5c Distribusi Gamma dan Eksponensial

(1)

Distribusi Probabilitas :

Gamma & Eksponensial

Debrina Puspita Andriani

www.debrina.lecture.ub.ac.id

E-mail : [email protected] / [email protected]

(2)

Outline

Distribusi Gamma

Distribusi Eksponensial

(3)

Distribusi Gamma

Tidak selamanya distribusi normal dapat digunakan untuk memecahkan masalah teknik dan sains. Contohnya dalam teori antrian dan keandalan, kurang tepat bila digunakan pendekatan dengan distribusi normal, distribusi Gamma lebih tepat menjadi solusinya. Distribusi eksponensial adalah sebuah kasus distribusi Gamma.

(4)

Distribusi Gamma (1)

  Definisi 1 :

Distribusi Gamma adalah distribusi fungsi padat yang disebut luas dalam bidang matematika.

Fungsi gamma didefinisikan oleh

Untuk > 0

dengan e=2,71828

Fungsi gamma diintegralkan, bila = n dengan n adalah bilangan bulat positif, maka Γ(n) = (n-1)!

(5)

Distribusi Gamma (2)

5

Perubah acak kontinu X berdistribusi gamma dengan parameter dan , jika fungsi padatnya berbentuk:

Grafik beberapa distribusi gamma dipelihatkan pada Gambar 1. Distribusi gamma yang khusus dengan =1 disebut distribusi

Eksponensial (Gambar 2).

1

0

x

x e ; x f(x) _{( )}

; x yanglain

α β α

β

α

− −   _> = _ _Γ   0 0

(6)

Gambar 1. Distribusi Gamma

Beberapa nilai parameter α dan β

6

0 2 4 6 8 10

(7)

[image:7.720.14.633.40.476.2]

Gambar 2. Distribusi Eksponensial

(Distribusi Gamma dengan

α

=1 )

Grafik distribusi gamma dengan α=1 dan beberapa nilai β

(8)

8

Rata-rata dan variansi distribusi gamma adalah

Nilai e_{= 2,718281}

2 2

dan

µ

=

αβ

σ

=

αβ

Tabel

(9)

 Misalkan variabel acak kontinu X yang menyatakan ketahanan suatu

bantalan peluru (dalam ribuan jam) yang diberi pembebanan dinamik pada suatu putaran kerja tertentu mengikuti suatu distribusi gamma dengan α = 8 dan β = 15, maka probabilitas sebuah bantalan peluru dapat digunakan selama 60 ribu sampai 120 ribu jam dengan pembenan dinamik pada putaran kerja tersebut adalah:

 *karena contoh soal ini dipengaruhi parameter α dan β, maka

menggunakan definisi ke‐3, kita cari peluang ketahanan pembebanan antara 60 ribu sampai 120 ribu jam, dan perhitungannya sesuai rumus pada definisi 3 dengan fungsi padat seperti di bawah ini:

( ) ( )

120 60

15 15

(60 120) 120 60

(120;8,15) (60;8,15)

( ;8) ( ;8) (8;8) (4;8)

0,5470 0,0511 0,4959

G G

G G G G

P X P X P X

F F

F F F F

≤ ≤ = ≤ − ≤ = − = − = − = − =  Beberapa ukuran statistik deskriptif distribusi gamma di atas adalah:

Mean : µx = E X( ) =αβ =(8)(15) =120

Varians : σx2 =αβ2 =(8)(15 )2 =1800→σx = 42,43

Contoh (1)

Lihat tabel

(10)

  Sebenarnya, rumus yang digunakan:

  Integral ini sulit dievaluasi secara langsung. Akan tetapi dapat dievaluasi dengan perantaraan tabel fungsi gamma tak lengkap F.

  Persamaan matematika distribusi peluang peubah normal kontinu bergantung pada dua parameter μ dan σ yaitu rataan dan simpangan baku. Jadi fungsi padat x akan dinyatakan dengan n (x; μ, σ).

  Begitu μ dan σ diketahui maka seluruh kurva normal diketahui. Sebagai

contoh, bila μ = 50 dan σ = 5, maka ordinat n(x ; 50, 5) dapat dengan mudah dihitung untuk berbagai harga x.

    > Γ = − − lainnya x e x x f x 0 0 ) ( 1 ) , ; ( / 1 β α α _α β β α

dx

e

x

dx

e

x

X

P

x x

∫

− − −

Γ

=

Γ

=

≤

60 0 10 / 7 5 60 0 / 1

)

8

(

10

1

)

(

1

)

10

,

8

;

60

(

β α α

α

β

α

(11)

(12)

Distribusi

Eksponensial

Distribusi Eksponensial



Keadaan khusus distribusi gamma

(13)

(14)

14

(15)

15

(16)

(17)

14/07/2014

17

Distribusi Eksponensial (5)

Hubungan distribusi Poisson, Eksponensial, dan Gamma

Pada suatu kejadian yang mengikuti proses Poisson, waktu antar kejadian (atau waktu kejadian pertama atau ke-1 dari kejadian terakhir, karena

sifatnya yang memoryless) tersebut akan berdistribusi eksponensial.

(18)

Contoh (1)

18

Hari-hari antara kecelakaan pesawat terbang 1948-1961 berikut distribusi eksponensial dengan rata-rata 44 hari antara setiap kecelakaan. Jika satu terjadi pada 1 Juli setiap tahun tertentu:

a. Berapa probabilitas dari yang lain seperti kecelakaan dalam sebulan? b. Berapa varians dari waktu antara kecelakaan di tahun tersebut?

Solusi :

Distribusi eksponensial tidak memiliki memori, maka sebuah kecelakaan di bulan tertentu tidak memiliki bantalan pada setiap periode waktu lainnya. Jadi:

a. probabilitas kecelakaan selama 31 hari adalah P (31) = 1 – e (-31/44)_{= 0,506}

(19)

(20)

TUGAS

TERSTRUKTUR

DEADLINE