IV. PERCOBAAN FAKTORIAL (FACTORIAL EXPERIMENT)

IV. PERCOBAAN FAKTORIAL (FACTORIAL EXPERIMENT)

Organisme biologi dipengaruhi oleh berbagai faktor pertumbuhan secara serentak, selama hidupnya. Respon organisme terhadap suatu faktor (faktor tunggal) mungkin berbeda dengan bervariasinya tahap/taraf/level dari faktor-faktor lain. Oleh karenanya percobaan dengan faktor tunggal sering kali dikritik karena sempit wawasannya.

Jelasnya, hasil yang di peroleh dari suatu percobaan dengan faktor tunggal hanya dapat diterapkan terhadap level tertentu faktor-faktor lain yang diusahakan tetap selama percobaan.

Jadi, jika respon terhadap faktor yang diminati diharapkan berbeda pada level-level faktor-faktor lain, maka hindarkan pelaksanaan percobaan dengan faktor tunggal. Sebaliknya harus dipertimbangkan pelaksanaan percobaan dengan faktor ganda (percobaan faktorial) untuk mengatasi dua atau lebih faktor secara bersamaan.

4. 1. Interaksi dua faktor atau lebih

Dua faktor dikatakan saling beinteraksi jika pengaruh (efek) faktor yang satu berubah dengan berubahnya level faktor yang lain.

Berdasarkan definisi diatas, maka interaksi dari sejumlah k faktor (dimana k>2) dapat didefinisikan sebagai pebedaan pengaruh interaksi (k-1) faktor terhadap level-level faktor yang ke k.

Faktor umumnya disimbolkan dengan huruf kapital (A, B, C………) Level umumnya disimbolkan dengan huruf kecil sesuai dengan indeks.

Teladan: Faktor Level

A a0, a1, … atau a1, a2, ……

B b0, b1, … atau b1, b2, ……

Untuk menerangkan pengaruh interaksi (efek interaksi), efek tunggal (simple effect) dan efek utama (main effect), didasarkan pada percobaan faktorial 2 faktor, A dan B dan masing-masing faktor terdiri atas 2 level, yaitu a0 dan a1 untuk A serta B0dan B1 unntuk B. Keempat kombinasi perlakuan disimbolkan/ditulis sebagai berikut: a0b0, a1b0, a0b1, a1b1.

A B

a0 a1

b0 a0b0 a1b0

b1 a0b1 a1b1

Efek tunggal A pada b0 = a1b0 – a0b0 Efek tunggal A pada b1 = a1b1 – a0b1 Efek tunggal B pada a0 = a0b1 – a0b0 Efek tunggal B pada a1 = a1b1 – a1b0

Efek utama

A

=

1

₂

[

efek

tunggal

A

pada

bo

+

efek

tunggal

A

pada

b

1

]

[

(

)

(

)

]

2

1

1 0 1 1 0 0 0 1

b

a

b

a

b

a

b

a

−

+

−

=

Efek utama

B

=

1

₂

[

efek

tunggal

B

pada

a

0

+

efek

tunggal

B

pada

a

1

]

[

(

)

(

)

]

2

1

0 1 1 1 0 0 1 0

b

a

b

a

b

a

b

a

−

+

−

=

Efek interaksi A x B

=

1

₂

[

efek

tunggal

A

pada

b

1

−

efek

tunggal

A

pada

b

0

]

[

(

)

(

)

]

2

1

0 0 0 1 1 0 1 1

b

a

b

a

b

a

b

a

−

−

−

=

[

1 0

]

2

1

_efek

_tunggal

_B

_pada

_a

₋

_efek

_tunggal

_B

_pada

_a

=

[

(

)

(

)

]

2

1

0 0 1 0 0 1 1 1

b

a

b

a

b

a

b

a

−

−

−

=

Ada interaksi Tanpa interaksi

A A B a0 a1 Rata-rata B a0 a1 Rata-rata b0 1.0 1.0 1.0 b0 1.0 3.0 2.0 b1 2.0 4.0 3.0 b1 2.0 4.0 3.0 Rata-rata 1.5 2.5 Rata-rata 1.5 3.5

Efek tunggal A pada b0:

1.0 - 1.0 = 0.0 t/ha 3.0 – 1.0 = 2.0 t/ha Efek tunggal A pada b1:

4.0 – 2.0 = 2.0 t/ha 4.0 – 2.0 = 2.0 t/ha Efek tunggal B pada a0:

2.0 – 1.0 = 1.0 t/ha 2.0 – 1.0 = 1.0 t/ha Efek tunggal B pada a1:

4.0 – 1.0 = 3.0 t/ha 4.0 – 3.0 = 1.0 t/ha Efek Utama A: ½(0.0 + 2.0) = 1.0 t/ha ½(2.0 + 2.0) = 2.0 t/ha Efek utama B: ½(1.0 + 3.0) = 2.0 t/ha ½(1.0 + 1.0) = 1.0 t/ha efek interaksi A x B: ½(3.0 - 1.0) = 1.0 t/ha ½(1.0 - 1.0) = 0.0 t/ha atau ½(2.0 - 0.0) = 1.0 t/ha ½(2.0 – 2.0) = 0.0 t/ha

Grafik respon terhadap faktor A pada masing-masing level faktor B tampak pada gambar 1a, 1b, 2a dan 2b.

Gambar 2a dan 2b menunjukkan kasus dengan interaksi rendah dan interaksi tinggi. Pada gambar 2a, tampak respon terhadap faktor A adalah positif untuk kedua level faktor B, dengan respon yang lebih tinggi pada b1 (2.0 t/ha) dari pada b0(1.0 t/ha), sehingga memberikan efek interaksi A x B = 0.5 t/ha.

Ada 3 hal yang harus diperhatikan:

1) Suatu efek interaksi antara dua atau lebih faktor dapat diukur jika faktor-faktor tersebut diujikan pada percobaan yang sama. (misal: dalam suatu percobaan faktorial).

2) Jika tidak terjadi interaksi, efek tunggal suatu faktor adalah sama untuk semua level faktor lainnya dan sama dengan efek utama.

Jadi, jika tidak terjadi interaksi, hasil percobaan faktor tunggal yang terpisah (satu untuk setiap faktor) adalah sama terhadap percobaan faktorial dengan semua faktor uji bersama-bersama.

Dalam teladan diatas, efek faktor B adalah sebesar 1.0 t/ha, tanpa memperhatikan apakah:

• Faktor B diujikan pada (level) A0 dalam percobaan tunggal

• Faktor B diujikan pada A1 dalam suatu percobaan tunggal

• Faktor B diujikan pada kombinasi dengan faktor A dengan level dalam suatu percobaan 2 faktor.

3) Jika terdapat interaksi, efek tunggal suatu faktor berubah sesuai dengan perubahan level pada faktor lainnya. Akibatnya, efek utama berbeda dari efek tunggal.

Bila terjadi efek interaksi antar 2 faktor, maka:

• Yang harus diuji adalah efek tunggal bukan efek utama

• Hasil dari percobaan faktor tunggal hanya dapat diterapkan pada level tertentu suatu faktor dimana faktor lain diujikan dalam percobaan, dan tidak dapat disimpulkan secara umum terhadap/ mencangkup level yang lain.

4. 2. Macam Percobaan Faktorial

a. Faktorial LF , dimana L adalah level, dan F adalah banyaknya faktor.

Teladan: Faktorial 22; faktorial 23; faktorial 32; faktorial 33; dan sebagainya…. b. Faktorial L1 x L2 x L3 x….; adalah percobaan faktorial dimana setiap faktor terdiri

dari banyaknya level yag berbeda.

Teladan: Faktorial 2 x 3; factorial 2 x 3 x 5; faktorial 3 x 3 x 4 dsb….. c. Percobaan faktorial pautan (confounding)

d. Percobaan faktorial dengan efek faktor utama dipautkan. Dalam pola ini, antara lain:

1. Percobaan/desain split-plot 2. percobaan/desain strip-plot 3. percobaan/desain spit-split-plot.

4. 2. 1. Percobaan Faktorial Dua Faktor

Faktor : A dan B

Level : a… dan b…

Ulangan : r

Desain/rancangan: bisa RAL, RAK ataupun RBS. Model Linier: ijk k ij j i ijk

Y

=

μ

+

α

+

β

+

(

αβ

)

+

ρ

+

ε

Keterangan: ijk

Y

_{= pengamatan pada satuan percobaan pada blok ke-k yang mendapat faktor}

A ke-I dan faktor B ke-j.

μ

= nilai rata-rata pengamatan pada populasi.

i

α

= pengaruh faktor A pada level ke-i.

j

β

= pengaruh faktor B pada level ke-j

ij

)

(

αβ

= pengaruh interaksi antara faktor A level ke-i dengan faktor B level ke-j.

k

ρ

= pengaruh pemblokan blok ke-k.

ijk

ε

= pengaruh error yang bekerja pada satuan percobaan pada blok ke-k yang mendapat perlakuan faktor A ke-i dan faktor B ke j.

Catatan: Untuk RAL :

ρ

k =0 (tidak ada efek blok)

Untuk RAK:

ρ

k > 0 (ada efek blok)

Untuk RBS:

ρ

k > 0 dan

κ

l > 0 (ada efek baris dan kolom).

4. 2. 2. Percobaan Faktorial Dua Faktor dengan Desain RAK

Model Linier:

Y

ijk

=

μ

+

α

i

+

β

j

+

(

αβ

)

ij

+

ρ

k

+

ε

ijk

.,

Dimana: i= 1, 2, ….,a

j= 1, 2, ….,b k= 1, 2, ….,r Keterangan: (sama seperti lalu).

4.3 Analisis Varians Sumber Keragaman (SK) Derajat Bebas (DB) Jumlah Kuadrat (JK) Kuadrat Tengah (KT) F-hitung F-tabel 5% 1%

Ulangan (r-1) JKU KTU

Perlakuan (ab-1) JKP KTP

A (a-1) JKA KTA

B (b-1) JKB KTB

A x B (a-1)(b-1) JKAB KTAB

Error (Galat) (r-1) (ab-1) JKE KTE

Total (abr – 1) JKT - Perhitungan:

abr

Y

FK

2

...)

(

=

_;

JKU

Y

ab

FK

r k k

−

=

∑

=

/

1 2 ...

∑ ∑

= =

−

=

a i b j ij

FK

r

Y

JKP

1 1 2 .

∑

=

−

=

a i i

_FK

br

Y

JKA

1 2 ..

∑

=

−

=

b j j

_FK

ar

Y

JKB

1 2 . .

∑ ∑

∑

∑

= = = =

+

−

−

=

a i b j a i b j j i ij

_FK

ar

Y

br

Y

r

Y

JKAB

1 1 1 1 2 . . 2 .. 2 .

JKB

JKA

JKP

−

−

=

∑ ∑ ∑

= = =

−

=

a i j r k ijk

FK

Y

JKT

1 1 1

JKP

JKU

JKT

JKE

=

−

−

DBB

JKB

KTB

DBA

JKA

KTA

DBP

JKP

KTP

DBU

JKU

KTU

=

;

=

;

=

;

=

DBE

JKE

KTE

AB

DB

AB

JK

KTAB

=

;

=

Untuk menghitung F-hitung masing-masing efek, bergantung pada sifat masing-masing faktor atau pada modelnya.

Fixed Model (model tetap) : semua faktor bersifat fixed Random Model (model random) : semua faktor bersifat random

Mixed Model (model mixed) : semua faktor bersifat fixed dan sisanya bersifat random.

Aturan Penentuan E (KT):

1. Untuk model random, nilai E (KT) untuk semua efek merupakan kombinasi linier dari dan varians-varians efek yang indeksnya mengandung semua huruf pada efek tersebut. Koefisien dari varians-varians tersebut adalah 1 untuk dan untuk yang lain merupakan hasil kali ulangan (=r) degan huruf kecil (level) yang sesuai dengan huruf capital yang

2 ε

σ

2 ε σ

tidak terdapat pada indeks.

2. Untuk Model Mixed. Dimulai dengan nilai E (KT) untuk model random. Komponen yang mempunyai indeks yang sama dengan nama efek pada sumber keragaman selalu ada (tidak dihapus).

Untuk masing-masing komponen, abaikan indeks yang sesuai dengan nama efek, perhatikan indeks yang tinggal, jika salah satu indeks yang tinggal ada yang sesuai dengan efek/faktor yang fixed maka komponen varians tersebut dihapus; kalau indeks yang tinggal semuanya sesuai dengan efek yang random maka komponen varians tidak dihapus.

Selanjutnya perhatikan semua indeks, kalau mengandung indeks yang sesuai dengan efek fixed maka notasi diganti dengan notasi varians untuk fixed model. 3. Untuk Model Mixed. Setelah penerapan aturan #2, untuk semua komponen varians

yang tinggal, jika pada indeksnya mempunyai satu atau lebih indeks yang sesuai dengan efek fixed, maka koefisien dari varians membutuhkan satu faktor untuk setiap efek fixed. Faktor tersebut adalah nilai rasio antara banyaknya level efek yang fixed terhadap derajad bebasnya (walaupun umumnya faktor ini jarang dipakai).

Nilai E(KT) untuk Model Random (A & B: Random) SK DB E (KT) Ulangan (r-1) 2 2 R

ab

σ

σ

_ε

+

Perlakuan (ab-1) 2 2 τ ε

σ

σ

+

r

A (a-1) 2 2 2 A AB

rb

r

σ

σ

σ

_ε

+

+

B (b-1) 2 2 2 B AB

ra

r

σ

σ

σ

_ε

+

+

AB (a-1)(b-1) 2 2 AB

r

σ

σ

_ε

+

Error (ab-1)(r-1) 2 ε

σ

F-hitung AB KTE KTAB = F-hitung A

;

KTAB

KTA

=

_{F-hitung B}

KTAB

KTB

=

Jika efek AB berbeda tidak nyata (ns), maka:

F-hitung A

*

KTE

KTA

atau

KTAB

KTA

=

_Dimana:

*

*

*

DBE

JKE

KTE

=

F-hitung B

*

KTE

KTB

atau

KTAB

KTB

=

JKE* = JKAB + JKE

Nilai E (KT) untuk Model Fixed (A & B; Fixed) SK DB E (KT) Ulangan (r-1)

∑

₋

+

)

1

(

2 2

r

ab

ρ

σ

_ε Perlakuan (ab-1)

∑

₋

+

)

1

(

2 2

ab

r

τ

σ

_ε A (a-1)

∑

₋

+

)

1

(

2 2

a

br

α

σ

_ε B (b-1)

∑

₋

+

)

1

(

2 2

b

ar

β

σ

_ε AB (a-1)(b-1)

∑

₋

₋

+

)

1

)(

1

(

)

(

2 2

b

a

r

αβ

σ

_ε Error (ab-1)(r-1) 2 ε

σ

Nilai E (KT) Untuk Model Mixed (A fixed; B random)

SK DB E (KT) Ulangan (r-1) 2 2 R

ab

σ

σ

_ε

+

Perlakuan (ab-1) 2 2 τ ε

σ

σ

+

r

A (a-1)

∑

∑

₋

₋

+

₋

+

2 1 2 2

)

(

1

)

1

)(

1

(

)

(

αβ

_α

σ

_ε

a

rb

b

a

r

ij B (b-1) 2 2 B

ra

σ

σ

_ε

+

AB (a-1)(b-1)

∑

₋

₋

+

)

1

)(

1

(

)

(

2 2

b

a

r

αβ

ij

σ

_ε Error (ab-1)(r-1) 2 ε

σ

F-hitung AB KTE KTAB = F-hitung A KTAB KTA = F-hitung B KTE KTB =

Teladan: Suatu percobaan faktorial dengan desain RAK dilaksanakan untuk menguji 5 dosis pemupukan N dan 3 varietas padi dan diulang 4 kali.

Tabel 3.2:

Kombinasi perlakuan faktorial 3 x 5

Varietas (V) Dosis N kg/ha V1 V2 V3 0 (N0) N0V1 N0V2 N0V3 40 (N1) N1V1 N1V2 N1V3 70 (N2) N2V1 N2V2 N2V3 100 (N3) N3V1 N3V2 N3V3 130 (N4) N4V1 N4V2 N4V3 Tata letaknya: N2V3 N1V2 N4V1 N3V2 N1V1 Rep. I N0V3 N3V1 N4V3 N2V1 N3V3 N4V2 N1V3 N0V2 N0V1 N2V2 N3V2 N3V3 N1V1 N0V2 N1V2 Rep. II N3V1 N2V3 N2V1 N4V1 N4V2 N0V1 N4V2 N2V2 N1V3 N0V3 N1V1 N0V3 N0V1 N1V3 N4V1 Rep. III N2V2 N2V1 N3V1 N4V2 N4V3 N2V0 N2V3 N1V2 N3V2 N3V3 N2V1 N2V2 N4V2 N0V1 N0V2 Rep. IV N3V1 N1V3 N4V1 N1V1 N3V2 N0V3 N1V2 N2V3 N3V3 N4V3

Table 3.3 Grain Yield of Three Rice Varietas Tested With Five Levels of Nitrogen in a RCB Designa .

Grain Yield t/ha Nitrogen Level

kg/ha Rep. I Rep. II Rep. III Rep. IV

Treatment Total (T) V1 N0 3.852 2.606 3.144 2.894 12.496 N1 4.788 4.936 4.562 4.608 18.894 N2 4.576 4.4554 4.884 3.924 17.838 N3 6.034 5.276 5.906 5.652 22.868 N4 5.874 5.916 5.984 5.518 23.292 V2 N0 2.846 3.794 4.108 3.444 14.192 N1 4.956 5.128 4.150 4.990 19.224 N2 5.928 5.698 5.810 4.308 21.744 N3 5.664 5.362 6.458 5.474 22.958 N4 5.458 5.546 5.786 5.932 22.722 V3 N0 4.192 3.754 3.738 3.428 15.112 N1 5.250 4.582 4.896 4.286 19.014 N2 5.822 4.848 5.678 4.932 21.280 N3 5.888 5.524 6.042 4.756 22.210 N4 5.864 6.264 6.056 5.362 23.546 Rep. Total (R) 76.992 73.688 77.202 69.508 Grand total (G) 297.390

For Description of treatment see table 3.2.

FK

=

_×

_×

=

4

5

3

)

390

.

297

(

2 (88440.8121/60) = 1474.01353

Table 3.5. The Variety x Nitrogen Table of Totals from Data in Table 3.3 Yield Total (AB)

Nitrogen V1 V2 V3 Nitrogen Total (B) N0 12.496 14.192 15.112 41.800 N1 18.894 19.224 19.014 57.132 N2 17.838 21.744 21.280 60.862 N3 22.868 22.958 22.210 68.036 N4 23.292 22.722 23.546 69.560

Table 3.6. Analysis of Variance of Data in Table 3.3 from a 3 x 5 Faktorial Experiment in RCB Design. Source of Variation Degree of Freedom Sum of Square Mean Square Computed F Tabular F 5% 1% Replication 3 2.599 0.866 5.74** 2.83 4.29 Treatment 14 44.578 3.184 21.09** 1.94 2.54 Variety (2) 1.052 0.526 3.48* 3.22 5.15 Nitrogen (4) 41.234 10.308 68.26** 2.59 3.80 A x B (8) 2.292 0.286 1.89ns 2.17 2.96 Error 42 6.353 0.151 Total 59 53.530 a CV = 7.8% b

** = significant at 1% level, **= significant at 5% level, ns= not significant.

Untuk percobaan faktorial, ada beberapa macam harga rata-rata perlakuan. Sebagai teladan: suatu percobaan faktorial 2 x 3, dimana faktor A terdiri dari 2 level dan faktor B terdiri dari 3 level , mempunyai 4 tipe/macam rata-rata

yang dapat dibandingkan, yaitu:

1. Dua rata-rata A, mencakup keseluruhan 3 level B 2. Tiga rata-rata B, mencakup ke dua level faktor A 3. Enam rata-rata A, yaitu 2 rata-rata setiap 3 level B 4. Enam rata-rata B, yaitu 3 rata-rata setiap 2 level A.

Rata-rata ke-1 adalah rata-rata dari 3r observasi; tipe ke-2 rata-rata dari 2r observasi dan tipe ke-3 dan ke-4 adalah rata-rata dari r observasi.

Jadi rumus

S

_d , dimana

r

KTE

S

_d

=

2

, hanya cocok untuk beda rata-rata yang mencakup salah satu dari tipe ke-3 atau ke-4.

Untuk rata-rata tipe ke-1 dan ke-2; bilangan penyebut dari rumus

S

_d diganti dengan 3r dan 2r, yaitu untuk membandingkan dua rata-rata A yang mencakup seluruh level B,

nilai

r

KTE

S

_d

3

2

=

, dan untuk membandingkan setiap pasangan rata-rata B yang

mencakup seluruh level A,

r

KTE

S

_d

2

2

=

.

Catatan: untuk multiple range Æ

2

d x

S

S

=