BAB 2
LANDASAN TEORI
2.1 Pemrograman Non Linier
Pemrograman Non linier merupakan pemrograman dengan fungsi tujuannya saja atau bersama dengan fungsi kendala berbentuk non linier yaitu pangkat dari variabelnya lebih dari satu. Salah satu bentuk umum masalah pemrograman non linier adalah untuk menentukan ( ) sehingga mencapai tujuan untuk:
Maksimumkan/minimiumkan :
Dengan kendala : dan :
Dengan dan merupakan fungsi yang diketahui dengan variabel keputusan. Terdapat banyak jenis makalah pemrograman non linier dalam berbagai bentuk. Hal ini tergantung pada karakteristik fungsi tujuan dan kendalanya .Program Non linier juga memiliki penyelesaian kompleks berdasarkan kendala-kendala untuk Pemrograman persamaan Kuadratis atau cembung. Pemrograman nonlinier dapat mempunyai kendala ataupun tidak mempunyai kendala(Hemmecke, 2009).
2.1.1. Pemrograman Non Linier Tak Berkendala
Pemrograman non linier tak berkendala merupakan masalah optimasi yang tidak memiliki batasan-batasan, sehingga untuk ( ) mempunyai fungsi tujuan adalah: Maksimumkan/minimumkan :
Syarat perlu dan cukup agar suatu penyelesaian merupakan penyelesaian optimal saat merupakan fungsi yang dapat diturunkan adalah
Sebuah pemrograman nonlinear satu variabel tanpa kendala berbentuk: Optimisasi:
di mana adalah sebuah fungsi (nonlinear) dari variabel tunggal , dan pencarian nilai optimumnya (maksimum dan minimum) ditinjau dari selang tak terhingga .
Untuk kasus multivariabel tanpa kendala berbentuk: Optimisasi : dimana
Sebagai maksimisasi, jika diganti dengan – maka semua hasilnya dapat diterapkan pada pemrograman minimisasi. Dalam masalah pemrograman nonlinear, fungsi nonlinear yang akan dioptimalkan disebut fungsi objektif. Setiap titik yang akan koordinatnya tidak negatif yang memenuhi sistem dari tanpa kendala disebut nilai akhir. Jadi masalahnya adalah menentukan satu titik nilai akhir yang meminimumkan atau memaksimumkan fungsi objektif (Taha, 2007).
Dimana merupakan fungsi konkaf,kondisi ini juga mencukupi ,sehingga mencari solusi untuk tereduksi menjadi penyelesaian dari sistem persamaan yang diperoleh dengan turunan parsial sama dengan nol. (Stewart,1999).
2.1.2.Pemrograman Non Linier Berkendala
Pemrograman non linier berkendala merupakan masalah optimasi yang memiliki batasan-batasan , sehingga untuk maka bentuk standard untuk program-program tak linier yang mengandung hanya kendala-kendala kesamaan (equality) adalah
Maksimumkan/minimiumkan :
Dengan kendala :
Suatu metode yang dapat dipakai untuk menyelesaikan masalah optimasi ini adalah metode pengali Lagrange. Metode penggali lagrange dipilih karena prinsip kerjanya sederhana dan mudah dimengerti. Metode ini dimulai dengan pembentukan fungsi Lagrangean yang didefinisikan sebagai:
∑
Dimana adalah fungsi Lagrange yang disusun sebagai teknik optimasi pendukung metode Kuhn Tucker dalam perhitungan program non linier yang memiliki kendala ketidaksamaan.
adalah suatu fungsi kerangka dalam penyusunan fungsi Lagrange. Dan adalah variabel-variabel keputusan yang merupakan tujuan optimasi, adalah suatu pengali dalam optimasi kendala. Sementara adalah merupakan kendala-kendala yang muncul dalam optimisasi.
Syarat perlu bagi sebuah fungsi dengan kendala , dengan
agar mempunyai minimum relatif pada titik adalah derivasi parsial pertama dari fungsi Lagrange-nya yang didefinisikan sebagai ( ) terhadap setiap argumennya mempunyai nilai nol. (Stewart, 1999).
Pengali Lagrange mempunyai arti secara fisik yang menarik. Misalkan terdapat permasalahan optimasi dengan ssatu kendala sebagai berikut:
Maksimumkan/ Minimumkan : Dengan kendala : Fungsi Lagrange-nya adalah
( )
Syarat perlu untuk penyelesaian di atas adalah
untuk dan
untuk atau
Maka:
untuk
∑
∑
∑
∑
Karena ∑
adalah dan ∑ adalah
Maka persamaan final dari ∑
∑ adalah atau
Dari persamaan ini dapat ditarik kesimpulan bahwa pada penyelesaian optimum, perubahan fungsi tujuan , berbanding lurus dengan perubahan kendala dengan faktor sebesar pengali lagrange .
Bentuk standard dari program-program tak linier yang mengandung hanya kendala-kendala ketidaksamaan adalah:
Maksimumkan/ Minimumkan :
Dengan kendala untuk
Kunci dari penanganan permasalahan di atas adalah merubah kendala pertidaksamaan menjadi persamaan dengan menambah variabel slack . Masalah pemrograman ini ditandai dengan adanya kendala-kendala yang sama sepenuhnya dengan pemrograman linier. Semua fungsi kendala adalah linier,tetapi fungsi tujuan berbentuk non linier. Masalah ini dipertimbangkan secara sederhana dengan hanya memiliki satu fungsi non linier yang diperhitungkan, bersama dengan daerah layak dari pemrograman linier. Sejumlah algoritma khusus yang didasari atas perluasan metode simpleks telah dikembangkan untuk memperhitungkan fungsi tujuan yang nonlinier.
2.2 Hasil Produksi
2.2.1Definisi Hasil Produksi
Secara umum, istilah “produksi” diartikan sebagai penggunaan atau pemanfaatan sumber daya yang mengubah suatu komoditi menjadi komoditi lainnya yang sama sekali berbeda, baik dalam pengertian apa, dan dimana atau kapan komoditi-komoditi itu dilokasikan, maupun dalam pengertian apa yang dapat dikerjakan oleh konsumen terhadap komoditi itu. Istilah produksi berlaku untuk barang maupun jasa, karena istilah “komoditi” memang mengacu pada barang dan jasa. Keduanya sama-sama dihasilkan dengan mengerahkan modal dan tenaga kerja. Produksi merupakan konsep arus (flow concept), maksudnya adalah produksi merupakan kegiatan yang diukur sebagai tingkat-tingkat output per unit periode/waktu. Sedangkan outputnya sendiri senantiasa diasumsikan konstan kualitasnya (Warsana. 2007).
2.2.2Fungsi Produksi
2.2.3Optimisasi Hasil Produksi
Optimasi merupakan pendekatan normatif dengan mengidentifikasi penyelesaian terbaik dari suatu permasalahan yang diarahkan pada titik maksimum atau minimum suatu fungsi tujuan . Optimasi produksi diperlukan perusahaan dalam rangka mengoptimalkan sumberdaya yang digunakan agar suatu produksi dapat menghasilkan produk dalam kuantitas dan kualitas yang diharapkan, sehingga perusahaan dapat mencapai tujuannya. Optimasi produksi adalah penggunaan faktor-faktor produksi yang terbatas seefisien mungkin. Faktor-faktor produksi tersebut adalah modal, mesin, peralatan, bahan baku, bahan pembantu dan tenaga kerja . Berdasarkan langkah-langkah optimasi setelah masalah diidentifikasi dan tujuan ditetapkan maka langkah selanjutnya adalah memformulasikan model matematik yang meliputi tiga tahap , yaitu:
1. Menentukan variabel yang tidak diketahui (variabel keputusan) dan nyatakan dalam simbol matematik,
2. Membentuk fungsi tujuan yang ditunjukkan sebagai hubungan linier (bukan perkalian) dari variabel keputusan,
3. Menentukan semua kendala masalah tersebut dan mengekspresikan dalam persamaan atau pertidaksamaan yang juga merupakan hubungan linier dari variabel keputusan yang mencerminkan keterbatasan sumberdaya masalah tersebut.
batasan-batasan terhadap berbagai pilihan alternatif yang tersedia. Sedangkan pada optimasi dengan kendala, faktor-faktor yang menjadi kendala terhadap fungsi tujuan diperhatikan dalam menentukan titik maksimum atau minimum fungsi tujuan . Optimasi dengan kendala pada dasarnya merupakan persoalan dalam menentukan nilai variabel suatu fungsi menjadi maksimum atau minimum dengan memperhatikan keterbatasan-keterbatasan yang ada. Keterbatasan-keterbatasan itu meliputi input atau faktor-faktor produksi seperti modal, bahan baku, tenaga kerja dan mesin. Optimasi produksi dengan kendala perlu memperhatikan faktor-faktor yang menjadi kendala pada fungsi tujuan karena kendala menentukan nilai maksimum dan minimum. Fungsi tujuan merupakan suatu pernyataan matematis yang digunakan untuk mempresentasikan kriteria dalam mengevaluasi solusi suatu masalah. Fungsi tujuan dalam teknik optimasi produksi merupakan unsur yang penting karena akan menentukan kondisi optimal suatu keadaan . Fungsi tujuan dan kendala merupakan suatu fungsi garis lurus atau linier. Salah satu metode untuk memecahkan masalah optimasi produksi yang mencakup fungsi tujuan dan kendala adalah metode Linear Programming. Metode ini adalah suatu teknik perencanaan analitis dengan menggunakan model matematika yang bertujuan untuk menemukan beberapa kombinasi alternatif solusi.
2.3 Persyaratan Karush Kuhn Tucker
Pada tahun 1951 Kuhn Tucker mengemukakan suatu teknik optimasi yang dapat digunakan untuk pencarian titik optimum dari suatu fungsi berkendala. Metode Karush Kuhn Tucker ini dapat dipergunakan untuk mencari solusi yang optimum darisuatu fungsi tanpa memandang sifat dari fungsi tersebut apakah linier atau non linier. Jadi metode Karush Kuhn Tucker ini bersifat teknik yang umum dalam pencarian titik optimum dari setiap fungsi.Metode Krush Kuhn Tucker dapat digunakan untuk memecahkan persoalan baik yang nonlinier maupun linier.
Jika menghadapi masalah optimasi dalam bentuk:
Maksimumkan/minimumkan : Z=f(X) dengan X={ (1) Dengan kendala : (X) dengan i=1,2,3,...,m
(X) X 0
Pertama tuliskan kembali persyaratan-persyaratan yang tak negatif seperti
0, 0,..., , sehingga himpunan kendalanya adalah m+n persyaratan ketidaksamaan yang masing-masing dengan tanda lebih kecil daripada atau sama dengan. Kemudian tambahkan variabel-variabel kurang , , ..., berturut-turut pada ruas kiri dari kendala-kendala tadi, yang demikian merubah tiap-tiap ketidaksamaan menjadi suatu kesamaan. Variabel-variabel kendur (slack variabels) yang ditambahkan di sini berbentuk suku-suku kuadrat untuk menjamin bahwa mereka tak negatif. Kemudian bentuk fungsi lagrange:
∑ [ ]– ∑ [ ] (2)
Untuk adalah pengali-pengali Lagrange. Terakhir selesaikan sistem persamaan:
(i=1, 2, ..., m+ n) (3)
(j=1, 2, ..., m+ n) (4)
(j=1, 2, ..., m+ n ) (5)
Persamaan-persamaan (3),(4),(5),di atas membentuk Persyaratan Kuhn-Tucker untuk maksimasi/minimasi program linier dan non linier.
Syarat Kuhn-Tucker untuk persamaan:
Minimumkan : Z=f(X) dengan X={ Dengan kendala : (X)
(X) i=1,2,3,..., m
dapat dinyatakan dalam satu set pernyataan sebagai berikut:
∑ i=1, 2, ..., n (6)
j=1, 2, ..., m j=1, 2, ..., m
Jika permasalahannya adalah memaksimumkan bukan meminimumkan, maka , jika kendalanya adalah , maka Jika permasalahannya adalah memaksimumkan dan jika kendalanya adalah 0, maka .
Menurut (Luknanto dan Djoko,2000) ,penyelesaian optimasi secara analitis sudah jarang dipakai di lapangan yang sangat kompleks. Namun, metode Lagrange dan Kuhn Tucker dapat dipilih dalam teknik optimasi karena prinsip kerjanya sederhana dan mudah dimengerti. Dalam penggunaannya syarat perlu bagi sebuah fungsi dengan kendala
dengan agar mempunyai minimun relatif pada titik adalah derivasi parsial pertama dari fungsi Lagrangenya yang didefinisikan sebagai
terhadap setiap argumennya mempunyai nilai nol.
(Hillier dan Lieberman, 2001) membuat suatu asumsi bahwa
merupakan fungsi yang dapat diturunkan sehingga
menjadi solusi optimal untuk permasalahan pemrograman nonlinier hanya jika terdapat sejumlah bilangan , sehingga semua syarat kondisi Kuhn Tucker berikut terpenuhi :
(vii)
∑
pada untuk (viii) (
∑
) pada untuk
(ix) untuk
(x) untuk
(xi) untuk
