STRATEGI KOMBINASI UNTUK MENYELESAIKAN QUADRATIC ASSIGNMENT PROBLEM DISERTASI. Oleh

QUADRATIC ASSIGNMENT PROBLEM

DISERTASI

Oleh

FAIZ AHYANINGSIH 108110008

PROGRAM STUDI DOKTOR ILMU MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

MEDAN

2015

STRATEGI KOMBINASI UNTUK MENYELESAIKAN QUADRATIC ASSIGNMENT PROBLEM

DISERTASI

Diajukan sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Doktor dalam Program Studi Doktor Ilmu Matematika

Universitas Sumatera Utara

Oleh

FAIZ AHYANINGSIH 108110008

PROGRAM STUDI DOKTOR ILMU MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

MEDAN

2015

Judul Disertasi : Strategi Kombinasi Untuk Menyelesaikan Quadratic Assignment Problem

Nama Mahasiswa : Faiz Ahyaningsih Nomor Induk Mahasiswa : 108110008

Program Studi : Doktor Ilmu Matematika

Fakultas : Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Sumatera Utara

Menyetujui Komisi Pembimbing

(Prof. Dr. Opim Salim Sitompul) Ketua/Promotor

(Prof. Dr. Saib Suwilo, M.Sc) (Prof. Dr. Herman Mawengkang) Anggota/Co. Promotor Anggota/Co. Promotor

Ketua Program Studi Dekan FMIPA-USU

(Prof. Dr. Herman Mawengkang) (Dr. Sutarman, M.Sc)

PERNYATAAN

Saya menyatakan dengan sebenar-benarnya bahwa segala pernyataan dalam disertasi saya yang berjudul :

STRATEGI KOMBINASI UNTUK MENYELESAIKAN QUADRATIC ASSIGNMENT PROBLEM

merupakan gagasan atau hasil penelitian disertasi saya sendiri dengan pembimbi- ngan para komisi pembimbing, kecuali yang dengan ditunjukkan rujukannya.

Disertasi ini belum pernah diajukan untuk memperoleh gelar pada program sejenis di perguruan tinggi lainnya.

Semua data dan informasi yang digunakan telah dinyatakan secara jelas dan dapat diperiksa kebenarannya.

Medan, 18 November 2015 Penulis

Faiz Ahyaningsih

Quadratic Assignment Problem (QAP) adalah suatu permasalahan kombinatorial dalam menentukankan penempatan fasilitas pada lokasi tertentu sedemikian rupa sehingga meminimumkan fungsi tujuan nonconvex yang dinyatakan dalam ben- tuk alur antar fasilitas, dan jarak antar lokasi. Oleh karena sifat non-konveksitas dari masalah, maka diperlukan suatu titik awal yang ’baik’ untuk mendapatkan solusi optimal yang lebih baik. Dalam makalah ini penulis mengusulkan strategi kombinasi (dengan menggunakan random point strategy untuk mendapatkan titik awal, kemudian dilanjutkan dengan forward exchange strategy dan backward ex- change strategy) untuk mendapatkan solusi ’optimal’. Sebagai pengalaman kom- putasi penulis menyelesaikan problema Had12, Esc 16b, Esc 16c dan Esc 16h dari QAPLIB. Akhirnya, penulis menyajikan studi komparatif antara Strategi Kombi- nasi, Data Guided Lexisearch Algorithm (DGLSA), dan Discrete Linear Reformu- lation (DLR). Studi komputasi menunjukkan efektivitas dari Strategi Kombinasi yang penulis usulkan.

Kata kunci: QAP, Strategi kombinasi, Random point strategy, Forward exchange strategy, Backward exchange strategy.

i

ABSTRACT

The quadratic assignment problem is a combinatorial problem of deciding the place- ment of facilities in specified locations in such a way as to minimize a nonconvex objective function expressed in terms of flow between facilities, and distance bet- ween location. Due to the non-convexity nature of the problem, therefore to get a good starting point is necessary in order to obtain a better optimal solution. In this paper we propose a combination strategy (random point strategy to get initial starting point and then forward exchange strategy and backward exchange strategy) to get optimal solution. As a computational experience we solve the problem of Had12, Esc 16b, Esc 16c and Esc 16h from QAPLIB. Finally, we present a com- parative study between Combination Strategy, Data-Guided Lexisearch Algorithm (DGLSA), and Discrete Linear Reformulation (DLR). The computational study shows the effectiveness of our proposed Combination Strategy.

Keywords: QAP, Combination strategy, Random point strategy, Forward ex- change strategy, Backward exchange strategy.

ii

Penulis mengucapkan puji dan syukur kehadirat Allah SWT yang telah mem- berikan berkahnya, sehingga penulis dapat menyelesaikan disertasi ini.

Selama penyusunan disertasi ini, penulis banyak mendapat bantuan baik mo- ril maupun materiil dari berbagai pihak. Oleh karena itu pada kesempatan ini penulis menyampaikan ucapan terima kasih yang tulus kepada :

1. Bapak Prof. Subhilhar, Ph. D., selaku Rektor Universitas Sumatera Utara.

2. Bapak Dr. Sutarman M. Sc, selaku Dekan Fakultas MIPA Universitas Sumatera Utara.

3. Bapak Prof. Dr. Herman Mawengkang, selaku Ketua Program Studi Doktor Ilmu Matematika Sekolah Pasca Sarjana Universitas Sumatera Utara, sekaligus sebagai Co-Promotor dan anggota Komisi Pembimbing.

4. Bapak Prof. Dr. Opim Salim Sitompul, selaku Promotor dan Ketua Komisi Pembimbing, yang telah membimbing dan mengarahkan penulis dalam penulisan disertasi ini.

5. Bapak Prof. Dr. Saib Suwilo, M. Sc, selaku Co-Promotor dan Anggota Komisi Pembimbing, yang telah membimbing dan mengarahkan penulis dalam penye- lesaian disertasi ini.

6. Seluruh staf pengajar pada program studi Doktor Ilmu Matematika, yang telah memberikan ilmunya lewat perkuliahan, sehingga sangat membantu penulis dalam memahami text book dan jurnal-jurnal.

7. Sdri Misiani selaku staf administrasi di program studi Doktor Ilmu Matematika, yang telah membantu dalam hal administrasi dan surat menyurat.

Teristimewa penulis menyampaikan penghargaan serta terima kasih tak ter- hingga kepada suamiku tercinta Ahmad Marimin serta anak- anakku tersayang Pramudita dan Miftahul Jannah yang telah memberikan support yang luar biasa sehingga penulis bisa menyelesaikan pendidikan ini.

iii

Penulis menyadari bahwa disertasi ini masih banyak kekurangan dan jauh dari sempurna, untuk itu penulis mohon kritik dan saran dari para pembaca semua.

Akhirnya penulis berharap semoga disertasi ini bermanfaat pada seluruh pem- baca, dan semoga Allah SWT memberkati kita semua. Amin.

Medan, November 2015 Penulis,

Faiz Ahyaningsih

iv

Faiz Ahyaningsih dilahirkan di Sukoharjo, 26 Juni 1966, anak ke dua dari 5 bersaudara dari ayah H. Amir Rosyad dan ibu Hj. Siti Milati.

Pada tahun 1979 lulus dari SD Muhammadiyah Wonogiri, kemudian pada tahun 1982 menyelesaikan Sekolah Menengah Pertama di SMP Al-Islam 1 Surakar- ta, dan tahun 1985 selesai dari Sekolah Menengah Atas, SMA Negeri 1 Margoyudan Surakarta. Selesai dari SMA Negeri 1 Surakarta, penulis melanjutkan ke perguruan tinggi di Universitas Gadjah Mada Yogyakarta pada Fakultas MIPA Jurusan Ma- tematika, Program Studi Matematika Murni, dan memperoleh gelar Sarjana Sains pada bulan Agustus 1991.

Di tahun 1990 penulis menikah dan dikaruniai dua orang anak putra dan putri.

Tahun 1997 penulis diangkat menjadi staf pengajar di Departemen Matema- tika FMIPA UNIMED sampai sekarang.

Pada tahun 2004 penulis mengambil S2 di Universitas Sumatera Utara pada Program Studi Magister Matematika, dan memperoleh gelar Master Sains pada tahun 2006. Pada tahun 2010 penulis kembali melanjutkan pendidikan di Univer- sitas Sumatera Utara pada Program Doktor Ilmu Matematika.

Pada saat ini penulis bertempat tinggal di Jl. Keruntung gg. Famili no 1 Medan.

Demikian riwayat hidup ini penulis buat dengan sebenar-benarnya.

Medan, November 2015 Penulis

Faiz Ahyaningsih

v

DAFTAR ISI

Halaman

ABSTRAK i

ABSTRACT ii

PENGHARGAAN iii

RIWAYAT HIDUP v

DAFTAR ISI vi

DAFTAR TABEL ix

DAFTAR LAMPIRAN x

BAB 1 PENDAHULUAN 1

1.1 Latar Belakang 1

1.2 Perumusan Masalah 3

1.3 Tujuan Penelitian 4

1.4 Manfaat Penelitian 4

1.5 Kontribusi Penelitian 5

BAB 2 KAJIAN PUSTAKA 6

2.1 Masalah Optimisasi dan Program Non Linier 6 2.2 Penyelesaian Sistem Persamaan Nonlinear 8

2.3 Metode Homotopy Newton 8

2.4 Metode Newton-Rapshon 9

2.5 Optimisasi Nonlinear Berkendala dengan Pengali Lagrange 9

2.6 Heuristik 9

BAB 3 QUADRATIC ASSIGNMENT PROBLEM 13

3.1 QAP Koopmann-Beckmann 14

3.2 Formulasi Kuadrat 0-1 14

vi

3.4 Batas Bawah 16

3.4.1 Gilmore-Lawler Bound 16

3.4.2 Batas Dengan Nilai Eigen 17

3.4.3 Batas Berbasis Reformulasi 17

3.4.4 Prosedur Batas Yang Lain 17

3.5 Linierisasi 17

3.6 Generating Test Problems 18

3.7 Komputasi Kompleksitas 19

3.8 Algoritma Sub Optimal 22

3.8.1 Construction Methods 22

3.8.2 Limited Enumeration Methods 22

3.8.3 Improvement Methods 22

3.8.4 Simulated Annealing (SA) Methods 23

3.8.5 Genetic Algorithms (GA) 23

3.8.6 Greedy Randomized Adaptive Search Procedure (GRASP) 24

3.9 Algoritma Analitik 24

BAB 4 STRATEGI KOMBINASI 25

4.1 Strategi Untuk Mendapatkan Initial Starting Point 25 4.2 Heuristik Untuk Mendapatkan Solusi Fisibel Integer 26 4.2.1 Algoritma Forward Exchange Strategy 27 4.2.2 Algoritma Backward Exchange Strategy 28

BAB 5 HASIL PENELITIAN DAN PEMBAHASAN 29

5.1 Pengalaman Komputasi 29

5.1.1 Problema 12×12 42

vii

5.1.2 Problema 16×16 43

BAB 6 KESIMPULAN DAN SARAN 47

6.1 Kesimpulan 47

6.2 Saran 47

DAFTAR PUSTAKA 48

LAMPIRAN 52

viii

Nomor Judul Halaman 5.1 Hasil Running Program Dengan Berbagai Iterasi 42

5.2 Tabel Pencarian Untuk Esc 16 43

5.3 Perbandingan Hasil Strategi Kombinasi dan QAPLIB 44

5.4 Perbandingan Running Time DGLSA dan CS 44

5.5 Perbandingan Running Time DGLSA, DLR dan CS 45

5.6 Perbandingan Komputer yang Digunakan 45

ix

DAFTAR LAMPIRAN

Lampiran Judul Halaman

1 Matriks Had12 52

2 Matriks Esc16b 53

3 Matriks Esc16c 53

4 Matriks Esc16h 54

5 Komunikasi Personal 54

x

Quadratic Assignment Problem (QAP) adalah suatu permasalahan kombinatorial dalam menentukankan penempatan fasilitas pada lokasi tertentu sedemikian rupa sehingga meminimumkan fungsi tujuan nonconvex yang dinyatakan dalam ben- tuk alur antar fasilitas, dan jarak antar lokasi. Oleh karena sifat non-konveksitas dari masalah, maka diperlukan suatu titik awal yang ’baik’ untuk mendapatkan solusi optimal yang lebih baik. Dalam makalah ini penulis mengusulkan strategi kombinasi (dengan menggunakan random point strategy untuk mendapatkan titik awal, kemudian dilanjutkan dengan forward exchange strategy dan backward ex- change strategy) untuk mendapatkan solusi ’optimal’. Sebagai pengalaman kom- putasi penulis menyelesaikan problema Had12, Esc 16b, Esc 16c dan Esc 16h dari QAPLIB. Akhirnya, penulis menyajikan studi komparatif antara Strategi Kombi- nasi, Data Guided Lexisearch Algorithm (DGLSA), dan Discrete Linear Reformu- lation (DLR). Studi komputasi menunjukkan efektivitas dari Strategi Kombinasi yang penulis usulkan.

Kata kunci: QAP, Strategi kombinasi, Random point strategy, Forward exchange strategy, Backward exchange strategy.

i

ABSTRACT

The quadratic assignment problem is a combinatorial problem of deciding the place- ment of facilities in specified locations in such a way as to minimize a nonconvex objective function expressed in terms of flow between facilities, and distance bet- ween location. Due to the non-convexity nature of the problem, therefore to get a good starting point is necessary in order to obtain a better optimal solution. In this paper we propose a combination strategy (random point strategy to get initial starting point and then forward exchange strategy and backward exchange strategy) to get optimal solution. As a computational experience we solve the problem of Had12, Esc 16b, Esc 16c and Esc 16h from QAPLIB. Finally, we present a com- parative study between Combination Strategy, Data-Guided Lexisearch Algorithm (DGLSA), and Discrete Linear Reformulation (DLR). The computational study shows the effectiveness of our proposed Combination Strategy.

Keywords: QAP, Combination strategy, Random point strategy, Forward ex- change strategy, Backward exchange strategy.

ii

PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Quadratic Assignment Problem (QAP) adalah sebuah permasalahan kom- binatorial dalam menempatkan fasilitas pada lokasi tertentu, sedemikian hingga meminimumkan fungsi objektif kuadrat.

QAP adalah problem sulit non polinomial (NP-Hard) (Sahni dan Gonza- les, 1976), yang mengandung arti bahwa ordo kecepatan algoritma penyelesaian bertambah secara eksponensial apabila dimensi problema bertambah.

Aplikasi QAP dapat dilihat dalam berbagai masalah seperti backboard wiring, computer manufacturing, fasilitas layout, scheduling, proses komunikasi, turbin balancing, dan sebagainya.

Penerapan QAP awal mulanya dilakukan oleh Steinberg (1961), yang mene- rapkan QAP dalam hal backboard wiring problem, dalam hal ini, a _ik adalah jumlah koneksi antara elektronik module i dan k, sedangkan b _jl adalah jarak antar lokasi j dan l dimana module dapat diletakkan. Permasalahan adalah menentukan po- sisi (letak) dari alat-alat sedemikian hingga meminimumkan panjang total kabel.

Kemudian Nugent et. al. (1968), menerapkan QAP dalam hal fasilitas lokasi. Se- lanjutnya Elshafei (1977) menerapkan QAP dalam hal layout rumah sakit, yang dikembangkan kembali oleh Hahn (2000). Dalam hal ini a _ik adalah f low orang- orang yang harus bergerak dari servis i ke servis k, dan b _jl adalah waktu tempuh dari ruang j ke ruang l.

1

2

Permasalahan di atas dapat diformulasikan sebagai berikut :

Minimum X

i,j,k,l

a ik b jl x ij x kl

Kendala

n

X

j=1

x _ij = 1 i = 1, . . . , n

n

X

i=1

x _ij = 1 j = 1, . . . , n 0 ≤ x _ij ≤ 1

x _ij integer

Dimana x _ij = 1 jika komponen i diletakkan pada posisi j pada backboard, atau klinik i ditempatkan pada lokasi j, dan x _ij = 0 jika sebaliknya.

Penerapan QAP dalam dunia penerbangan berkaitan dengan passenger re- covery problem, baru-baru ini dikemukakan oleh Bisaillos et. al. (2011).

Penyelesaian QAP terbukti lebih sulit dibandingkan linear assignment pro- blem (LAP). LAP dapat diselesaikan dengan mengubah integer programming men- jadi linear programming. Solusinya akan selalu integer. Sedang QAP , tidak hanya nonlinier tetapi juga non unimodal, Ahyaningsih et. al. (2006).

Penyelesaian QAP sangat sulit, karena memerlukan komputasi yang sangat besar, mengingat definisi QAP yang merupakan kwartet sigma dari hasil kali elemen-elemen matriks f low F , matriks jarak D, dan matriks penugasan X.

Melihat hasil-hasil penelitian tentang QAP di QAPLIB dari tahun ke tahun, QAP masih menyisakan tanda tanya besar mengenai nilai optimumnya, karena terlihat hasilnya masih ada gap dengan nilai optimumnya, yang besarnya bervariasi tergantung ukuran matriks dan metode yang digunakan untuk menyelesaikannya.

Banyak paper yang membahas tentang penyelesaian QAP, dengan metode heuristik maupun analitik, dan sampai saat ini pembahasan mengenai metode pe- nyelesaian QAP ini masih menjadi perhatian banyak peneliti, diantaranya yang dilakukan oleh Polak (2003), mengenai assembly papan sirkuit, Ahyaningsih et.

al.(2005) membahas tentang hasil-hasil dan generalisasi dari QAP, Drezner (2006)

yang mengemukakan tentang cluster point dan pola grey, kemudian Rendl dan Sotirov (2007) mengemukakan tentang batas menggunakan bundle method, sedang- kan Papamanthou et. al. (2008) mengemukakan tentang contoh kasus yang salah dalam exterior point algorithm.

Metode-metode yang diajukan para peneliti terdahulu hanya menggunakan satu metode saja, yaitu eksak, atau heuristic, ada juga yang dengan membuat re- formulasi untuk QAP. Seperti penelitian Adams et. al. (2007) yang membuat refor- mulasi linier level 2, Nyberg dan Westerlund (2012) yang membuat reformasi linier untuk QAP, kemudian Bisaillon (2011), mengajukan large neighbourhood search heuristic, dan Palubeckis (2012), mengenai metode branch and bound.

Jadi, meskipun riset pengembangan telah dilakukan lebih dari enam dekade, QAP masih menyisakan satu permasalahan optimisasi yang tersulit dan tidak ada algoritma analitik (eksak) yang dapat menyelesaikan QAP dalam waktu yang reasonable.

Dalam disertasi ini penulis mengusulkan sebuah strategi kombinasi untuk menyelesaikan QAP. Persoalan yang diselesaikan berukuran 12 dan 16, kemudian membandingkan hasil yang diperoleh, dengan hasil penelitian sebelumnya, yaitu metode DGLSA (Data-Guided Lexisearch Algorithm), Ahmed (2014) dan DLR (Discrete Linear Reformulation), Nyberg dan Westerlund (2012). Penulis juga membuat sebuah program pembanding untuk menguji kebenaran hasil yang diper- oleh.

1.2 Perumusan Masalah

Sifat tidak konveks dari suatu problema mengakibatkan diperlukannya suatu titik awal yang baik, agar dapat diperoleh penyelesaian optimal global. Banyak tulisan yang membahas tentang titik awal untuk QAP ini, seperti Anstreicher dan Brixius (2001), Ahyaningsih (2006).

Mengenai penyelesaian masalah optimisasi nonlinear dengan kendala, Hamdy

(2003) menyatakan bahwa tidak terdapat algoritma umum untuk mencari penyele-

saian optimisasi nonlinear, dikarenakan perilaku yang tidak beraturan dari fungsi

nonlinear itu.

4

Dalam QAP, tidak ada metode tunggal yang paling baik. Masing-masing metode memiliki kelebihan dan kelemahan. Solusi dari QAP akan diperoleh dalam waktu yang cukup lama, kadang-kadang hasil yang didapat konvergen ke nilai yang salah, atau konvergen padahal tidak mempunyai nilai optimum, Bronson (1997).

Pencarian metode yang dapat digunakan secara efektif masih terus dilakukan.

Ahyaningsih dan Sitompul (2015), telah mengembangkan strategi kombinasi untuk menyelesaikan QAP. Disertasi ini akan menyelesaikan QAP dengan menggunakan strategi kombinasi, dengan menggabungkan metode heuristic dan metode eksak, dimana metode heuristic digunakan pada saat menentukan starting point, dalam hal ini dimunculkan random permutasi, sedangkan metode eksak digunakan pada waktu menentukan solusi optimalnya.

1.3 Tujuan Penelitian

Tujuan penelitian ini untuk menyelesaikan Quadratic Assignment Problem berukuran 12 dan 16 yang diambil dari QAPLIB, dalam hal ini Had12, Esc16b, Esc16c, dan Esc16h, dengan menggunakan strategi kombinasi, dimana untuk menen- tukan starting point digunakan random point strategy, kemudian dilanjutkan de- ngan forward exchange strategy dan backward exchange strategy yang dilakukan sebanyak n iterasi, untuk mencari solusi optimal.

1.4 Manfaat Penelitian

Dalam penelitian ini terdapat beberapa manfaat, antara lain:

1. Untuk pengembangan metode Operation Research, khususnya dalam hal me- tode penyelesaian QAP, yang merupakan problem sulit Non Polynomial (NP- hard).

2. Menjadi bahan referensi bagi para peneliti yang tertarik dengan QAP.

1.5 Kontribusi Penelitian

Dengan penelitian ini dapat diselesaikan QAP yang berukuran 12 dan 16

dari QAPLIB, yaitu Had12, Esc16b, Esc16c, dan Esc16h dalam waktu yang lebih

cepat dibandingkan dua metode sebelumnya, yaitu DGLSA dan DLR. Mengingat

penerapan QAP yang begitu luasnya, sementara metode penyelesaian dari QAP

masih terbatas, maka strategi kombinasi ini merupakan suatu terobosan yang sa-

ngat bermanfaat dalam mencari solusi dari QAP dengan waktu yang relatif cepat.

BAB 2

KAJIAN PUSTAKA

2.1 Masalah Optimisasi dan Program Non Linier

Menurut Asghar (2000), secara garis besar masalah optimisasi terbagi dalam beberapa tipe berikut:

1. Masalah optimisasi tanpa kendala.

2. Masalah pemrograman linear.

3. Masalah pemrograman kuadratis.

4. Masalah pemrograman nonlinear/optimisasi nonlinear.

Sedangkan masalah optimisasi nonlinear menurut Bronson (1997) terbagi dalam tiga bagian, yaitu:

1. Masalah optimisasi nonlinear satu variable.

2. Masalah optimisasi nonlinear multi variable tanpa kendala.

3. Masalah optimisasi nonlinear multi variable dengan kendala.

Dilihat dari bentuk kendalanya, masalah optimisasi nonlinear dengan kendala terbagi menjadi 3 bagian, yaitu:

1. Fungsi kendala berbentuk persamaan 2. Fungsi kendala berbentuk pertidaksamaan

3. Fungsi kendala berbentuk campuran persamaan dan pertidaksamaan.

6

Hamdy (2003) menawarkan beberapa metode penyelesaian berdasarkan kri- teria permasalahan:

1. Pemrograman Terpisah, jika fungsi obyektif dan kendala merupakan fungsi yang terpisah (separable).

2. Pemrograman Kuadratik, jika fungsi obyektif berupa fungsi kuadrat, dan kendalanya fungsi linear.

3. Pemrograman Geometrik. Teknik ini telah dikembangkan oleh R. Duffin dan C. Zener tahun 1964. Metode ini dapat digunakan jika fungsi obyektif dan kendala berupa fungsi f (X) = P N

j=1 U _j , dimana U _j = c _j Q n

i=1 x ^a _i

^ij

, j = 1, 2, . . . , N , dan c _j > 0, dan N berhingga. Pangkat a _ij tidak terbatas dalam tanda. Fungsi f (X) berupa fungsi polynomial.

4. Metode Kombinasi Linear, jika kendalanya berupa fungsi linear.

5. Algoritma SUMT (Sequential Unconstrained Maximization Technique), jika fungsi obyektifnya cekung dan fungsi kendalanya cembung, serta daerah fisi- belnya memiliki interior. Metode ini mengubah optimisasi berkendala menja- di optimisasi tanpa kendala, hampir mirip dengan metode Pengali Lagrange.

Bronson (1997) juga mengemukakan beberapa metode penyelesaian masalah optimisasi nonlinear berkendala, yaitu:

1. Pengali Lagrange (Lagrange Multipliers), jika kendalanya berupa persamaan.

2. Persyaratan Kuhn-Tucker (Kuhn-Tucker condition), jika kendalanya berupa pertidaksamaan, dan masing-masing fungsi obyektif dan kendala memiliki turunan parsial pertama yang kontinu.

3. Metode arah layak (feasible directions), jika kendala berupa pertidaksamaan.

Metode ini dapat digunakan jika daerah fisibel memiliki interior. Metode ini akan konvergen ke maksimum global hanya jika iterasi awal dekat dengan solusi sebenarnya. Daerah fisibel tidak akan memiliki interior jika dua dari kendala pertidaksamaannya merupakan perubahan dari kendala persamaan.

4. Metode fungsi penalty, yang mengubah masalah berkendala (kendala berben-

tuk persamaan), menjadi masalah tanpa kendala. Jika masalah awal adalah

8

memaksimumkan z = f (x) dengan kendala h _i (x) = 0 , maka masalah diubah menjadi memaksimumkan q = f (x) + cP (x), dengan c > 0 yang disebut bobot penalty. Penyelesaian dari bentuk yang terakhir ini menjadi penyele- saian dari masalah awal jika tiap-tiap h _i (x) = 0 .

2.2 Penyelesaian Sistem Persamaan Nonlinear Pandang suatu sistem persamaan nonlinear n × n.

f ₁ (x ₁ , x ₂ , . . . , x _n ) = 0 f ₂ (x ₁ , x ₂ , . . . , x _n ) = 0

.. .

f n (x 1 , x 2 , . . . , x n ) = 0

Sistem persamaan nonlinear tersebut dapat diselesaikan secara iterasi dengan me- tode Newton-Raphson, dengan menggunakan iterasi

x ^k+1 = x ^k + δx ^k , k = 0, 1, 2, . . . dimana x ⁰ adalah titik awal.

2.3 Metode Homotopy Newton

Jika masalah SPNL adalah f (X) = 0, dengan f = (f ₁ , f ₂ , . . . , f _n ) ^T dan X = (x 1 , x 2 , . . . , x n ) ^T , maka penyelesaiannya adalah:

X = X ₀ − J ⁻¹ .H dimana:

X ₀ : titik awal yang diambil

H : fungsi homotopy yang berbentuk H(x, t) = f (x) − (1 − t)f (x ₀ ), 0 ≤ t ≤ 1

J : matrik J acobian

2.4 Metode Newton-Rapshon

Masalah optimisasi non linear tanpa kendala dapat diselesaikan secara itera- tif dengan menggunakan metode Newton-Rapshon. Ide dasar metode ini adalah melakukan pendekatan fungsi nonlinear dengan fungsi kuadrat.

Pendekatan kuadratik dari fungsi f : R ⁿ → R yang memiliki derivatif tingkat dua dapat diperoleh dengan menggunakan deret Taylor di sekitar titik x ^(k) .

f (x) ∼ f (x ^(k) ) + (∆x)∇f (x ^(k) ) + 1

2 (∆x) ² ∇ ² f (x ^(k) )

2.5 Optimisasi Nonlinear Berkendala dengan Pengali Lagrange

Metode yang sering digunakan untuk menyelesaikan masalah optimisasi non linear berkendala adalah pengali Lagrange (Lagrange multipliers). Bentuk umum- nya adalah:

Minimum f (x)

Kendala h(x) = 0 dimana x ∈ R ⁿ , f : R ⁿ → R, h : R ^m → R ⁿ , m < n.

Diasumsikan bahwa fungsi h diferensiabel.

∇f (x ^∗ ) + λ∇h(x ^∗ ) = 0

2.6 Heuristik

Kata heuristik berasal dari kata Heuriskein berasal dari bahasa Yunani yang

berarti menemukan. Pertama kali, Polya (1947) mengemukakan bahwa heuris-

tik bertujuan untuk mempelajari metode dan aturan penemuan, atau memban-

tu menyelesaikan problema. Penelitian operasional memandang heuristik seba-

gai prosedur untuk mengurangi pencarian dalam kegiatan penyelesaian problema,

10

Tonge (1961). Sementara menurut Nicholson (1971) metode heuristik adalah su- atu prosedur untuk menyelesaikan problema dengan pendekatan intuisi, yang di dalamnya problema dapat diterjemahkan dan digali untuk memperoleh penyelesai- an yang dapat diterima.

Heuristik baik digunakan pada saat:

1. Data yang tidak tepat atau terbatas.

2. Model yang disederhanakan.

3. Metode tepat yang terpercaya tidak tersedia.

4. Untuk memberikan penyelesaian awal/pemandu pencarian/mengurangi jum- lah calon penyelesaian.

5. Kebutuhan pengulangan untuk menyelesaikan problema yang sama.

6. Keterbatasan sumber lain, misal dana, waktu, tenaga kerja, pengetahuan, dll.

Suatu heuristik yang baik hendaknya memperhatikan hal-hal sebagai berikut:

1. Kesederhanaan.

2. Memori yang dipakai.

3. Kecepatan waktu komputasi.

4. Ketepatan.

5. Metode harus memperoleh penyelesaian yang baik dalam waktu singkat, tidak sensitif terhadap perubahan parameter.

6. Menerima beberapa titik awal, tidak perlu layak.

7. Kriteria penghentian yang baik Burkard et. al. (1997)

Studi mengenai heuristic ini mula-mula tidak begitu jelas, hanya garis be-

sarnya dan jarang disajikan secara rinci , dan tidak diikat oleh etika matematika

(bukti, teorema, konvergensi, optimalitas). Hal ini dirasakan akibat oleh reaksi yang lambat antara praktisi-peneliti praktisi. Namun akhir-akhir ini gambaran tersebut mulai berubah, terbukti dengan semakin banyaknya tulisan terkait dalam journal ilmiah terkemuka, dan sekarang dalam tahap percepatan, praktisi ditekan oleh kemerosotan produktivitas untuk menganalisis problema manajemen yang rumit, dengan ketersediaan sumber daya yang terbatas, sehingga menimbulkan bertambahnya kebutuhan untuk menggunakan heuristik. Keterbukaan peneliti akhirnya menyadari bahwa kekuatan matematika tidak menjamin sukses sistem OR dalam praktek.

Kebanyakan dari alasan di atas telah diajukan oleh orang-orang praktisi, namun perlu dicatat bahwa, bukan dianjurkan untuk mengesampingkan metode optimisasi. Jadi, jika algoritma optimisasi dapat diterapkan secara efektif untuk menyelesaikan problema, maka algoritma tersebut dapat dipakai.

Dalam aplikasi berskala besar, seperti penempatan fasilitas, perbedaan satu atau dua persen dapat berakibat kerugian jutaan rupiah. Untuk keputusan keua- ngan demikian, dipandang lebih baik untuk pengumpulan data dan pembentukan modal, karena itu teknik optimisasi lebih sesuai.

Umumnya tanpa memandang spesifikasi problema, suatu heuristik yang baik harus memperhatikan hal-hal sebagai berikut:

1. Kesederhanaan kepada pemakai.

2. Memori pada computer yang dipakai.

3. Kecepatan, yaitu waktu komputasi memadai yang tidak berkembang secara polinomial ataupun eksponensial bila ukuran problema bertambah.

4. Ketepatan, yaitu galat kuadrat rataan (mean square error) kecil, yang dapat mengakibatkan peningkatan kemungkinan diperolehnya penyelesaian yang baik.

5. Metode harus memperoleh penyelesaian baik, dalam waktu yang cukup singkat, untuk berbagai problema, dan tidak terlalu sensitif karena perubahan para- meter.

6. Menerima beberapa titik awal, dan tidak perlu layak (f easible).

12

7. Menghasilkan penyelesaian ganda dengan memilih parameter masukan, atau menggeser penyelesaian akhir.

8. Kriteria penghentian yang baik.

9. Estimasi statistik dari optimum sebenarnya.

10. Kemampuan interaktif dengan analisis dalam pengambilan keputusan.

Suatu heuristik yang ideal adalah yang memiliki semua sifat di atas. Per-

lu dicatat bahwa heuristik problema dependent, yang mengambil keuntungan dari

struktur problema tertentu, misal pada Mawengkang dan Murtagh (1985).

QUADRATIC ASSIGNMENT PROBLEM

Dari Loiola et. al. (2007), QAP pertama kali dikemukakan oleh Koopmann dan Beckmann pada tahun 1957, sebagai suatu model matematika dari lokasi aktifi- tas ekonomi. Perhatikan masalah penempatan himpunan fasilitas pada himpunan lokasi, dengan cost merupakan fungsi dari jarak dan f low antar fasilitas ditam- bah dengan biaya (cost) yang berhubungan dengan penempatan n fasilitas pada n lokasi tertentu. Tujuannya adalah untuk menempatkan setiap fasilitas pada satu lokasi sedemikian hingga meminimumkan total cost.

Jika f _ik adalah flow antara fasilitas i dan k, sedangkan d _jl adalah unit trans- portation cost (jarak) antara j dan l yang sudah diketahui, maka permasalahan ini dapat didefinisikan sebagai berikut:

Minimum φ = 1 2

n

X

i=1 n

X

k=1 n

X

j=1 n

X

l=1

f _ik d _jl x _ij x _kl

Kendala

n

X

j=1

x _ij = 1, i = 1, . . . , n

n

X

j=1

x _ij = 1, j = 1, . . . , n 0 ≤ x _ij ≤ 1

x ij integer

Matriks [f _ik ] dan [d _jl ] diasumsikan simetrik. Variabel assignment x _ij berni- lai 1 jika fasilitas i pada lokasi j, dan bernilai 0 jika sebaliknya. Kendala ini menyatakan bahwa setiap lokasi hanya dapat ditugaskan satu fasilitas, dan setiap fasilitas hanya dapat ditugaskan satu lokasi.

13

14

3.1 QAP Koopmann-Beckmann

Misal C = [c _ij ] dan D = [d _ij ] berturut-turut adalah matriks cost dan matriks jarak di R ^n×n , S n adalah himpunan permutasi dari {1,2, . . . , n}, maka QAP dapat didefinisikan sebagai berikut:

min

n

X

i=1 n

X

j=1

c _ij d _π(i)π(j) (3.1)

untuk semua permutasi π ∈ S _n . Formulasi ini dikenal sebagai QAP Koopmann- Beckmann, Koopmann dan Beckmann (1957).

Tujuan dari QAP ini adalah untuk mencari permutasi π ₀ ∈ S _n yang me- minimumkan c _ij d _π(i)π(j) untuk semua i, j. Notasi d _π(i)π(j) berhubungan dengan permutasi baris dan kolom dari matriks D dengan suatu permutasi π.

3.2 Formulasi Kuadrat 0-1

Formulasi ini mula-mula dikemukakan oleh Koopmann dan Beckmann (1957).

Formulasi didasarkan pada relasi 1-1 antara permutasi π ∈ S _n dan himpunan matriks permutasi X = [x _ij ], matriks n × n.

X disebut matriks permutasi jika memenuhi tiga hal di bawah ini,

n

X

j=1

x _ij = 1, j = 1, . . . , n (3.2)

n

X

j=1

x _ij = 1, i = 1, . . . , n (3.3)

x _ij ∈ {0, 1}, i, j = 1, . . . , n (3.4)

Jika tiga hal itu dipenuhi, maka QAP dapat diformulasikan sebagai berikut:

Minimum φ = 1 2

n

X

i=1 n

X

k=1 n

X

j=1 n

X

l=1

f _ik d _jl x _ij x _kl (3.5)

Kendala

n

X

j=1

x _ij = 1, i = 1, . . . , n

n

X

j=1

x ij = 1, j = 1, . . . , n 0 ≤ x _ij ≤ 1

x _ij integer

3.3 Formulasi Trace

Formulasi ini didasarkan pada trace dari matriks. Formulasi ini akan digu- nakan pada formulasi batas bawah. Dengan mengingat bahwa trace suatu matriks bujur sangkar adalah jumlah dari seluruh elemen diagonal, jadi jika A adalah ma- triks n × n, maka:

trace(A) = tr(A) =

n

X

i=1

a _ii

Sifat-sifat dari trace matriks adalah:

tr(A) = tr(A ^t )

tr(A + B) = tr(A) + tr(B) tr(AB) = tr(A ^t B ^t )

Jika C, D dan X adalah matriks cost, matriks jarak, dan matriks permutasi, seperti yang didefinisikan di atas, maka dengan formulasi ini QAP didefinisikan sebagai berikut:

Minimum trace(CXD ^T X ^T ) (3.6)

Kendala X ∈ π _x

π _x : menyatakan himpunan matriks permutasi D ^T : menyatakan transpose dari matriks D X ^T : menyatakan transpose dari matriks X

Formulasi ini pertama kali diperkenalkan oleh Edwards (1980)

16

3.4 Batas Bawah

Topik yang banyak dibahas pada QAP adalah perhitungan batas bawah, Cela (1998). Hal yang penting dalam batas bawah adalah two − f old. Batas bawah ini tidak hanya merupakan komponen yang penting dalam prosedur Branch and Bound, tetapi juga digunakan untuk mengevaluasi solusi goodness yang di- hasilkan oleh heuristik. Ketika menggunakan prosedur Branch and Bound, per- lu diperhatikan baik batas keketatan maupun waktu penghitungannya, Pardalos et.al. (1994). Ketika uji heuristik, pada umumnya batas keketatanlah yang paling ditekankan, Cela (1998).

Penelitian mengenai batas bawah ini banyak dilakukan oleh para peneliti an- tara lain Karisch dan Rendl (1995), mengenai batas bawah via triangle decomposi- tion, kemudian tahun 1999 Karisch mengemukakan batas bawah yang berdasarkan linierisasi, penelitian berikutnya oleh Anstreicher dan Brixius (2001), mengenai batas berdasarkan convex quadratic programming.

Selanjutnya akan dibicarakan tiga kelas utama dari batas bawah yang perta- ma kali diajukan, yaitu : Gilmore-Lawler bound, Gilmore (1962), Lawler (1963), batas dengan nilai eigen, Rendl dan Wolkowicz (1992), dan batas yang didasarkan pada reformulasi, Armour dan Buffa (1963).

3.4.1 Gilmore-Lawler Bound

Gilmore-Lawler Bound (GLB) adalah salah satu dari batas bawah yang per- tama kali dikemukakan untuk QAP. GLB menempatkan suatu batas bawah pada solusi optimal QAP yang didasarkan pada solusi linear assignment problem yang elemen-elemen matriks costnya dibangun oleh suatu inner product khusus, yang didefinisikan antara elemen-elemen matriks C dan D, Cela (1998), Pardalos et.al.

(1994). GLB ini mudah dan cepat dalam komputasi, hanya memerlukan O(n ³ )

waktu komputasi ,untuk QAP Koopmann-Beckmann. Adapun kelemahan dari

GLB adalah bahwa GLB itu tidak ketat. Pada umumnya keketatan dari GLB

berbanding terbalik dengan banyak kejadian, Cela (1998).

3.4.2 Batas Dengan Nilai Eigen

Batas bawah untuk QAP yang didasarkan pada nilai eigen matriks C dan D, telah dibahas secara mendalam, Hadley et. at. (1990,1992), Rendl and Wolkowicz (1992). Semua batas didasarkan pada formulasi trace dari QAP (lihat 3.3). Nilai eigen ini didasarkan pada batas yang pada umumnya batas yang terbaik adalah sejauh keketatan yang dikehendaki. Bagaimanapun juga QAP dihitung dengan menggunakan proses iteratif, dimana setiap iterasi memerlukan waktu komputasi O(n ³ ), Pardalos et. at. (1994). Waktu komputasi yang tinggi sering mengabaikan pilihan penggunaan keketatan batas dengan nilai eigen, pada saat menerapkan prosedur Branch and Bound.

3.4.3 Batas Berbasis Reformulasi

Batas reformulasi dihitung dengan suatu proses iteratif, seperti pada kasus batas dengan nilai eigen yang telah dikemukakan di atas. Batas reformulasi tidak- lah mengherankan, karena seperti pada batas dengan nilai eigen, juga memerlukan waktu komputasi yang cukup mahal, untuk setiap iterasi, (n ² + 1) linear assign- ment problem berukuran n yang harus diselesaikan. Karena running time untuk iterasi ke k adalah O(kn ⁵ ), sehingga ini dapat dikatakan, suatu kelas bound yang perhitungannya tidak efisien, Pardalos et. at. (1994).

3.4.4 Prosedur Batas Yang Lain

Ada kelas bound yang lain yang berbeda dengan tiga kelas di atas. Pada awal tahun 1990an, kelas baru batas bawah untuk QAP telah dikemukakan oleh Li et.

at. (1994), yang didasarkan pada skema partisi optimal. Prosedur batasnya re- latif murah, hanya memerlukan waktu O(n ³ ), dan menghasilkan batas yang efektif untuk prosedur branch and bound. Kenyataannya GLB adalah kasus khusus dari prosedur ini, dikemukakan oleh Li et. at. (1994). Prosedur batas bawah yang lain yang didasarkan pada formulasi dual, Hahn dan Grant (1998), dan linear program- ming relaxations, Ramakrishnan et. at. (2002), terbukti juga efektif.

3.5 Linierisasi

Linierisasi dari fungsi objektif selalu berhasil dengan memperkenalkan vari-

abel baru dan kendala linier (dan biner) yang baru, kemudian metode yang ada

18

untuk mixed integer linear programming (MILP) dapat digunakan. Banyaknya variabel dan kendala baru, bagaimanapun juga selalu merupakan kendala untuk efisiensi dalam memperoleh penyelesaian program integer linier. Formulasi MILP memberikan lebih banyak lagi linear programming relaxations dari permasalahan yang dapat digunakan untuk menghitung batas bawah. Dalam konteks ini, keke- tatan dari continous relaxation hasil program integer linier adalah sifat yang sangat diperlukan.

Lawler (1963) menggantikan bentuk kuadrat x _ij x _kl pada fungsi objektif de- ngan n ⁴ variabel.

y _ijkl := x _ij x _kl , i, j, k, l = 1, 2, . . . , n (3.7)

Dengan ini diperoleh program linear 0 − 1 dengan (n ⁴ + n ² ) variabel biner , dan (n ⁴ + 2n ² + 1) kendala. Jadi QAP dapat dituliskan sebagai program liner 0 − 1 sebagai berikut :

Minimum

n

X

i,j=1 n

X

k,l=1

c _ijkl y _ijkl (3.8)

Kendala (x _ij ) ∈ x _n

n

X

i,j=1 n

X

k,l=1

y _ijkl = n ²

x ij + xkl − 2y ijkl ≥ 0, i, j, k, l = 1, 2, . . . , n y _ijkl ∈ {0, 1} i, j, k, l = 1, 2, . . . , n

Burkard et. al. (1997)

3.6 Generating Test Problems

Untuk membangun QAP dengan permutasi optimal diketahui merupakan alat

yang sangat berharga, ketika seseorang ingin menguji kualitas dari heuristik yang

baru. Generator ini pertama kali dikemukakan oleh Palubetskin (1988). Li dan

Pardalos (1992) mengemukakan generator Li dan Pardalos, yang mana generator ini

menghasilkan kejadian-kejadian QAP dengan solusi optimal diketahui, yang mana

kejadian-kejadian itu dihasilkan oleh generator Palubetskin, suatu kasus khusus,

Cela (1998).

3.7 Komputasi Kompleksitas

Bagian ini akan menggambarkan fakta-fakta bahwa QAP adalah very hard problem. QAP bukan hanya tidak dapat diselesaikan dengan efisien, tetapi juga tidak dapat didekati dengan suatu rasio pendekatan konstan. Lebih lanjut, perole- han optimum lokal itu, tidaklah trivial, untuk struktur neighborhood sederhana, seperti 2-opt neighborhood.

Hasil yang telah diperoleh oleh Sahni dan Gonzales (1976), telah menjawab kompleksitas penyelesaian dan pendekatan QAP. Ditunjukkan bahwa QAP adalah N P −hard dan bahwa suatu solusi pendekatan ∈ untuk QAP adalah hard problem, dalam arti bahwa eksistensi polinomial, algoritma pendekatan ∈ mengandung arti P = N P.

Berikutnya, misalkan Z(F, D, ∅) menyatakan nilai fungsi objektif suatu pe- nyelesaian ∅ untuk QAP, dengan matriks flow F , dan matriks jarak D.

Definisi 1. (Sahni dan Gonzales, (1976))

Diberikan bilangan riel ∈> 0. Suatu algoritma γ untuk QAP dikatakan algo- ritma pendekatan ∈, jika

Z(F, D, π _γ ) − Z(F, D, π _opt ) Z(F, D, π opt ) ≤∈

untuk setiap kejadian QAP (F,D), dimana π γ adalah penyelesaian dari QAP (F,D), yang dihitung dengan algoritma γ dan π _opt adalah solusi optimal dari QAP (F,D).

Solusi dari QAP (F,D) yang diperoleh dari algoritma pendekatan ∈ ini disebut so- lusi pendekatan ∈.

Teorema 3.1. (Sahni dan Gonzales, (1976))

QAP adalah strongly NP-hard. Untuk sebarang ∈> 0, terdapatlah polinomial time algoritma pendekatan ∈ untuk QAP, mengandung arti P = NP.

Bukti diselesaikan dengan reduksi dari permasalahan cycle hamiltonian: Diberikan

graph G, apakah G memuat cycle yang setiap vertexnya tepat dikunjungi sekali,

lihat Garey dan Johnson (1979).

20

Queyranne, (1986) menurunkan suatu hasil yang lebih kuat, yang lebih lanjut menegaskan dengan panjang lebar mengenai kesulitan-kesulitan QAP dibandingkan dengan masalah optimisasi kombinatorial sulit yang lain. Sangat mudah untuk dilihat, bahwa traveling salesman problem (TSP) adalah kasus khusus dari QAP.

TSP pada n kota dapat diformulasikan sebagai QAP (F, D), dimana F adalah matriks jarak dari kejadian TSP tersebut, dan D adalah matriks adjacent dari cycle hamiltonian pada n vertex. Dalam hal matriks jarak simetris, dan memenuhi pertidaksamaan segitiga, TSP dapat didekati dengan waktu polinomial, dengan 3/2 , Christofides (1976). Queyranne (1986) memperlihatkan bahwa jika tidak P = N P , QAP (A, B) tidak dapat didekati dalam waktu polinomial, dengan suatu rasio pendekatan berhingga, begitu juga jika A adalah matriks jarak dari suatu himpunan titik-titik pada suatu garis, dan B adalah matriks diagonal blok simetrik.

Arora et. at. (2002), telah dapat menjawab satu bagian yang belum terjawab oleh Queyranne. Apa yang terjadi, jika matriks A adalah matriks jarak dari n titik yang terletak secara teratur pada satu garis, yaitu mempunyai absis x _p = p, dima- na p = 1, 2, . . . , n. Kasus khusus dari QAP ini disebut linear arrangement problem, dan dibahas pada N P − hard problem. Dalam linear arrangement problem, ma- triks B tidak dibatasi untuk mempunyai struktur diagonal blok, seperti yang telah disebutkan di atas, tetapi merupakan matriks simetri sederhana 0−1. Arora et. at.

(2002) memberikan Polynomial Time Approximation Scheme (PTAS) untuk linear arrangement problem, dalam kasus bahwa matriks B 0 − 1 adalah dense, yaitu jumlah entri 1 dalam B adalah Ω(n ² ), dimana n adalah ukuran permasalahan. Ju- ga diperlihatkan bahwa untuk setiap ∈> 0 terdapatlah algoritma pendekatan ∈, untuk dense linear arrangement problem, dengan waktu kompleksitas bergantung secara polinornial terhadap n, dan bergantung secara eksponensial terhadap _∈ ¹ , oleh karena itu polinomial untuk setiap ∈> 0 tertentu.

Sudah diperlihatkan bahwa solusi optimal lokal dari QAP, dapat menjadi kendala dalam hal local search yang sulit. Berikut ini akan diformulasikan ide tersebut sebagai perluasan.

Andaikan masalah optimisasi P diberikan oleh himpunan tertentu ∈, suatu himpunan F C 2 ^∈ dari solusi fisibel, dan suatu fungsi cost C :∈→ R. Fungsi cost C ini menentukan fungsi objektif f : F → R yang didefinisikan dengan f (S) = P

x∈S C(x) , untuk semua S ∈ F , yang bertujuan mencari solusi fisibel

yang meminimumkan fungsi objektif. Untuk setiap solusi fisibel S ∈ F , ambil suatu neighborhood N (S) C F dari S yang diberikan. N eighborhood ini memuat solusi fisibel, yang dekat dengan S. Selanjutnya, sebagai pengganti, mencari solusi optimum global S ^∗ ∈ F dari permasalahan p, yaitu

f (S ^∗ ) = min

S∈F f (S)

Dicari solusi optimum lokal atau minimum lokal dari p, yaitu suatu ¯ S ∈ F , sede- mikian hingga

f ( ¯ S) = min

S∈N (S) f (S)

Suatu algoritma yang menghasilkan solusi optimum lokal, disebut local search algorithm. Beberapa local search algorithm untuk QAP diberikan dalam pemba- hasan mengenai heuristik. Suatu pertanyaan yang menarik, ”apakah mudah untuk menemukan solusi optimal dari QAP ?”. Jelas jawaban tergantung pada kerumi- tan struktur neighborhood. Jika neighborhood N (S) diganti dengan neighborhood baru, yaitu N’(S), pada umumnya akan terjadi perubahan dalam status optimum lokal dari penyelesaian.

Teori dasar untuk masalah seperti ini telah dikemukakan oleh Johnson et.

al. (1988). Didefinisikan apa yang disebut dengan polynomial-time local search problems (PLS problems). Pasangan (P, N ), dimana P adalah suatu permasalahan optimisasi kombinatorial, dan N adalah struktur neighborhood yang bersesuaian, didefinisikan local search problem yang memuat hasil solusi optimum lokal dari P , yang tergantung pada struktur neighborhood N . Tanpa menggunakan teknik yang mendalam, suatu PLS problem adalah local search problem, yang mana optimalitas lokal dapat diperiksa dalam waktu polinomial. Analog dengan masalah keputusan, ada banyak masalah dalam klas PLS problem. PLS-complete problem biasanya sangat kompleks dan merupakan problem tersulit di antara PLS problems.

Murthy et. at. (1992), mengemukakan struktur neighborhood untuk QAP,

yang sama dengan struktur neighborhood yang pernah dikemukakan oleh Kernighan

dan Lin (1972), untuk masalah graph dipartisi, yang selanjutnya disebut dengan

struktur neighborhood tipe K − L untuk QAP. Murthy et. at. menunjukkan bah-

wa yang berhubungan dengan masalah local search problem adalah P LS−complete.

22

3.8 Algoritma Sub Optimal

Algoritma sub optimal sering digunakan untuk mengestimasi solusi dari QAP.

Prosedur ini tidak menjamin solusi global optimum, namun dapat menghasilkan jawaban yang baik dengan waktu yang sesuai. Penemuan heuristik yang baru, yang dapat memberi jawaban yang baik dan cepat, masih banyak dicari.

Ada enam kategori dasar dari heuristik untuk QAP, yaitu:

3.8.1 Construction Methods

Construction methods membuat permutasi sub optimal, dengan mula-mula partial permutation adalah kosong. Permutasi diperluas dengan mengulang as- signment, yang didasarkan pada himpunan kriteria, terpilih, sampai permutasi lengkap. Salah satu heuristik yang pernah menggunakan algoritma ini adalah CRAFT (Computerized Relative Allocation of Facilities Techniques), yang digu- nakan untuk lay out of facilities (tata ruang), yang pertama kali dikemukakan oleh Armour dan Buffa (1963).

3.8.2 Limited Enumeration Methods

Limited enumeration methods muncul ketika seseorang mengharapkan pener- imaan solusi sub optimal dapat diperoleh segera selama pemeriksaan penghitun- gan, Pardalos et. al. (1994), seperti penghitungan dapat berhenti dengan baik, oleh karena batas waktu atau batas iterasi. Juga pengurangan batas atas, ketika tidak ditemukan lagi hasil yang lebih baik, setelah sejumlah langkah, akan mengak- ibatkan lompatan yang besar dalam search tree, sehingga mempersingkat proses.

3.8.3 Improvement Methods

Improvement methods adalah kelas heuristik yang paling banyak diamati,

Pardalos et. al. (1994). Dua metode yang paling terkenal adalah local search dan

tabu search. Kedua metode ini bekerja, mula-mula dengan initial basic feasible solu-

tion, kemudian berusaha untuk mengimprovenya. Local search secara iteratif men-

cari solusi yang lebih baik pada sekitar (neighborhood) dari solusi yang sekarang,

dan berhenti ketika tidak ada lagi solusi yang lebih baik pada neighborhood, Pit-

soulis (1994). Ahyaningsih et. at.(2006) mengajukan strategi improve untuk QAP.

Tabu search bekerja seperti halnya local search. Bagaimanapun juga tabu search biasanya lebih disukai, karena didesain untuk mengatasi permasalahan heuris- tik yang menghasilkan optimum lokal, Glover (1989).

3.8.4 Simulated Annealing (SA) Methods

Kelompok heuristik ini, yang juga digunakan untuk mengatasi optimum lokal, memperoleh namanya dari proses fisik yang ditirunya. Proses ini disebut annealing, mengubah partikel energy yang tinggi menjadi keadaan energy yang rendah, de- ngan menurunkan temperatur, jadi mendinginkan benda ke keadaan steady. Mula- mula, pada keadaan awal heuristik algoritma lunak, dan mampu menggerakkan ke solusi yang lebih buruk. Bagaimanapun juga, dengan setiap iterasi, algoritma men- jadi lebih tepat memerlukan solusi yang lebih baik pada tiap langkah, Kirkpatrick et. at.(1983). Lebih jauh lihat Aarts dan Korst (1989).

3.8.5 Genetic Algorithms (GA)

Genetic algorithm pertama kali dikemukakan oleh Holland (1975). Nama genetic algorithm diperoleh dari penjelasan intuitif dari cara algoritma ini berke- lakuan. Penjelasan ini didasarkan pada teori seleksi alam Darwin. GA menyimpan himpunan penyelesaian, dan kemudian bekerja untuk mengganti solusi ini dengan solusi yang lebih baik, dengan didasarkan pada suatu fitness criterion, biasanya adalah nilai fungsi objektif, Tate dan Smith (1995).

Pada tahun 1859 Charles Darwin (1809 - 1882), seorang peneliti alam dari

Inggris, mengumumkan teorinya yang berjudul Theory of Natural Selection, Dar-

win (2004). Teori tersebut menyatakan bahwa individu-individu yang mempunyai

karakteristik yang bagus (menurut kriteria-kriteria tertentu) akan mempunyai ke-

mungkinan untuk bertahan hidup lebih besar dan bereproduksi dan menurunkan

karakteristiknya kepada keturunan keturunannya. Berlaku sebaliknya, individu-

individu dengan karakteristik yang kurang bagus secara perlahan akan tersingkir

dari populasi. Penelitian yang masih baru mengenai Genetic Algorithm dilakukan

oleh Ahuja, et. al. (2000), dan juga Misevicius dan Rubliauskas (2009), yang

mengemukakan tentang Hybrid Genetic Algorithm.

24

3.8.6 Greedy Randomized Adaptive Search Procedure (GRASP) GRASP adalah heuristik yang relatif baru, yang digunakan untuk menyele- saikan permasalahan optimisasi kombinatorial. Pada tiap iterasi, solusi dihitung.

Solusi akhir diambil dari salah satu yang terbaik, setelah semua iterasi GRASP dilakukan. GRASP pertama kali diaplikasikan pada QAP oleh Li et. al. (1994).

Mereka menerapkan GRASP untuk 88 kejadian QAP, dan dapat menemukan solusi terbaik pada hampir setiap kasus, dan mengimprove solusi untuk beberapa kejadi- an, Pardalos et.al (1994).

3.9 Algoritma Analitik

Ada tiga metode utama yang digunakan untuk mencari solusi optimal global pada QAP, yaitu : dynamic programming, cutting plane techniques dan prosedur branch and bound. Riset telah menunjukkan bahwa prosedur branch and bound adalah yang paling berhasil dalam menyelesaikan QAP. Sejumlah besar komplek- sitas QAP, permasalahan dengan ukuran n > 15 masih menyisakan permasalahan, Pardalos et. at. (1994). Karena prosedur branch and bound pada umumnya paling membantu dalam menyelesaikan QAP, maka bagian ini akan dibatasi untuk mem- berikan gambaran dari algoritma ini. Pitsoulis (1994) memberikan gambaran yang cukup baik mengenai teknik branch and bound ini.

Algoritma branch and bound, disebut demikian, karena dari gambaran secara intuisi, mengenai bagaimana algoritma tersebut dieksekusi. Pertama kali prosedur heuristik digunakan untuk mendapatkan sub-optimal, yang merupakan solusi fisi- bel awal. Solusi awal ini digunakan sebagai batas atas. Selanjutnya permasalahan dibagi menjadi berhingga banyak sub-problem, dengan batas bawah ditetapkan untuk masing-masing sub problem, yang disebut search − tree yang dibentuk de- ngan pengulangan dekomposisi/batas bawah, proses diterapkan pada setiap sub problem. Bagaimanapun, banyak formulasi sub problem yang baru tidak diperhi- tungkan, sebelum ditetapkan batas bawah, Pitsoulis (1994). Yang terjadi adalah, bahwa permutasi optimal dikonstruksi secara iteratif, satu elemen setiap kali.

Metode branch and bound telah dikembangkan secara besar-besaran lebih dari

53 tahun yang lalu, dimulai oleh Gilmore (1962), yang telah menyelesaikan QAP

berukuran n = 8, kemudian QAP berukuran n = 30, Anstreicher et. al. (2000).

STRATEGI KOMBINASI

Strategi kombinasi yang penulis ajukan adalah dengan menggabungkan meto- de heuristic dan metode analitik, yang tertuang dalam tiga strategi, yaitu strategi titik random (random point strategy), strategi pertukaran maju (forward exchange strategy), dan strategi pertukaran mundur (backward exchange strategy).

Mula-mula ditetapkankan nilai θ yang cukup besar sebagai perbandingan, kemudian diinputkan dimensi, jumlah iterasi, matriks F , dan matriks D. Pada setiap iterasi dimunculkan random permutasi, yang selanjutnya random permutasi tadi dilakukan pertukaran maju (forward exchange), dan juga pertukaran mundur (backward exchange), dari setiap permutasi dihitung kembali nilai θ, setiap nilai θ dibandingkan satu dengan yang lain untuk menentukan nilai θ min dari setiap iterasi, dan terakhir ditentukan nilai θ yang paling min, yang merupakan nilai θ yang paling min dari seluruh iterasi. Nilai θ yang paling minimum inilah yang merupakan nilai objektif yang dicari, sekaligus juga ditampilkan pada permutasi berapa nilai optimum tadi terjadi, sekaligus dicatat running timenya, untuk melihat kecepatan program tersebut.

Adapun strategi strategi yang digunakan dalam metode kombinasi ini adalah 4.1 Strategi Untuk Mendapatkan Initial Starting Point

Pada umumnya, QAP adalah permasalahan non-konvex, oleh karena itu un-

tuk memperoleh solusi fisibel integer yang baik sangat diperlukan perhatian besar

terhadap prosedur pencarian titik awal x 0 . Untuk itu akan digunakan strategi titik

random untuk mendapatkan penugasan awal. Untuk memperoleh titik awal penu-

gasan dengan strategi titik random ini, digunakan komputer sebagai alat bantu

untuk menghasilkan permutasi random n bilangan dan menghitung fungsi objektif

dengan menggunakan hasil permutasi yang diperoleh tersebut. Untuk mendapat-

kan suatu titik awal penugasan yang baik maka perlu diinputkan suatu nilai objektif

θ sembarang (nilai yang cukup besar) sebagai nilai perbandingan. Dari penugasan

random tadi, dihitung fungsi objektif, yang kemudian dibandingkan dengan nilai

θ sebelumnya, θ yang nilainya lebih kecil yang disimpan. Kemudian diambil lagi

penugasan random, begitu seterusnya sampai sebanyak iterasi yang sudah diten-

25

26

tukan. Dengan demikian dari sebanyak iterasi tersebut, akan diperoleh penugasan yang menghasilkan nilai θ paling optimum.

Langkah-langkah untuk memperoleh titik awal random tersebut dapat ditu- liskan sebagai berikut:

1. Input nilai objektif θ sembarang sebagai titik perbandingan, n sebagai besar dimensi problema, ITER sebagai banyak iterasi, a = 1.

(a = nilai awal iterasi)

2. Membentuk permutasi random, x _i = randperm (n); untuk setiap fasilitas i, i = 1, 2, . . . , n.

3. x _ij = 1 untuk Generate x _i = j; x _ij = 0 untuk Generate x _i 6= j.

4. Hitung nilai fungsi Objektif

θ = ¯

n

X

i=1 n

X

k=1 n

X

j=1 n

X

l=1

f _ik d _jl x _ij x _kl

5. Jika ¯ θ < θ, maka θ = ¯ θ. Perbaharui x _ij ; a = a + 1.

6. Jika a < IT ER, kembali ke (2).

7. Selesai

Perlu diketahui bahwa titik awal penugasan yang dihasilkan dengan strategi titik random ini bukanlah merupakan hasil penyelesaian yang mendekati optimal, juga bukan merupakan hasil penyelesaian yang baik, oleh karena itu penentuan titik awal masih perlu dikembangkan.

Strategi pengembangan titik awal yang disajikan di bawah ini dihasilkan melalui metode heuristik.

4.2 Heuristik Untuk Mendapatkan Solusi Fisibel Integer

Untuk mendapatkan solusi fisibel integer, dapat digunakan pendekatan branch

and bound. Namun untuk permasalahan yang besar, komputasi,akan sangat sulit,

sehingga diperlukan usaha untuk mendapatkan solusi fisibel integer dari QAP. De-

ngan menggunakan penugasan awal yang sudah diperoleh menggunakan random

point strategy di atas, kemudian dilanjutkan dengan menggunakan forward ex- change strategy (strategi pertukaran maju) dan backward exchange strategy (strate- gi pertukaran mundur), dengan setiap permutasi yang dihasilkan dihitung nilai θ, dan dibandingkan dengan θ sebelumnya, θ yang lebih kecil disimpan, sehingga akan didapatkan solusi fisibel integer dari QAP.

4.2.1 Algoritma Forward Exchange Strategy

Langkah-langkah algoritma forward exchange strategy adalah sebagai berikut:

1. Input n sebagai besar dimensi problema

2. Baca matriks flow [f _ik ], matriks jarak [d _jl ], titik awal penugasan [x _ij ] 3. Hitung θ = P n

i=1

P n k=1

P n j=1

P n

l=1 f _ik d _jl x _ij x _kl 4. Generate x _i = j untuk x _ij = 1; i, j = 1, 2, . . . , n.

5. a = 1 6. b = 1

7. c = Generate x _i=a ; Generate x _i=a = Generate x _i=a+b ; Generate x _i=a+b = c 8. x _ij = 1 untuk Generate x _i = j; x _ij = 0 untuk Generate x _i 6= j,

i, j = 1, 2, . . . , n.

9. Hitung fungsi objektif θ = ¯

n

X

i=1 n

X

k=1 n

X

j=1 n

X

l=1

f _ik d _jl x _ij x _kl

10. Jika ¯ θ < θ, maka θ = ¯ θ. Perbaharui x _ij ke langkah (14) 11. Generate x _i=a+b = Generate x _i=a ; Generate x _i=a = c.

12. b = b + 1.

13. Jika b ≤ n − a maka ke langkah (7).

14. a = a + 1.

15. Jika a ≤ n maka ke langkah (6).

16. Selesai

28

4.2.2 Algoritma Backward Exchange Strategy

Langkah-langkah algoritma backward exchange strategy adalah sebagai berikut:

1. Input n sebagai besar dimensi problema

2. Baca matriks flow [f _ik ], matriks jarak [d _jl ], titik awal penugasan [x _ij ] 3. Hitung θ = P n

i=1

P n k=1

P n j=1

P n

l=1 f _ik d _jl x _ij x _kl 4. Generate x i = j untuk x ij = 1; i, j = 1, 2, . . . , n.

5. a = n 6. b = n

7. c = Generate x _i=a ; Generate x _i=a = Generate x _i=b ; Generate x _i=b = c 8. x ij = 1 untuk Generate x i = j; x ij = 0 untuk Generate x i 6= j,

i, j = 1, 2, . . . , n.

9. Hitung fungsi objektif θ = ¯

n

X

i=1 n

X

k=1 n

X

j=1 n

X

l=1

f _ik d _jl x _ij x _kl

10. Jika ¯ θ < θ, maka θ = ¯ θ. Perbaharui x _ij ke langkah (14) 11. Generate x _i=b = Generate x _i=a ; Generate x _i=a = c.

12. b = b − 1.

13. Jika b ≥ a + 1 maka ke langkah (7).

14. a = a − 1.

15. Jika a > 1 maka ke langkah (6).

16. Selesai

HASIL PENELITIAN DAN PEMBAHASAN

5.1 Pengalaman Komputasi

Program dikerjakan dengan menggunakan Matlab versi R2009b untuk win- dows 32-bit dengan lisensi trial (Lisensi ini memberikan ijin kepada pengguna untuk menggunakan program ini selama 30 hari).

Output program diletakkan pada f ile text, sehingga walaupun output pan- jang, tetap dapat dilihat semua dari awal sampai akhir.

Untuk melihat kebenaran hasil yang diperoleh, dibuat program pembanding.

Program pembanding ini menerima input berupa permutasi, matriks F , dan ma- triks D, sedangkan outputnya adalah θ.

Untuk run program ini digunakan laptop dengan processor Intel (R) core (TM) i3-3217U, CPU 1.80 GHz RAM 4.00 GB.

Untuk uji awal program diselesaikan terlebih dahulu kasus 3 x 3 secara manu- al, kemudian dicoba diselesaikan dengan program yang sudah dibuat. Hasil kedua perhitungan dibandingkan, untuk melihat apakah program berjalan sesuai dengan hasil yang diharapkan, dan sesuai dengan hasil perhitungan secara manual.

Berikut adalah dokumentasi perhitungan secara manual dan dengan meng- gunakan program, untuk kasus 3 x 3.

1. Perhitungan manual

F =











2 1 1 1 2 2 3 1 3











dan D =











2 1 1 1 2 2 3 1 3











29

30

Ada 6 kemungkinan permutasi, yaitu:

(i). (1, 2, 3) dengan θ = 34 (ii). (1, 3, 2) dengan θ = 28 (iii). (2, 1, 3) dengan θ = 29 (iv). (2, 3, 1) dengan θ = 30 (v). (3, 1, 2) dengan θ = 30 (vi). (3, 2, 1) dengan θ = 28

Dari 6 kemungkinan tersebut, diperoleh θ _min = 28 dengan permutasi (3, 2, 1) atau (1, 3, 2).

2. Dengan menggunakan program Input:

Dimensi=3

Jumlah Iterasi=1

Matriks Flow=[2 1 1; 1 2 2; 3 1 3]

Matriks Distance=[2 1 1; 1 2 2; 3 1 3]

Output:

PEMBUATAN RANDOM PERMUTASI KE 1 Initial Teta = 30

dengan formasi 3 1 2

FORWARD EXCHANGE

Penukaran dengan a=1 dan b=1 1 3 2

28

Penukaran dengan a=2 dan b=1 1 2 3

34

Hasil forward exchange strategy 28

BACKWARD EXCHANGE

Penukaran dengan a=2 dan b=3 3 2 1

28

Penukaran dengan a=1 dan b=3 1 2 3

34

Penukaran dengan a=1 dan b=2 2 3 1

30

Hasil backward exchange strategy 28

NILAI MINIMUM ITERASI KE 1 ADALAH 28

NILAI MINIMUM SETELAH ITERASI SEBANYAK 1 ADALAH 28 DENGAN PERMUTASI:

1 3 2

RUNNING TIME = 0.118642 DETIK

Terlihat dari hasil di atas ada dua permutasi yang mempunyai nilai θ _min = 28,

yaitu (1 3 2) dan (3 2 1), namun dengan program yang dijalankan, terpilih permu-

tasi (1 3 2), yaitu hasil yang diperoleh pada forward exchange, hal ini tidak salah

karena QAP adalah mencari penugasan 1-1 dari fasilitas ke lokasi sedemikian hing-

ga meminimumkan fungsi objektif kuadrat yaitu θ, dan dari hasil tersebut ternyata

ada dua penugasan yang sama-sama menghasilkan θ _min = 28.

32

Untuk kasus 6x6 langsung dihitung dengan program, dengan mengambil jum- lah iterasi 5, diperoleh hasil sebagai berikut :

Input : Dimensi = 6

Jumlah Iterasi = 5

Matrix Flow = [ 2 3 1 4 4 4 ; 2 2 2 2 2 2 ; 1 2 1 2 1 2 ; 2 3 2 3 2 3 ; 5 5 5 5 5 5 ; 3 2 3 2 3 2 ]

Matrix Distance = [ 1 1 1 1 1 1 ; 2 2 2 2 2 2 ; 1 2 1 2 1 2 ; 2 3 2 3 2 3 ; 6 6 6 6 6 6 ; 3 2 3 2 3 2 ]

Output :

PEMBUATAN RANDOM PERMUTASI KE 1 Initial Teta = 229

dengan formasi 6 3 5 1 2 4 FORWARD EXCHANGE

Penukaran dengan a=1 dan b=1 3 6 5 1 2 4

225

Penukaran dengan a=2 dan b=1 3 5 6 1 2 4

235

Penukaran dengan a=2 dan b=2 3 1 5 6 2 4

230

Penukaran dengan a=2 dan b=3 3 2 5 1 6 4

234

Penukaran dengan a=2 dan b=4 3 4 5 1 2 6

226

Penukaran dengan a=3 dan b=1

3 6 1 5 2 4

255

Penukaran dengan a=3 dan b=2 3 6 2 1 5 4

306

Penukaran dengan a=3 dan b=3 3 6 4 1 2 5

243

Penukaran dengan a=4 dan b=1 3 6 5 2 1 4

209

Penukaran dengan a=5 dan b=1 3 6 5 2 4 1

233

Hasil forward exchange strategy 209

BACKWARD EXCHANGE

Penukaran dengan a=5 dan b=6 6 3 5 1 4 2

236

Penukaran dengan a=4 dan b=6 6 3 5 4 2 1

228

Penukaran dengan a=3 dan b=6 6 3 1 4 2 5

258

Penukaran dengan a=3 dan b=5 6 3 2 4 5 1

315

Penukaran dengan a=3 dan b=4 6 3 4 5 2 1

251

Penukaran dengan a=2 dan b=6 6 1 5 4 2 3

230

34

Penukaran dengan a=2 dan b=5 6 2 5 4 3 1

221

Penukaran dengan a=1 dan b=6 1 2 5 4 3 6

219

Hasil backward exchange strategy 219

NILAI MINIMUM ITERASI KE 1 ADALAH 209

PEMBUATAN RANDOM PERMUTASI KE 2 Initial Teta = 272

dengan formasi 5 1 2 3 4 6

FORWARD EXCHANGE

Penukaran dengan a=1 dan b=1 1 5 2 3 4 6

242

Penukaran dengan a=2 dan b=1 1 2 5 3 4 6

232

Penukaran dengan a=3 dan b=1 1 2 3 5 4 6

259

Penukaran dengan a=3 dan b=2 1 2 4 3 5 6

306

Penukaran dengan a=3 dan b=3 1 2 6 3 4 5

252

Penukaran dengan a=4 dan b=1 1 2 5 4 3 6

219

Penukaran dengan a=5 dan b=1 1 2 5 4 6 3

231

Hasil forward exchange strategy 219

BACKWARD EXCHANGE

Penukaran dengan a=5 dan b=6 5 1 2 3 6 4

273

Penukaran dengan a=4 dan b=6 5 1 2 6 4 3

274

Penukaran dengan a=4 dan b=5 5 1 2 4 3 6

259

Penukaran dengan a=3 dan b=6 5 1 6 4 3 2

255

Penukaran dengan a=2 dan b=6 5 2 6 4 3 1

252

Penukaran dengan a=1 dan b=6 1 2 6 4 3 5

237

Hasil backward exchange strategy 237

NILAI MINIMUM ITERASI KE 2 ADALAH 219

PEMBUATAN RANDOM PERMUTASI KE 3 Initial Teta = 244

dengan formasi

4 5 2 3 6 1