II. METODE MATRIKS UNTUK ANALISA STRUKTUR

PENGERTIAN UMUM.

Metode Matriks adalah suatu pemikiran baru pada analisa struktur, yang dikembangkan bersamaan dengan makin populernya penggunaan komputer otomatis untuk operasi-operasi perhitungan aritmatik.

Di dalam ilmu Mekanika Teknik, konstruksi yang paling sederhana adalah konstruksi statis tertentu. Namun pada kebanykan perencanaan teknis yang nyata, konstruksi yang dijumpai akan merupakan struktur-struktur yang cukup kompleks.

Analisa suatu konstruksi yang statis tertentu memang akan dapat segera diselesaikan dengan hanya menggunakan beberapa persamaan kesetimbangan. Misalnya kalau ingin menghitung gaya-gaya batang pada suatu rangka batang yg statis tertentu baik eksternal maupun internal, maka cukup mempergunakan persamaan- persamaan kesetimbangan untuk menyelesaikannya, tanpa perlu menghiraukan deformasi yang terjadi pada konstruksi tersebut. Penyelesaian konstruksi yg demikian ini hanya sering dijumpai pada persoalan teoritis yang ada dibuku. Tidak demikian halnya dengan konstruksi-konstruksi statis tak tentu, terlebih lagi yang cukup kompleks.

Suatu konstruksi nyata yg ada, pada umumnya akan terdiri dari banyak bagian yang kompleks. Geometri dari elemen-elemen individu, atau struktur secara keseluruhan, sering kali tidak uniform dan tidak teratur.

Konstruksi-konstruksi demikian sudah tidak mungkin lagi diselesaikan hanya dengan memakai persamaan- persamaan kesetimbangan, sehingga dengan demikian perlu disederhanakan, diidealisir, dengan harapan agar dapat diselesaikan berdasarkan analisa matematika yang sederhana, yaitu sedapat mungkin dalam hubungan persamaan-persamaan yang linear. Analisa struktur dengan metode matriks telah memberikan kemungkinan- kemungkinan bagi proses idealisasi ini. Seperti diketahui, suatu hal yang utama yang berhubungan dengan proses dari perencanaan struktur ialah menganalisa apa akibat dari pembebanan gaya-gaya pada konstruksi yang ditinjau.

Tingkah laku dari konstruksi ini pada umumnya berhubungan sangat erat dengan perubahan stress dan strain yang terjadi padanya. Resultante stress ini bisa dalam bentuk gaya dalam, yaitu momen lentur, gaya normal, momen torsi, sedangkan strain bisa menyatakan deformasi yang terjadi pada konstruksi. Dalam menganalisa perubahanbentuk ini, perhatian akan lebih baik dipusatkan pada lendutan linear atau anguler yang terjadi pada titik-titik diskrit (titik-titik putus) pada konstruksi. Dengan demikian yang perlu untuk dianalisa mula pertama ialah sifat dan tingkah laku dari elemen-elemennya bila dibebani oleh gaya-gaya. Di sini bisa didapatkan keuntungan bahwa hasil analisa satu elemen, dapat dipakai untuk elemen-elemen lain yang sejenis Kemudian digabungkan sifat-sifat dari elemen itu dalam satu model matematik dari konstruksi, dan menyatakan dalam suatu kondisi yang tergabung, dimana dalam hal ini syarat kompatibiliti dari segi geometri konstruksi harus sudah dipenuhi. Disamping itu, syarat kesetimbangan statis harus juga terpenuhi, baik dipandang dari segi seluruh konstruksi maupun untuk masing-masing elemen. Setiap elemen dari konstruksi harus berada dalam kesetimbangan sebagai akibat dari semua gaya yang bekerja padanya, baik itu beban-beban luar, atau gaya reaksi, maupun juga gaya-gaya yang datang dari elemen-elemen tetangganya.

Bila proses ini sudah diselesaikan, maka tingkah laku dari konstruksi keseluruhan yang disebabkan oleh bekerjanya gaya-gaya luar akan bisa ditentukan.

Dengan demikian dapat disimpulkan di sini bahwa hal yang utama dalam analisa struktur untuk menentu- kan baik itu deformasi ataupun stress yang terjadi pada struktur, ialah sampai sejauh mana sudah diketahui sifat

II. METODE MATRIKS UNTUK ANALISA STRUKTUR

karakteristik hubungan gaya dan deformasi dari elemen-elemen struktur, dan memaksakan terpenuhinya semua syarat kompatibiliti dan kesetimbangan.

Jadi, tiga hal mendasari analisa ini, yaitu : 1. Kesetimbangan

2. Hubungan stress dan strain, atau gaya dalam dan deformasi 3. Kompatibiliti atau kontinuitas dari deformasi

Dalam analisa matriks ini, dikenal dua cara, yaitu :

1. Metode kekakuan (striffness method, atau displacement method) 2. Metode fleksibilitas (flexibility method, atau force method)

Kedua metode ini masing-masing akan diuraikan lebih lanjut pada pasal dibawah ini.

1. Metode Kekakuan

Dengan metode kekakuan ini sebenarnya dicari hubungan gaya dengan lendutan, atau dinyatakan secara matematis :

{Q} = [K] . {D}

{Q} = Gaya-gaya yang timbul pada titik-titik diskrit akibat diberikannya lendutan {D} pada titik tersebut {D} = Lendutan pada titik-titik yang ditinjau

[K] = Kekakuan dari struktur.

Metode kekakuan ini juga disebut "Metode Lendutan" sehingga dengan demikian urutan kerjanya secara garis besar adalah sebagai berikut :

1. Kompatibiliti :

Yaitu mencari hubungan antara "deformasi" dengan "lendutan" , atau secara tegasnya mencari deformasi apa yang terjadi pada elemen-elemen di titik-titik diskrit akibat diberikannya lendutan pada struktur dititik-titik tersebut.

2. Persamaan hubungan "Stress dan Strain" :

Yaitu mencari hubungan mengenai gaya-gaya dalam yang timbul sebagai akibat adanya deformasi pada elemen-elemen struktur tersebut.

3. Kesetimbangan :

Langkah terakhir yang menyatakan hubungan gaya luar dititik diskrit dengan gaya-gaya dalam, atau mencari berapa besar gaya luar diujung elemen yang dapat diimbangi oleh gaya-gaya dalam elemen dititik-titik diskrit.

Dengan menggabungkan ketiga langkah ini, akan didapatkan hubungan "gaya" dan "lendutan" sebagai dinyatakan oleh persamaan (2.1).

Perlu kiranya ditambahkan disini karena metode kekakuan ini analisanya dimulai dengan lendutan kemudian mencari hubungan pada gaya-gaya yang timbul dititik-titik diskrit, maka akan sangat menguntungkan untuk memakai metode ini menganalisa suatu konstruksi dimana ketidak-tentuan kinematisnya (yang berhubungan

erat dengan derajat kebebasan atau "degree of freedom" adalah lebih kecil bila dibandingkan dengan ketidaktentuan statisnya. Dengan demikian, konstruksi-konstruksi statis tak tentu yang sering dijumpai pada umumnya, akan lebih menguntungkan bila dianalisa dengan metode kekakuan ini, karena umumnya konstruksi-konstruksi ini mempunyai derajat ketidak-tentuan statis yang besar.

2. Metode Fleksibilitas

1. Bekerjanya Gaya-gaya luar dititik-titik diskrit, atau dengan kata lain dicari hubungan gaya dalam dan gaya luar.

2. Persamaan hubungan strain dan stress: yaitu mencari hubungan mengenai deformasi yang terjadi pada elemen akibat adanya gaya-gaya dalam tersebut.

3. Kompatibiliti : yaitu mencari hubungan antara lendutan yang terjadi pada struktur di titik-titik diskrit dengan deformasi yang timbul pada elemen-elemen struktur, dimana antara lendutan dan deformasi harus memenuhi syarat kompatibiliti. Disini dituntut kontinuitas dari deformasi yang terjadi pada elemen-elemen struktur.

Dari tiga langkah ini, akan didapat suatu hubungan seperti yang dinyatakan oleh persamaan (2.2).

Sebagaimana uraian pada pasal sebelumnya, perlu kiranya ditambahkan disini, bahwa karena metode ini dimulai dengan analisa kesetimbangan gaya untuk mencari gaya dalam sebagai akibat bekerjanya gaya- gaya luar, maka metode fleksibelitas ini akan lebih sesuai bila digunakan untuk menganalisa konstruksi dgn derajat ketidaktentuan statis yang kecil, atau konstruksi-konstruksi yang statis tertentu. Hanya sayangnya konstruksi semacam ini tidak banyak dijumpai pada perencanaan struktur yang nyata.

Beberapa Contoh Perbandingan :

Dibawah ini diberikan beberapa contoh alternatif analisa dengan metode Fleksibilitas dan Metode Kekakuan

q

(1).

Statis

Statis

D + FQ = 0

Q + KD = 0

Mendapatkan besar gaya mendapatkan

diujung elemen besar lendutan diujung elemen

1 Ketidak tentuan

METODE KEKAKUAN (Displacement Method) METODE FLEKSIBILITAS

(Force Method)

1

Struktur Dasar Ketidak tentuan

Langkah Pertama

Kesetimbangan

Hasil Analisa Langkah Kedua

Kompatibilitas

q

A B

L

D

Q

F.Q

Q D

(2).

D + FQ = 0

Q = - ql

METODE FLEKSIBILITAS METODE KEKAKUAN (Force Method) (Displacement Method) Ketidak tentuan

statis 1

Ketidak tentuan statis 1

Struktur Dasar

Langkah Pertama

Langkah Kedua

Kompatibilitas

D M_A M_BA

A B B

M_BC

C M_C

FQ Q

Q'_A

Q'_BA

D_B

D_A Q'_BC

Q'_C

D_C D_B

A

B

C q

8 5

Q_A + Q'_A = 0 (1) Q_BA + Q'_BA + Q_BC + Q'_BC = 0 (2)

Q_C + Q'_C = 0 (3)

Dari (1), (2) dan (3) :

D_B = 0

Mendapatkan besar gaya mendapatkan

dititik diskrit besar lendutan dititik diskrit

Kesetimbangan

Hasil Analisa

(3).

METODE FLEKSIBILITAS METODE KEKAKUAN (Force Method) (Displacement Method) Ketidak tentuan

statis 1

Ketidak tentuan statis 1

Struktur Dasar

Langkah Pertama

Langkah Kedua

A

B

C q

Q_A Q_BA

A B B

Q_BC

C Q_C

D'_B Q_B

Q_A Q_C

Q'_BA D_B Q'_BC

D_B

D_A + D'_A = 0 (1)

D_B + D'_B = 0 (2)

D_C + D'_C = 0 (3)

Dari Pers. 1, 2 dan 3

Q_BA + Q'_BA + Q_BC + Q'_BC = 0 D_B = 0

Mendapatkan besar gaya-gaya mendapatkan besar lendutan

dititik diskrit dititik diskrit

D_B=0 Hasil Analisa

Kompatibilita

Kesetimbangan

Jadi apakah sebenarnya metode kekakuan itu?

Mula-mula diadakan "kekangan-kekangan", sehingga struktur tidak dapat bergerak pada waktu dibebani.

Hal tersebut menjamin tecapainya kondisi kompatibiliti, tetapi gaya-gaya dalam tidak seimbang, karena diperlukan gaya-gaya luar untuk mencegah perpindahan-perpindahan.

Selanjutnya "kekangan-kekangan" dihilangkan satu demi satu, untuk mempertahankan kondisi kompatibiliti dan mengembalikan kondisi keseimbangan struktur tersebut. Hal ini dilakukan dengan memecahkan satu susun persamaan-persamaan keseimbangan.

Hal-hal yang tidak diketahui adalah lendutan dari struktur. Tidak diperlukan "Judgement yang sulit" untuk menentukan bagaimana struktur harus di pototng-potong.

Untuk struktur-struktur yang besar dan kompleks, metode ini lebih menguntungkan, dengan alasan-alasan : - Dengan cara ini, pekerjaan dapat dikurangi menjadi suatu rutin, yaitu menyatakan struktur dan sistem

pembebanan.

- Kemajuan komputer-komputer pada akhir-akhir ini sangat besar dan biaya pemakaian komputer makin hari makin rendah.

Dan apakah pula sebenarnya metoded fleksibilitas itu ?

Perhitungan dimulai dengan mengambil suatu sistem gaya luar gaya dalam yang berada dalam keseimbangan Sekanjutnya sistem tersebut disesuaikan agar benada tetap dalam kesetimbangan dan kondisi kompatibiliti tercapai.

Struktur statis tak tentu harus dijadikan statis terentu dengan jalan "memotong-motong" struktur tersebut.

Selanjutnya gaya-gaya dan lendutan pada "potongan-potongan" tersebut disesuaikan (kondisi kompatibiliti) satu demi satu, sehingga bentuk asli struktur dapat dipulihkan.

Hal-hal yang tidak diketahui adalah gaya-gaya yang diperlukan untuk menggabungkan struktur menjadi utuh kembali.

Untuk dapat memakai metode fleksibilitas ini diperlukan Engineering Skill untuk merancang suatu pemecahan yang efisien.