LOGIKA MATEMATIKA
F. Penarikan Kesimpulan
Jika p, q dan r adalah suatu pernyataan, maka terdapat tiga cara dalam penarikan kesimpulan, yaitu :
(1) Modus Ponen : p q ( premis 1 ) p ( premis 2 )
q ( kesimpulan )
(2) Modus Tolen : p q ( premis 1 ) –q ( premis 2 )
–p ( kesimpulan )
(3) Sillogisme : p q ( premis 1 ) q r ( premis 2 ) p r ( kesimpulan )
pada modus ponens dan modus tolens, premis 1 merupakan premis umum.
Sedangkan premis 2 merupakan premis khusus, yang menjadi bagian dari premis 1
Untuk lebih jelasnya, ikutilah contoh soal berikut ini :
01. Tentukanlah kesimpulan dari premis-premis yang diberikan berikut ini :
(a) Premis1 : Jika anak itu siswa SMAN 2 Bengkulu maka ia memakai seragam batik biru
Premis 2 : Ahmad siswa SMAN 2 Bengkulu
(b) Premis 1 : Jika x bilangan kelipatan 6 maka x habis dibagi 3 Premis 2 : 8 tidak habis dibagi 3
(c) Premis 1 : Jika pak Madi pergi ke kantor maka ia mengendarai sepeda motor
Premis 2 : Jika pak Madi mengendarai sepeda motor maka ia memakai helm
Jawab
p → q : Jika anak itu siswa SMAN 2 Bengkulu maka ia memakai seragam batik biru
p : Ahmad siswa SMAN 2 Bengkulu
q : Ahmad memakai seragam batik biru (b) Misalkan p : ”x bilangan kelipatan 6”
q : ”8 habis dibagi 3”
maka menurut aturan modus tolens berlaku :
p → q : Jika x bilangan kelipatan 6 maka x habis dibagi 3 –q : 8 habis dibagi 3
–p : 8 bukan bilangan kelipatan 6 (c) Misalkan p : ”Pak Madi pergi ke kantor”
q : ”Pak Madi mengendarai sepeda motor” r : “Pak Madi memakai helm”
maka menurut aturan silogisme berlaku :
p → q : Jika pak Madi pergi ke kantor maka ia mengendarai sepeda motor q → r : Jika pak Madi mengendarai sepeda motor maka ia memakai helm p → r : Jika pak Madi pergi ke kantor maka ia memakai helm
02. Tentukanlah kesimpulan dari premis-premis yang diberikan berikut ini :
(a) (1) Jika Andi membawa tas dan memakai sepatu maka ia pergi ke sekolah (2) Andi tidak pergi ke sekolah
(b) (1) Jika Wati malas belajar maka ia tidak naik kelas (2) Wati naik kelas
(c) (1) Amir tidak sarapan pagi di rumah atau ia akan mengantuk di sekolah (2) Amir sarapan pagi di rumah
(d) (1) Semua hewan jenis burung, bisa terbang (2) Kerbau tidak bisa terbang
Jawab
(a) Misalkan p : ” Andi membawa tas” q : ”Andi memakai sepatu” r : ” Andi pergi ke sekolah”
maka menurut aturan modus tolens berlaku :
(p Ʌ q) → r : Jika Andi membawa tas dan memakai sepatu maka ia pergi ke sekolah
–r : Andi tidak pergi ke sekolah
–(p Ʌ q) : Tidak benar bahwa Andi membawa tas dan memakai sepatu Kesimpulan di atas sama nilainya dengan :
(b) Misalkan p : ” Wati malas belajar” q : ”Wati naik kelas”
maka menurut aturan modus tolens berlaku :
p → –q : Jika Wati malas belajar maka ia tidak naik kelas q : Wati naik kelas
–p : Wati tidak malas belajar
(c) Misalkan p : ” Amir sarapan pagi di rumah” q : ” Amir akan mengantuk di sekolah” maka menurut aturan ekivalensi berlaku :
–p V q ≡ p → q , sehingga pernyataan ” Amir tidak sarapan pagi di rumah atau ia ia akan mengantuk di sekolah” ekivalen dengan ”Jika Amir sarapan pagi di rumah maka ia akan mengantuk di sekolah”
Akibatnya, menurut aturan modus ponens, berlaku :
p → q : Jika Amir sarapan pagi di rumah maka ia akan mengantuk di sekolah
p : Amir sarapan pagi di rumah
q : Amir akan mengantuk di sekolah
(d) Menurut aturan kuantor, kalimat : ” Semua hewan jenis burung, bisa terbang” ekivalen dengan ”Jika hewan itu burung maka hewan itu bisa terbang”
Sehingga menurut aturan modus tolens, berlaku :
Premis 1 : Jika hewan itu burung maka hewan itu bisa terbang Premis 2 : Kerbau tidak bisa terbang
Kesimpulan : Kerbau bukan hewan jenis burung
(03) Tentukanlah kesimpulan dari premis-premis yang diberikan berikut ini : (a) (1) Jika Irma lulus ujian nasional maka ia akan berangkat ke Yogyakarta
(2) Jika Irma berangkat ke Yogyakarta maka ia akan naik kendaraan umum (3) Jika Irma naik kendaraan umum maka ia akan mabuk darat
(b) (1) Jika Parto mengembala kambing maka ia membawa bekal makanan (2) Jika anjing datang menghampiri maka Parto lari terbirit-birit
(3) Jika pagi hari cerah maka Parto pergi mengembala kambing (4) Jika Parto membawa makanan maka anjing datang menghampiri
(c) (1) Jika ibu pergi ke pasar maka adik minta dibelikan mainan
(2) Jika ayah tidak datang memarahi maka adik tidak minta dibelikan mainan
(d) (1) Jika Budi memakan jengkol maka Wati akan pergi menghindari (2) Wati tidak pergi menghindari atau Budi akan cemberut
(e) (1) Jika harimau mencari kancil maka kancil lari menyeberang sungai
(2) Jika harimau tidak pergi menghindar maka buaya tidak datang mengintai (3) Jika harimau lapar maka ia pergi mencari kancil
(f) (1) Jika malam tak berbintang maka terdengar lolongan serigala (2) Jika kafilah tidak berlalu maka anjing tidak menggonggong
(3) Jika terdengar lolongan serigala maka anjingpun ikut menggonggong (4) Kafilah tidak berlalu
Jawab
(a) (1) Jika Irma lulus ujian nasional maka ia akan berangkat
ke Yogyakarta ... p → q (2) Jika Irma berangkat ke Yogyakarta maka ia akan naik
kendaraan umum ... q → r (3) Jika Irma naik kendaraan umum maka ia akan mabuk
darat ... r → s
Kesimpulannya : ... p → s Jika Irma lulus ujian nasional maka ia akan mabuk darat
(b) (1) Jika Parto mengembala kambing maka ia membawa
bekal makanan ... a → b (2) Jika anjing datang menghampiri maka Parto lari terbirit-
birit ... c → d (3) Jika pagi hari cerah maka Parto pergi mengembala
kambing ... e → a (4) Jika Parto membawa makanan maka anjing datang
Menghampiri ... b → c
(3) Jika pagi hari cerah maka Parto pergi mengembala
kambing ... e → a (1) Jika Parto mengembala kambing maka ia membawa
bekal makanan ... a → b (4) Jika Parto membawa makanan maka anjing datang
Menghampiri ... b → c (2) Jika anjing datang menghampiri maka Parto lari terbirit-
birit ... c → d
Kesimpulannya : ... e → d Jika pagi hari cerah maka Parto lari terbirit-birit
(c) (1) Jika ibu pergi ke pasar maka adik minta dibelikan mainan .... p → q (2) Jika ayah tidak datang memarahi maka adik tidak minta
dibelikan mainan... –r → –q
(1) Jika ibu pergi ke pasar maka adik minta dibelikan mainan .... p → q (2) Jika adik minta dibelikan mainan maka ayah datang
Kesimpulannya : ... p → r Jika ibu pergi ke pasar maka ayah datang memarahi adik
(d) (1) Jika Budi memakan jengkol maka Wati akan pergi
menghindari ... p → q (2) Wati tidak pergi menghindari atau Budi akan cemberut ... –q V r
(1) Jika Budi memakan jengkol maka Wati akan pergi
menghindari ... p → q (2) Jika Wati pergi menghindari maka Budi akan cemberut ... q → r
Kesimpulannya : ... p → r Jika Budi memakan jengkol maka ia akan cemberut
(e) (1) Jika harimau mencari kancil maka kancil lari menyeberang
sungai ... a → b (2) Jika harimau tidak pergi menghindar maka buaya tidak
datang mengintai... –c → –d (3) Jika harimau lapar maka ia pergi mencari kancil ... e → a (4) Jika buaya tidak datang mengintai maka kancil tidak
menyeberangi sungai... –d → –b
(3) Jika harimau lapar maka ia pergi mencari kanci ... e → a (1) Jika harimau mencari kancil maka kancil lari menyeberang
sungai ... a → b (4) Jika kancil menyeberangi sungai maka buaya datang
mengintai ... b → d (2) Jika buaya datang mengintai maka harimau pergi
Menghindar ... d → c
Kesimpulannya : ... e → c Jika harimau lapar maka harimau pergi menghindar
(f) (1) Jika malam tak berbintang maka terdengar lolongan serigala ... a → b (2) Jika kafilah tidak berlalu maka anjing tidak menggonggong ... c → –d
(3) Jika terdengar lolongan serigala maka anjingpun ikut
menggonggong ... b → d (4) Kafilah tidak berlalu ... –c
(1) Jika malam tak berbintang maka terdengar lolongan serigala ... a → b (3) Jika terdengar lolongan serigala maka anjingpun ikut
(2) Jika anjing menggonggong maka kafilah berlalu ... d → c (4) Kafilah tidak berlalu ... –c
Kesimpulan(1)
Jika malam tak berbintang maka kafilah berlalu ... a → c Kafilah tidak berlalu ... –c
