• Tidak ada hasil yang ditemukan

4.3 Model Penyebaran SARS

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2022

Membagikan "4.3 Model Penyebaran SARS"

Copied!
23
0
0

Teks penuh

(1)

4.3 Model Penyebaran SARS

(2)

Model SIR

Merupakan model penyebaran penyakit sederhana yang diperkenalkan oleh

Kermack dan McKendrick pada 1927.

Terdapat 3 populasi dalam model ini:

Susceptible (S) yang tidak imun terhadap penyakit.

Infected (I) yang memiliki penyakit dan dapat menyebarkannya pada orang lain.

Recovered (R) yang telah sembuh dari penyakit dan kemudian imun terhadap penyakit tersebut.

This Photo by Unknown Author is licensed under CC BY-NC-ND

William Ogilvy Kermack biochemist

1898 – 1970

Anderson Gray McKendrick physician and epidemiologist

1876 - 1943

(3)

Influenza dalam

Lingkungan Tertutup

Pandang penyebaran penyakit dalam lingkungan tertutup, di mana tidak ada

kelahiran, kematian, imigrasi, atau emigrasi.

Contoh kasus.

Influenza pada suatu sekolah berasrama.

Pada 22 Januari, seorang siswa terkena flu, yang siswa lainnya belum pernah terkena.

Pada akhir wabah di 4 Februari, 512 dari 763 siswa di sekolah tersebut telah tertular flu.

British Medical Journal 1978

(4)

Model SIR untuk R

Asumsikan bahwa setelah waktu tertentu, individu yang memiliki flu akan sembuh.

Laju perubahan banyaknya recovered sebanding dengan banyaknya infected.

Persamaan diferensial banyaknya recovered adalah:

𝑑𝑅

𝑑𝑡 = 𝑎𝐼 dengan 𝑎 adalah laju kesembuhan.

Dalam model ini, 𝑎 = 1

𝑑,

dengan 𝑑: banyaknya hari seseorang terinfeksi.

(5)

Model SIR untuk S

Siswa susceptible akan terinfeksi influenza dengan melakukan kontak terhadap siswa infected.

Banyaknya kemungkinan kontak adalah hasil kali ukuran kedua

populasi, 𝑆𝐼. Laju perubahan banyaknya susceptible sebanding dengan 𝑆𝐼.

Dengan mengasumsikan tidak ada siswa baru, banyaknya susceptible akan berkurang.

Persamaan diferensial untuk 𝑆 adalah:

𝑑𝑆

𝑑𝑡 = −𝑟𝑆𝐼 dengan 𝑟 > 0 konstanta transmisi.

(6)

Konstanta Transmisi

Seorang anak yang sakit menularkan penyakitnya dengan berinteraksi dengan anak lain yang susceptible dan interaksi tersebut berakibat pada penularan.

Misalkan 𝑁 adalah ukuran populasi.

Laju perubahan 𝑆 terhadap waktu (𝑑𝑆/𝑑𝑡) dapat dipandang sebagai negatif hasil kali dari:

• rata-rata kontak per hari yang dilakukan individu infected (𝑘),

• peluang kontak terjadi dengan individu susceptible (𝑆/𝑁),

• peluang terjadi penularan pada saat kontak (𝑏), dan

• banyaknya individu infected (𝐼).

𝑑𝑆/𝑑𝑡 = −𝑘(𝑆/𝑁)𝑏𝐼 = −(𝑘𝑏/𝑁)𝑆𝐼 Sehingga konstanta transmisi 𝑟 adalah 𝑘𝑏/𝑁.

(7)

Model SIR untuk I

Hanya susceptible bisa menjadi infected, dan infected akhirnya akan sembuh.

𝐼 memperoleh apa yang hilang dari 𝑆 dan yang hilang dari 𝐼, akan ditambahkan pada 𝑅.

Akibatnya, persamaan diferensial untuk laju perubahan banyaknya infected adalah:

𝑑𝐼

𝑑𝑡 = − 𝑑𝑆

𝑑𝑡 𝑑𝑅 𝑑𝑡

Berikan persamaan diferensial untuk laju perubahan banyaknya infected dalam 𝑆, 𝐼, 𝑅, konstanta transmisi (𝑟), dan laju kesembuhan (𝑎).

(8)

Diagram Model SIR

(9)

Hasil Simulasi

𝑠𝑢𝑠𝑐𝑒𝑝𝑡𝑖𝑏𝑙𝑒𝑠(0) = 762

𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑚𝑖𝑠𝑠𝑖𝑜𝑛_𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡 = 0.00218 𝑖𝑛𝑓𝑒𝑐𝑡𝑒𝑑𝑠(0) = 1

𝑟𝑒𝑐𝑜𝑣𝑒𝑟𝑦_𝑟𝑎𝑡𝑒 = 0.5 𝑟𝑒𝑐𝑜𝑣𝑒𝑟𝑒𝑑𝑠(0) = 0

Jawablah pertanyaan berikut.

a. Pada hari ke berapa jumlah anak yang sakit terbanyak?

b. Pada hari ke berapa sebagian besar dari anak sakit atau telah sembuh?

c. Pada hari ke berapa sebagian besar anak telah sembuh?

(10)

Model SARS

Marc Lipsitch membangun model

penyebaran severe acute respiratory

syndrome (SARS) dan menggunakan model tersebut untuk melihat efek usaha

mereduksi penyebaran SARS.

Usaha yang dilakukan meliputi karantina individu exposed dari populasi susceptible dan isolasi individu infected.

Model Lipsitch merupakan perluasan dari model SEIR (susceptible-exposed-infected- recovered) yang memiliki populasi exposed (𝑬): individu yang terinfeksi penyakit,

namun belum dalam tahap menularkan.

Model Lipsitch memodifikasi SEIR dengan memasukkan unsur karantina, isolasi, dan kematian.

(11)

Bangunlah Model SEIR untuk penyebaran penyakit.

(12)

Asumsi Model Lipsitch

1. Tidak ada kelahiran.

2. Kematian hanya terjadi oleh SARS.

3. Banyaknya kontak dari individu infected dengan individu

susceptible konstan dan tidak tergantung pada kepadatan populasi.

4. Untuk individu susceptible yang terekspos dengan penyakit,

konstanta karantina (𝑞) sama untuk individu non-infected maupun infected.

5. Karantina dan isolasi efektif. Individu di dalam karantina atau

isolasi tidak dapat menyebarkan penyakit atau tidak dapat tertular penyakit.

(13)

Populasi dalam Model Lipsitch

susceptible (𝑆): individu yang tidak mengidap SARS tapi dapat tertular.

susceptible_quarantined (𝑆𝑄): individu yang tidak mengidap SARS, dikarantina sehingga tidak dapat terinfeksi.

exposed (𝐸): individu yang sudah mengidap SARS, tapi belum menunjukkan tanda terinfeksi dan belum menular.

exposed_quarantined (𝐸𝑄): individu yang sudah mengidap SARS, belum menunjukkan tanda terinfeksi dan belum menular, tetapi dikarantina.

infectious_undetected (𝐼𝑈): individu yang sudah mengidap SARS dan dapat menularkan, tetapi belum terdeteksi.

infectious_quarantined (𝐼𝑄): individu yang sudah mengidap SARS, tetapi dikarantina sehingga tidak dapat menularkan.

infectious_isolated (𝐼𝐷): individu yang sudah mengidap SARS, tetapi diisolasi sehingga tidak dapat menularkan.

SARS_death (𝐷): individu yang meninggal karena SARS.

recovered_immune (𝑅): individu yang telah imun terhadap penularan.

(14)

Transisi Antar Kategori

Jawablah pertanyaan berikut

mengenai transisi dalam diagram model.

a. Kategori apa saja keluar dari 𝑆?

b. Kategori apa saja yang masuk ke dalam 𝑆?

c. Kategori apa saja yang masuk ke

dalam 𝐷?

(15)

Diagram Model Lipsitch

𝑏: peluang bahwa kontak antara infectious_undetected (𝐼𝑈) dan susceptible (𝑆) mengakibatkan penularan SARS.

𝑘: banyak kontak per hari dari infectious_undetected (𝐼𝑈), konstan tanpa memandang kepadatan populasi.

𝑚: laju kematian per kapita.

𝑁0: populasi awal.

𝑝: rasio dari exposed yang kemudian dapat menularkan SARS per hari.

𝑞: rasio dari susceptible (𝑆) yang masuk ke karantina per hari, baik menjadi susceptible_quarantined (𝑆𝑄) maupun exposed_quarantined (𝐸𝑄).

𝑢: rasio dari susceptible_quarantined (𝑆𝑄) yang diperbolehkan meninggalkan karantina per hari.

𝑣: laju kesembuhan per kapita.

𝑤: rasio dari infectious_undetected (𝐼𝑈) yang terdeteksi dan kemudian diisolasi.

(16)

Situasi dalam model Lipsitch

Manakah situasi yang mungkin terjadi dalam model:

a. Individu yang susceptible meninggal karena SARS

b. Individu yang mengidap SARS namun undetected dapat sembuh tanpa menjadi infectious.

c. Individu dalam karantina dan didiagnosa mengidap SARS sembuh tanpa mengalami isolasi.

d. Individu yang telah sembuh dari SARS kembali menjadi infected.

e. Individu ditransfer dari isolasi ke karantina

(17)

Konstanta dan Laju

Perubahan untuk I

Seseorang dapat berpindah dari infectious_undetected (𝐼𝑈) ke

• recovered_immune dengan laju 𝑣,

• SARS_death dengan laju 𝑚, atau

• infectious_isolated (𝐼𝐷) dengan laju 𝑤.

Total laju perubahan untuk meninggalkan

infectious_undetected (𝐼𝑈) adalah 𝑣 + 𝑚 + 𝑤 per hari. Akibatnya, rata-rata durasi terinfeksi adalah

1

𝑣 + 𝑚 + 𝑤 hari.

𝑘/𝑁0adalah rasio kontak per hari. Karena 𝑏 adalah peluang penyebaran penyakit, (𝑘/𝑁0)𝑏 merupakan konstanta transmisi.

𝐼𝑈𝑆 merupakan banyaknya kontak yang mungkin.

Akibatnya, (𝑘/𝑁0) 𝑏 𝐼𝑈𝑆 = 𝑘𝑏𝐼𝑈𝑆 / 𝑁0 adalah banyaknya kasus SARS baru setiap harinya.

Dari kasus baru tersebut, 𝑞 bagian akan berpindah ke exposed_quarantined (𝐸𝑄), dan sisanya, (1 – 𝑞), ke exposed (𝐸).

(18)

Konstanta dan Laju

Perubahan untuk S

Untuk individu yang berpindah dari susceptible (𝑆) ke susceptible_quarantined (𝑆𝑄), walaupun mereka melakukan kontak dengan individu

yang memiliki penyakit, mereka tidak akan tertular.

Karena 𝑘/𝑁0 adalah rasio kontak per hari, total kontak yang mungkin adalah 𝐼𝑈𝑆, dan peluang tidak terjadinya penularan adalah (1 – 𝑏), maka total kontak yang tidak mengakibatkan penularan adalah

(𝑘/𝑁0)(1 – 𝑏)𝐼𝑈𝑆 = 𝑘(1 – 𝑏)𝐼𝑈𝑆 / 𝑁0. Namun, hanya sebagian (𝑞) yang akan masuk ke karantina.

Akibatnya, laju perubahan dari susceptible (𝑆) ke susceptible_quarantined (𝑆𝑄) adalah

𝑞𝑘(1 – 𝑏)𝐼𝑈𝑆 / 𝑁0.

(19)

Konstanta dan laju perubahan

a. Misalkan diperlukan rata-rata 3 hari untuk seseorang yang mengidap SARS

tetapi belum menularkan untuk berubah menjadi dapat menularkan. Tentukan p beserta satuannya.

b. Berikan laju perubahan individu exposed yang tidak dikarantina untuk berpindah ke fase tertular tapi belum terdeteksi.

c. Berikan laju perubahan individu exposed yang dikarantina untuk berpindah ke

fase tertular dan dikarantina.

(20)

Konstanta dan laju perubahan (2)

d. Misalkan 10% dari individu yang dikarantina namun tidak mengidap SARS

diperbolehkan meninggalkan karantina setiap harinya. Berikan u dan rata-rata jumlah hari individu susceptible berada di karantina.

e. Misalkan durasi karantina adalah 16 hari. Jika seseorang tidak menunjukkan tanda tertular SARS dalam masa itu, maka orang tersebut diperbolehkan

meninggalkan karantina. Berikan konstantan yang bersesuaian dan nilainya

f. Berikan laju perubahan individu susceptible yang dikarantina kembali

meninggalkan karantina.

(21)

Bilangan

Reproduktif

Model Lipsitch bertujuan untuk mengevaluasi keefektifan karantina dan isolasi.

Untuk itu didefinisikan bilangan reproduktif 𝑅, yang merupakan ekspektasi dari kasus infeksi sekunder yang terjadi dari kasus infeksi rata-rata pada saat penularan terjadi.

Bilangan reproduktif dasar 𝑅0 adalah bilangan reproduktif awal pada saat hanya ada 1 individu terinfeksi dan yang lain susceptible.

Contoh.

𝑅0 = 3 bermakna bahwa 1 orang yang terinfeksi

pada awalnya akan mengakibatkan 3 orang terinfeksi.

Bilangan ini memberikan prospek pertumbuhan secara eksponensial dari banyak orang terinfeksi.

Amat penting untuk menjaga 𝑅0 < 1, agar tidak terjadi wabah. Jika 𝑅0 > 1, akan terjadi wabah.

(22)

Menghitung Bilangan

Reproduktif Dasar

Individu infectious_undetected memiliki kontak dengan rata-rata 𝑘 orang per hari.

Pada awalnya, dengan peluang penularan 𝑏, terdapat 𝑘𝑏 kasus SARS sekunder per hari yang diperoleh dari orang pertama yang terinfeksi.

Jadi, untuk rata-rata durasi SARS 𝐷 hari, bilangan reproduksi dasar 𝑅0, adalah 𝑘𝑏𝐷.

Karena rata-rata durasi seseorang terinfeksi adalah

1

𝑣 + 𝑚 + 𝑤 hari, maka tanpa karantina, seorang

individu yang terinfeksi akan mengakibatkan kasus SARS sekunder sebanyak 𝑅0 = 𝑘𝑏

𝑣 + 𝑚 + 𝑤.

Namun demikian, ketika 𝑞 bagian dikarantina

sehingga (1 − 𝑞) tidak masuk karantina, bilangan reproduktif menjadi 𝑅0 = 𝑘𝑏

𝑣 + 𝑚 + 𝑤(1 − 𝑞).

Semakin besar 𝑞, 𝑅0 akan semakin kecil.

(23)

Lengkapi Model SARS Lipsitch dengan keluaran

bilangan reproduktif R.

Gambar

Diagram Model SIR
Diagram Model Lipsitch

Referensi

Dokumen terkait

Pidana Pencurian Kendaraan Bermotor Dengan Kekerasan Kendala yang dihadapi Polri dalam penegakan hukum terhadap. tindak pidana pencurian kendaraan bermotor dengan

With respect to accounting standards in particular, the Financial Stability Forum (FSF, 2009) and the US Treasury (2009) strongly recommend that both the FASB and IASB re-evaluate

Jika di ketahui dua buah formulir, yaitu Kartu Mahasiswadan KFtrS. Kartu

Melalui RE, experiment desain keramik dinding mampu mempercepat proses desain konvensional pembuatan master keramik dari perkiraan engineer art PT Nuanza Porselen Indonesia

[r]

• Sel elektrokimia baik yang melepas atau menyerap energi selalu melibatkan perpindahan elektron-elektron dari satu senyawa ke senyawa yang lain dalam suatu reaksi oksidasi

– Jika r adalah total semua pengurang, maka nilai batas untuk simpul S adalah:. – Hasil reduksi ini menghasilkan

Dengan menggunakan metode Monte Carlodengan jenis sistem antrian Mul Channel Single Phase (model nyata) dalam menganalisissuatu antrian pelayanan pelanggan di