Soal dan Pembahasan Program Linier
Soal dan Pembahasan Program Linier
1.
1. Seorang penjahit mempunyai persediaan 84 m kain polos dan 70m kain batik. PenjahitSeorang penjahit mempunyai persediaan 84 m kain polos dan 70m kain batik. Penjahit tersebut akan membuat 2 jenis pakaian untuk dijual. Pakaian jenis I memerlukan 4m kain polos tersebut akan membuat 2 jenis pakaian untuk dijual. Pakaian jenis I memerlukan 4m kain polos dan 2 meter kain batik, sedangkan pakaian jenis II memerlukan m kain polos dan !m kain batik. dan 2 meter kain batik, sedangkan pakaian jenis II memerlukan m kain polos dan !m kain batik. "ika pakaian jenis I dijual dengan laba #p. 40.000, dan pakaian jenis II dijual dengan laba #p. "ika pakaian jenis I dijual dengan laba #p. 40.000, dan pakaian jenis II dijual dengan laba #p. $0.000,00 per potong. %euntungan maksimum yang dapat diperoleh penjahit tersebut adalah $0.000,00 per potong. %euntungan maksimum yang dapat diperoleh penjahit tersebut adalah &. &. #p #p 1.180.000,00 1.180.000,00 '. '. #p #p ($0.000,00 ($0.000,00 ). ). #p #p 800.000,00800.000,00 *. *. #p #p 1.080.000,00 1.080.000,00 +.#p +.#p 840.000,00840.000,00 Ditanya : Ditanya :
laba maksimum jika 40.000 - $0.000 y ..../ laba maksimum jika 40.000 - $0.000 y ..../ Jawab: Jawab: odel matematikanya odel matematikanya 4 - y 3 84 4 - y 3 84 2 - ! y 3 70 2 - ! y 3 70 4-y
4-y 3 3 84 84 2-!y 2-!y 3 3 7070
•
• etode )liminasietode )liminasi 4-y
4-y 84 84 1 1 4 4 - - y y 8484 2-!y
2-!y 70 70 2 2 4 4 -10y -10y 140 140
7y 7y !$!$ 5 5 !$!$ 7 7 Y Y = 8= 8 •
• etode Subtitusietode Subtitusi 2 - ! y 70 2 - ! y 70 2 - !.8 70 2 - !.8 70 2 - 40 70 2 - 40 70
""eenniiss kkaaiin n ppoollooss %%aaiin n **aattiik k Pakaian jenis Pakaian jenis II 6 6 44 22 Pakaian jenis Pakaian jenis II II 5 5 !! oottaal l 8844 7700 6 6 00 2211 5 5 2288 00 ,,yy99 00,,228899 2211,,0099 6 6 00 !! 5 5 1144 00 ,,yy99 00,,114499 !!,,0099
2 70 : 40 2 0 x = 15
titik potongnya (15, 8)
en;ari nilai ma jika 40.000 - $0.000 y 0, 149 40.000 09 - $0.000 149 #p.840.000 21, 09 40.000 219 - $0.000 09 #p. 840.000
1!, 89 40.000 1!9 - $0.000 89 $00.000 - 480.000 Rp 1.080.000 → Nilai Max Jawabannya adalah B. Rp 1.080.000
2. <ntuk membuat barang & diperlukan $ jam kerja mesin I dan 4 jam kerja mesin II, sedangkan untuk barang * diperlukan 4 jam kerja mesin I dan 8 jam kerja mesin II. Setiap hari kedua mesin tersebut bekerja tidak lebih dari 18 jam. "ika setiap hari dapat dihasilkan barang & dan y barang *, maka model matematikanya adalah sistem pertidaksamaan=
&. $ - 4y 3 18, 2 - 8y 3 18 , >0 dan y > 0 *. - 2y 3 ( , 2 - 4y 3 ( , >0 dan y > 0 '. 2 - y 3 ( , 4 - 2y 3 ( , > 0 dan y > 0 +. - 4y 3 ( , 2 - 2y 3 ( , > 0 dan y > 0 ). 2 - y 3 ( , 2 - 4y 3 ( , >0 dan y > 0 "a?ab odel atematikanya • X ≥0 dan Y ≥0 • $-4y 3 18 dibagi 2 menjadi3x+2y ≤ 9
• 4-8y 3 18 dibagi 2 menjadi2x+4y≤9
•
Jadi,model maemai!anya adala" #. 3x+2y ≤ 9 , 2x+4y≤9, X ≥0 dan Y ≥0
"enis esin 1 esin 2
*arang & 6 $ n
4
*arang * 5 4 8
. Suatu perusahaan memproduksi barang dengan 2 model yang dikerjakan dengan dua mesin yaitu mesin & dan mesin *. Produk model I dikerjakan dengan mesin & selama 2 jam dan mesin * selama 1 jam. Produk model II dikerjakan dengan mesin & selama 1 jam dan mesin * selama ! jam. @aktu kerja mesin & dan * berturut : turut adalah 12 jam perhari dan 1! jam perhari.
%euntungan penjualan produk model I sebesar #p. 40.000,00 perunit dan model II #p 10.000,00 per unit. %euntungan maksimum yang dapat diperoleh perusahaan tersebut adalah =.
&. #p. 120.000,00 '. #p. 240.000,00 ). #p. $00.000,00 *. #p. 220.000,00 +. #p. 00.000,00
"a?ab +itanyakan %euntungan
aimum 40.000 -10.000y=/ $Model maemai!anya % 6 > 0,5 > 0, 2-y 3 12, -!y 31! 2-y 3 12 -!y 3 1!
Metode Subtitusi Eliminasi Titik Potong !"#$%
2-y 12 1 2- y 12 6-!y 1!
-!y 1! 2 2-10y 0 6-!29 1!
(y 18 61!10
Y &2 X & '
"enis esin & esin *
odel 1 6 2 1 odel 2 5 1 ! otal 12 1! 6 0 $ 5 12 0 ,y9 0,129 $,09 6 0 1! 5 0 ,y9 0,9 1!,09
en;ari nilai maimum jika 40.000 - 10.000 y =./ 0, 9 40.00009 - 10.000 9 #p 0.000
!, 29 40.000!9 - 10.000 29 200.000- 20.000 #p 220.000 $, 09 40.000$9 - 10.000 09 Rp 240.000 → Nilai maxim(m )*
4. +aerah yang diarsir pada gambar merupakan himpunan penyelesaian suatu sistem pertidaksamaan linier. Ailai maksimum dari B,y9 7 - $y adalah =.
&. 88 '. 102 ). 1($ *.(4 +. 10$
Jaa-%
#umus persamaan garis a - by ab
Persamaan garis 1 titik 0,209 dan titik 12,09 20 - 12 y 240 C ! - y $0
Persamaan garis 2 melalui titik 0,1!9 dan titik 18,09 1! - 18 y 270 C ! - $y (0
Mencari titik potong persamaan garis 1 dan :
• etode )liminasi ii! /oon & ),10 ! - y $0 ! - $y (0 y 0 Y & 10 • etode Subtitusi ! - y $0 ! - . 10 $0 ! $0 : 0 ! 0 x &
en;ari nilai maksimum B,y9 7 - $y 0,1!9 C 7 09 - $ 1!9 (0
12,09 C 7 129 - $ 09 84
$,109 C 7 $9 - $109 42-$0 102 nilai e-eama!im(m adala" 102 Jawabannya adalah &. 10$
!. Seorang pembuat kue mempunyai 4 kg gula dan ( kg tepung. <ntuk membuat sebuah kue jenis & dibutuhkan 20 gram gula dan $0 gram tepung, sedangkan untuk membuat sebuah kue jenis * dibutuhkan 20 gram gula dan 40 gram tepung. "ika kue & dijual dengan harga #p. 4.000,00Dbuah dan kue * dijual dengan harga #p. .000,00Dbuah, maka pendapatan maksimum yang dapat diperoleh pembuat kue tersebut adalah =.
&. #p. $00.000,00 '. #p. 700.000,00 ) . #p. 800.000,00 *. #p. $!0.000,00 +. #p. 7!0.000,00
+itanyakan Ailai maksimum 4000 - 000 y = / "a?ab
odel matematika
20 - 20 y 3 4000⇔ - y 3 200 Cpemakaian gula
$0 - 40y 3 (000 ⇔ - 2y 3 4!0 Cpemakaian tepung > 0 E y > 0
• etode )liminasi etode Subtitusi
- y 200 -y $00 -y 200 - 2y 4!0 1 -2y 4!0 -1!0200
y & 1'0 x& '0
"enis gula tepung
%ue& 6 20 $0
%ue * 5 20 40
ii! poonnya )'0, 1'0
itiktitik pojoknya adalah 1!0, 09, 0, 2009 dan titik potong !0, 1!09 4000 - 000 y=/
1!0,09 4000 1!09 - 000 09 #p 4!.000 0,2009 4000 09 - 000 2009 #p $00.000 !0,1!09 4000 !09 - 000 1!09 Rp '0.000
didapat pendapatan maksimumnya dalah Rp.'0.000 Jawabannya adalah B
$. Pak Fimin memiliki modal sebesar #p. $0.000,00. Ia kebingungan menentukan jenis dagangannya. "ika ia membeli 70 barang jenis I dan !0 barang jenis II uangnya sisa #p.
2.!00,00. Sedangkan jika ia membeli 70 barang jenis I dan $0 barang jenis II uangnya kurang #p. 2.000,00. odel matematika yang dapat disusun adalah =.
&. 7 - !y !.7!0 +. 7 - !y $.2!0 7 - $y $.200 7 - $y !.800 *. 7 - !y $.200 ). 7 - !y !.800 7 - $y !.7!0 7 - $y $.2!0 '. 7 - !y $.000 7 - $y !.7!0 "a?ab
misalbarang jenis I E barang jenis II y maka model matematikanya dapat dibuat sbb
"ika ia membeli 70 barang jenis I dan !0 barang jenis II uangnya sisa #p. 2.!00,00 70 - !0 y $0.000 : 2!00
70 - !0 y !7!00→5x + 'y & '5'0
jika ia membeli 70 barang jenis I dan $0 barang jenis II uangnya kurang #p. 2.000,00 70 - $0y $0.000 - 2000
70 - $0y $2.000 →5x + y & 200
Jawabannya adalah '
7. Sistem pertidaksamaan linear yang memenuhi dari daerah yang diarsir pada gambar adalah=.
&. - 2y > 4, - 2y 3 $, > 0, y > 0 *. : 2y 3 4, - 2y 3 $, > 0, y > 0 '. - 2y 3 4, : 2y 3 $, > 0, y > 0 +. - 2y > 4, - 2y > $, > 0, y > 0 ). - 2y 3 4, - 2y 3 $, > 0, y > 0
Jaa-%
Persamaan umum garis a - by ab
persamaan garis g melalui titik 0,9 dan 2,09 a b
a E b 2 - 2y $
%arena daerah yang diarsir di ba?ah garis maka persamaannya menjadi - 2y 3 $ ....19
persamaan garis h melalui titik 0,29 dan 4,09 a 2 E b 4
2 - 4y 8 G - 2y 4
%arena daerah yang diarsir di ba?ah garis maka persamaannya menjadi - 2y 3 2 ....29
daerah yang diarsir berada di atas sumbu dan y > 0, y > 0 ....9
ja?abannya adalah 19, 29 dan 9
Jawabannya adalah E
8. Sebuah pesa?at terbang memiliki tempat duduk tidak lebih dari $0 buah. Setiap penumpang bagasinya dibatasi, untuk penumpang kelas utama 0 kg, dan untuk penumpang kelas ek onomi
20 kg. Pesa?at tersebut hanya dapat memba?a bagasi 1.!00 kg. "ika tiket untuk setiap penumpang kelas utama #p. $00.000,00 dan untuk kelas ekon omi #p. 4!0.000,00, maka penerimaan maksimum dari penjualan tiket adalah =.
&. #p. 1.!00.000,00 '. #p. 21.!00.000,00 ). #p. 41.!00.000,00 *. #p. 18.000.000,00 +. #p. 1.!00.000,00
+itanyakan Penerimaan maksimum G $00.000 - 4!0.000 y =./ "a?ab
odel matematikanya
odel matematikanya - y 3 $0
0 - 20 y 3 1!00 C - 2y 3 1!0
• etode )liminasi etode Subtitusi
- y $0 - y 180 - y $0 - 2y1!0 1 - 2y 1!0 - 0 $0 "enis *erat <tama 6 0 e%HAHI 5 20 otal $0 1!00
y & 30 x& 30
en;ari nilai ma dari $00.000 - 4!0.000 y=/ 0,$09 $00.000 09 - 4!0.000 $09 27.000.000 !0,09 $00.000 !09 -4!0.000 09 0.000.000
0,09 $00.000 09 -4!0.000 09 18.000.000- 1.!00.00031.'00.000 Nilai maxim(m
Penerimaan maksimum adalah #p. 1.!00.000,00 +9
Jawabannya adalah (
9. Tentukan daerah penyelesaian dari
a. 2x + y ≤ 4 b. 2x – 3y ≥ 6
Untuk menyelesaikan cnth di atas! "ambarkan terlebih dahulu "ra#k masin"$masin" "arisnya den"an cara mencari titik$titik ptn" den"an sumbu x dan sumbu y.
Jawab : a. 2x + y % 4
Untuk mencari titik ptn" "ra#k den"an sumbu x dan sumbu y dicari den"an cara membuat tabel berikut ini.
& ' 2
y 4 '
(x!y )
('!4) (2!')
*en"an demikian titik ptn" den"an sumbu x dan y adalah (2! ') dan ('! 4). mbillah titik ,('! ') seba"ai titik u-i pada 2x + y ≤ 4 dan diperleh 2 ' + ' ≤ 4. *aerah yan" terdapat titik , merupakan penyelesaian (daerah tidak terarsir) yan" ditun-ukkan pada "ambar 4–3a.
b. 2x – 3y % 6
Untuk mencari titik ptn" "ra#k den"an sumbu x dan sumbu y dicari den"an cara membuat tabel berikut ini/
& ' 3
*en"an demikian titik ptn" den"an sumbu x dan y adalah ('! $2) dan (3! '). mbillah titik ,('!')
seba"ai titik u-i pada 2x – 3y ≥ 6! dan diperleh 2 ' – 3 ' ≤ 6. *aerah yan" terdapat titik , bukan merupakan penyelesaian (daerah terarsir) yan" ditun-ukkan pada "ambar diba0ah ini.
10. Seorang penjahit mempunyai persediaan 84 m kain polos dan 70m kain batik. Penjahit tersebut akan membuat 2 jenis pakaian untuk dijual. Pakaian jenis I memerlukan 4m kain polos dan 2 meter kain batik, sedangkan pakaian jenis II memerlukan m kain polos dan !m kain batik. "ika pakaian jenis I dijual dengan laba #p. 40.000, dan pakaian jenis II dijual dengan laba #p.
$0.000,00 per potong. %euntungan maksimum yang dapat diperoleh penjahit tersebut adalah &. #p 1.180.000,00 '. #p ($0.000,00 ). #p 800.000,00
*. #p 1.080.000,00 +.#p 840.000,00 Ditanya :
laba maksimum jika 40.000 - $0.000 y ..../ Jawab:
odel matematikanya 4 - y 3 84
2 - ! y 3 70
4-y 3 84 2-!y 3 70
"enis kain polos %ain *atik Pakaian jenis I 6 4 2 Pakaian jenis II 5 ! otal 84 70 6 0 21 5 28 0 ,y9 0,289 21,09 6 0 ! 5 14 0 ,y9 0,149 !,09
• etode )liminasi 4-y 84 1 4 - y 84 2-!y 70 2 4 -10y 140 7y !$ 5 !$ 7 Y = 8 • etode Subtitusi 2 - ! y 70 2 - !.8 70 2 - 40 70 2 70 : 40 2 0 x = 15 titik potongnya (15, 8)
en;ari nilai ma jika 40.000 - $0.000 y 0, 149 40.000 09 - $0.000 149 #p.840.000 21, 09 40.000 219 - $0.000 09 #p. 840.000
1!, 89 40.000 1!9 - $0.000 89 $00.000 - 480.000 Rp 1.080.000 → Nilai Max Jawabannya adalah B. Rp 1.080.000
amis# 0$ 'gustus $00)
Soal P*og*am +inie*
*erikut ini adalah sebagian soal : soal Program inier yang saya ambil dari soal <jian Aasional tahun 2000 s.d. 2007
"ika anda butuh soal berikut dalam bentuk i;rosoBt @ord anda dapat menghubungi email saya matematikasmaJgmail.;om
1.uas daerah parkir 1.7$0 m2. uas rata : rata untuk mobil ke;il 4 m2 dan mobil besar 20 m2. +aya tampung maksimum hanya 200 kendaraan, biaya parkir mobil ke;il #p. 1.000,00Djam dan mobil besar #p. 2.000,00Djam. "ika dalam satu jam terisi penuh dan tidak kendaraan yang pergi dan datang, maka hasil maksimum tempat parkir itu adalah =.
a.#p. 17$.000,00. b.#p. 200.000,00. ;.#p. 2$0.000,00. d.#p. 00.000,00. e.#p. 40.000,00.
Soal <jian Aasional tahun 2007
2.Seorang pedagang menjual buah mangga dan pisang dengan menggunakan gerobak. Pedagang tersebut membeli mangga dengan harga #p. 8.000,00Dkg dan pisang #p. $.000,00Dkg. odal yang tersedia #p. 1.200.000,00 dan gerobaknya hanya dapat memuat mangga dan pisang
sebanyak 180 kg. "ika harga jual mangga #p. (.200,00Dkg dan pisang #p. 7.000,00Dkg, maka laba maksimum yang diperoleh adalah =.
a.#p. 1!0.000,00. b.#p. 180.000,00. ;.#p. 1(2.000,00. d.#p. 204.000,00. e.#p. 21$.000,00.
Soal <jian Aasional tahun 200$
.anah seluas 10.000 m2 akan dibangun rumah tipe & dan tipe *. <ntuk tipe & diperlukan 100 m2 dan dan tipe * diperlukan 7! m2. "umlah rumah yang akan dibangun paling banyak 12! unit. %euntungan rumah tipe & adalah #p. $.000.000,00Dunit dan tipe * adalah #p. 4.000.000,00Dunit. %euntungan maksimum yang dapat diperoleh daru penjualan rumah tersebut adalah =.
a.#p. !!0.000.000,00. b.#p. $00.000.000,00. ;.#p. 700.000.000,00. d.#p. 800.000.000,00. e.#p. (00.000.000,00.
4.Suatu tempat parkir yang luasnya 00 m2 digunakan untuk memarkir sebuah mobil dengan rata : rata 10 m2 dan untuk bus rata : rata 20 m2 dengan daya tampung hanya 24 kendaraan. *iaya parkir untuk mobil #p. 1.000,00Djam dan untuk bus #p. .000,00Djam. "ika dalam satu jam
tempat parkir terisi penuh dan tidak ada kendaraan yang dating dan pergi, hasil maksimum tempat parkir iru adalah =.
a.#p. 1!.000,00. b.#p. 0.000,00. ;.#p. 40.000,00. d.#p. 4!.000,00. e.#p. $0.000,00.
,un-i Jawaban P*og*am +inie*
1. ' 2. ' . * 4. + !. ' $. & 7. ' 8. + (. /
