MACAM-MACAM RELASI dan SIFAT-SIFAT RELASI
I. Relasi Biner
Adalah hasil kali 2 himpunan atau relasi yang menghubungkan 2 himpunan yang himpunan bagianya tidak kosong.
Sifat-sifat relasi Biner a. Reflektif
Suatu relasi bersifat reflektif , jika setiap x є A, maka (A,A) є R Contoh :
1. B = {1,2,3} dan R = {(x,y)│x,y є B, xy > 0}
Periksa apakah R reflektif atau tidak Peny :
B x B = {(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,3) dari hasil kali Cartesian kita memperoleh R = {(1,1),(2,2),(3,3)}. Karena semua hasil xy > 0 dan x є B, maka R adalah relasi yang reflektif.
2. A = {-1,0,1} dan R = {(x,y)│x,y є A, xy > 0}
Periksa apakah R reflektif atau tidak b. Simetris
Suatu relasi bersifat simetrik, jika untuk setiap x,y є A dengan xRy dan yRx Contoh
1. M = {-2,-1,0,1,2} dan R = {(x,y) │x,y є M, xy > 0}
Periksa apakah R simetris atau tidak Peny :
M x M = {(-2,-2), (-2,-1), (-2,0), (-2,1), (-2,2), (-1,-2),(-1,-1),(-1,0),(-1,1),(-1,2) (0,-2), (0,-1), (0,0), (0,1), (0,2), (1,-2), (1,-1), (1,0), (1,1), (1,2),(2,-2) (2,-1), (2,0), (2,1), (2,2)}, dari hasil kali Cartesian kita memperoleh R = {(-2,-2), (-2,-1), (-1,-2), (-1,-1), (1,1), (1,2), (2,2)}
Dari sini jelas terlihat bahwa untuk setiap (x,y) є R berlaku (y,x) є R dengan x,y є M. Jadi R adalah sebuah relasi yang simetris.
2. B = {-2,-1,0,1,2} dan R = {(x,y) │x,y є B, x ≤ y }
Periksa apakah R simetris atau tidak
c. Antisimetris
Suatu Relasi bersifat antisimetris, jika untuk setiap x,y є A dengan xRy dan yRx maka x = y. Contoh :
1. A = {-2,-1,0,1,2} dan R = {(x,y) │x,y є A, y = │x }
Periksa apakah R antisimetris atau tidak Peny :
M x M = {(-2,-2), (-2,-1), (-2,0), (-2,1), (-2,2), (-1,-2),(-1,-1),(-1,0),(-1,1),(-1,2) (0,-2), (0,-1), (0,0), (0,1), (0,2), (1,-2), (1,-1), (1,0), (1,1), (1,2),(2,-2) (2,-1), (2,0), (2,1), (2,2)}, dari hasil kali Cartesian kita memperoleh R = {(-2,2),(-1,1),(1,1),(0,0),(2,2)}
Dari sini jelas terlihat bahwa untuk setiap (x,y) є R berlaku (y,x) є R dengan x,y є A. Jadi R adalah sebuah relasi yang antisimetris.
2. G = {B,A,M} dan R = {(B,A), (A,B), (B,M), (M,B), (A,M)}
Periksa apakah R antisimetris atau tidak
Suatu Relasi bersifat transitif, jika setiap x,y,z є A dengan xRy, yRz, dan xRz Contoh :
1. A = {-1,0,1} dan R = {(x,y) │x,y є A, x ≥ y}
Periksa apakah R transitif atau tidak Peny :
A x A = {(-1,-1), (-1,0), (-1,1), (0,-1), (0,0), (0,1), (1,-1), (1,0), (1,1)} dari hasil kali Cartesian kita memperoleh,
R = {(-1,-1), (-1,0), (-1,1), (0,0), (0,1), (1,1)}
Dari sini jelas terlihat bahwa untuk setiap (x,y,z є A) dengan xRy dan yRz, berlaku xRz 2. N = {G,U,T} dan R = {(G,U), (T,U), (U,G), (G,T)
Periksa apakah R transitif atau tidak
II. Relasi Ekivalen
Adalah relasi yang memenuhi 3sifat relasi yaitu reflektif, simetris dan transitif. Contoh :
1. B = {a,b,c,d} dan R = {(a,a),(a,b),(b,a),(b,b),(c,c),(c,d),(d,c),(d,d)}
Periksa apakah R ekivalen atau tidak Peny :
Reflektif : {(a,a),(b,b),(c,c),(d,d)}, ya reflektif karena x є B berlaku (x,x) є R
Simetris : Karena untuk setiap x,y є B dengan xRy berlaku yRx, maka R simetris.
Contoh : {(a,b),(b,a)}
Transitif : {(a,b),(b,a),(a,a)}, karena x,y,z є B dengan xRy dan yRz berlaku xRz,
Maka R adalah relasi yang transitif.
Karena tiga sifat diatas yaitu reflektif, simetrik dan transitif dipenuhi maka kita dapat simpulkan bahwa R adalah relasi ekivalen.
III. Relasi tolak parsial (poset)
Adalah relasi yang memenuhi 3 sifat relasi yaitu reflektif, transitif dan antisimetris. Contoh :
