Matriks dan Determinan

MATRIKS DAN DETERMINAN Pendahuluan

Banyak persoalan dalam matematika murni maupun terapan yang disajikan dalam sistem persamaan linear. Misalnya, penerapan Hukum Kirchhoff dalam rangkaian listrik biasanya akan menghasilkan sistem persamaan linear dengan variabel arus listrik. Untuk menyelesaikan sistem persamaan linear dengan dua variabel biasanya digunakan metode substitusi atau eliminasi. Akan tetapi, untuk sistem persamaan linear yang melibatkan tiga variabel atau lebih, metode ini ternyata tidak efisien.

Untuk menyelesaian sistem persamaan linear dengan tiga variabel atau lebih, kita akan membahas metode reduksi baris atau eliminasi Gauss dan aturan Cramer. Sebelum membahas kedua metode ini, kita akan membicarakan konsep matriks dan determinan.

Definisi

Diandaikan kita memiliki sistem persamaan linear berikut:

x+2y+3z=7 4x−y−6z=1 2x+2y−3z=−4

}

Koefien-koefisien x, y, dan z dapat dituliskan sebagai

A=

(

1_{4 −1}2 ₋₆3 2 2 −3

)

.

Sistem bilangan yang disusun dalam bentuk baris dan kolom ini dikenal dengan sebutan matriks. Matriks m× n adalah suatu susunan bilangan berbentuk persegi yang terdiri atas m baris dan

n kolom. Sebuah matriks A biasanya dituliskan dalam bentuk

A=

(

a11 a12 a13 … a1k

a₂₁ a₂₂ a₂₃ … a_2k …

aj1

… aj2

… aj3

… …

… ajk

)

.

Jika banyaknya baris m sama dengan banyaknya kolom n, dikenal matriks bujur sangkar berukuran n ×n atau berorde n. Sebuah matriks yang hanya terdiri satu baris dinamakan matriks baris. Sebaliknya, sebuah matriks yang hanya terdiri dari satu kolom dinamakan matriks kolom.

Aljabar Matriks

1. Kesamaan Matriks

Dua matriks A=(ajk) dan matriks B=(bjk) yang berukuran sama (memiliki jumlah

baris dan kolom yang sama), dikatakan sama jika dan hanya jika a_jk=b_jk . Sebagai contoh,

(

x r u

y s v

)

=

(

2 0 8 −1 4 3

)

,

jika dan hanya jika x = 2, y = 1, r = 0, s = 4, u = 8, dan v = 3. 2. Penjumlahan dan Pengurangan Matriks

Dua buah matriks A dan B yang berukuran sama dapat dijumlahkan/dikurangkan untuk menghasilkan matriks C yang unsur-unsurnya merupakan hasil penjumlahan/pengurangan dari unsur matriks A dan B yang bersesuaian. Secara matematis, jika A dan B adalah dua matriks yang berukuran sama, maka C=A ± B

dengan c_jk=a_jk± b_jk.

3. Perkalian Matriks dengan Skalar

Perkalian matriks A dengan skalar k akan menghasilkan sebuah matriks baru B yang unsur-unsurnya diperoleh dengan mengalikan unsur-unsur matriks A dengan k. Jadi, B =

kA.

4. Perkalian dua Matriks

Jika A=(ajk) sebuah matriks berukuran m× n dan B=(bjk) sebuah matriks

berukuran n × p , maka perkalian matriks A dengan matriks B, yaitu C = AB, didefinisikan sebagai

c_jk=

∑

l=1

n

a_jlb_lk ,

dengan matriks C berukuran m× p . Perkalian dua matriks dapat dilakukan jika dan hanya jika banyaknya kolom A sama dengan banyaknya baris B.

Untuk A=

(

4 2

−3 1

)

dan B=

(

1 5 3

2 7 −4

)

, diperoleh AB=

(

8 34 4 −1 −8 −13

)

. Berbeda dengan aljabar bilangan biasa, perkalian matriks pada umumnya tidak komutatif. Akan tetapi, hukum asosiatif dan distributif tetap berlaku:

Sebuah matriks A dapat dikalikan dengan dirinya sendiri jika dan hanya jika A adalah matriks bujur sangkar. Ungkapan AA biasanya ditulis A2 _{. Dengan cara yang sama,}

A3=A2A , A4=A3A , dan sebagainya. 5. Matriks Transpos

Untuk matriks A dapat dilakukan operasi transposisi, yaitu mengganti baris dengan kolomnya sehingga diperoleh matriks baru. Matriks baru sebagai hasil transposisi ini dinamakan transpose dari A dan dinyatakan dengan AT_{. Dengan demikian, jika}

A=(ajk) maka AT=

(

akj

)

. Sebagai contoh, jika

A=

(

2 1 −8

5 2 1

)

maka A

T

=

(

2₁ 5₂ −8 1

)

.

Sifat-sifat matriks transpos: (A+B)T=AT

+BT _,

(AB)T=BT_AT _{, dan} A

(¿¿T)T=A .

¿

Untuk matriks kompleks, yaitu matriks yang unsur-unsurnya bilangan kompleks, terdapat operasi konjugat kompleks dan konjugat hermite.

Operasi konjugat kompleks pada matriks kompleks C yang dinyatakan dengan _C´ _akan menghasilkan matriks baru B yang elemen-elemennya adalah konjugat kompleks dari C. Jadi,

B=

(

bjk

)

= ´C=

(

´cjk

)

. Matriks C´ dikenal sebagai matriks konjugat kompleks dari C.

Operasi konjugat hermite pada matriks kompleks C merupakan kombinasi dari operasi konjugat kompleks dan transposnya sehingga sehingga menghasilkan matriks baru B. Dengan

demikian, B=( ´C)T atau B=C† . Elemen-elemen matriks B adalah

(

b_jk

)

=( ´c_kj) _{. Matriks}

B ini dikenal sebagai matriks konjugat hermite dari C. Sebagai contoh, jika

A=

(

2+3i 4−5i

3 5i

)

maka A

†

=( ´A)T=

(

2−3i 4+5i 3 −5i

)

T

=

(

2+3i 3 4+5i −5i

)

.

Matriks-matriks Khusus

Matriks bujur sangkar, matriks baris, dan matriks kolom biasanya dikelompokkan ke dalam matriks khusus. Ada beberapa matriks khusus yang lain, yaitu:

A=

(

1 0 0 0 3 0 0 0 4

)

.

Jumlah semua unsur diagonal utama sebuah matriks bujur sangkar dinamakan trace

matriks yang bersangkutan.

2) Matriks segitiga, yaitu matriks bujur sangkar yang semua unsurnya terletak di bawah atau di atas diagonal utama sama dengan nol. Jika unsur-unsur nol terletak di bawah diagonal utama, biasanya disebut matriks segitiga atas. Sebaliknya, jika unsur-unsur nol terletak di atas diagonal utama disebut matriks segitiga bawah.

3) Matriks satuan, yaitu matriks bujur sangkar yang semua unsurnya pada diagonal utama sama dengan 1, sedangkan unsur-unsur yang lain sama dengan nol. Matriks satuan biasanya diberi simbol I. Sebagai contoh,

I=

(

1 0 0 1

)

.

4) Matriks nol, yaitu matriks yang unsur-unsurnya sama dengan nol dan biasanya diberi simbol O. Untuk matriks A yang ukurannya sama dengan O, berlaku A+O=O+A=A

dan AO=OA=O .

5) Matriks simetri, yaitu matriks bujur sangkar yang memenuhi sifat AT

=A . Jika

AT=−A , A disebut matriks taksimetri.

6) Matriks kofaktor, yaitu matriks yang didefinisikan sebagai Ac

=Ajk .

Jika A=

(

a₁₁ a₁₂ a₁₃ a₂₁ a₂₂ a₂₃ a31 a32 a33

)

maka Ac=

(

A₁₁ A₁₂ A₁₃ A₂₁ A₂₂ A₂₃ A31 A32 A33

)

, dengan

A₁₁=(−1)1+1

|

a₂₂ a₂₃

a₃₂ a₃₃

|

, A12=(−1) 1+2

|

a₂₁ a₂₃

a₃₁ a₃₃

|

, dan seterusnya.

7) Matriks adjoint, yaitu matriks yang diperoleh dari transpose matriks kofaktor. Jadi,

adjA=AcT .

Untuk A=

(

1 3

2 1

)

, A

c

=

(

1 −2

−3 1

)

, dan adj A=A

cT

=

(

1 −3 −2 1

)

. 8) Jika adjA=A , matriks A dikatakan self-adjoint.

9) Jika A2

=I , matriks A dikatakan involuntary. 10) Jika A= ´A , matriks A dinamakan matriks real. 11) Jika A AT

=I , matriks A dinamakan matriks orthogonal. 12) Jika A=( ´A)T=A† , matriks A dinamakan matriks hermite. 13) Jika A A†

=I , matriks A dinamakan matriks uniter.

14) Jika A=− ´A , matriks A dinamakan matriks imajiner murni. 15) Jika A2

Determinan

Untuk setiap matriks bujur sangkar A terdapat nilai karakteristi yang dikenal sebagai

determinan, biasa ditulis det (A) atau

|

a_jk

|

. Determinan matriks A ditulis sebagai detA=

|

a₁₁ a₂₁

a₁₂ a₂₂

… a_1k … a_2k a₃₁ a₃₂ … a_3k …

a j1

… aj2

… …

… ajk

|

.

Jika matriks A dengan det (A) = 0, A disebut matriks singular. Sebaliknya, jika det (A)

≠0 , A disebut matriks taksingular. Minor

Jika baris ke-j dan kolom ke-k pada determinan yang disajikan di atas dihilangkan, kemudian dibentuk sebuah determinan dari unsur-unsurnya yang tertinggal, akan diperoleh determinan baru yang terdiri atas (n-1) baris dan (n-1) kolom. Determinan baru ini merupakan minor dari unsur

a_jk dan dinyatakan dengan ungkapan M_jk . Sebagai contoh,

detA=

|

a₁₁ a₂₁

a₁₂ a₂₂

a13 a14

a23 a24

a₃₁ a₃₂ a₃₃ a₃₄ a41 a42 a43 a44

|

maka minor unsur a₃₂ adalah M₃₂ , yaitu

M₃₂=

|

a₁₁ a₁₃ a₁₄ a₂₁ a₂₃ a₂₄ a41 a43 a44

|

.

Jika minor dari a_jk dikalikan dengan (−1)j+k _{hasilnya dinamakan kofaktor dari a}

jk dan

dinyatakan dengan Ajk . Jadi,

Ajk=(−1)j+kMjk .

Untuk menentukan determinan matriks A dapat digunakan ekspansi Laplace yang menyatakan bahwa nilai determinan merupakan jumlah dari hasil kali unsur-unsur pada suatu baris (atau suatu kolom) dengan kofaktor-kofaktor yang bersesuaian. Secara matematis,

det A=

∑

k=1

n

ajkAjk , untuk sembarang j.

Sebagai contoh, kita akan menghitung

detA=

|

a11 a12

Untuk j =1, diperoleh

det A=

∑

k=1 2

a_{1k A1k}=a₁₁A₁₁+a₁₂A₁₂ ,

dengan A11=(−1)1+1

|

a22

|

=a22 dan A12=(−1)1+2

|

a21

|

=−a21 . Jadi,

det A=a₁₁a₂₂−a₁₂a₂₁ .

Sifat-sifat Determinan

1) Nilai determinan tidak berubah apabila baris dan kolomnya dipertukarkan. Jadi,

det A=det AT_.

2) Jika semua unsur dari suatu baris (atau kolom) adalah nol, determinan matriks itu sama dengan nol.

3) Jika semua unsur dari suatu baris (atau kolom) adalah nol, kecuali satu unsur, determinannya sama dengan hasil kali unsur itu dengan kofaktornya.

4) Pertukaran dua baris atau dua kolom sembarang akan mengubah tanda determinan.

5) Jika semua unsur dalam suatu baris (atau kolom) dikalikan dengan sebuah bilangan, determinannya juga dikalikan dengan bilangan itu.

6) Jika dua baris (atau kolom) sama atau sebanding, determinannya sama dengan nol.

7) Jika setiap unsur dalam suatu baris (atau kolom) sebuah determinan merupakan jumlah dua suku, determinannya dapat dinyatakan sebagai jumlah dua determinan yang berukuran sama.

8) Jika kita mengalikan unsur-unsur suatu baris (atau kolom) dengan sebuah bilangan kemudian dijumlahkan dengan unsur-unsur yang bersesuaian dengan suatu baris (atau kolom) yang lain, nilai determinannya tetap.

9) Jika A dan B dua matriks bujur sangkar yang berukuran sama, maka

det(AB)=det(A)+det(B).

10) Jumlah dari hasil kali unsur-unsur dalam suatu baris (atau kolom) dengan kofaktor-kofaktornya dari baris (atau kolom) lainnya adalah nol. Secara matematis,

∑

k=1

n

a_qkA_pk=0 atau

∑

k=1

n

a_kqA_kp=0 , jika p≠ q .

Jika p=q , hasilnya sama dengan detA .

Invers Matriks

Jika pada matriks bujur sangkar A terdapat matriks B sehingga AB = I, dengan I adalah matriks identitas, maka B dinamakan invers matriks A dan ditulis sebagai A−1

. Jadi, jika A

adalah matriks bujur sangkar tak singular berorde-n, maka terdapat satu invers A−1 _sehingga

A A−1

=A−1_A

=I . Invers matriks memiliki sifat, (AB)−1=B−1

A−1 _dan (A−1

)−1=A .

Metode Reduksi Baris

Untuk memberi gambaran penerapan metode reduksi baris, diandaikan kita akan menghitung invers matriks A. Dengan mengingat sifat-sifat matriks satuan I, A = IA. Selanjutnya, dengan mereduksi A di ruas kiri menjadi I maka ruas kanan akan tereduksi menjadi B sehingga menghasilkan I = AB. Jadi, B adalah invers matriks A. Metode reduksi baris terdiri atas operasi-operasi berikut:

 menukarkan dua baris,

 mengalikan sembarang baris dengan sebuah tetapan k ≠0, dan  menjumlahkan atau mengurangkan dua baris sembarang.

Untuk memudahkan penulisan operasi reduksi baris, biasa digunakan notasi B_{j , k} dan

a B_j± b B_k. Notasi pertama menunjukkan baris-j dan baris-k dipertukarkan, sedangkan notas kedua artinya baris-j dikalikan dengan a kemudian dijumlahkan atau dikurangkan dengan b kali baris-k.

Metode Determinan

Sebuah matriks memiliki invers jika dan hanya jika det A ≠0. Invers matriks A dapat

ditentukan dengan rumus A−1

=adj(A)

det A .

Sistem Persamaan Linear

Sistem persamaan linear dengan n variabel adalah suatu himpunan persamaan linear yang berbentuk

{

a₁₁x₁+a₁₂x₂+…+a_1nx_n=r₁

a21x1+a22x2+…+a2nxn=r2

….

a_m1x₁+a_m2x₂+…+a_mnx_n=r_n

Jika r₁=r₂=…=r_n=0, sistem persamaan linear di atas disebut homogen. Sebaliknya, jika

r_n≠0 dinamakan takhomogen. Sistem persamaan linear di atas dapat dinyatakan dalam bentuk matriks, yaitu

(

a11 a12 … a1n

a₂₁ a₂₂ … a_2n …

am1

… am2

… …

… amn

)

(

x1

x2

… xn

)

=

(

atau AX = R.