Rpp + Lks Vektor

(1)

RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN

Mata

Mata Pelajaran Pelajaran : : MatematikaMatematika Materi

Materi Ajar Ajar : : VektorVektor Kelas/Semest

Kelas/Semester er : : XI/GanjilXI/Ganjil Pertemuan

Pertemuan Ke- Ke- : : ... Alokasi

Alokasi Waktu Waktu : : 2 2 x x 45 45 Menit Menit

A.

A. Standar Standar KompetensKompetensii

Memahami vektor dalam ruang tiga dimensi, serta operasi dan

Memahami vektor dalam ruang tiga dimensi, serta operasi dan resultannyresultannya.a.

B.

B. Kompetensi DasarKompetensi Dasar

1.

1. Memahami vektor dalam ruang tiga dimensi.Memahami vektor dalam ruang tiga dimensi.

C.

C. IndikatorIndikator 1.1.

1.1. Menjelaskan titik di ruang tiga dimensi.Menjelaskan titik di ruang tiga dimensi. 1.2.

1.2. Menggambar vektor garis di ruang tiga dimensi.Menggambar vektor garis di ruang tiga dimensi. 1.3.

1.3. Mengenal operasi penjumlahan, pengurangan, dan perkalian dua buah Mengenal operasi penjumlahan, pengurangan, dan perkalian dua buah vektor divektor di ruang tiga dimensi.

ruang tiga dimensi. 1.4.

1.4. Mencari resultan dari beberapa Mencari resultan dari beberapa vektor.vektor.

D.

D. Tujuan PembelajaranTujuan Pembelajaran Setelah proses pembelajaran : Setelah proses pembelajaran :

1.1.1.

1.1.1. Siswa dapat menjelaskan titik di Siswa dapat menjelaskan titik di ruang tiga dimensi menggunakan ceritaruang tiga dimensi menggunakan cerita kontekstual yang relevan;

kontekstual yang relevan; 1.1.2.

1.1.2. Siswa dapat menjelaskan titik di Siswa dapat menjelaskan titik di ruang tiga dimensi menggunakan modelruang tiga dimensi menggunakan model yang terkait dengan cerita

yang terkait dengan cerita kontekstual yang relevan;kontekstual yang relevan; 1.2.1.

1.2.1. Siswa dapat menggambar vektor garis di ruang tiga dimensi Siswa dapat menggambar vektor garis di ruang tiga dimensi menggunakanmenggunakan cerita kontekstual yang relevan;

cerita kontekstual yang relevan; 1.2.2.

1.2.2. Siswa dapat menggambar vektor garis di ruang tiga dimensi Siswa dapat menggambar vektor garis di ruang tiga dimensi menggunakanmenggunakan model yang terkait dengan

(2)

1.3.1.

1.3.1. Siswa dapat mengenal operasi Siswa dapat mengenal operasi penjumlahpenjumlahan, pengurangan, dan perkalianan, pengurangan, dan perkalian dua buah vektor di ruang tiga

dua buah vektor di ruang tiga dimensi menggunakan cerita kontekstual yangdimensi menggunakan cerita kontekstual yang relevan;

relevan; 1.3.2.

1.3.2. Siswa dapat mengenal operasi Siswa dapat mengenal operasi penjumlahan, pengurpenjumlahan, pengurangan, dan angan, dan perkalianperkalian dua buah vektor di ruang tiga

dua buah vektor di ruang tiga dimensi menggunakan model yang terkait dimensi menggunakan model yang terkait dengan cerita kontekstual yang relevan;

dengan cerita kontekstual yang relevan; 1.4.1.

1.4.1. Siswa dapat mencari dan menentukan resultan dari beberapa vektorSiswa dapat mencari dan menentukan resultan dari beberapa vektor menggunakan cerita kontekstual yang relevan;

menggunakan cerita kontekstual yang relevan; 1.4.2.

1.4.2. Siswa dapat mencari dan menentukan resultan dari beberapa vektorSiswa dapat mencari dan menentukan resultan dari beberapa vektor menggunakan model yang terkait dengan cerita kontekstual yang relevan; menggunakan model yang terkait dengan cerita kontekstual yang relevan;

E.

E. Materi AjarMateri Ajar

1.1.1.1.

1.1.1.1. Pemahaman tentang titik di ruang tiga dimensi menggunakan ceritaPemahaman tentang titik di ruang tiga dimensi menggunakan cerita kontekstual yang relevan;

kontekstual yang relevan; 1.1.2.1.

1.1.2.1. Pemahaman tentang titik di ruang tiga dimensi Pemahaman tentang titik di ruang tiga dimensi menggunamenggunakan model yangkan model yang terkait dengan cerita

terkait dengan cerita kontekstuakontekstual yang relevan;l yang relevan; 1.2.1.1.

1.2.1.1. Pemahaman tentang bagaimana menggambar vektor garis di Pemahaman tentang bagaimana menggambar vektor garis di ruang tigaruang tiga dimensi menggunakan cerita

dimensi menggunakan cerita kontekstual yang relevan;kontekstual yang relevan; 1.2.2.1.

1.2.2.1. Pemahaman tentang bagaimana menggambar vektor garis di Pemahaman tentang bagaimana menggambar vektor garis di ruang tigaruang tiga dimensi menggunakan model yang terkait dengan

dimensi menggunakan model yang terkait dengan cerita kontekstual yangcerita kontekstual yang relevan;

relevan; 1.3.1.1.

1.3.1.1. Pengenalan operasi penjumlahan, penguranganPengenalan operasi penjumlahan, pengurangan, dan , dan perkalian dua buahperkalian dua buah vektor di ruang

vektor di ruang tiga dimensi menggunakan cerita kontekstual yang relevan;tiga dimensi menggunakan cerita kontekstual yang relevan; 1.3.2.1.

1.3.2.1. Pengenalan operasi penjumlahan, penguranganPengenalan operasi penjumlahan, pengurangan, dan , dan perkalian dua buahperkalian dua buah vektor di ruang tiga dimensi menggunakan model yang terkait dengan cerita vektor di ruang tiga dimensi menggunakan model yang terkait dengan cerita kontekstual yang relevan;

kontekstual yang relevan; 1.4.1.1.

1.4.1.1. Pemahaman tentang pengertian resultan vektor dan bagaimana mencari Pemahaman tentang pengertian resultan vektor dan bagaimana mencari dandan menentukan resultan dari beberapa vektor menggunakan cerita

menentukan resultan dari beberapa vektor menggunakan cerita kontekstualkontekstual yang relevan;

yang relevan; 1.4.2.1.

1.4.2.1. Pemahaman tentang pengertian resultan vektor dan bagaimana mencari Pemahaman tentang pengertian resultan vektor dan bagaimana mencari dandan menentukan resultan dari beberapa vektor menggunakan model

menentukan resultan dari beberapa vektor menggunakan model yangyang terkait dengan cerita

(3)

F.

F. PendekatanPendekatan

Pendekatan yang digunakan adalah : Pendekatan yang digunakan adalah :



 Pendekatan ContekstuPendekatan Contekstual Teaching and al Teaching and LearningLearning

G.

G. Metode PembelajaranMetode Pembelajaran Metode :

Metode : 

 Pengajaran langsungPengajaran langsung 

 Ekspositori dan demonstrasiEkspositori dan demonstrasi 

 Diskusi kelompok Diskusi kelompok 

 PenugasanPenugasan

H.

H. Model Model PembelajaraPembelajarann

Model pembelajaran yang digunakan

Model pembelajaran yang digunakan adalah pembelajaran kooperatif.adalah pembelajaran kooperatif.

I.

I. Langkah-Langkah Langkah-Langkah PembelajarPembelajaranan A. Pendahuluan A. Pendahuluan No. No. Tahapan Kegiatan Tahapan Kegiatan Alokasi Wakt Alokasi Waktuu Guru Siswa Guru Siswa 1.

1. Mengucapkan Mengucapkan salam salam Menjawab Menjawab salam salam 1 1 menit menit

2.

2. Memberi Memberi apersepsi apersepsi kepadakepada siswa menggunakan metode siswa menggunakan metode tanya jawab.

tanya jawab.

Misalnya : Misalnya :



 Guru mengingatkan definisiGuru mengingatkan definisi tentang vektor.

tentang vektor.

Vektor adalah besaran yang Vektor adalah besaran yang mempunyai besar dan arah. mempunyai besar dan arah.



 Guru mengingatkan kembaliGuru mengingatkan kembali

Merespons apersepsi Merespons apersepsi dan antusias dalam dan antusias dalam tanya jawab yang tanya jawab yang dilakukan guru. dilakukan guru.

5 menit 5 menit

(4)

tentang vektor dalam ruang tentang vektor dalam ruang dua dimensi, dengan cara dua dimensi, dengan cara menyuruh siswa maju secara menyuruh siswa maju secara acak ntuk menentukan vektor acak ntuk menentukan vektor dari titik A (4,2) dan B

dari titik A (4,2) dan B (-2,-4).(-2,-4).



 Lalu dengan metodeLalu dengan metode ekspositori dan

ekspositori dan demonstrdemonstrasi,asi, guru menjelaskan tentang guru menjelaskan tentang titik pada ruang tiga dimensi. titik pada ruang tiga dimensi. Jika pada ruang dua dimensi Jika pada ruang dua dimensi dikenal hanya dengan 2 dikenal hanya dengan 2

sumbu utama (x,y) maka pada sumbu utama (x,y) maka pada ruang tiga dimensi terdapat 3 ruang tiga dimensi terdapat 3 sumbu utama (x,y,z).

sumbu utama (x,y,z).

3.

3. Menyampaikan Menyampaikan tujuantujuan pembelajaran yang akan pembelajaran yang akan dicapai siswa.

dicapai siswa.

Mencatat untuk Mencatat untuk

dijadikan acuan dalam dijadikan acuan dalam mengikuti kegiatan mengikuti kegiatan belajar

belajar selanjutnyselanjutnya.a.

4 menit 4 menit

B.

B. Kegiatan Kegiatan IntiInti No.

No. Kegiatan Kegiatan Guru Guru Kegiatan Kegiatan Siswa Siswa Alokasi Alokasi WaktuWaktu

1.

1. Guru Guru membagi membagi siswa siswa dalamdalam beberapa kelompok kecil dan beberapa kelompok kecil dan menginstruks

menginstruksikan murid ikan murid untuk untuk duduk berkelompok. duduk berkelompok. Siswa duduk Siswa duduk berkelompok. berkelompok. 1 menit 1 menit 2.

2. Dengan Dengan menggunakan menggunakan mediamedia pembelajaran yang telah pembelajaran yang telah disiapkan, guru mengenalkan disiapkan, guru mengenalkan konsep vektor dalam ruang konsep vektor dalam ruang

Siswa

Siswa memperhatmemperhatikanikan materi melalui media materi melalui media dan menyimak apa yang dan menyimak apa yang disampaikan guru.

disampaikan guru.

20 menit 20 menit

(5)

dimensi tiga dengan dimensi tiga dengan

menyajikan permasalahan yang menyajikan permasalahan yang telah disinggung pada

telah disinggung pada

apersepsi mengenai titik dan apersepsi mengenai titik dan garis pada ruang dimensi tiga. garis pada ruang dimensi tiga.

Setelah diberikan apersepsi Setelah diberikan apersepsi tentang titik pada ruang tiga tentang titik pada ruang tiga dimensi, guru menjelaskan dimensi, guru menjelaskan tentang menggambar vektor tentang menggambar vektor garis pada ruang tiga dimensi . garis pada ruang tiga dimensi . Misalnya vektor akan terbentuk Misalnya vektor akan terbentuk jika terdapat minimal dua titik jika terdapat minimal dua titik pada ruang tiga dimensi, dan pada ruang tiga dimensi, dan memiliki besar dan arah. memiliki besar dan arah. Misal titik A (0,2,4) dan B Misal titik A (0,2,4) dan B

(4,6,8) sehingga ketika dua titik (4,6,8) sehingga ketika dua titik dihubungkan dari A ke B akan dihubungkan dari A ke B akan membentuk vektor AB.

membentuk vektor AB. Contoh :

Contoh :

3.

3. SelanjutnySelanjutnya a guru guru menjelaskanmenjelaskan tentang operasi penjumlahan, tentang operasi penjumlahan, pengurang

pengurangan, dan an, dan perkalianperkalian pada vektor tiga dimensi. pada vektor tiga dimensi.

a.

a. Penjumlahan :Penjumlahan : a

a ++bb ==PQPQ ++QRQR ==PRPR

Siswa

disampaikan guru.

15 menit 15 menit

(6)

b. b. PenguranganPengurangan A-B = A + (-B) A-B = A + (-B) c. c. PerkalianPerkalian 

 Perkalian Titik (vektorPerkalian Titik (vektor dengan vektor)

dengan vektor) A.B = AB cos A.B = AB cosθθ AB cos θ meru

AB cos θ merupakanpakan bilangan biasa (skalar). bilangan biasa (skalar).



 Perkalian Vektor denganPerkalian Vektor dengan Skalar

Skalar

4.

4. Masih Masih menggunakan menggunakan mediamedia pembelajaran

pembelajaran, , guruguru

menjelaskan kepada siswa menjelaskan kepada siswa bagaimana mencari resultan bagaimana mencari resultan dari beberapa vektor dalam dari beberapa vektor dalam ruang tiga dimensi.

ruang tiga dimensi. R

R22_{= |A}_{= |A}22_{| + |B}_{| + |B}22_||

Siswa

disampaikan guru.

10 menit 10 menit

5.

5. Guru Guru memberikamemberikan n suatu suatu tanyatanya jawab terhadap siswanya jawab terhadap siswanya sebagai indikator akan sebagai indikator akan pemahaman siswa terkait pemahaman siswa terkait pengajaran dan

pengajaran dan pembelajaranpembelajaran tentang konsep vektor dalam tentang konsep vektor dalam ruang tiga dimensi.

ruang tiga dimensi.

1.

1. Diketahui segitiga PQRDiketahui segitiga PQR dengan P(0, 1, 4), Q(2, dengan P(0, 1, 4), Q(2,––3, 2),3, 2), Siswa merespons Siswa merespons pertanyaan yang pertanyaan yang

disampaikan oleh guru disampaikan oleh guru dan berusaha

dan berusaha

memecahkan soal yang memecahkan soal yang diberikan.

diberikan.

10 menit 10 menit

(7)

dan R(

dan R(––1, 0, 2). Besar sudut 1, 0, 2). Besar sudut

PRQ = …. PRQ = ….

2.

2. Diketahui |Diketahui |aa | = 2 , || = 2 , |bb | = 1 ,| = 1 , sinus sudut antara

sinus sudut antara aa dandanbb adalah adalah 33 2 2 1 1 nilai | nilai |aabb | = ...| = ... 3. 3. Jika a =Jika a =













9 9 4 4 1 1 , , b b ==













 33 5 5 2 2 ,, c c ==













 22 1 1 3 3 dan

dan p = p = aa––2b + 3c , maka2b + 3c , maka panjang p =...

panjang p =...

C. Penutup C. Penutup

No.

No. Kegiatan Kegiatan Guru Guru Kegiatan Kegiatan Siswa Siswa Alokasi Alokasi WaktuWaktu

1.

1. Guru Guru membimbing membimbing siswasiswa untuk membuat

untuk membuat kesimpulan dari yang kesimpulan dari yang telah disampaikan. telah disampaikan. Vektor adalah besaran Vektor adalah besaran yang memiliki besar dan yang memiliki besar dan arah.

arah.

Titik pada ruang tiga Titik pada ruang tiga dimensi (x,y,z). dimensi (x,y,z).

Minimal dua titik pada Minimal dua titik pada ruang dimensi tiga akan ruang dimensi tiga akan membentuk vektor garis membentuk vektor garis

Setiap siswa membuat Setiap siswa membuat kesimpulannya.

kesimpulannya.

3 menit 3 menit

(8)

Penilaian : Penilaian :

Jumlah soal : 50 soal Jumlah soal : 50 soal

Pedoman Penilaian: Pedoman Penilaian:

Tiap soal jika benar bernilai 2, dan

Tiap soal jika benar bernilai 2, dan jika salah bernilai 0.jika salah bernilai 0. Total nilai maksimum yaitu 100.

Total nilai maksimum yaitu 100.

J.

J. Alat dan Sumber Be Alat dan Sumber Belajarlajar



 Buku Teks, LCD projektor, laptop, spidol, papan tulis, bahan Buku Teks, LCD projektor, laptop, spidol, papan tulis, bahan ajar materi, LKS.ajar materi, LKS. pada ruang dimensi tiga.

pada ruang dimensi tiga. Adapun operasi pada Adapun operasi pada vektor yaitu

vektor yaitu penjumlahan, penjumlahan, penguranga

pengurangan, n, perkalian,perkalian, serta resultan dari

serta resultan dari

beberapa vektor dengan beberapa vektor dengan beberapa cara.

beberapa cara.

2.

2. Guru Guru memberikan memberikan tugas- tugas-tugas kepada siswa

tugas kepada siswa terkait materi dari terkait materi dari konsep-konsep yang konsep-konsep yang telah dipelajari. telah dipelajari.

(Tugas terlampir pada (Tugas terlampir pada LKS)

LKS)

Siswa mengerjakan Siswa mengerjakan tugas-tugas yang diberikan oleh tugas yang diberikan oleh guru.

guru.

20 menit 20 menit

3.

3. Menutup Menutup pembelajaranpembelajaran dengan mengucap salam. dengan mengucap salam.

Menjawab salam yang Menjawab salam yang diucapkan guru.

diucapkan guru.

1 menit 1 menit

(9)

LEMBAR KERJA SISWA

Untuk menentukan letak suatu titik dalam ruang tiga dimensi diperlukan patokan Untuk menentukan letak suatu titik dalam ruang tiga dimensi diperlukan patokan mula. Salah satu patokan mula yang diambil

mula. Salah satu patokan mula yang diambil adalah tiga garis lurus yang salingadalah tiga garis lurus yang saling

berpotongan tegak lurus yang biasanya diberi nama sumbu x, sumbu y, dan sumbu z. berpotongan tegak lurus yang biasanya diberi nama sumbu x, sumbu y, dan sumbu z. sistem ini dinamakan system koordinat cartesius dalm ruang tiga

sistem ini dinamakan system koordinat cartesius dalm ruang tiga dimensi. Dalamdimensi. Dalam system ini suatu titik ditentukan oleh pasangan tiga bilangan (tripel), misalnya P( system ini suatu titik ditentukan oleh pasangan tiga bilangan (tripel), misalnya P(

1 1 1 1 1 1,, y y ,,zz x

x ). Disebut koordinat absis, y ). Disebut koordinat absis, y disebut koordinat disebut koordinat y y atau ordinat dan z disebut atau ordinat dan z disebut

koordinat z atau aplikat dari

koordinat z atau aplikat dari titik P. tiap titik P. tiap dua sumbu menentukan sebuah bidang yangdua sumbu menentukan sebuah bidang yang dinamakan bidang koordinat. Tiga

dinamakan bidang koordinat. Tiga bidang koordinat yaitubidang koordinat yaitu xy, yz, xy, yz, dandan xz xz membagi ruangmembagi ruang menjadi 8 ruang bagian yang masing-masing disebut oktan.

menjadi 8 ruang bagian yang masing-masing disebut oktan.

Oktan-oktan I, II, III dan IV

Oktan-oktan I, II, III dan IV diatas bidangdiatas bidang xy xy dan lainnnya dibawah bidangdan lainnnya dibawah bidang xy xy ..

Oktan-oktan V, VI, VII, VIII berturut

Oktan-oktan V, VI, VII, VIII berturut-turut berada te-turut berada tepat dibawah oktan oktpat dibawah oktan oktan an I, II, IIII, II, III dan IV.

(10)

Pada gambar berikut berturu

Pada gambar berikut berturut-turut adalah contot-turut adalah contoh letak titik P (2,3,4) dan Q h letak titik P (2,3,4) dan Q (4,-2,3) (4,-2,3) ::

Jarak dua titik Jarak dua titik

Jarak dua titik P(

Jarak dua titik P( x x₁₁,, y y₁₁,,zz₁₁) dan Q () dan Q (

x

₂₂,,

y

₂₂,,

zz

₂₂) adalah) adalah

|PQ | = |PQ | = 2 2 1 1 2 2 2 2 1 1 2 2 2 2 1 1 2 2 )) (( )) (( ))

(11)

Vektor dalam ruang tiga dimensi Vektor dalam ruang tiga dimensi

Vector posisi titik P (

x

₁₁,,

y

₁₁,,

zz

₁₁) terhadap titik asal O adalah OP=() terhadap titik asal O adalah OP=( x x₁₁,, y y₁₁,,zz₁₁)=)=

k

z

j

y

ii

x

₁₁  ₁₁  ₁₁ , i,j,k disebut vektor-vektor , i,j,k disebut vektor-vektor basis yang berturut-tubasis yang berturut-turut adalah vector-rut adalah vector-vektor satuan yang searah dengan sumbu x positif, y

vektor satuan yang searah dengan sumbu x positif, y positif dan z positif dan z positif.positif.

Rumus perbandingan vektor Rumus perbandingan vektor

Jika a =(

Jika a =( x x₁₁,, y y₁₁,,zz₁₁) adalah vektor posisi dari titik A, dan ) adalah vektor posisi dari titik A, dan b=(b=( x x22,, y y22,,zz22) adalah vector) adalah vector

posisi titk B, serta titik

posisi titk B, serta titik C berada pada ruas garis AB sedemikC berada pada ruas garis AB sedemikian sehingga |AC| : |CBian sehingga |AC| : |CB| =| = m : n , maka vektor posisi titik C adalah

m : n , maka vektor posisi titik C adalah

n n m m b b m m a a n n c c      

Jika vector posisi titik C adalah Jika vector posisi titik C adalah cc= (= (

c c c c c c

y

zz

x

,, ,, ) diperoleh hubungan bahwa) diperoleh hubungan bahwa

n n m m mx mx nx nx x x c c       11 22 ;; n n m m my my ny ny y y_c_c       11 22 ;; n n m m mz mz nz nz z z_c_c       11 22 Jika Jika aa= (= ( 3 3 2 2 1 1,,aa ,,aa a

a ) maka ) maka panjang vectorpanjang vectoraa

  adalah: adalah: 2 2 3 3 2 2 2 2 2 2 1 1 aa aa a a a a __ __ __ Jika Jika aa=(=( 3 3 2 2 1 1,,aa ,,aa a

a ) adalah vector posisi A, dan) adalah vector posisi A, dan bb=(=(

3 3 2 2 1 1,,

b

,,

b

)) vevectctor or poposisisi Bsi B, ma, makaka

|| AB AB|=|= ((bb₁₁ __aa₁₁))22 __((bb₂₂ __aa₂₂))22 __((bb₃₃ __aa₃₃))22

Perkalian dua vektor Perkalian dua vektor

Jika Jika uu==(( ,, ,, )) 3 3 2 2 1 1 uu uu u u dandan vv==(( ,, ,, )) 3 3 2 2 1 1 vv vv v

v maka perkalian titiknya adalahmaka perkalian titiknya adalah



cos cos v v u u v v u u_ __ _ _{dengan 0<}_{dengan 0<}  _<_<

_

(12)

Mengingat

Mengingat ii ((11,,00,,00)),, j j ((00,,11,,00)) dandan k k ((00,,00,,11))

Maka, mudah dimengerti dari

Maka, mudah dimengerti dari sefinisi tersebut bahwasefinisi tersebut bahwa

0 0             j j j j k k ii k k ii dandan 1 1            ii j j j j k k k k ii

Sehingga dapat diturunkan Sehingga dapat diturunkan

)) ,, ,, (( )) ,, ,, ((uu₁₁ uu₂₂ uu₃₃ vv₁₁ vv₂₂ vv₃₃ v v u u_ __ _ 3 3 3 3 2 2 2 2 1 1 1 1vv uu vv uu vv u u v v u u_ __ __ __

Hasil kali kedua vector adalah suatu skalar. Hasil kali kedua vector adalah suatu skalar.

Jika dua vektor saling tegak lurus, maka hasil kali titiknya sama dengan nol Jika dua vektor saling tegak lurus, maka hasil kali titiknya sama dengan nol

v v u u v v u

u 00  atauatau uu 00 atauatau vv



00

Untuk menentukan besarnya sudut yang dibentuk oleh dua vektor

Untuk menentukan besarnya sudut yang dibentuk oleh dua vektor uu vv₁₁,,vv₂₂,,vv₃₃ 

dapat digunakan rumus: dapat digunakan rumus:

v v u u v v u u      



cos cos Atau Atau 2 2 3 3 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 3 3 2 2 2 2 2 2 1 1 3 3 3 3 2 2 2 2 1 1 1 1 cos cos v v v v v v u u u u u u v v u u v v u u v v u u               



(13)

Kosinus arah suatu vector Kosinus arah suatu vector

Misalkan

Misalkan aa ((aa₁₁,,aa₂₂,,aa₃₃)) ((aa₁₁iiaa₂₂ j jaa₃₃k k )) adalah vektor posisi titik A dengan Aadalah vektor posisi titik A dengan A berimpit dengan O,

berimpit dengan O, sudut-sudsudut-sudut antara vektorut antara vektor aa _{dengan vektor satuan}_{dengan vektor satuan} _ii,,_j_j,,_k_kmakamaka

sudut-sudut arah vektor

sudut-sudut arah vektor aa_{. Sudut-sudut}_{. Sudut-sudut}  _,_,   dandan __

Maka

Maka coscos  ,, _cos_cos   _,,dandan coscos__

a a a a ii a a ii a a ₁₁ cos cos          a a a a j j a a j j a a 2 2 cos cos __      



a a a a k k a a k k a a ₃₃ cos cos __         Dengan

(14)

)) (( si sinn uu a a b b a a b b   



 

Hasil kali silang dua vektor Hasil kali silang dua vektor

k

a

j

a

ii

a

 11  22  33 dandan bb bb11iibb22 j jbb33k k 

 _{=sudut yang dibentuk oleh}_{=sudut yang dibentuk oleh} aa_dan_dan bb_{dengan 0<}_{dengan 0<}  _<_< 

  si sinn      bb aa bb a a

Dengan u = vektor satuan, maka Dengan u = vektor satuan, maka



si sinn      bb aa bb a a = -= - aa bbsisinn  ((uu))



= = -(-(aa__bb₎₎ a a b

b = = -(-(aabb) ) sifat sifat anti anti komutataif komutataif

Apabila

Apabila aasejajar dengansejajar dengan bb yaituyaitu  =0 maka,=0 maka,



si sinn      bb aa bb a a _u_u b b a a__ _{= 0}_{= 0}

(15)

Hasil kali

Hasil kali silang dua vektor-vektor bersifat distributif terhadap penjumlahan vektorsilang dua vektor-vektor bersifat distributif terhadap penjumlahan vektor yaitu: yaitu: )) (( )) (( )) ((bb cc aa bb aa cc a a__ __ __ __ __ __ )) (( )) (( )) ((aa__bb __cc __ aa__cc __ bb__cc Untuk vektor

Untuk vektor ii_{,, jj dan}_dan k k _::

k k j j ii j j ii     2 2 sin sin  k k j j ii 

Dengan cara yang sama kita

Dengan cara yang sama kita peroleh:peroleh:

ii k k j j  j jii  k k ii



ii



oo j j ii k k   k k  j j ii j j j j oo ii k k ii__ __ __ _k_k___k_k___o_o Selanjutny

Selanjutnya dapat diturunkan teknik perhitungan a dapat diturunkan teknik perhitungan dengan menggunakan determinandengan menggunakan determinan::

3 3 2 2 1 1 3 3 2 2 1 1 b b b b b b a a a a a a k k j j ii b b a a  )) ((aa bb a a b

(16)

Luas jajaran genjang Luas jajaran genjang

Luas jajaran genjang yang sisi-sisinya

Luas jajaran genjang yang sisi-sisinya aa_dan_dan bb_adalah;_adalah;

  sin sin      

b

a

b

a

Volume balok genjang Volume balok genjang

Volume balok genjang yang rusuknya

Volume balok genjang yang rusuknya aa_,, bb_dan_dan cc adalahadalah aa_bb__cc

c c b b a a_ __ ₌₌ 3 3 2 2 1 1 3 3 2 2 1 1 3 3 2 2 1 1 c c c c c c b b b b b b a a a a a a

(17)

LATIHAN

Nama : Nama : Kelas : Kelas : No.

No. Absen Absen ::

Pelajaran

Pelajaran : : Vektor Vektor

1.

1. Diketahui |Diketahui |aa | = 2 , || = 2 , |bb | = 1 ,sinus sudut | = 1 ,sinus sudut

antara

a

dan

b

adalahadalah 33 2 2 1 1 .. Nilai | Nilai |aa__bb _{| =...}_{| =...} a. a. 7 7 c. c. 3 3 e.e. 66 b. b. 6 6 d.d. 77 2.

2. Diketahui panjang proyeksi vektorDiketahui panjang proyeksi vektor aa==













 1 1 3 3 3 3 , pada , pada















3 3 3 3 p p b b adalahadalah 2 2 3 3 .. Nilai p = . . . . . Nilai p = . . . . . a. a. 4 4 b.b. 9 9 26 26 c. c. 2 2 d.d. 2 2 1 1 e. e. 4 4 1 1 3.

3. Diketahui | a | =Diketahui | a | = 22 , , || b | =b | = 99 _{dan |}_{dan |}

a + b | =

a + b | = 55 _{besar su}_{besar sudut antara a}_{dut antara a dan}_dan

b adalah... b adalah... a. 45 a. 45oo _{b. 60}_{b. 60}oo _{c. 120}_{c. 120}oo _{d. 135}_{d. 135}oo e. 150 e. 150oo 4. 4. Diketahui a =Diketahui a = 3 i3 i––4 j 4 j ––4 k 4 k , , b =b = 2 i 2 i–– j j + 3 k

+ 3 k dan c =dan c = 4 i4 i_–_–3 j +5 k 3 j +5 k PanjangPanjang proyeksi ( a + b ) pada c adalah... proyeksi ( a + b ) pada c adalah...

a. 3

a. 3 22 b. 4b. 4 22 c. 5c. 5 22 d. 6d. 6 22

e. 7 e. 7 22

5.

5. Diketahui A ( 1, 2, 3 ), B ( 3, 3, 1 ) dan CDiketahui A ( 1, 2, 3 ), B ( 3, 3, 1 ) dan C ( 7, 5, -3 ). Jika A, B, dan C segaris ( 7, 5, -3 ). Jika A, B, dan C segaris (kolinier ), perbandingan AB : BC = ... (kolinier ), perbandingan AB : BC = ... a. a. 1 1 : : 2 2 b. b. 2 2 : : 1 1 c. c. 2 2 : : 5 5 d. d. 5 5 : : 77 e. 7 : 5 e. 7 : 5

(18)

6.

6. Diketahui vektor u =Diketahui vektor u = a i +2 j + 4 k a i +2 j + 4 k , , v =v = 4 i4 i + 2 j + 2k

+ 2 j + 2k dan wdan w = 4 i = 4 i + 2 j + + 2 j + 6 k 6 k . Jika u. Jika u dan v saling tegak lurus, maka u + w dan v saling tegak lurus, maka u + w adalah ... adalah ... a. a. i + 4 j + 10 k i + 4 j + 10 k b.b. ii –– 4 j + 10 k 4 j + 10 k c. c. 3 i + 4 j + 10 k 3 i + 4 j + 10 k d.d. 3 3 ii––4 j + 10 k 4 j + 10 k e. e. 4 i + j + 10 k 4 i + j + 10 k 7.

7. Vektor a dan vektor b membentuk Vektor a dan vektor b membentuk sudut

sudut   _{. Diketahui | a | = 6 , | b | = 6 ,}_{. Diketahui | a | = 6 , | b | = 6 ,}

dan cos

dan cos  _{= 0,7 maka nilai dari a.( a +}_{= 0,7 maka nilai dari a.( a +}

b ) = ... b ) = ... a.

a. 49 49 b. b. 89 89 c. c. 99 99 d. d. 109 109 e. e. 115115

8.

8. Diketahui Diketahui | a | = 2 , | b | = 1 . kos| a | = 2 , | b | = 1 . kosinusinus sudut antara a dan b adalah 0,5. sudut antara a dan b adalah 0,5. Nilai

Nilai | a + b | a + b | = ...| = ...

a.

a. 7 7 b. b. 6 6 c. c. 3 3 d.d. 77 _e._e. 66

9.

9. Diketahui vektDiketahui vektor vektor or vektor a =a = ,,

1 1 1 1 1 1













    b = b =













  1 1 2 2 1 1 , , c =c =













  x x 4 4 0 0 dan dan a a . ( . ( b + b + c ) c ) = = a a . a. a Nilai Nilai x = x = ... a. a.––11 11 b.b.––10 10 c. c. 8 8 d. d. 10 10 e. e. 1111 10.

10. Diketahui vektor a =Diketahui vektor a = 2i 2i––6j 6j ––3k 3k dan bdan b

=

= 4i + 2j 4i + 2j ––4k 4k ..

Panjang proyeksi vektor a pada b Panjang proyeksi vektor a pada b adalah ... adalah ... a. a. .. ₃₆₃₆88 8 8 3 3 .. 4 4 3 3 .. 9 9 8 8 .. 3 3 4 4 e e d d c c b b 11.

11. Jika titik A Jika titik A ( 1 , 2 ( 1 , 2 , , - 1 ) - 1 ) , B ( 3 , , B ( 3 , 0 , 2 ) 0 , 2 ) ,, dan C (

dan C ( 5 , - 2 , a + 1 ) t5 , - 2 , a + 1 ) terletak padaerletak pada satu garis lurus , nilai a =

satu garis lurus , nilai a = ……

a.

a.––6 6 b.b.––4 4 c. c. 4 4 d. d. 5 5 e. e. 66

12.

12. Dikethui Dikethui a a == 2 i + x j + y k 2 i + x j + y k , , b =b = y i + 2 y i + 2 j

j + z k + z k dan a =dan a = x i + z j + 2 k x i + z j + 2 k , Jika a +, Jika a + b b = = c c maka maka ... a. a. x x = = 1 , 1 , y y = = 3 3 , , z z = = 33 b. b. x x = = 3 3 , , y y = = 3 3 , , z z = = 11 c. c. x x ==––1 , 1 , y y = = 1 1 , , z z = = 11 d. d. x x = = 3 , 3 , y y ==––1 1 , z , z = = 11 e. e. x x = = 1 , 1 , y y ==––1 1 , z , z = = 33

(19)

13. 13. Jika a =Jika a =













9 9 4 4 1 1 , , b b ==













 33 5 5 2 2 , c , c ==













 22 1 1 3 3 dan

dan p p = = aa––2b + 2b + 3c , 3c , maka panjang maka panjang p p = ...= ...

a. a. 12 12 b. b. 44 66 _c_{c 3}₃ ₁₄₁₄ _d._{d. 3}₃ 1717 _e._{e. 2}₂ 3838 14. 14. Jika a =Jika a =

_











3 3 4 4 , , b b ==

_











 ₂₂ 1 1 , , c c ==

_











7 7 2 2 , jika

, jika c = c = p p a a + + q q b b , , maka p.q maka p.q == ……

a.

a. ––1 1 b.b. ––2 2 c.c. ––3 3 d. d. 2 2 e. e. 33

15.

15. Jika | a Jika | a | | = = 10 10 , , | | b b | | = = 6 6 dandan __(( aa ,, bb )) ₌_{= 60}₆₀oo _{maka | a - b | =}_{maka | a - b | =} _…_…

a.

a. 4 4 b. b. 8 8 c. c. 14 14 d. 2d. 2 1717 _e._{e. 2}₂ 1919

16.

16. Pada Pada segi segi empat empat sembarang OABC sembarang OABC , , S dan S dan T masing-masing T masing-masing titk titk tengah OB tengah OB dan AC dan AC ..

Jika u =

Jika u = OAOA _{, , v}_{v =}₌ OBOB _{dan w =}_{dan w =} OC OC _maka_maka ST ST _=…_=…

a. a. uu vv ww 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1     b.b. uu vv ww 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1       c. c. uu vv ww 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1     d.d. uu vv ww 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1     e. e. uu vv ww 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1     17.

17. Diketahui Diketahui titik titik A ( A ( 0 , 0 , 1 , 1 , 5 ) 5 ) , , B ( B ( 0 , 0 , - 4 - 4 , 5 , 5 ) ) dan C dan C ( 3 ( 3 , 1 , 1 , - , - 2 ) 2 ) . . Titik Titik P P membagi membagi ABAB sehingga

sehingga AP AP : : PB PB = = 3 3 : 2 : 2 maka vektor maka vektor yang dyang diwakiliiwakili PC PC _{adalah ...}_{adalah ...}

a. a.













    7 7 1 1 3 3 b. b.













  3 3 3 3 3 3 c. c.













 77 3 3 3 3 d. d.













  7 7 3 3 3 3 e. e.













7 7 3 3 3 3

(20)

18.

18. Diketahui Diketahui A ( - 2 , A ( - 2 , - 2 , - 2 - 2 , - 2 ) , ) , B ( 1 , B ( 1 , 0 , - 1 ) 0 , - 1 ) dan titik M membdan titik M membagi AB agi AB di luar sedemikiandi luar sedemikian sehingga MB : MA = 1 : 2 P

sehingga MB : MA = 1 : 2 Panjang vektor posisi M anjang vektor posisi M adalah...adalah... a.

a. 1313 _b._b. 2020 _c._c. 3434 _d._d. 4242 _e._e. 5050

19.

19. Diketahui segi Diketahui segi tiga ABC tiga ABC dengan dengan A ( -2 , A ( -2 , 3 , 5 3 , 5 ) ) B ( 4 B ( 4 , 1 , , 1 , 3 ) 3 ) C ( C ( 4 , -1 4 , -1 , 1 ) , 1 ) . Koordinat tit. Koordinat titik ik berat segi tiga ABC adalah...

berat segi tiga ABC adalah... a. (

a. ( 2 2 , , 3 3 , , 3 3 ) ) b. ( b. ( 2 2 , , 3 3 , , 9 9 ) ) c. c. ( 2 ( 2 , , 1 1 , , 9 9 ) ) d. ( d. ( 2 2 , , 1 1 , , 3 3 ) ) e. ( e. ( 3 3 , , 11 11₂₂ , 4, 4₂₂11 ))

20.

20. Diketahui P ( -3 , -1 , -5 ) Diketahui P ( -3 , -1 , -5 ) , Q ( -1 , 2 , 0 ) , Q ( -1 , 2 , 0 ) dan R ( 1 , 2 , -2 )Jikadan R ( 1 , 2 , -2 )Jika PQPQ aa dandan QQRR  PRPRbb maka maka a . a . b = .b = ... a. a. 16 16 b. b. 22 22 c. c. 26 26 d. d. 30 30 e. e. 3838 21. 21. DiketahuiDiketahui





































              x x c c b b a a 44 0 0 ,, 1 1 2 2 1 1 ,, 1 1 1 1 1 1 dan

dan a . a . ( b ( b + c + c ) ) = = a . a . a a , , nilai nilai x x ==……

a.

a. ––11 b.11 b. ––10 10 c. c. 8 8 d. d. 10 10 e. e. 1111

22.

22. Besar sudut antaraBesar sudut antara

























      3 3 3 3 2 2 ,, 4 4 2 2 3 3 b b a a _adalah…_adalah… a. 180 a. 180oo _{b. 90}_{b. 90}oo _{c. 60}_{c. 60}oo _{d. 30}_{d. 30}oo _e._{e. 0}₀oo 23.

23. Diketahui Diketahui titik titik titik A titik A ( 2 ( 2 , -1 , -1 , 4 , 4 ) ) , , B ( B ( 4 , 4 , 1 , 1 , 3 ) 3 ) dan C dan C ( 2 ( 2 , , 0 , 0 , 5 ) 5 ) . . Nilai Nilai kosinus kosinus sudut sudut antara

antara AB AB dandan AC AC _adalah..._adalah...

a. a. 22 2 2 1 1 .. 2 2 3 3 1 1 .. 3 3 1 1 .. 2 2 6 6 1 1 .. 6 6 1 1 e e d d c c b b

(21)

24. 24. DiketahuiDiketahui

























         x x b b dan dan a a 44 2 2 ,, 2 2 1 1 3 3 saling te

saling tegak lugak lurus nilai rus nilai x x adalah ...adalah ...

a.

a. ––5 5 b.b. ––1 1 c. c. 0 0 d. d. 1 1 e. e. 55

25.

25. Diketahui Diketahui P P ( ( aa,,0 , 3 ) 0 , 3 ) , , Q ( 0 Q ( 0 , 6 , , 6 , 5 ) 5 ) dan R ( dan R ( 2 , 7 2 , 7 , c , c ) agar) agar PQPQ tegak tegak luruslurus QRQR ,, maka a

maka a–– c c = …= …

a.