PROGRAM LINEAR
A. Fungsi Tujuan (Obyektif / Sasaran), Nilai Maksimum, dan Nilai Minimum I. Metode titik Uji
1) Fungsi tujuan adalah nilai f untuk x dan y tertentu dari suatu program linear, dan dinyatakan f(x, y)
2) Nilai fungsi sasaran yang dikehendaki adalah kondisi x dan y yang menyebabkan maksimum atau minimum 3) Pada gambar HP program linear, titik–titik sudut merupakan titik–titik kritis, dimana nilai minimum atau
maksimum berada. Apabila sistem pertidaksamaannya terdiri dari dari dua pertidaksamaan, maka titik–titik kritisnya bisa ditentukan tanpa harus digambar grafiknya.
Grafik HP untuk fungsi tujuan maksimum Grafik HP untuk fungsi tujuan minimum Berdasarkan kedua grafik di atas dapat disimpulkan cara penentuan titik kritis sebagai berikut:
1. Pilih titik potong garis dengan sumbu Y atau sumbu X yang terkecil (0, a) dan (q, 0) jika tujuannya maksimumkan atau yang terbesar (0, p), (b, 0) jika tujuannya minimumkan
2. Titik potong antara kedua garis (x, y) II. Metode garis selidik
Misal fungsi tujuan adalah Z = rx + sy, mz = s r Garis g: ax + by = ab, mg = ba Garis h: px + qy = pq, mh = qp
Fungsi tujuan minimum
Perhatikan garis selidik (garis putus–putus) di bawah ini
mh mg mz X Z Y (1) mh mz mg X Z Y (2) mz mh mg X Z Y (3) 0 a X Y b g HP p q h (x,y) (0,p) (b,0) 0 a X Y b g HP p q h (x,y) (0,p) (b,0) 0 a X Y b g HP p q h (x,y) (0,p) (b,0) 0 a X Y b g HP p q h (x,y) (0,p) (b,0)
Titik kritis ada 3: (0, p), (b, 0) dan (x, y) 0 a X Y b g HP p q h (x,y) (0,a) (q,0)
Titik kritis ada 3: (0, a), (q, 0) dan
KESIMPULAN: lihat gradien yang ada di posisi Z Fungsi tujuan maksimum
1. mg di Z dan mz di Y, nilai minimum ada pada titik potong garis g dengan sumbu X 2. mz di tengah, nilai maksimum ada pada titik potong garis h dan garis g
3. mh di Z dan mz di X, nilai minimum ada pada titik potong garis h dengan sumbu Y Fungsi tujuan maksimum
Perhatikan garis selidik (garis putus–putus) di bawah ini
mh mg mz X Z Y (1) mh mz mg X Z Y (2) mz mh mg X Z Y (3) KESIMPULAN:
Fungsi tujuan maksimum : Letaknya berkebalikan dengan fungsi tujuan minimum 1. mg di Z dan mz di Y, nilai maksimum ada pada titik potong garis g dengan sumbu Y 2. mz di tengah, nilai maksimum ada pada titik potong garis g dan garis h
3. mh di Z dan mz di X, nilai maksimum ada pada titik potong garis h dengan sumbu X SOAL PEMBAHASAN
1. UN 2013
Nilai maksimum dari
𝑓(𝑥, 𝑦) = 300𝑥 + 500𝑦 yang memenuhi system pertidaksamaan 𝑥 + 2𝑦 ≤ 4; 𝑥 + 𝑦 ≤ 3; 𝑥 ≥ 0 dan 𝑦 ≥ 0 adalah … A. 900 B. 1.000 C. 1.100 D. 1.200 E. 1.500 2. UN 2013
Diketahui system pertidaksamaan
𝑥 + 3𝑦 ≤ 9,2𝑥 + 𝑦 ≤ 8,𝑥 ≥ 0, dan𝑦 ≥ 0. Nilai maksimum dari fungsi obyektif 𝑓(𝑥, 𝑦) = 2𝑥 + 3𝑦adalah … A. 8 B. 9 C. 12 D. 18 E. 24 3. UN 2013
Himpunan penyelesaian dari system pertidaksamaan linear𝑥 + 𝑦 ≤ 6;
2𝑥 + 𝑦 ≤ 8; 𝑥 ≥ 0; 𝑦 ≥ 0 akan mempunyai nilai maksimum pada fungsi obyektif 𝑓(𝑥, 𝑦) = 3𝑥 + 5𝑦adalah … A. 20 B. 23 C. 26 D. 30 E. 32 4. UN 2013
Nilai maksimum fungsi obyektif
𝑓(𝑥, 𝑦) = 2𝑥 + 𝑦 yang memenuhi system pertidaksamaan 𝑥 + 3𝑦 ≤ 6; 4𝑥 + 3𝑦 ≤ 12; 𝑥 ≥ 0; 𝑦 ≥ 0 dengan 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑅adalah … A. 8 B. 6 C. 16 3 D. 4 E. 2 5. UN 2011
Nilai maksimum f(x,y) = 5x + 4y yang memenuhi pertidaksamaan x + y 8, x + 2y 12 ,x ≥ 0 dan y ≥ 0 adalah… a. 24 b. 32 c. 36 d. 40 e. 60 0 a X Y b g HP p q h (x,y) (0,a) (q,0) 0 a X Y b g HP p q h (x,y) (0,a) (q,0) 0 a X Y b g HP p q h (x,y) (0,a) (q,0)
6. UN 2013
Nilai maksimum fungsi obyektif
𝑓(𝑥, 𝑦) = 4𝑥 + 5𝑦 yang memenuhi himpunan
penyelesaian system pertidaksamaan 𝑥 + 𝑦 ≤ 6; 0 ≤ 𝑥 ≤ 4 dan 0 ≤ 𝑦 ≤ 5adalah … A. 25 B. 26 C. 29 D. 31 E. 34 7. UN 2013
Nilai minimum fungsi obyektif
𝑓(𝑥, 𝑦) = 6𝑥 + 5𝑦 yang memenuhi sistem
pertidaksamaan:2𝑥 + 𝑦 ≥ 8; 2𝑥 + 3𝑦 ≥ 12; 𝑥 ≥ 0; 𝑦 ≥ 0;𝑥, 𝑦 ∈ 𝑅adalah … A. 40 B. 36 C. 28 D. 24 E. 20 8. UN 2013
Nilai minimum dari 𝑓(𝑥, 𝑦) = 4𝑥 + 5𝑦 yang memenuhi pertidaksamaan 2𝑥 + 𝑦 ≥ 7; 𝑥 + 𝑦 ≥ 5; 𝑥 ≥ 0; 𝑦 ≥ 0 adalah … A. 14 B. 20 C. 23 D. 25 E. 35 9. UN 2012
Daerah yang di aksir pada gambar merupakan daerah himpunan penyelesaian system pertidaksamaan linear. Nilai minimum
x y x yf , 4 3 yang memenuhi daerah yang
diarsir adalah …. A. 36 B. 60 C. 66 D. 90 E. 96 10. UN 2012
Nilai minimum dari f(x,y) = 6x +5y yang memenuhi daerah yang diarsir adalah … A. 96 B. 72 C. 58 D. 30 E. 24 11. UN 2011 Perhatikan gambar!
Nilai minimum fungsi obyektif
f(x,y) = 3x + 2y dari daerah yang diarsir pada gambar adalah … a. 4 b. 6 c. 7 d. 8 e. 9 12. UN 2010 Perhatikan gambar!
Nilai minimum fungsi obyektif
f(x,y) = 3x + 4y dari daerah yang diarsir pada gambar adalah … a. 36 b. 32 c. 28 d. 26 e. 24 X Y 0 8 4 8 12 0 Y X 2 3 3 4 0 X Y 30 15 24 12 Y X 0 12 16 4 6
13. UN 2012
Nilai maksimum dari
f
x
,
y
2
x
5
y
yangmemenuhi daerah yang diarsir adalah … A. 8 B. 16 C. 19 D. 20 E. 30 14. UN 2010 Perhatikan gambar!
Nilai maksimum f(x,y) = 60x + 30y untuk (x, y) pada daerah yang diarsir adalah … a. 200 b. 180 c. 120 d. 110 e. 80 15. UN 2009
Nilai maksimum fungsi obyektif
f(x,y) = x + 3y untuk himpunan penyelesaian seperti pada grafik di atas adalah … a. 50 b. 22 c. 18 d. 17 e. 7 0 Y X 3 8 4 6 8 4 4 6 Y X 0
Menyelesaikan masalah sehari–hari yang berkaitan dengan program linear
SOAL PEMBAHASAN1. UN 2013
Sebuah pesawat dengan rute Jakarta – Surabaya dalam satu kali pemberangkatan dapat mengangkut penumpang paling banyak 90 penumpang yang terdiri dari kelas bisnis dan kelas ekonomi. Penumpang kelas bisnis boleh membawa bagasi 12 kg dan kelas ekonomi 10 kg, daya angkut bagasi 1.000 kg. Harga tiket kelas bisnis Rp800.000,00 dan kelas ekonomi Rp700.000,00. Pendapatan maksimal maskapai tersebut adalah … A. Rp45.000.000,00 B. Rp57.000.000,00 C. Rp68.000.000,00 D. Rp72.000.000,00 E. Rp80.000.000,00 2. UN 2013
Seorang pedangan gorengan menjual pisang goreng dan bakwan. Harga pembelian untuk satu pisang goreng Rp1.000,00 dan satu bakwan Rp400,00. Modalnya hanya Rp250.000,00 dan muatan gerobak tidak melebihi 400 biji. Jika pisang goreng dijual Rp1.300,00/biji dan bakwan dijual Rp600,00/biji, keuntungan maksimum yang dapat diperoleh pedagang adalah …
A. Rp102.000,00 B. Rp96.000,00 C. Rp95.000,00 D. Rp92.000,00 E. Rp86.000,00 3. UN 2013
Seorang pedangan gorengan menjual pisang goreng dan bakwan. Harga pembelian untuk satu pisang goreng Rp1.000,00 dan satu bakwan Rp400,00. Modalnya hanya Rp250.000,00 dan muatan gerobak tidak melebihi 400 biji. Jika pisang goreng dijual Rp1.300,00/biji dan bakwan dijual Rp600,00/biji, keuntungan maksimum yang dapat diperoleh pedagang adalah …
A. Rp102.000,00 B. Rp96.000,00 C. Rp95.000,00 D. Rp92.000,00 E. Rp86.000,00 4. UN 2013
Seorang pedagang makanan menggunakan gerobak menjual pisang coklat dan pisang goreng. Harga pembelian untuk pisang coklat Rp1.000,00/biji dan pisang goreng Rp400,00/biji. Modalnya hanya Rp250.000,00 dan muatan gerobak tidak melebihi 400 biji. Jika keuntungan dari pisang coklat Rp500,00/biji dan pisang goreng Rp300,00/biji, keuntungan maksimum
yang dapat diperoleh pedagang tersebut adalah … A. Rp120.000,00 B. Rp125.000,00 C. Rp150.000,00 D. Rp187.000,00 E. Rp200.000,00 5. UN 2013
Seorang pedagang dengan modal Rp400.000 membeli tomat dan semangka yang akan diangkut dengan mobil angkutan barang. Daya angkut mobil hanya 300 kg, tomat dibeli dengan harga Rp2.000,00 per kg dan semangka Rp1.000,00 per kg. Apabila tomat dan semangka dijual dengan harga berturut–turut Rp4.000,00 per kg dan Rp2.500,00 per kg, maka keuntungan maksimum adalah … A. Rp900.000,00 B. Rp750.000,00 C. Rp550.000,00 D. Rp500.000,00 E. Rp300.000,00 6. UN 2013
Harga bawang merah Rp25.000,00 per kg dan harga bawang putih Rp50.000,00 per kg. Seorang pedagang hanya mempunyai modal Rp20.000.000,00 dan kiosnya hanya dapat memuat tidak lebih dari 600 kg dengan keuntungan bawang merah Rp5.000,00 per kg dan bawang putih Rp9.000,00 per kg, keuntungan maksimum yang diperoleh pedangang tersebut adalah …
A. Rp5.400.000,00 B. Rp4.000.000,00 C. Rp3.800.000,00 D. Rp3.600.000,00 E. Rp3.000.000,00 7. UN 2013
Seorang pemilik toko sandal memiliki modal Rp4.000.000,00. Ia membeli setiap pasang sandal A Rp10.000,00 dan sandal B Rp8.000,00. Setiap pasang sandal A dan sandal B masing– masing memberi keuntungan Rp5.000,00 dan Rp4.000,00. Kapasitas tempat penjualan yang tersedia tidak lebih dari 450 pasang. Keuntungan maksimum yang diperoleh pemiliki toko tersebut jika semua sandal habis terjual adalah …
A. Rp1.800.000,00 B. Rp1.900.000,00 C. Rp2.000.000,00 D. Rp2.050.000,00 E. Rp2.250.000,00
8. UN 2012
Tempat parkir seluas 600 m2 hanya mampu menampung 58 bus dan mobil. Tiap mobil membutuhkan tempat seluas 6 m2dan bus 24 m2. biaya parkir tiap mobil Rp.2.000,00 dan bus Rp.3.500,00. Berapa hasil dari biaya parkir maksimum,jika tempat parkir penuh?
A. Rp.87.500,00 B. Rp.116.000,00 C. Rp.137.000,00 D. Rp.163.000,00 E. Rp.203.000,00 9. UN 2010
Tempat parkir seluas 600m2 hanya mampu menampung 58 kendaraan jenis bus dan mobil. Tiap mobil membutuhkan tempat seluas 6m2 dan bus 24m2. Biaya parkir tiap mobil Rp2.000,00 dan bus Rp3.500,00. Berapa hasil dari biaya parkir maksimum, jika tempat parkir penuh?
a. Rp87.500,00 b. Rp116.000,00 c. Rp137.000,00 d. Rp163.000,00 e. Rp203.000,00 10. UN 2011
Seorang ibu memproduksi dua jenis keripik pisang, yaitu rasa coklat dan rasa keju. Setiap kilogram keripik rasa coklat membutuhkan modal Rp10.000,00, sedangkan keripik rasa keju membutuhkan modal Rp15.000,00 perkilogram. Modal yang dimiliki ibu tersebut Rp500.000,00. tiap hari hanya bisa memproduksi paling banyak 40 kilogram. Keuntungan tiap kilogram keripik pisang rasa coklat adalah Rp2.500,00 dan keripik rasa keju Rp3.000,00 perkilogram. Keuntungan terbesar yang dapat diperoleh ibu tersebut adalah … a. Rp110.000,00 b. Rp100.000,00 c. Rp99.000,00 d. Rp89.000,00 e. Rp85.000,00 11. UN 2011 IPS
Seorang ibu memproduksi dua jenis kerupuk, yaitu kerupuk udang dan kerupuk ikan. Setiap kilogram kerupuk udang membutuhkan modal Rp10.000,00, dan setiap kerupuk ikan membutuhkan modal Rp15.000,00. Modal yang dimiliki ibu tersebut Rp500.000,00. Tiap hari hanya bisa memproduksi paling banyak 40 kg. Keuntungan tiap kilogram kerupuk udang Rp5.000,00 dan kerupuk ikan Rp6.000,00 per
kilogram. Keuntungan terbesar yang dapat diperoleh ibu tersebut adalah …
a. Rp 220.000,00 b. Rp 200.000,00 c. Rp 198.000,00 d. Rp 178.000,00 e. Rp 170.000,00 12. UN 2010
Sebuah pabrik memproduksi dua jenis barang. Barang jenis I dengan modal Rp30.000,00/buah memberi keuntungan Rp4.000,00/buah dan barang jenis II dengan modal Rp25.000,00/ buah memberi keuntungan Rp5.000,00/buah Jika seminggu dapat diproduksi 220 buah dan modal yang dimiliki Rp6.000.000,00 maka keuntungan terbesar yang diperoleh adalah …
a. Rp 800.000,00 b. Rp 880.000,00 c. Rp 1.000.000,00 d. Rp 1.100.000,00 e. Rp 1.200.000,00 13. UN 2009
Pedagang makanan membeli tempe seharga Rp2.500,00 per buah dijual dengan laba Rp500,00 per buah, sedangkan tahu seharga Rp4.000,00 per buah di jual dengan laba Rp1.000,00. Pedagang tersebut mempunyai modal Rp1.450.000,00 dan kiosnya dapat menampung tempe dan tahu sebanyak 400 buah, maka keuntungan maksimum pedagang tersebut adalah … a. Rp250.000,00 b. Rp350.000,00 c. Rp362.000,00 d. Rp400.000,00 e. Rp500.000,00 14. UN 2008
Sebuah butik memiliki 4 m kain satin dan 5 m kain prada. Dari bahan tersebut akan dibuat dua baju pesta. Baju pesta I memerlukan 2 m kain satin dan 1 m kain prada, sedangkan baju pesta II memerlukan 1 m kain satin dan 2 m kain prada. Jika harga jual baju pesta I sebesar Rp 500.000,00 dan baju pesta II sebesar Rp 400.000,00, hasil penjualan maksimum butik tersebut adalah … a. Rp 800.000,00 b. Rp 1.000.000,00 c. Rp 1.300.000,00 d. Rp 1.400.000,00 e. Rp 2.000.000,00
