19
BAB III
MODEL
THRESHOLD GENERALIZED AUTOREGRESSIVE
CONDITIONAL HETEROSCEDASTIC
(TGARCH)
3.1 Desain Penelitian
Dalam skripsi ini, penulis menerapkan model Threshold Generalized Autoregressive Conditional Heteroscedastic (TGARCH) dalam peramalan harga emas dunia. Skripsi ini, menjelaskan dan mengaplikasikan model TGARCH dalam sebuah studi kasus untuk lebih mudah dipahami dan sebagai referensi mengenai peramalan.
3.2 Jenis dan Sumber Data
Data yang digunakan dalam skripsi ini adalah data sekunder yang didapat dari situs www.kitco.com, data lengkapnya dapat dilihat pada lampiran satu. Data yang digunakan dalam skripsi ini adalah data harga emas dunia harian dalam satuan troy ounce dan mata uang dollar dengan periode 03 Januari 2006 sampai 30 Januari 2015.
3.3 Metode Pengumpulan Data
Metode pengumpulan data yang digunakan dalam skripsi ini adalah observasi tanpa melibatkan responden yang berarti penulis mendapatkan data yang telah ada atau sudah disediakan.
3.4 Model Threshold Generalized Autoregressive Conditional Heteroscedastic
(TGARCH)
Model Threshold Generalized Autoregressive Conditional Heteroscedastic
(TGARCH) pertama kali diperkenalkan oleh Zakoian pada tahun 1994. Model TGARCH merupakan salah satu model kasus heteroskedastisitas. Model TGARCH yang memiliki orde dan dituliskan TGARCH , , yang didefinisikan sebagai berikut
�= � + �
�� = + ∑ �− =
+ ∑ �− �− =
+ ∑ ��−
dimana
�− = { ,, �− < �− ≥
, , dan adalah parameter model TGARCH, sedangkan adalah nilai
threshold dari model TGARCH. � berdistribusi normal dengan mean nol dan variansi �� , selanjutnya dapat dituliskan �~ , �� .
3.5 Pembentukan Model TGARCH
Tahap pembentukan model merupakan salah satu langkah sebelum melakukan peramalan. Berikut adalah pembentukan model TGARCH yang disajikan pada gambar 3.1. Setelah memahami langkah-langkah pembentukan model TGARCH, selanjutnya dilakukan uji efek asimetris untuk melihat ada tidaknya efek asimetris pada data.
3.5.1 Uji Efek Asimetris
Diperlukan pengujian efek asimetris sebelum mengindentifikasi model TGARCH. Uji efek asimetris dilakukan setelah dibentuk kedalam model GARCH, dengan model GARCH akan diidentifikasi adanya efek asimetris atau tidak. Apabila uji ini dipenuhi maka dilanjutkan ke identifikasi model TGARCH, apabila tidak maka dilakukan pemodelan dengan model GARCH. Uji efek asimetris diusulkan oleh Enders pada tahun 2004, dengan melihat korelasi antara kuadrat standar residual � dengan lag standar residual �− menggunakan estimasi dari regresi berikut: (Julianto, 2012)
� = + �− + ⋯ + �−
Hipotesis yang digunakan uji ini adalah
: = = ⋯ = = Model tidak memiliki efek asimetris : paling sedikit ada satu ≠ Model memiliki efek asimetris Dengan kriteria uji
Gambar 3.1
Langkah Pemodelan Model TGARCH
3.6 Identifikasi Model
Untuk megidentifikasi model Box Jenkin’s atau model homoskedastisitas dengan mudah digunakan grafik ACF dan PACF. Namun untuk kasus heteroskedastisitas belum ada kriteria untuk mengidentifikasi model tersebut, sehingga digunakan metode trial dan error dalam pemilihan model. Dalam skripsi ini digunakan model TGARCH sederhana yaitu TGARCH (1, 1), TGARCH (1, 2), TGARCH (2, 1), dan TGARCH (2, 2).
Data Harga Emas Dunia
Gambaran Umum Data
Uji Stasioner
Grafik ACF dan PACF
Pemeriksaan Model Box-Jenkin’s
Uji Efek ARCH/Heteros
kedastisitas
Pembentukan Model Box-Jenkin’s
Ya Uji Efek Asimetris
Tidak
Ya
Tidak
Peramalan
Pembentukan Model TGARCH Pembentukan Model
GARCH
Pemeriksaan Model GARCH
3.7 Estimasi Parameter
Setelah identifikasi model TGARCH dilakukan, selanjutnya dilakukan estimasi parameter pada model TGARCH. Untuk estimasi parameter model TGARCH digunakan Maximum Likelihood Estimation (MLE). Maximum Likelihood Estimator (MLE) pertama kali diperkenalkan oleh R. A. Fisher, metode ini digunakan untuk menduga parameter dengan cara memaksimumkan fungsi
likelihood yang telah dibentuk. Diketahui model TGARCH sebagai berikut
�= � + �
�� = + ∑ �− =
+ ∑ �− �− =
+ ∑ ��−
=
Parameter yang akan diestimasi adalah , , , dan dengan menggunakan metode MLE. Diketahui bahwa � berdistribusi normal dengan mean nol dan variansi �� , selanjutnya dapat dituliskan �~ , �� . Indeks � dari �� diubah untuk memudahkan dalam estimasi parameter dan tidak tertukar dengan indeks �. Oleh karena itu �� diubah menjadi �� dan T banyaknya pengamatan, selanjutnya estimasi parameter menggunakan MLE sebagai berikut.
Model TGARCH
�� = + ∑ �− =
+ ∑ �− �− =
+ ∑ ��− =
dimana �~ , �� dan memiliki fungsi kepadatan peluang (fkp) sebagai berikut:
� =
√ � �� [
− �
�� ]
Fungsi likelihood
( �| , , , ) = ∏
√ � ��
[−��
� ] �
�=
= � �� −� [ −�
� ∑ �
�
�=
]
Kemudian kedua ruas di -kan
ln ( �| , , , ) = ln ( � �� −� [− �
� ∑ �
�
�=
= − ln � �� − �
� ∑ �
�
�=
Selanjutnya akan diturunkan terhadap , , , dan untuk mendapatkan penaksirnya.
1. Diturunkan terhadap
�(ln ( �| , , , ))
� =
�
� (− ln � �� − �� ∑ � �
�=
)
Bagian pertama �
� (− ln � �� )
= �� − ln � ( + ∑ �−
=
+ ∑ �− �− =
+ ∑ ��−
=
)
= − �
( � ̂ + � ∑= �− + � ∑= �− �− + � ∑= ��− )
= −
(̂ + ∑= �− + ∑= �− �− + ∑= ��− )
Bagian kedua �
� (− �� ∑ � �
�=
)
= �
� (− ( + ∑= �− + ∑= �− �− + ∑ = ��− )
∑ � �
�=
)
= ∑��= �
(̂ + ∑= �− + ∑= �− �− + ∑= ��− )
= ∑��= �
(̂ + ∑= �− + ∑= �− �− + ∑= ��− )
Untuk memaksimumkan fungsi likelihood maka �(ln ( �| , , , ))
� =
�
� (− ln � �� − �� ∑ � �
�=
−
Jadi, penaksir dari adalah
̂ = − ∑ �−
2. Diturunkan terhadap
�(ln ( �| , , , ))
Bagian kedua
Untuk memaksimumkan fungsi likelihood maka �(ln ( �| , , , ))
Jadi, penaksir dari adalah
3. Diturunkan terhadap
�(ln ( �| , , , ))
� =
�
� (− ln � �� − �� ∑ � �
�=
)
Bagian pertama �
� (− ln � �� )
= �� − ln � ( + ∑ �−
=
+ ∑ �− �− =
+ ∑ ��−
=
)
= − � ∑= �− �−
( � + � ∑= �− + � ∑= ̂ �− �− + � ∑= ��− )
= − ∑= �− �−
( + ∑= �− + ∑= ̂ �− �− + ∑= ��− )
Bagian kedua �
� (− �� ∑ � �
�=
)
= �
� (− ( + ∑= �− + ∑ = �− �− + ∑= ��− )∑ � �
�=
)
= ∑= �− �− ∑��= �
( + ∑= �− + ∑= ̂ �− �− + ∑= ��− )
= ∑= �− �− ∑��= �
( + ∑= �− + ∑= ̂ �− �− + ∑= ��− )
Untuk memaksimumkan fungsi likelihood maka �(ln ( �| , , , ))
� =
�
� (− ln � �� − �� ∑ � �
�=
) =
− ∑= �− �−
( + ∑= �− + ∑= ̂ �− �− + ∑= ��− )
+ ∑= �− �− ∑��= �
( + ∑= �− + ∑= ̂ �− �− + ∑= ��− )
=
− ( + ∑= �− + ∑= ̂ �− �− + ∑= ��− ) + ∑= �− �− ∑��= �
( + ∑= �− + ∑= ̂ �− �− + ∑= ��− )
− + ∑ �−
Jadi, penaksir dari adalah
∑ ̂ �− �−
4. Diturunkan terhadap
�(ln ( �| , , , ))
Bagian pertama �
= ∑= ��−
( + ∑= �− + ∑= �− �− + ∑= ̂ ��− )
= ∑= ��− ∑��= �
( + ∑= �− + ∑= �− �− + ∑= ̂ ��− )
Untuk memaksimumkan fungsi likelihood maka �(ln ( �| , , , ))
Jadi, penaksir dari adalah
∑ ̂ ��−
Hasil estimasi parameter memang kurang sederhana sehingga untuk melakukan estimasi parameter dengan cara manual akan membutuhkan waktu yang lama dan perhitungan yang rumit. Oleh karena itu, untuk lebih mudah dalam mengestimasi parameter model TGARCH pada peramalan harga emas dunia dengan bantuan
3.8 Verifikasi Model
Setelah melakukan estimasi parameter maka selanjutnya dilakukan verifikasi model untuk memilih model yang terbaik dengan cara uji keberartian koefisien dan perbandingan AIC dan SC terkecil.
3.8.1 Uji Keberartian Koefisien
Untuk menguji keberartian koefisien dari model, hipotesis yang digunakan adalah
∶ � = koefisien tidak berbeda secara signifikan dengan nol ∶ � ≠ koefisien berbeda secara signifikan dengan nol
dengan � adalah koefisien dari model TGARCH dan kriteria uji sebagai berikut: (dengan menggunakan = 5%)
1. Tolak , jika p-value <
2. Terima , jika p-value ≥
3.8.2 Perbandingan Nilai Akaike Info Criterion (AIC) dan Schwarz Criterion
(SC)
Apabila uji keberartian koefisien terpenuhi, verifikasi model selanjutnya yaitu perbandingan nilai AIC dan SC. Model yang terbaik memiliki nilai AIC dan SC yang terkecil dibandingkan dengan model lainnya. Berikut merupakan rumus untuk menentukkan nilai AIC dan SC.
� � � � � � = − ( ) +
�ℎ � � � � = − ( ) +
dengan
= − ( � + ∑ �� − ∑ (�� �) �
�= �
�=
)
∶ banyaknya parameter ∶ banyaknya observasi.
3.9 Peramalan
dengan menggunakan model terbaik tetap saja masih memiliki error pada hasil peramalan tersebut. Oleh karena itu, setelah mendapatkan hasil peramalan perlu dilakukan evaluasi peramalan. Ada beberapa metode evaluasi peramalan yaitu
Mean Squared Error (MSE), Mean Absolute Deviation (MAD), The Mean Absolute Persentage Error (MAPE), dan The Mean Percentage Error (MPE). Untuk skripsi ini menggunakan evaluasi peramalan MSE dan MAPE dengan menggunakan rumus sebagai berikut
1. Mean Squared Error (MSE)
� = ∑( �− ̂)� �
�=
2. The Mean Absolute Persentage Error (MAPE)
��� = ∑| �− ̂ |�
� �
�=
