Nama: Ummi Fadilah
NIM: 12/339683/PPA/3995 Teori Resiko Aktuaria
PROSES PEMODELAN
PENDAHULUAN
Salah satu ciri dari negara maju adalah pemerintah dan masyarakat yang peduli terhadap kesehatan persalinan. Sehingga tak heran jika negara-negara maju di Amerika dan Eropa memberi perhatian khusus bagi ibu hamil. Salah satunya
adalah dengan memberikan fasilitas medis bagi ibu hamil yang akan melakukan proses persalinan.
Di Indonesia sendiri kesadaran masyarakat dan perhatian pemerintah akan pentingnya jaminan kesehatan bagi ibu hamil yang akan melakukan proses persalinan masih rendah. Namun usaha-usaha untuk meningkatkannya terus dilakukan oleh pemerintah. Hal ini terbukti dari data persentase persalinan yang ditolong tenaga kesehatan yaitu dokter, bidan atau tenaga medis lainnya dari tahun 1995 sampai tahun 2011 terus meningkat.
Berikut ini disajikan tabel data persentase persalinan ditolong tenaga kesehatan (dokter, bidan dan tenaga medis) dari tahun 1995 sampai tahun 2011.
tahun Persentase persalinan ditolong tenaga kesehatan (dokter, bidan dan tenaga medis)
Tahun Persentase
persalinan ditolong tenaga kesehatan (dokter, bidan dan tenaga medis)
1995 46.13 2004 71.52
1996 50.01 2005 70.46
1997 53.87 2006 72.41
1998 51.81 2007 72.53
1999 60.17 2008 74.86
2000 63.5 2009 77.34
2001 64.2 2010 79.82
2002 65.6 2011 81.25
2003 67.9
MODEL DISTRIBUSI EMPIRIK
Model distribusi empirik adalah suatu distribusi yang berdasarkan pada ukuran sampel/data sebesar n dengan membentuk peluang pada masing-masing data sebesar .
( )
Tabel distribusi frekuensi:
Persentase persalinan ditolong tenaga kesehatan (dokter, bidan dan tenaga medis)
Frekuensi Peluang
45.00 – 49.99 1 0.058823529
50.00 – 54.99 3 0.176470588
55.00 – 59.99 0 0
60.00 – 64.99 3 0.176470588
65.00 – 69.99 2 0.117647058
70.00 – 74.99 5 0.294117647
75.00 – 79.99 2 0.117647058
80.00 – 84.99 1 0.058823529
Diperoleh:
( )
{
( )
{
Dengan menggunakan MINITAB kita bisa memperoleh grafik empirical CDF dan probability plot of empiric seperti di bawah ini:
90 80
70 60
50 40
100
80
60
40
20
0
C1
Percent
Mean 66.08 StDev 10.64
N 17
Empirical CDF of C1 Normal
110 100
90 80
70 60
50 40 30
99
95 90 80 70 60 50 40 30 20
10 5
1
C1
Percent
Mean 66.08 StDev 10.64
N 17
AD 0.332
P-Value 0.474
Probability Plot of C1 Normal - 95% CI
Dari kedua grafik di atas dapat diketahui bahwa data Persentase persalinan ditolong tenaga kesehatan (dokter, bidan dan tenaga medis) berdistribusi normal.
Hal ini didapat dari garafik kedua yang menyatakan bahwa P-Value > 0.05 yaitu 0.474 > 0.05 dan AD yang relatif kecil yaitu 0.332.
DISTRIBUSI NORMAL
Distribusi Normal merupakan distribusi yang paling terkenal dan paling umum dipakai. Distribusi normal memiliki fungsi kerapatan probabilitas (probability density function=pdf), seperti terlihat dibawah ini:
( ) √
( )(
)
Ciri-ciri distribusi normal antara lain adalah:
1. Memiliki parameter nilai rata-rata dan variansi
2. Kurva pdf-nya simetris
3. Luas area dibawah kurva pdf besarnya adalah 1
Selanjutnya akan dicari model distribusi dan fungsi densitas dari data Persentase persalinan ditolong tenaga kesehatan (dokter, bidan dan tenaga medis) dengan mengikuti langkah-langkah pemodelan di atas.
1. Pemilihan Model
Berdasarkan grafik di atas diketahui bahwa data Persentase persalinan ditolong tenaga kesehatan (dokter, bidan dan tenaga medis) berdistribusi normal.
Dengan fungsi kepadatan peluang (pdf) sebagai berikut:
( ) √
( )(
)
2. Kalibrasi Model
Pada tahap ini akan ditentukan parameter dan dari data di atas dengan menggunakan metode Maximum Likelihood Estimation (MLE). Langkah- langkahnya adalah sebagai berikut:
Diketahui pdf dari data di atas adalah ( )
√
( )( )
Langkah pertama akan ditentukan estimator dari . Fungsi likelihoodnya adalah:
( )
( )
∑ ( )
Logaritma fungsi likelihoodnya adalah:
( ) ( ( )) ∑ ( )
Persamaan maksimum likelihoodnya adalah:
( )
∑( )
∑( ̂)
∑( ̂)
∑ ̂
̂ ∑
Jadi MLE dari adalah ̂ ∑
Selanjutnya ditentukan estimator dari . Fungsi likelihoodnya adalah:
( )
( )
∑ ( )
Persamaan maksimum likelihoodnya adalah:
( )
∑( )
̂ ̂ ∑( ̂)
̂ ∑( ̂)
Jadi MLE dari adalah ̂ ∑ ( ̂)
Dari kedua rumus di atas diperoleh ̂ dan ̂ . Jadi nilai √ .
Sehingga diperoleh probability density function (pdf) dari data di atas adalah:
( ) ( )
3. Validasi Model
Pada tahap ini bertujuan untuk mengetahui apakah model yang diperoleh valid atau tidak. Validasi model pada tahap ini adalah dengan menggunakan uji Kolmogorov-smirnov. Dengan menggunakan SPSS diperoleh hasil uji Kolmogorov-smirnov sebagai berikut:
One-Sample Kolmogorov-Smirnov Test
persalinan_ditolo ng_tenaga_kese
hatan
N 17
Normal Parametersa Mean 66.0811765
Std. Deviation 10.63857361
Most Extreme Differences Absolute .130
Positive .110
Negative -.130
Kolmogorov-Smirnov Z .537
Asymp. Sig. (2-tailed) .935
a. Test distribution is Normal.
Dari hasil di atas diketahui nilai Asymp. Sig. dari data adalah 0.935 > 0.005.
Sehingga dapat disimpulkan secara valid, data berdistribusi normal.
Selain itu kenormalan data juga dapat diuji dengan test Anderson Darling pada MINITAB. Hasil dari test Anderson Darling data di atas dengan menggunakan MINITAB adalah seperti di bawah ini.
Dari hasil test Andeson Darling di atas diketahui nilai Anderson Darling (AD) relatif kecil, yaitu 0.332. Dan nilai p-value dari data di atas adalah 0.474 > 0.05.
Sehingga dapat disimpulkan secara valid bahwa data Persentase persalinan ditolong tenaga kesehatan, menyebar secara normal atau berdistribusi normal.
Model Lain
1. Pemilihan Model
Selain berdistribusi normal, data juga diasumsikan berdistribusi Gamma.
Dengan probability density function (pdf) sebagai berikut:
90 80
70 60
50 40
99
95 90
80 70 60 50 40 30 20
10 5
1
C1
Percent
Mean 66.08 StDev 10.64
N 17
AD 0.332
P-Value 0.474
Persentase persalinan ditolong tenaga kesehatan Normal
( ) { ( )
2. Klaribasi Model
Dengan menggunakan metode moment diperoleh estimator adalah
̂ ̅
(∑ ( ̅) )
Sedangkan estimator untuk parameter adalah
̂ ̅ ̂
(∑ ( ̅) )
Dengan menggunakan rumus estimasi di atas, diperoleh ̂ sedangkan ̂
Sehingga diperoleh pdf dari data Persentase persalinan ditolong tenaga kesehatan adalah
( )
( )
3. Validasi Model
Dengan menggunakan test Anderson Darling pada MINITAB diperoleh hasil sebagai berikut:
110 100 90 80 70 60 50
40 30
99 95 80
50
20
5
1
C1
Percent
Goodness of F it Test
Gamma A D = 0.459 P-V alue > 0.250
Probability Plot for C1
Gamma - 95% CI
Dari hasil test di atas diketahui nilai Anderson Darling, AD = 0.459. Nilai tersebut relatif kecil. Sedangkan p-value yang didapat adalah > 0.250 > 0.05.
Artinya bahwa data menyebar Gama atau data berdistribusi Gama.
4. Seleksi Model
Setelah di dapat dua model tersebut maka dicari model mana yang paling sesuai dengan data Persentase persalinan ditolong tenaga kesehatan. Dengan menggunakan test Anderson Darling pada MINITAB diperoleh hasil seperti di bawah ini:
Dari grafik di atas diketahui nilai Anderson Darling (AD) pada distribusi normal adalah 0.332 sedangkan pada distribusi Gamma adalah 0.459. Semakin kecil nilai AD pada suatu distribusi maka semakin sesuai juga distribusi itu berlaku pada data. Dari hasil uji di atas menunjukkan nilai AD pada distribusi normal lebih kecil dari nilai AD pada distribusi Gama. Hal ini berarti distribusi Normal lebih sesuai dari distribusi Gama pada data Persentase persalinan ditolong tenaga kesehatan. Sehingga dapat diambil kesimpulan bahwa data Persentase persalinan ditolong tenaga kesehatan berdistribusi normal, dengan pdf:
( ) ( )
5. Peramalan (Forecast)
Dari hasil perhitungan di atas, data yang berdistribusi normal dapat diketahui persentase persalinan ditolong tenaga kesehatan setiap tahunnya adalah 66.08118.
Dari hasil pemodelan yang sudah di dapat kita juga dapat mengetahui momen, variansi, kurtosis dan skewness data.
100 80 60 40 99
95
80
50
20
5
1
C1
Percent
100 80 60 40 99
95
80
50
20
5
1
C1
Percent
Goodness of F it Test Normal A D = 0.332 P-V alue = 0.474 Gamma A D = 0.459 P-V alue > 0.250
Probability Plot for C1
Normal - 95% CI Gamma - 95% CI
( )
( )
( ) ( ) ( ( ))
Dengan menggunakan SPSS diperoleh skewness dan kurtosis sebagai berikut:
Descriptive Statistics
N Mean Std. Deviation Skewness Kurtosis
Statistic Statistic Statistic Statistic Std. Error Statistic Std. Error persalinan_dit
olong_tenaga_
kesehatan
17 66.0812 10.63857 -.476 .550 -.776 1.063
Valid N
(listwise) 17
6. Exess Loss Variable
Pada tahap ini akan dilakukan pemotongan data. Data yang akan dipotong adalah data persentase yang kurang dari 50. Setelah dilakukan pemotongan data, lalu diuji apakah data masih berdistribusi normal atau tidak. Berikut adalah data yang sudah mengalami pemotongan.
tahun Persentase persalinan ditolong tenaga kesehatan (dokter, bidan dan tenaga medis)
Tahun Persentase persalinan ditolong tenaga kesehatan (dokter, bidan dan tenaga medis)
1996 50.01 2004 71.52
1997 53.87 2005 70.46
1998 51.81 2006 72.41
1999 60.17 2007 72.53
2000 63.5 2008 74.86
2001 64.2 2009 77.34
2002 65.6 2010 79.82
2003 67.9 2011 81.25
Dengan menggunakan SPSS diperoleh
One-Sample Kolmogorov-Smirnov Test
persentase_pers alinan_ditolong_t enaga_kesehata
n
N 16
Normal Parametersa Mean 67.3281
Std. Deviation 9.61922
Most Extreme Differences Absolute .128
Positive .107
Negative -.128
Kolmogorov-Smirnov Z .511
Asymp. Sig. (2-tailed) .957
a. Test distribution is Normal.
Dari hasil uji Kolmogorov-Smirnov pada SPSS diperoleh nilai Asymp. Sig.
0.957. Ini berarti data masih berdistribusi normal, karena nilai Asymp. Sig. >
0.05.
