ANALISA STRUKTUR METODE MATRIKS (ASMM)

ANALISA STRUKTUR

METODE MATRIKS (ASMM)

Endah Wahyuni, S.T., M.Sc., Ph.D

Matrikulasi S2 – Bidang Keahlian Struktur Jurusan Teknik Sipil

2011

ANALISA STRUKTUR METODE MATRIKS

• Analisa Struktur Metode Matriks (ASMM) adalah suatu metode untuk menganalisa struktur dengan

menggunakan bantuan matriks, yang terdiri dari : matriks kekakuan, matriks perpindahan, dan matriks gaya.

Dengan menggunakan hubungan : { P } = [ K ] { U } dimana :

{ P } = matriks gaya

[ K ] = matriks kekakuan { U } = matriks perpindahan

• Salah satu cara yang digunakan untuk menyelesaikan

persamaan di atas, yaitu dengan menggunakan Metode

Kekakuan.

• Pada Metode Kekakuan, variable yang tidak diketahui besarnya adalah : perpindahan titik simpul struktur (rotasi dan defleksi) sudah

tertentu/pasti. Jadi jumlah variable dalam metode kekakuan sama dengan derajat ketidaktentuan kinematis struktur.

• Metode Kekakuan dikembangkan dari

persamaan kesetimbangan titik simpul yang ditulis dalam : “ Koefisien Kekakuan “ dan “

Perpindahan titik simpul yang tidak diketahui “.

Types of Elements

 Spring elements

 Truss elements (plane & 3D)

 Beam elements (2D &3D)

 Plane Frame

 Grid elements

 Plane Stress

 Plane Strain

 Axisymmetric elements

 Plate

 Shell

Degrees of Freedom (DOF)

• Derajat kebebasan yang dimiliki oleh suatu struktur.

• Tiap jenis elemen akan mempunyai jumlah dan jenis kebebasan tertentu.

Hitung derajat kebebasan element dari jenis element yang

disebutkan sebelumnya

Metode Kekakuan Langsung (Direct Stiffness Method)

matriks kekakuan

U

1

, P

1

U

2

, P

2

{ P } = [ K ] { U }

U

3

, P

3

U

4

, P

4

gaya perpindahan

P

1

K

11

K

12

K

13

K

14

U

1

P

₂

K

₂₁

K

₂₂

K

₂₃

K

₂₄

U

₂

P

3

K

31

K

32

K

33

K

34

U

3

P

4

K

41

K

42

K

43

K

44

U

4

1 1 2

=

P ₁ = K ₁₁ . U ₁ + K ₁₂ . U ₂ + K ₁₃ . U ₃ + K ₁₄ . U ₄ Kesetimbangan gaya di arah U ₁

P2 = K21 . U1 + K22 . U2 + K23 . U3 + K24 . U4 Kesetimbangan gaya di arah U2

P3 = K31 . U1 + K32 . U2 + K33 . U3 + K34 . U4 Kesetimbangan gaya di arah U3

P4 = K41 . U1 + K42 . U2 + K43 . U3 + K44 . U4

Kesetimbangan gaya di arah U4

• Jika U1 = 1 dan U2 = U3 = U4 = 0 , maka :

P1 = K11 ; P2 = K21 ; P3 = K31 ; P4 = K41 Lihat Gambar (a)

• Jika U2 = 1 dan U2 = U3 = U4 = 0 , maka : P1 = K12 ; P2 = K22 ; P3 = K32 ; P4 = K42

Lihat Gambar (b)

• Jika U3 = 1 dan U2 = U3 = U4 = 0 , maka : P1 = K13 ; P2 = K23 ; P3 = K33 ; P4 = K43

Lihat Gambar (c)

• Jika U4 = 1 dan U2 = U3 = U4 = 0 , maka : P1 = K14 ; P2 = K24 ; P3 = K34 ; P4 = K44

Lihat Gambar (d)

U1’ = 1 P1’ = K11 P2’ = K21 P3’ = K31 P4’ = K41 U1’ = 1 P1’ = K11 P2’ = K21 P3’ = K31 P4’ = K41

U1’ = 1 P1’ = K11 P2’ = K21 P3’ = K31 P4’ = K41

U1’ = 1 P1’ = K11

P2’ = K21

P3’ = K31

P4’ = K41

Matrix kekakuan:

K

₁₁

K

₁₂

K

₁₃

K

₁₄

K

₂₁

K

₂₂

K

₂₃

K

₂₄

K

₃₁

K

₃₂

K

₃₃

K

₃₄

K

₄₁

K

₄₂

K

₄₃

K

₄₄

2 3

2

3

L

EI 6 L

EI - 12 L

EI 6 L

EI 12

L

EI 2 L

EI - 6 L

EI 4 L

EI 6

2 2

3 2 3 2

L EI - 6 L

EI 12 L

EI 6 L

EI

12 -

−

Matriks Kekakuan

L EI 4 L

EI - 6 L

EI 2 L

EI 6

2 2

Gambar (a) (b) (c) (d) K =

K =

Jika pada batang bekerja gaya aksial :

L, EA

K

11

= L

EA K

21

=

L

− EA

U

1

, P

1

U

2

, P

2

U

3

, P

3

U

4

, P

4

U

1

’,P

1

’ U

2

’,P

2

’

U

1

’= 1

K

12

= - L EA

U

2

’= 1 K

22

=

L EA

1

1

2

Matriks kekakuan elemen dengan melibatkan gaya aksial :

6 x 6

K =

2 3

2

3 L

EI 6 L

EI -12 0 L

EI 6 L

EI 12 0

L EI 2 L

EI -6 0 L

EI 4 L

EI 6

0 _{2 2}

2 3

2

3 L

EI -6 L

EI 12 0 L

EI 6 L

EI 12

0 − -

L EI 4 L

EI -6 0 L

EI 2 L

EI 6

0 _{2 2}

0 0 L

-EA 0 0 L

EA

0 0 L

-EA 0 0 L

−EA

Contoh

q

Sebuah balok statis tak tentu seperti pada gambar

1 1 2 2 3

L, EI L, EI

Menentukan keaktifan ujung-ujung elemen

Menentukan matriks tujuan DOF : 2 2 rotasi

Matriks kekakuan struktur [ Ks ]

2 x 2

Membuat matrik kekakuan elemen : [ Ks ] = [ K

1

] + [ K

2

]

1 2 3

0

1 2

0

0

0

1 2

1 2

3

0 0 0

1 2

0 1 1 2

0

Membuat matrik kekakuan elemen : Elemen 1

0 0 0 1

2 3

2

3

L

EI 6 L

EI - 12 L

EI 6 L

EI

12 0

L

EI 2 L

EI - 6 L

EI 4 L

EI 6

2

2

0

_{3 2 3 2}

L EI - 6 L

EI 12 L

EI 6 L

EI

12 -

− 0

L

EI 4 L

EI - 6 L

EI 2 L

EI 6

2

2

1

K

1

=

[ K

₁

] =

Matriks Tujuan { T

₁

} = { 0 0 0 1 }

^T

0 L

EI 4

2 x 2

0 0

Elemen 2

0 1 0 2

2 3

2

3

L

EI 6 L

EI - 12 L

EI 6 L

EI

12 0

L

EI 2 L

EI - 6 L

EI 4 L

EI 6

2

2

1

_{3 2 3 2}

L EI - 6 L

EI 12 L

EI 6 L

EI

12 -

− 0

L

EI 4 L

EI - 6 L

EI 2 L

EI 6

2

2

2

Matriks Tujuan { T

2

} = { 0 1 0 2 }

^T

2 x 2

K

2

=

[ K

2

] =

L EI 4 L

EI 2

L EI 2 L

EI

4

= + 0 0

= Matriks Kekakuan Global Struktur

[ Ks ] = [ K

1

] + [ K

2

]

[ Ks ]

2 x 2

L EI 4 L

EI 2

L EI 2 L

EI 0 4

L

EI 4

L EI 4 L

EI 2

L EI 2 L

EI 8

Untuk mendapatkan deformasi ujung-ujung aktif struktur, maka digunakan hubungan :

{ Ps } = [ Ks ] { Us } { Us } = [ Ks ]

^-1

{ Ps } dimana :

Us = deformasi ujung-ujung aktif Ks = kekakuan struktur

Ps = gaya-gaya pada ujung aktif elemen akibat beban luar (aksi)

q

0 0

Untuk contoh di atas, maka :

Ps =

Menghitung invers matrik kekakuan global [ Ks ]^-1

[ Ks ] =

[ Ks ]^-1 =

8 2 -

2 - 4 EI

L 2 . 2 - 4 . 8

1 



 



 =

8 2 -

2 - 4 EI 28

L 



 





Jadi : { Us } = [ Ks ]^-1 { Ps }

Us =

8 2 -

2 - 4 EI 28

L 



 





L2

12 q

− 1 qL²

12 1

L EI 4 L

EI 2

L EI 2 L

EI 8

L2

12q

− 1

L2

12q 1

L2

12 q

− 1

L2

12 q 1

U

11

U

12

U

13

U

₁⁴

0 0 0

U

₂¹

U

₂²

U

23

U

24

0

0

Us =

EI 28

L

Us =

Deformasi untuk masing-masing elemen

Elemen 1 : U

1

= =

Elemen 2 : U

₂

= =

2

2

q L

6 1 - L 3 q

− 1

2

2

q L

6 4 L 6 q

1 +

EI L q 168

3

³

−

EI L q 168

5

³

Rotasi di joint 2 Rotasi di joint 3

EI L q 168

3

³

−

EI L q 168

3

³

−

EI L q 168

5

³

q

0 0

0 0 0 0

P

R2

= P

R1

=

Reaksi akibat beban luar :

L

2

12 q

− 1 L

2

12 q 1

2 L q

2 L q

L

2

12 q

− 1

L

2

12 q 1

2 L q

2

L

q

0

0

0

0

0

0

0 Gaya akhir elemen :

Elemen 1 : { P1 } = [ K1 ] + { PR1 }

P1 = +

P1 = =

2 3

2

3 L

EI 6 L

EI -12 L

EI 6 L

EI 12

L EI 2 L

EI - 6 L

EI 4 L

EI 6

2 2

2 3

2

3 L

EI -6 L

EI 12 L

EI 6 L

EI

12 -

−

L EI 4 L

EI - 6 L

EI 2 L

EI 6

2

2 EI

L q 168

3 ³

−

L2

56q

− 4

L2

56q

− 2

L 56q

− 6

L 56 q

6

L2

28q

− 2

L2

28q

− 1

L 28q

− 3

L 28q

3

0

0

0 0

Elemen 2 : { P

2

} = [ K

2

] + { P

R2

}

P

2

= +

P

2

= =

2 3

2

3

L

EI 6 L

EI - 12 L

EI 6 L

EI 12

L EI 2 L

EI - 6 L

EI 4 L

EI 6

2 2

2 3

2

3

L

EI - 6 L

EI 12 L

EI 6 L

EI

12 -

−

L EI 4 L

EI - 6 L

EI 2 L

EI 6

2

2

EI

L q 168

5

³

L

2

56 q 4

L 56 q 32

L 56 q 24

L

2

28 q 2

L 28 q 16

L 28 q 12

EI L q 168

3

³

−

L

2

12 q

− 1

L

2

12 q 1

2 L q

2

L

q

q 0

- -

+

-

+ +

Free Body Diagram :

Menggambar gaya-gaya dalam : Bidang D :

Bidang M :

L2

28q

2 2 L 28q

1

L 28q

3

L2

28q 2

L 28q L 16 28q

3 qL

28 12

L 28q

3 qL

28 3

L 28q 16

L 28q 12

L2

28q 2

L2

28q 1

Elemen Portal 2D

B C

P

EI

EI L

L/2 L/2

A A

B C

1

2

DOF = 2

0

1 1 2

Sebuah portal statis tak tentu seperti pada gambar

Matriks kekakuan struktur [ Ks ] 2 x 2

[ Ks ] = [ K

₁

] + [ K

₂

]

[ K1 ] =

0 0

0 Elemen 1

0 1

0

2 x 2 1

Matriks Tujuan { T1 } = { 0 1 }^T

2 x 2

Elemen 2

1 2

1

2 x 2 2

Matriks Tujuan { T2 } = { 1 2 }^T

2 x 2

K1 =

[ K2 ] =

L EI 4 L

EI 2

L EI 2 L

EI 4

L EI 2 L

EI 4

L EI 4 L

EI 2

L EI 4

K2 =

L EI 2 L

EI 4

L EI 4 L

EI 2

= + 0

= 0 0

Matriks Kekakuan Global Struktur [ Ks ] = [ K

₁

] + [ K

₂

]

[ Ks ]

2 x 2

Untuk mendapatkan deformasi ujung-ujung aktif struktur, maka digunakan hubungan :

{ Ps } = [ Ks ] { Us } { Us } = [ Ks ]

^-1

{ Ps } dimana :

Us = deformasi ujung-ujung aktif Ks = kekakuan struktur

Ps = gaya-gaya pada ujung aktif elemen akibat beban luar (aksi) L

EI 4 L

EI 2

L EI 2 L

EI 4

L EI 4 L

EI 2

L EI 2 L

EI 8 L

EI

4

P Untuk contoh di atas, maka :

0

0

Ps =

Menghitung invers matrik kekakuan global [ Ks ]^-1

[ Ks ] =

[ Ks ]^-1 =

8 2 -

2 - 4 EI

L 2 . 2 - 4 . 8

1 



 



 =

8 2 -

2 - 4 EI 28

L 



 



 L 8 P

−1 PL

8 1

L EI 4 L

EI 2

L EI 2 L

EI 8

L 8 P

−1

L 8P 1

Jadi : { Us } = [ Ks ]

^-1

{ Ps }

Us =

8 2 -

2 - 4 EI 28

L 



 





Us = EI 28

L

Us =

L 8 P

− 1

L 8 P 1

2

2

q L

6 1 - L 3 q

− 1

2

2

q L

6 4 L 6 q

1 +

EI L P 112

3

²

−

EI L P 112

5

²

Rotasi di joint B Rotasi di joint C

U

11

U

₁²

0

U

₂¹

U

₂²

Deformasi untuk masing-masing elemen

Elemen 1 : U

1

= =

Elemen 2 : U

2

= =

EI L P 112

3

²

−

EI L P 112

3

²

−

EI L P 112

5

²

P Reaksi akibat beban luar :

0

0

L 8P

−1 L

8P 1

0

PR1 =

0

PR2 =

L 8 P

− 1

L 8 P

1

0 0

0

P

1

= +

P

1

= Hasil perhitungan

hanya momen saja Gaya akhir elemen :

Elemen 1 : { P

1

} = [ K

1

] + { P

R1

}

EI

L P 112

3 ²

−

L 56P

− 6

L 56P

− 3

L EI 2 L

EI 4

L EI 4 L

EI 2

P2 = +

P2 = =

0 0

Hasil perhitungan hanya momen saja Elemen 2 : { P2 } = [ K2 ] + { PR2 }

EI

L P 112

5 ² PL

8

−1 L 8P 1 EI

L P 112

3 ²

− L

EI 2 L

EI 4

L EI 4 L

EI 2

L2

56q

6 ₂

L 28q

3

P 0

Dihitung lagi

Dihitung lagi Free Body Diagram :

56P 9

L 56P

6

28P

17 P

28 11

56P 9

56P 9

56P 9 28P

17

28P 17 L 56P

6

L 56P

3

Bidang M :

- -

+

L 56P

6

L 56P

3

L 56P 11

+

Bidang D :

Bidang N :

-

P +

28 17

-

56P 9

28P 11 P

28P 17

-

56P

-

9

Transformasi Sumbu

θ

1 2’

2

3

1’

3’

U3, P3

u3, p3

U1, P1

U2, P2

u1, p1

u2, p2

u1

u2

u3

=

C S 0

-S C 0

0 0 1

U1

U2

U3

C = cos θ S = sin θ Koordinat Lokal dan Global

C S 0

-S C 0

0

0 1

C = cos θ S = sin θ

u

₁

u

₂

u

₃

u

₄

u

₅

u

₆

=

λ 0

0 λ

U

₁

U

₂

U

₃

U

₄

U

₅

U

₆

[ u ] = [ R ] [ U ] R = matriks rotasi Atau dapat ditulis : u = λ U

Dimana :

λ =

Untuk transformasi sumbu sebuah titik dengan 6 dof dapat ditulis :

P

₁

P

2

P

₃

P

4

P

5

P

₆

=

λ

^Τ

0

0 λ

^Τ

p

1

p

2

p

₃

p

4

p

₅

p

₆

[ P ] = [ R ]

^T

[ p ] R = matriks rotasi

K

Transformasi sumbu juga berlaku untuk gaya : p = λ P

P = λ

^-1

p λ

^-1

= λ

^T

P = λ

^T

p

p = k u ; u = R U

P = R

^T

p P = K U

= R

^T

k u K = R

^T

k R

= R

^T

k R U

Matriks kekakuan elemen untuk 6 dof :

6 x 6

k =

2 3

2

3 L

EI 6 L

EI -12 0 L

EI 6 L

EI 12 0

L EI 2 L

EI -6 0 L

EI 4 L

EI 6

0 _{2 2}

2 3

2

3 L

EI -6 L

EI 12 0 L

EI 6 L

EI 12

0 − -

L EI 4 L

EI -6 0 L

EI 2 L

EI 6

0 _{2 2}

0 0 L -EA 0 0 L EA

0 0 L -EA 0 0 L

−EA

β 0 0 -β 0 0

0 12 6L 0 -12 6L

0 6L 4L

²

0 -6L 2L

²

-β 0 0 β 0 0

0 -12 -6L 0 12 -6L

0 6L 2L

²

0 -6L 4L

²

Dimana :

α = β =

[ K ] = [ R ]

^T

[ k ] [ R ] k = α

L EI

3

I

L

A

²

C -S 0 S C 0 0 0 1

C -S 0 S C 0 0 0 1

0

0

β 0 0 -β 0 0

0 12 6L 0 -12 6L

0 6L 4L² 0 -6L 2L²

-β 0 0 β 0 0

0 -12 -6L 0 12 -6L

0 6L 2L² 0 -6L 4L²

K = α

C S 0 -S C 0 0 0 1

C S 0 -S C 0 0 0 1

0

0

g

₁

g

₂

g

₄

-g

₁

-g

₂

g

₄

g

₃

g

₅

-g

₂

-g

₃

g

₅

g

₆

-g

₄

-g

₅

g

₇

g

₁

g

₂

-g

₄

g

3

-g

5

g

₆

Dimana :

g

₁

= α ( β C

²

+ 12 S

²

) g

₅

= α 6 L C g

₂

= α C S ( β - 12 ) g

₆

= α 4 L

²

g

3

= α ( β S

²

+ 12 C

²

) g

7

= α 2 L

²

g

₄

= -α 6 L S

K =

Sebuah portal seperti gambar, dengan menggunakan transformasi sumbu hitunglah gaya-gaya dalam yang bekerja

q = 1,68 k/ft

L = 10 ft

M = 14 kft = 168 kin L = 10 ft

1

2 3

1

2

E = 30.000 ksi A = 5 in² I = 50 in⁴ L = 10 ft

1

2 1

2 3

0

0

3

1 0

0

2 0

0 Sumbu Global

DOF [ Ks ] 3 x 3

1

2 1

2 3

2

4

5 4

5

6

3 1 Sumbu Lokal

DOF [ k ] 3 x 3

6 1

3

2 2

1

2

x

x’

1

θ = 270

^o

λ

1

=

C S 0 -S C 0 0 0 1

=

0 -1 0 1 0 0 0 0 1

2 3

x x’

θ = 0

^o

λ

2

=

C S 0 -S C 0 0 0 1

=

1 0 0 0 1 0 0 0 1 Matriks transformasi batang :

Batang 1 : θ = 270

^o

cos 270

^o

= 0 sin 270

^o

= -1

Batang 2 : θ = 0

^o

cos 0

^o

= 1

sin 0

^o

= 0

C S 0 -S C 0 0 0 1

C S 0 -S C 0 0 0 1

0

0

0 -1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 -1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1

C S 0 -S C 0 0 0 1

C S 0 -S C 0 0 0 1

0

0

1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1

R

1

= =

R

2

= =

g1 g2 g4 -g1 -g2 g4

g3 g5 -g2 -g3 g5

g6 -g4 -g5 g7

g1 g2 -g4

g3 -g5

-g4 g6

0 0 0 1 0 2 Matriks kekakuan system struktur

Elemen 1 :

α1 = _{3 3}

1 (10.12)

50 . 30.000

LEI = = 0,87

β₁ =

50 12) . (10 . 5 I

L

A ₁² = ² = 1.440

C = 0 ; S = -1

{ T } = { 0 0 0 1 0 2 }^T

0 0 0 1 0 2

K₁ =

g1 -g4 0 -g₄ g₆ 0

0 0 0

1 2 3

10,44 -626,4 0 -626,4 50.112 0 0 0 0 1 2 3

g1 = α ( β C² + 12 S² ) = 0,87 [ 0 + 12 (-1)² ] = 10,44 g4 = -α 6 L S = -0,87 . 6 . 120 (-1) = 626,4 g6 = α 4 L² = 0,87 . 4 . 120² = 50.112 Sehingga :

K1 =

K₁ =

g1 g2 g4 -g1 -g2 g4

g3 g5 -g2 -g3 g5

g4 g6 -g4 -g5 g7

g1 g2 -g4

g3 -g5

g4 g7 g6

1 0 2 0 0 3

g1 g4 g4

g4 g6 g7

g4 g7 g6

1 2 3 Elemen 2 :

α₂ = _{3 3}

1 (10 .12) 50 . 30.000

LEI = = 0,87

β₂ =

50 12) . (10 . 5 I L

A ₁^{2 2}

= = 1.440

C = 1 ; S = 0

{ T } = { 1 0 2 0 0 3 }^T

1 0 2 0 0 3

1 2 3 K2 =

K2 =

1.252,8 0 0 0 50.112 25.056 0 25.056 50.112

1.263,24 -626,4 0 -626,4 100.224 25.056 0 25.056 50.112

g₁ = α ( β C² + 12 S² ) = 0,87 [ 1.440 . 1² + 12 (0)² ] = 1.252,8 g4 = -α 6 L S = -0,87 . 6 . 120 (0) = 0

g6 = α 4 L² = 0,87 . 4 . 120² = 50.112 g7 = α 2 L² = 0,87 . 2 . 120² = 25.056 Sehingga :

KS = K₂ =

q = 0,14 k/in

168 kin 168 kin

168 kin

0 0

0 168 0

1.263,24 -626,4 0 -626,4 100.224 25.056 0 25.056 50.112

- 1 0

168 0

0,00095 0,00192 -0,00096

Defleksi horizontal di 2 Rotasi di 2

Rotasi di 3

Matriks beban :

8,4 8,4

P

S

=

{ Ps } = [ Ks ] { Us } { Us } = [ Ks ]

^-1

{ Ps }

U

S

=

U

S

=

u

11

u

12

u

13

u

14

u

15

u

16

0 0 0 0,00095 0 0,00192

=

0 0 0 0 0,00095 0,00192

u

21

u

22

u

23

u

24

u

25

u

26

0,00095 0 0,00192 0 0 -0,0096

=

0,00095 0 0,00192 0 0 -0,0096 Displasement masing-masing batang (koordinat lokal)

u

1

= =

u

2

= =

0 -1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 -1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1

1 0 0 0 0 0

0 1 0 0 0 0

0 0 1 0 0 0

0 0 0 1 0 0

0 0 0 0 1 0

0 0 0 0 0 1

0 1,193 k 47,512 kin 0

-1,193 k 95,620 kin

0 1,193 k 3,959 kft 0 -1,193 k 7,968 kft

Gaya akhir batang :

Elemen 1 :

{ P

₁

} = [ k

₁

] { u

₁

} + { 0 }

P

₁

= =

1,19 k -7,8 k -95,84 kin -1,19 k -9 k 168 kin

1,19 k -7,8 k -7,99 kft -1,19 k -9 k 14 kft Elemen 2 :

{ P

₂

} = [ k

₂

] { u

₂

} + { F

_aksi

}

P

2

= =

q = 1,68 k/ft 14 kft

7,8 k 9 k

1

2

1,19 k 1,19 k

7,99 kft 1,193 k

1,193 k 0

3,959

7,968 kft

Free body diagram :

3,959 +

-

7,99

14

+ +

-

+

+

-

1,193

1,193 7,8

9

-

^1,19

1,19

KONSTRUKSI RANGKA BATANG

• Pada Konstruksi Rangka Batang (KRB), perhitungan matriks kekakuan elemen [ K ] berdasarkan kasus

rangka batang 2 Dimensi. Gaya yang bekerja hanya tarik dan tekan aksial saja, sedang gaya momen dan lintang tidak terjadi.

• Perhatikan gambar dengan elemen struktur batang dengan luas A dan Modulus Elastisitas E konstan.

Perhitungan kekakuan elemen hanya mengandung

elemen A, E dan empat titik koordinat, yaitu : xi, xj, yi,

dan yj .

β

x,u y,v

L

i

j

β + dβ i

j

cu _i

u _i q _i p _i

q _j p _j

Elemen Rangka Batang, dengan sudut Elemen Rangka Batang setelah

β pada bidang xy perpindahan titik u _i > 0, titik lain tetap

c = cos β

C

²

CS -C

²

-CS

u

i

=

p

i

q

i

p

j

q

j

Pertama, harus menghitung :

L = ( ) (

j i

)

²

2 i

j

- x y - y

x +

C = cos β = L

x - x

_{j i}

S = sin β = L

y - y

_{j i}

Perpendekan aksial cu

i

menghasilkan gaya tekan aksial

F = cu

_i

AE  L



 





Dimana : x dan y merupakan komponen dari ; p

i

= - p

j

= Fc

q

i

= - q

j

= Fs

Komponen ini menghasilkan kesetimbangan statis, sehingga diperoleh :

L

AE

K =

C ² CS -C ² -CS

CS S ² -CS -S ²

-C ² -CS C ² CS

-CS -S ² CS S ²

Hasil yang sama juga akan diperoleh dengan cara memberikan perpindahan pada v i , u j , dan v j , dimana gaya bekerja sendiri-sendiri. Dan jika 4 dof dengan nilai tidak nol bekerja bersama-sama, dan dengan superposisi masing-masing elemen matriks kekakuan, dapat dihitung sebagai berikut :

L

AE

C

²

CS -C

²

-CS CS S

²

-CS -S

²

-C

²

-CS C

²

CS

-CS -S

²

CS S

²

u

i

v

i

u

j

v

j

p

i

q

i

p

j

q

j

K =

1 0 -1 0

0 0

0 0

-1 0 1 0

0 0 0 0

Hubungan matriks kekakuan dengan gaya dapat ditulis sebagai berikut : [ K ] { D } = { F }

=

Untuk kasus khusus :

1. Jika nilai β = 0, sebagai batang horizontal, matriks kekakuan elemen [ K ]

_{4 x 4}

Hanya berisi 4 komponen yang tidak bernilai nol, yaitu :

k

11

= k

33

= -k

13

= -k

31

=

L AE

L AE

L

AE

K =

0 0 0 0 0 1

0 -1

0 0 0 0

0 -1 0 1

1. Jika nilai β = 90, sebagai batang vertikal, matriks kekakuan elemen [ K ]

4 x 4

Hanya berisi 4 komponen yang tidak bernilai nol, yaitu :

k

22

= k

44

= -k

24

= -k

42

=

L AE

L

AE

Sebuah Konstruksi Rangka Batang dengan luas A dan Modulus Elastisitas E yang sama, seperti pada Gambar

L L

L

L 1

4

3

6 7 5

2 3

4

2

5

1

v

u

Hitunglah matriks kekakuaan masing-masing elemen

K =

C

²

CS -C

²

-CS CS S

²

-CS -S

²

-C

²

-CS C

²

CS -CS -S

²

CS S

²

K

₁

=

1 0 -1 0 0 0

0 0

-1 0 1 0

0 0 0 0

Perumusan untuk mencari nilai matriks kekakuan elemen dengan sudut β :

Batang 1, 2 dan 3 merupakan batang horizontal, sehingga β = 0

^o

Maka : [ K

₁

] = [ K

₂

] = [ K

₃

]

L AE

L

AE

K4 =

0,250 0,433 -0,250 -0,433 0,433 0,750 -0,433 -0,750 -0,250 0,433 0,250 -0,433 -0,433 -0,750 0,433 0,750

K5 =

0,250 -0,433 -0,250 0,433 -0,433 0,750 0,433 -0,750 -0,250 0,433 0,250 -0,433 0,433 -0,750 ^-0,433 0,750 Batang 4 dan 6 merupakan batang diagonal dengan sudut β = 60^o Dimana : C = cos 60^o = 0,5

S = sin 60^o = 0,866 Maka : [ K4 ] = [ K6 ]

Batang 5 dan 7 merupakan batang diagonal dengan sudut β = 300^o Dimana : C = cos 300^o = 0,5

S = sin 300^o = -0,866

Maka : [ K5 ] = [ K7 ]

L AE

L AE