Pertemuan 12. Teori Graf

Pertemuan 12

Teori Graf

Derajat

Definisi

Misalkan v adalah titik dalam suatu Graf G. Derajat titik v (simbol d(v)) adalah jumlah

garis yang berhubungan dengan titik v dan garis suatu loop dihitung dua kali. Derajat

total G adalah jumlah derajat semua titik dalam G.

Contoh

Tentukan derajat tiap-tiap titik dalam graf. Berapa derajat totalnya ?

e

5

v

4

v

6

e

4

v

5

v

3

v

2

v

₁

e

3

e

2

e

₁

Penyelesaian :

d(v ₁ ) = 4 karena garis yarag berhubungan dengan v ₁ adalah e ₂ , e ₃ dan loop e ₁ yang dihitung dua kali

d(v ₂ ) = 2 karena garis yaag berhubungan dengan v ₂ adalah e ₂ dan e ₃ .

d(v ₃ ) = d(v ₅ ) = 1 karena garis yang berhubungan dengan v ₃ dan v ₅ adalah e ₄

d(v ₄ ) = 2 karena garis yarag berhubungan dengan v ₄ adalah loop e ₅ yang dihitung 2 kali.

d(v6) = 0 karena tidak ada garis yang berhubungan dengan v ₆ . Derajat total =   















6



1

10 0 1 2 1 2 4

i

v

i

d

Teorema

Derajat total suatu graf selalu genap.

Bukti

Misalkan G adalah suatu graf.

Jika G tidak memiliki garis sama sekali berarti derajat totalnya = 0 yang merupakan bilangan genap, sehingga teorema terbukti.

Misalkan G mempunyai n buah titik v

₁

, v

₂

, ... , v

_n

(n > 0) dan k buah

garis e

₁

, e

₂

, ... ,e

_k

(k > 0). Ambil sembarang garis e

_i

. Misalkan garis e

_i

menghubungkan v

_i

dengan v

_j

. Maka e

_i

memberikan kontribusi masing-

masing 1 ke penghitungan derajat v

_i

dan derajat v

_j

(hal ini juga benar

jika v

_i

= v

_j

karena derajat suatu loop dihitung 2 kali), sehingga e

_i

memberi kontribusi 2 ke penghitungan derajat total. Karena e

_i

dipilih

sembarang, berarti semua garis dalam G memberi kontribusi 2 dalam

penghitungan derajat total. Dengan kata lain, derajat total G = 2 kali

jumlah garis dalam G. Karena jumlah garis dalam G merupakan

bilangan bulat, berarti derajat total G merupakan bilangan genap.

Teorema

Dalam sembarang graf, jumlah titik yang berderajat ganjil adalah genap.

Bukti

Misalkan G suatu graf.

Jika G tidak mempunyai garis sama sekali berarti banyaknya titik yang berderajat ganjil = 0 yang merupakan bilangan genap sehingga teorema terbukti dengan sendirinya.

Misalkan G mempunyai n buah titik v

_i

, v

₂

, ... , v

_n

dan k buah garis e

₁

, e

₂

, ... , e

_k

.

Misalkan di antara k garis tersebut ada k

_i

buah garis yang berderajat ganjil dan k

₂

= k – k

₁

buah garis yang berderajat genap.

Akan dibuktikan bahwa k

₁

adalah bilangan genap.

Misalkan E adalah jumlah derajat semua titik yang berderajat genap, 0 adalah jumlah derajat semua titik yang berderajat ganjil, dan T adalah derajat total graf G.

Jika O = d(e

_i

) + d(e

₂

)+ ... + d( ).

dan E = d( )+ d( )+ ... + d(e

_k

).

maka T = E + O

Menurut Teorema 2, maka T adalah bilangan genap. Karena d( )+ d( )+ ... + d(e

_k

) masing-masing berderajat genap, maka E = d( )+ d( )+ ... + d(e

_k

) juga merupakan bilangan genap.

Dari relasi T = E + O, berarti O = T – E. Karena baik T maupun E merupakan bilangan-bilangan genap maka O = d(e

_i

) + d(e

₂

)+ ... + d( ) juga merupakan bilangan genap. Padahal menurut asumsi, d(e

₁

), d(e

₂

), ... ,d( ) masing-masing adalah bilangan ganjil. Jadi O (bilangan genap) merupakan jumlahan dari k

₁

buah bilangan ganjil. Hal ini hanya bisa terjadi kalau k

₁

adalah bilangan genap.

Terbukti bahwa k

₁

(jumlah titik yang berderajat ganjil) merupakan bilangan

genap.

Contoh

Gambarlah graf dengan spesifikasi di bawah ini (jika ada).

• Graf dengan 4 titik yang masing-masing berderajat 1,1, 2 dan 3.

• Graf dengan 4 titik dengan masing-masing berderajat 1, 1, 3, dan 3.

• Graf dengan 10 titik yang masing-masing berderajat 1, 1, 2, 2, 2, 3, 4, 4, 4, dan 6.

• Graf sederhana dengan 4 titik yang masing-

masing berderajat 1, 1, 3, dan 3.

Penyelesaian :

a. Derajat total = 1 + 1 + 2 + 3 = 7 (ganjil). Menurut Teorema 2 maka tidak ada graf dengan derajat total ganjil.

b. Derajat total = 1 + 1 + 3 + 3 = 8 (genap). Jadi, ada graf dengan spesifikasi semacam itu. Beberapa diantaranya tampak pada gambar.

c. Ada 3 titik yang berderajat ganjil (yaitu titik-titik yang berderajat 1, 1, dan 3).

Menurut teorema 3, tidak mungkin ada graf dengan spesifikasi semacam itu.

Pengecekan juga dapat dilakukan dengan menghitung derajat totalnya yang merupakan bilangan ganjil.

d. Derajat total = 1 + 1 + 3 + 3 = 8 (genap) sehingga mungkin buat graf dengan spesifikasi tersebut. Tetapi, graf yang dapat dibuat adalah graf secar umum (seperti soal (b)), dan bukan graf sederhana. Graf sederhana dengan spesifikasi tersebut tidak mungkin dibuat.

v

₃

v

₂

v

₄

v

1

v

₄

v

₃

v

₂

v

1

v

3

v

₂

v

4

v

₁

Path dan Sirkuit

Definisi

Misalkan G adalah suatu graf. Misalkan pula v

dan w adalah 2 titik dalam G. Suatu Walk dari

v ke w adalah barisan titik-titik berhubungan

dan garis secara berselang-seling, diawali dari

titik v dan diakhiri pada titik w.

Walk dengan panjang n dari v ke w dituliskan sebagai berikut: v ₀ e _i v ₁ e ₂ v ₂ , …, v _n-1 e _n v _n dengan v ₀ = v; v _n = w; v _j-i dan v _i adalah titik-titik ujung garis e _i .

Path dengan panjang n dari v ke w adalah walk dari v ke w yang semua garisnya berbeda. Path dari v ke w dituliskan sebagai v = v ₀ e ₁ v ₁ e ₂ v ₂ ... v _n-1 e _n v _n = w dengan e _i

 e _j untuk i  j.

Path sederhana dengan panjang n dari v ke w adalah Path dari v ke w yang semua

titiknya berbeda. Path sederhana dari v ke w berbentuk v = v ₀ e ₁ v ₁ e ₂ v ₂ ... v _n-1 e _n v _n = w

dengan e _i  e _j untuk i  j dan v _k  v _m untuk k  m.

Sirkuit dengan panjang n adalah Path yang dimulai dan diakhiri pada titik yang sama.

Sirkuit adalah path yang berbentuk v ₀ e ₁ v ₁ e ₂ v ₂ ... v _n-1 e _n v _n dengan v ₀ =v _n .

Sirkuit sederhana dengan panjang n adalah Sirkuit yang semua titiknya berbeda. Sirkuit

sederhana berbentuk v ₀ e ₁ v ₁ e ₂ v ₂ ... v _n-1 e _n v _n dengan e _i  e _j untuk i  j dan v _k  v _m untuk

k  m kecuali v ₀ = v _n .

Walk v w

v = v₀e₁v₁e₂v₂. . . v_n-1e_nv_n= w v_i-1dan v_iadalah titik-titik ujung garis ei

Path v w

Path sederhana v w Sirkuit

Sirkuit Sederhana Semua garis berbeda

Semua titik berbeda Titik awal dan akhir sama (v₀= v_n)

Titik awal dan akhir sama (v₀= v_n) Semua titik berbeda kecuali (v₀=

v_n)

Contoh

Tentukan mana di antara barisan titik dan garis pada gambar berikut yang merupakan walk, path, path sederhana, sirkuit dan sirkuit sederhana.

a. v

1

e

1

v

2

e

3

v

3

e

4

v

3

e

5

v

4

b. v

1

e

1

v

2

e

3

v

3

e

5

v

4

e

5

v

3

e

6

v

5

c. v

₂

e

₃

v

₃

e

₅

v

₄

e

₁₀

v

₅

e

₆

v

₃

e

₇

v

₆

e

₈

v

₂

d. v

2

e

3

v

3

e

5

v

4

e

10

v

5

e

9

v

6

e

8

v

21

e. v

1

Penyelesaian :

a. Semua garis berbeda (e

₁

, e

₃

, e

₄

, dan e

₅

masing-masing muncul sekali). Titik awal dan titik akhir tidak sama (titik awal = v

₁

dantitik akhir v

₄

). Disimpulkan bahwa barisan tersebut merupakan Path dari v

₁

ke v

₄

dengan panjang 4.

b. Ada garis yang muncul lebih dari sekali, yaitu e

₅

(muncul 2 kali) berarti barisan tersebut merupakan walk dari v

₁

ke v

₅

dengan panjang 5.

c. Semua garisnya berbeda. Ada titik berulang (v

₃

muncul 2 kali). Titik awal dan akhirnya sama, yaitu v

₂

. berarti barisan tersebut merupakan sirkuit dengan panjang 6. Barisan tersebut bukan merupakan sirkuit sederhana dengan panjang 5.

d. Karena barisan hanya memuat satu titik saja, berarti tidak ada garis yang sama.

Barisan diawali dan diakhiri pada titik yang sama serta tidak mempunyai titik yang sama diantaranya. Maka disimpulkan bahwa barisan merupakan sirkuti sederhana (sering kali disebut sirkuti trivial).

e. Karena barisan hanya satu titik saja, berarti tidak ada garis yang sama. Barisan

diawali dan diakhiri pada titik yang sama serta tidak memiliki titik yang sama

diantaranya. Dengan demikian diimpulkan bahwa barisan merupakan sirkuit

sederhana.

Sirkuit Euler

Definisi

Misalkan G adalah suatu graf. Sirkuit Euler G

adalah sirkuit di mana setiap titik dalam G

muncul paling sedikit sekali dan setiap garis

dalam G muncul tepat satu kali.

Graf Terhubung dan Tidak Terhubung

Definisi

Misalkan G adalah suatu graf

Dua titik v dan w dalam G dikatakan terhubung bila dan hanya bila ada walk dari v ke w

Graf G dikatakan terhubung bila dan hanya bila setiap 2 titik dalam G terhubung.

Graf G dikatakan tidak terhubung bila dan hanya bila ada

2 titik dalam G yang tidak terhubung.

Contoh

Manakah di antara graf pada gambar yang merupakan graf terhubung?

Penyelesaian:

a. Graf terhubung

b. Graf tidak terhubung karena tidak ada walk dari v ₅ ke v ₄

c. Graf tidak terhubung karena tidak ada walk dari v ₂ ke v ₃ . Kita harus hati-hati terhadap visualisasi graf yang tampaknya terhubung, padahal sebenarnya tidak.

(b) (a)

e ₅ v ₆

v ₅ e ₄ e ₃

e ₂ e ₁

v ₄ v ₃ v ₂

v ₁ e ₄

e ₃ e ₂

e ₁

v ₄ v ₃ v ₂

v ₁

e ₂ e ₁

v ₄ v ₃

v ₂ v ₁

(c)

Isomorfisma

Definisi

Misalkan G adalah suatu graf dengan himpunan titik V(G) dan himpunan garis E(G).

G' adalah graf dengan himpunan titik V(G') dan himpunan garis E(G').

G isomorfis dengan G' bila dan hanya bila ada korespondensi satu-satu g : V(G)  V(G') dan

h : E(G)  E(G') Sedemikian hingga

( v, w  V(G) dan e  E(G))

v dan w adalah titik-titik ujung e  g(v) dan g(w) adalah titik-titik ujung h(e)

Teorema

Misalkan G adalah graf terhubung.

G adalah sirkuit Euler bila dan hanya bila semua titik dalam g mempunyai derajat genap.

Contoh

Tentukan mana diantara graf-graf pada gambar yang merupakan sirkuit Euler. Pada graf

yang merupakan sirkuit Euler, carilah rute perjalanan kelilingnya.

Penyelesaian:

a. d(v

₂

) = d(v

₃

) = d(v

₄

) = d(v

₆

) = d(v

₁₀

) = 2 d(v

5

) = 4

d(v

7

) = d(v

8

) = d(v

9

) = 3 d(v

1

) = 5

Karena ada titik yang berderajat ganjil, maka (a) bukanlah sirkuit Euler

b. Meskipun semua titiknya berderajat 2 (genap), tetapi graf-nya tidak terhubung. Jadi (b) bukanlah sirkuit Euler

c. d(v

1

) = d(v

3

) = 2

d(v

2

) = d(v

4

) = d(v

5

) = 4

Karena graf (c) terhubung dan semua titiknya berderajat genap, maka (c) merupakan sirkuit Euler.

Salah satu perjalanan kelilingnya adalah v

₁

e

₁

v

₂

e

₃

v

₅

e

₆

v

₄

e

₇

v

₅

e

₂

v

₂

e

₄

v

₃

e

₅

v

₄

e

₈

v

₁

Contoh

Tunjukkan bahwa graf G dan G' pada gambar adalah isomorfis

G G’

Graf Berarah (Digraph)

Definisi 13

Suatu Graf Berarah G terdiri dari:

himpunan titik-titik V(G) : {v ₁ , v ₂ , ... }, himpunan garis- garis E(G) : {e ₁ , e ₂ , ... }, dan suatu fungsi  yang mengawankan setiap garis dalam E(G) ke suatu pasangan berurutan titik (v _i , v _j ).

Jika e _k = (v _i , v _j ) adalah suatu garis dalam G, maka v _i

disebut titik awal e _k dan v _j disebut titik akhir e _k. Arah garis

adalah dari v _i ke v _j .

Jumlah garis yang keluar dari titik v _i disebut derajat keluar (out degree) titik v _i (simbol d ⁺ (v _i )), sedangkan jumlah garis yang menuju ke titik v _i disebut derajat masuk (in degree) titik v _i , yang disimbolkan sebagai d ^ (v _i ).

Titik terasing adalah titik dalam G di mana derajat keluar dan derajat masuk adalah 0.

Titik pendan adalah titik dalam G di mana jumlah derajat masuk dan derajat keluamya= 1

Dua garis berarah dikatakan paralel jika keduanya

mempunyai titik awal dan titik akhir yang sama.

Contoh

Perhatikan graf berarah G pada gambar 38

Tentukan :

a. Himpunan titik-titik, himpunan garis-garis dan fungsi perkawanan .

b. Derajat masuk dan derajat keluar tiap-tiap titik.

c. Titik terasing dan titik pendan.

d. Garis pararel.

Penyelesaian:

a. V(G) = { v₁, v₂, v₃, v₄, v₅, v₆ }

E(G) = { e₁, e₂, e₃, e₄, e₅, e₆, e₇, e₈, e₉}

Fungsi  mengawankan garis-garis dengan pasangan titik-titik sebagai berikut : e₁ dengan (v₁, v₂)

e2 dengan (v4, v1) e3 dengan (v1, v4) e₄ dengan (v₁, v₃) e₅ dengan (v₃, v₃) e₆ dengan (v₃, v₄) e7 dengan (v3, v5) e₈ dengan (v₅, v₄) e₉ dengan (v₅, v₄)

b. d⁺(v₁) = 3 ; d^(v₁) = 1 d⁺(v2) = 0 ; d^(v2) = 1 d⁺(v₃) = 3 ; d^(v₃) = 2 d⁺(v4) = 1 ; d^(v4) = 4 d⁺(v₅) = 2 ; d^(v₅) = 1 d⁺(v6) = 0 ; d^(v6) = 0

Perhatikan bahwa dalam setiap graf berarah,



^

 

^



^

 

i

i i

i d v

v d c. Titik terasing adalah v₆. Titik pendan adalah v₂. d. Garis pararel adalah e₈ dan e₉

Perhatikan bahwa e₂ dan e₃ bukanlah garis paralel karena arahnya berbeda.

Path dan Sirkuit Berarah

Pengertian walk, path, sirkuit dalam graf berarah sama dengan walk, path dan sirkuit dalam graf tak berarah. Hanya saja dalam graf berarah, perjalanan yang dilakukan harus mengikuti arah garis. Untuk membedakan dengan graf tak berarah, maka walk, path dan sirkuit dalam graf berarah disebut walk berarah, path berarah dan sirkuit berarah.

Suatu graf berarah yang tidak memuat sirkuit

berarah disebut Asklik.

Contoh

Tentukan path berarah terpendek dari titik v

₅

ke titik v

₂

pada graf berarah gambar

Penyelesaian:

Ada beberapa path berarah dari v

₅

ke v

₂

yang dapat dilakukan, misalnya: v

₅

v

₁

v

₃

v

₄

v

₂

,

v

₅

v

₁

v

₂

, . . . Yang terpendek adalah v

₅

v

₁

v

₂

dengan panjang = 2.

Contoh

Ada 4 macam golongan darah, masing-nasing A, B, AB dan O. Dan gol O dapat diberikan ke semua golongan. Darah golongan A dan B dapat diberikan ke golongannya sendiri atau ke golongan AB. Darah golongan A hanya dapat diberikan pada pasien dengan golongan AB. Gambarlah graf berarah untuk menyatakan keadaan tersebut. Anggaplah garis dari v

i

ke v

j

menyatakan bahwa darah dari v

i

dapat diberikan pada v

j

. Apakah graf- nya Asiklik?

Penyelesaian:

Graf berarah pada gambar 40 menyatakan keadaan tranfusi darah yang mungkin dilakukan. Tampak bahwa dalam graf berarah tersebut tidak ada sirkuit berarah sehingga graf-nya Asiklik.

Graf Berarah Terhubung

Suatu graf tak berarah disebut terhubung jika ada walk yang menghubungkan setiap 2 titiknya. Pengertian ini berlaku juga bagi graf berarah. Berdasarkan arah garisnya, dalam graf berarah dikenal 2 jenis keterhubungan, yaitu terhubung kuat dan terhubung lemah.

Definisi

Misalkan G adalah suatu graf berarah dan v,w adalah sembarang 2 titik dalam G.

G disebut terhubung kuat jika ada path berarah dari v ke w.

G disebut terhubung lemah, jika G tidak terhubung kuat,

tetapi graf tak berarah yang bersesuaian dengan G

terhubung.

Contoh

Manakah di antara graf-graf pada gambar 41 yang terhubung kuat dan terhubung lemah?

Penyelesaian:

Dalam G ₁ , setiap 2 titik dapat dihubungkan dengan path berarah. Maka graf berarah G ₁ adalah graf terhubung kuat.

Sebaliknya dalam G ₂ , tidak ada path berarah yang menghubungkan v ₄ ke v ₃ . Akan tetapi,

jika semua arah garis dihilangkan (sehingga G ₂ menjadi, graf tidak berarah), maka G ₂

merupakan graf yang terhubung. Jadi G ₂ merupakan graf terhubung lemah.

Isomorfisma dalam Graf Berarah

Pengertian isomorfisma dalam graf berarah sama dengan isomorfisma pada graf tak

berarah (lihat definisi 12). Hanya saja pada

isomorfisma graf berarah, korespondensi

dibuat dengan memperhatikan arah garis.

Contoh

Tunjukkan bahwa graf G

₁

pada gambar isomorfis dengan G

₂

, sedangkan G

₃

tidak isomorfis dengan G

₁

.

G

₃

G

₂

G

₁

v

₅

v

₄

v

₃

v

₂

v

₁

v

₅

v

₄

v

₃

v

₂

v

₁

Penyelesaian:

Untuk membuktikan bahwa G₁ isomorfis dengan G₂, maka harus dibuat fungsi g : V(G1)  V(G2) dan

h : E(G₁)  E(G₂)

yang mempertahankan titik-titik ujung serta arah garis

Dalam G₁, ada 4 garis yang keluar dari v₃. Titik yang mempunyai sifat seperti itu dalam G₂ adalah titik v=1. Maka dibuat fungsi g sedemikian hingga

g(v₃) = v₁ ; g(v₁) = v₂ ; g(v₂) = v₃ ; g(v₅) = v₄ dan g(v₄) = v₅ fungsi h adalah sebagai berikut :

h((v₁, v₂)) = (v₂, v₃) ; h((v₂, v₅)) = (v₃, v₄) h((v₅, v₄)) = (v₄, v₅) ; h((v₄, v₁)) = (v₅, v₂) h((v₃, v₁)) = (v₁, v₂) ; h((v₃, v₂)) = (v₁, v₃) h((v₃, v₅)) = (v₁, v₄) ; h((v₃, v₄)) = (v₁, v₅)

Karena fungsi g dan h dapat dibuat, maka G₁ isomorfis dengan G₂. Selanjutnya akan dibuktikan bahwa G₃ tidak isomorfis dengan G₁

Dalam G₃, ada garis (v₁, v₄) dan (v₄, v₁). Jika G₁ isomorfis dengan G₃, maka harus ada fungsi h : G₃  G₁ sedemikian hingga h(v₁, v₄) dan h(v₄, v₁) merupakan garis-garis dalam G₁ (dengan kata lain, ada titik v_i dan v_j dalam G₁ sedemikian hingga ada garis dari v₁ ke v_j dan dari v_j ke v_i). Dalam G₁ tidak ada garis seperti itu. Maka G₃ tidak isomorfis dengan G₁.

Representasi Graf dalam Matriks

Matriks Hubung

Matriks Hubung (Adjacency Matrix) digunakan untuk menyatakan graf dengan cara menyatakannya dalam jumlah garis yang menghubungkan titik-titiknya. Jumlah baris (dan kolom) matriks hubung sama dengan jumlah titik dalam graf.

Definisi

Misalkan G adalah graf tak berarah dengan titik-titik v

₁

v

₂

... v

_n

(n berhingga). Matriks hubung yang sesuai dengan graf G adalah matriks A = (a

_ij

) dengan a

_ij

= jumlah garis yang menghubungkan titik v

_i

dengan titik v

_j

; i, j = 1, 2, ..., n.

Karena jumlah garis yang menghubungkan titik v

_i

dengan v

_j

selalu

sama dengan jumlah garis yang menghubungkan v

_j

dengan v

_i

,

maka jelas bahwa matriks hubung selalu merupakan matriks

yang simetris (a

_ij

= a

_ji

i,j)

Contoh

(a) (b)

(c) (d)

Penyelesaian:

Untuk mempermudah pemahaman, tiap-tiap baris dan kolom matriks diberi indeks vi yang sesuai dengan titik grafnya. Sel pada perpotongan baris v_i dan kolom v_j menyatakan banyaknya garis yang menghubungkan v_i dengan v_j.

a.























1 0 0 1

0 0 2 1

0 2 0 0

1 1 0 0

4 3 2 1

4 3 2 1

v v v v

v v v v

A b.





































0 2 0 0 0 0 0

2 0 0 0 0 0 0

0 0 1 1 0 0 0

0 0 1 0 0 0 0

0 0 0 0 0 2 1

0 0 0 0 2 0 0

0 0 0 0 1

0 1

7 6 5 4 3 2 1

6 7 4 5

3 2 1

v v v v v v v

v v v v v v v

c.

























0 0 1 1 1

1 1 1 1 1

1 1 0 0 0

1 1 0 0 0

1 1 0 0 0

5 4 3 2 1

5 4 3 2 1

v v v v v

v v v v v

d.





















0 1 1 1

1 0 1 1

1 1 0 1

1 1 1 0

4 3 2 1

4 3 2 1

v v v v

v v v v

Latihan

1. Tanpa menggambarkan graf-nya, tentukan apakah graf yang memiliki matriks hubung berikut ini merupakan graf yang terhubung, memiliki loop, memiliki titik terasing.

Tentukan juga derajat tiap titiknya.

2. Gambarlah graf yang memiliki matriks

hubung dalam soal nomor 2.

3. Tentukan mana di antara graf-graf berikut ini yang memiliki sirkuit Euler. Carilah sirkuit Euler untuk graf yang memilikinya.

(c) e d

b

c a

(a) (b)

e f d

b c

a

u y x r z

s

v

w

t