untuk ukuran sampel yang besarnya tak hingga.
Penaksir rata-rata menggunakan M M LE memiliki nilai M SE lebih kecil dari nilai M SE penaksir M LE. Untuk setiap nilai θ berbeda, semakin besar ukuran sampel maka selisih dari nilai dan akan mendekati nol. Hal ini menunjukan bahwa nilai akan mendekati nilai untuk ukuran sampel yang semakin kecil.
6. KESIMPULAN
Berdasarkan hasil pembahasan bab-bab sebelumnya, maka diperoleh kesimpulan bahwa estimasi rata-rata distribusi eksponensial terpotong telah didapatkan dari M LE dan M M LE. Penyelesaian ˆθ pada M LE diselesaikan dengan pendekatan limit yaitu aturan L’Hopital. Selanjutnya M M LE diberikan oleh Al-athari [1] den- gan memodifikasi M LE sehingga memenuhi nilai kelayakan untuk penaksir rata-rata distribusi eksponensial terpotong. Simulasi dilakukan dengan menggunakan uku- ran sampel n = 5, 20, 80 dan 150. Nilai parameter θ adalah 0.05, 0.25, 0.5 dan 1. Hasil simulasi menunjukkan bahwa nilai M SE M M LE lebih kecil diband- ing nilai M SE M LE. Beberapa keunggulan M M LE yaitu estimatornya selalu ada, cepat dan mudah untuk menghitung dan lebih mungkin untuk menghasilkan nilai layak untuk estimasi rata-rata. Jadi dapat disimpulkan penaksir M M LE lebih baik dari M LE untuk penaksir rata-rata distribusi eksponensial terpotong.
Ucapan Terimakasih Penulis mengucapkan terima kasih kepada dosen Pembimbing Drs. Sigit Sugiarto, M.Si. dan Bapak Drs. Bustami, M.Si. yang telah memberikan arahan dan bimbingan dalam penulisan skripsi penulis yang menjadi acuan artikel ini.
DAFTAR PUSTAKA
[1] F. M. Al-athari, Estimation of the mean of truncated exponential distri- bution, Journal of Mathematics and Statistics, 4 (2008), 284-288.
[2] L. J. Bain dan M. Engelhardt, Introduction to Probability and Math- ematical Statistics, Second Edition, Duxbury, USA, 1993.
[3] A. C. Cohen dan B. Whitten, Modified maximum likelihood and modified mo- ment estimators for the three-parameter weibull distribution, Communications in Statistics - Theory and Methods, 11 (1982), 2631-2656.
[4] J. L. Devore dan K. N. Berk, Modern Mathematical Statistics with Applica- tions, Duxbury, California, 2007.
[5] E. P. Enander, A. Sjoberg dan P. Isaksson, The MATLAB, Addison Wesley, Longman, 1996.
[6] R. V. Hogg dan T. C. Allen, Introduction to Mathematical Statistics, Fifty Edition, Prentice-Hall, New Jersey, 1995.
[7] J. F. Lawless, Statistical Models and Methods for Lifetime Data, Second Edi- tion, John Wiley and Sons, Inc., Hoboken, New Jersey, 2003.
[8] K. M. Ramachandran dan C. P. Tsokos, Mathematical Statistics with Appli- cations, Elsevier Academic Press, San Diego, USA, 2009.
[9] R. Shanker, H. Fesshaye dan S. Selvaraj, On modeling of lifetimes data using exponential and lindley distributions, Biometrics & Biostatistics International Journal, 2 (2015), 00042.
[10] R. E. Walpole, R. H. Myers, S. L. Myers dan K. Ye, Ilmu Peluang dan Statistika untuk insiyur dan Ilmuwan, Edisi Keempat, Terj. dari Probability and Statistics for Engineers and Scientists, Fourty Edition, oleh R. E. Walpole dan R. H. Myers, Penerbit ITB, Bandung, 1995.
