PENGANTAR ANALISA STRUKTUR METODE MATRIKS

(1)

PENGANTAR ANALISA

STRUKTUR METODE MATRIKS

 KONSEP ANALISA STRUKTUR  BENTUK & TYPE STRUKTUR

 ELEMEN & NODE PADA STRUKTUR  SISTEM KOORDINAT LOKAL & GLOBAL  PRINSIP KEKAKUAN DAN FLEKSIBILITAS

(2)

(3)

(4)

• DEF. LENTUR • DEF. GESER • DEF. AKSIAL • DEF. TORSI EXTERNAL FORCES STRUKT UR INTERNAL FORCES • MOMEN LENTUR • GAYA GESER • GAYA NORMAL • TORSI DEFORMASI • TRANSLASI • ROTASI DISPLACEMENT

ANALYSIS STRUCTURES CONCEPT

equilibriu m

compatibility contitutive law

(5)

(6)

KONSEP DASAR ANALISA STRUKTUR



EQUILIBRIUM



CONSTITUTIVE LAW



COMPATIBILITY

(7)

EQUILIBRIUM

 KESETIMBANGAN EKSTERNAL FORCES

DENGAN INTERNAL FORCES PADA STRUKTUR

 KESETIMBANGAN PADA STRUKTUR DIBAGI

ATAS ; Kesetimbangan Statis ; (Hk Newton-1)

Kesetimbangan Dinamis ; (Hk Newton-2)



F



0

(8)

Persamaan Kesetimbangan pada

struktur



F_X  0



F

_Y



0 

F

_Z



0 

 ₀ Z M



M

_X



0 

M

_Y



0

(9)

CONSTITUTIVE LAW

 HUBUNGAN ANTARA INTERNAL FORCES

DENGAN DEFORMASI PADA BAGIAN STRUKTUR

 SYARAT MATERIAL STRUKTUR ;

ELASTIS & LINEAR (

Hk Hooke

)

struktur

Kekakuan

k

F





;



F

f

Fleksibili

tas

struktur

f



(10)

F



k Kekakuan struktur F



f Fleksibilitas struktur

(11)

COMPATIBILITY

 PERTIMBANGAN KINEMATIS DARI STRUKTUR

YANG TERDEFORMASI ATAU “KONTINUITAS DISPLACEMENT” 0 ; 0 ; 0 0 ; 0 ; 0 ; 0 ; 0                D H D V D C H C V CD CA A H A V A     0 ; 0 ; 0 0 ; 0 ; 0           B H B V B A H A V A  

(12)

• DERAJAT KETIDAKTENTUAN KINEMATIS (DKK)

ADALAH JUMLAH DISPLACEMENT (TRANSLASI DAN

ROTASI) YANG BELUM DIKETAHUI BESARNYA PADA

UJUNG-UJUNG BATANG

• DERAJAT KETIDAKTENTUAN STATIS (DKS)

ADALAH JUMLAH GAYA REDUDANT (GAYA KELEBIHAN) PADA STRUKTUR AGAR DAPAT DISELESAIKAN DENGAN PERS.KESETIMBANGAN

(13)

DKK = 0 DKS = 3

DKK = 5 DKS = 1

DKK = 8 DKS = 1

(14)

BENTUK & TYPE STRUKTUR

STRUKTUR RANGKA BIDANG

“PLANE TRUSS” • KONSTRUKSI JEMBATAN • KONSTRUKSI ATAP • KONSTRUKSI PENGAKU DEFORMASI AKSIAL GAYA AKSIAL (TEKAN/TARIK)

(15)

BENTUK & TYPE STRUKTUR

STRUKTUR RANGKA RUANG

“SPACE TRUSS”

• KONSTRUKSI JEMBATAN • KONSTRUKSI TOWER

• KONSTRUKSI ATAP / DOME

DEFORMASI AKSIAL GAYA AKSIAL

(16)

BENTUK & TYPE STRUKTUR

• BALOK SPRANDEL

• KONSTRUKSI LANTAI GRID • PONDASI SARANG LABA-LABA • PONDASI RAKIT • DEF.GESER • DEF. LENTUR • DEF. PUNTIR • GAYA GESER • MOMEN LENTUR • TORSI

STRUKTUR GRID

“GRID STRUCTURES”

(17)

BENTUK & TYPE STRUKTUR

STRUKTUR PORTAL BIDANG

“PLANE FRAME”

• PORTAL SEDERHANA • BANGUNAN GEDUNG

• KONSTRUKSI TUNNEL / BOX

• DEF. LENTUR • DEF. GESER • DEF. AKSIAL • MOMEN LENTUR • GAYA GESER • GAYA AKSIAL

(18)

BENTUK & TYPE STRUKTUR

STRUKTUR PORTAL RUANG

“SPACE FRAME” • BANGUNAN GEDUNG • DEF. LENTUR • DEF. GESER • DEF. AKSIAL • DEF.PUNTIR • MOMEN LENTUR • GAYA GESER • GAYA AKSIAL • TORSI

(19)



STRUKTUR TERDIRI DARI ;

1) ELEMEN ; MEMBER/BATANG

2) NODE ; JOINT/NODAL/TITIK BUHUL



TRANSFER GAYA LUAR PADA

BAGIAN-BAGIAN STRUKTUR MELALUI ELEMEN

& NODE/JOINT

(20)

Node / Joint

 NODE/JOINT ; bagian dari struktur yang

menghubungkan elemen-elemen struktur

 Node/joint terbagi atas ;

1) Node/Joint Terkekang

(disebut juga “Constraint-node”) Perletakan roll, sendi, jepit

2) Node/Joint Bebas

(21)

JOINT / NODE / NODAL

ROLL

FREE-NODE / JOINT/ NODAL JEPIT/ FIX-END

(22)

(23)

Elemen



Elemen ; bagian dari struktur yang

dihubungkan oleh dua atau lebih

node/joint



Elemen terdiri atas ;

1) elemen garis (elemen truss/frame/grid) 2) elemen bidang (elemen pelat/dinding) 3) elemen ruang (elemen hexagonal, cube)

(24)

NODAL-FORCES

NODAL-FORCES (MOMEN+GESER+AKSIAL+TORSI) NODAL-FORCES (MOMEN+GESER+AKSIAL) NODAL-FORCES (MOMEN + GESER)

(25)

(26)

(27)

(28)

 HUBUNGAN NODAL-DISPLACEMEN DENGAN

NODAL-FORCE BAGAIMANA ……….………… ???

 HUKUM HOOKE (BAHAN MASIH ELASTIS LINEAR)

F = k x ATAU

 

F 

 

K

 

x                                                  n nn n n n n n n n X X X X K K K K K K K K K K K K K K K K F F F F 3 2 1 3 2 1 3 33 32 31 2 23 22 21 1 13 12 11 3 2 1

(29)

Hubungan Deformasi dengan Internal Forces

DEFORMASI AKSIAL

Dimana : A = luas tampang ; E = modulus elastis bahan L = panjang elemen   EA N E A N E x X        dx EA N dx d _x _x.  .           L O x L N EA L dx EA N d . EA = axial rigidity

(30)

Hubungan Deformasi dengan Internal Forces DEFORMASI LENTUR z x I y M .    Z x x EI y M E .       dx EI M y dx d Z x.  _.         L O Z dx EI M d .  EIz=flexural rigidity

(31)

Hubungan Deformasi dengan Internal Forces DEFORMASI GESER G    b I Q V z. .   Shearing Strain ; A G dx V f d . . .   Displacemen relatif ; Shear Stress ; V GA L f dx GA V f d L O S . . . . _        rigidity shearing f GA  _{f = shape factor}

(32)

Hubungan Deformasi dengan Internal Forces DEFORMASI PUNTIR J G r T G . .     J G R T G maks maks . .    dx J G T dx R d maks .     J r T.   J R T. max  

J = momen inersia polar

konstanta torsi G.J = torsional rigidity

T GJ L dx J G T d L O . . .       

(33)

(34)

Menghitung hubungan eksternal force

(action) dengan displacemen pada balok

prismatis dapat memakai metode a.l ;



Metode “persamaan differensial balok”



“Moment Area Method”

(35)

(36)

(37)

(38)

(39)

PRINSIP KEKAKUAN & FLEKSIBILITAS

• KEKAKUAN atau “STIFFNESS” adalah

aksi yang diperlukan untuk menghasilkan “unit displacemen”

• FLEKSIBILITAS atau “FLEXIBILITY”

adalah displacemen yang dihasilkan oleh “unit gaya” kg/cm ; kN/mm ; ton/m' ; a.l panjang gaya satuan  cm/kg ; mm/kN ; m/ton ; a.l gaya panjang satuan 

(40)

 1  k k = kekakuan  f  1 f = fleksibilitas  D  F D = displacemen F = gaya / action



Contoh sederhana ; F = k D D = f F

k

f

atau

f

k



1 

1

(41)

A1

D1 D2

STRUKTUR BALOK MENERIMA BEBAN TERPUSAT A₁ DAN MOMEN LENTUR A₂ PADA UJUNG KANTILEVER SEPERTI TERGAMBAR

HITUNG MATRIKS KEKAKUAN [K] DAN MATRIKS FLEKSIBILITAS [F] DARI STRUKTUR TERSEBUT ???? EXAMPLE

(42)

E,I,L S21= S11= L3 12EI L2 -6EI 1 1 S 22= L 4EI S12= L2 -6EI F11= F21= L 3EI L 2EI 2 E,I,L F12= L 2EI F21= L EI 1 E,I,L 1 2 2 1 3 1 2 3 EI A L A EI L D   2 1 2 2 2 EI A L A EI L D                            2 1 2 2 3 2 1 2 2 3 A A EI L EI L EI L EI L D D  D   F  A 2 2 1 3 1 6 12 D L EI D L EI A   2 1 2 2 4 6 D L EI D L EI A                             2 1 2 2 3 2 1 4 6 6 12 D D L EI L EI L EI L EI A A    A  S  D

(43)

            EI L EI L EI L EI L 2 2 3 2 2 3             L EI L EI L EI L EI 4 6 6 12 2 2 3   F S              ) 4 3 ( ) 2 2 ( ) 3 4 ( 6 6 L L L L   F S    F S        1 0 0 1

SEHINGGA DAPAT DIBUKTIKAN BAHWA ;

ATAU ;

   



1

S

(44)

3 2 2 2 1 1 3 3 3 D L EI D L EI D L EI F    3 3 2 3 1 2 2 3 3 3 D L EI D L EI D L EI F    3 3 2 3 1 2 3 3 3 3 D L EI D L EI D L EI F                                   3 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 2 1 2 2 2 2 1 3 D D D L EI F F F L L L L L L L L EXAMPLE

Prinsip superposisi kekakuan ;

 

F 

 

K

 

D

(45)

EQUIVALENT JOINT LOADS

 Pada metode matriks, pengaruh beban luar

yang bekerja pada batang (atau “member loads”) dapat diekivalensikan dengan beban pada node/joint yang mempunyai pengaruh sama seperti beban aslinya.

 Konsep tersebut dikenal sebagai “equivalent

(46)

(47)

FORMULASI ANALISA STRUKTUR DENGAN METODE MATRIKS



Metode yang dikenal s/d sekarang ;

1) Metode Kekakuan (Metode Displacemen)

2) Metode Fleksibilitas (Metode Gaya)

 Metode Kekakuan ; displacemen sebagai

un-known value (variabel yang tidak diketahui) dan dicari terlebih dahulu.

 Metode Fleksibilitas ; gaya sebagai un-known

(48)

Metode Kekakuan Langsung



Metode yang cocok dan banyak digunakan

dalam analisis struktur berbasis program

komputer (SAP2000/STAAD-PRO/ANSYS)



Asumsi-asumsi dasar ;

1) Bahan struktur berperilaku “linear-elastic”

2) Displacemen struktur relatif kecil dibanding dimensi /geometrik struktur

3) Interaksi pengaruh gaya aksial dan lentur diabaikan

(49)

PROSEDUR ANALISIS

1. Semua kekakuan elemen dievaluasi sesuai

dengan hubungan antara “gaya” dan “ deformation” (dalam koordinat LOKAL).

2. Matriks kekakuan elemen ditransformasikan ke koordinat GLOBAL.

3. Matriks kekakuan elemen-elemen struktur (dalam koordinat global) digabungkan

menjadi matriks kekakuan seluruh struktur (dengan mempertimbangkan

(50)

4. Berdasarkan pembebanan yang ada, disusun vektor/matriks gaya.

5. Kondisi batas pada perletakan

diperhitungkan, dan dilakukan “static

condensation” untuk memperoleh matriks kekakuan struktur ter-reduksi.

6. Matriks kekakuan struktur yang ter-reduksi tersebut memberikan persamaan

kesetimbangan struktur, yang solusinya akan menghasilkan “displacement” setiap node/joint. Kemudian gaya-gaya (reaksi perletakan) dapat diperoleh kemudian.

7. Kemudian gaya-gaya dalam dapat dihitung untuk setiap elemen.

(51)

Aplikasi Metode Kekakuan Langsung



STRUKTUR RANGKA BIDANG



STRUKTUR RANGKA RUANG



STRUKTUR PORTAL BIDANG



STRUKTUR PORTAL RUANG

(52)

3 2 2 2 1 1 3 3 3 D L EI D L EI D L EI F    3 3 2 3 1 2 2 3 3 3 D L EI D L EI D L EI F    3 3 2 3 1 2 3 3 3 3 D L EI D L EI D L EI F                                   3 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 2 1 2 2 2 2 1 3 D D D L EI F F F L L L L L L L L EXAMPLE

Prinsip superposisi kekakuan ;

 

F 

 

K

 

D