d. Sifat komutatif, yaitu jika memenuhi

7

Bab ini berisi kajian tentang gelanggang, modul dan homomorfisma modul yang digunakan sebagai penunjang dalam pembahasan pada bab–bab berikutnya, adapun tujuan utama dalam bab ini yaitu membahas mengenai modul atas gelanggang. Semua yang dituliskan pada bagian ini dapat ditemukan dalam Misri (2014), Herstein(1975), Dummit and Foote (2004), Dewi (2010), Joseph (2010) dan Jodson (2012)

2.1. Gelanggang

Gelanggang merupakan struktur aljabar yang dilengkapi oleh dua operasi dengan sifat tertentu. Sebelum membahas gelanggang perhatikan definisi berikut : Definisi 2.1 (Misri, 2010).

Suatu himpunan tak hampa 𝑅 dengan operasi penjumlahan (+) dan perkalian (×) dikatakan gelanggang jika memenuhi:

1. (𝑅, +) membentuk grup komutatif yaitu memenuhi:

a. Sifat asosiatif yaitu jika memenuhi

𝑎 + (𝑏 + 𝑐) = (𝑎 + 𝑏) + 𝑐 untuk setiap 𝑎, 𝑏 𝑑𝑎𝑛 𝑐 unsur-unsur di 𝑅.

b. Terdapat unsur 0 di 𝑅 sehingga

0 + 𝑎 = 𝑎 + 0 untuk setiap 𝑎 unsur di 𝑅.

c. Terdapat balikan dari 𝑎 yaitu −𝑎 sehingga 𝑎 + (−𝑎) = (−𝑎) + 𝑎 = 0 untuk setiap 𝑎 unsur di 𝑅.

d. Sifat komutatif, yaitu jika memenuhi 𝑎 + 𝑏 = 𝑏 + 𝑎 untuk setiap 𝑎 dan 𝑏 unsur-unsur di 𝑅.

2. (𝑅,×) memenuhi sifat asosiatif, yaitu

𝑎(𝑏𝑐) = (𝑎𝑏)𝑐 untuk setiap 𝑎, 𝑏 𝑑𝑎𝑛 𝑐 unsur-unsur di 𝑅.

3. (𝑅, +,×) memenuhi sifat distributif, yaitu

(𝑎 + 𝑏)𝑐 = 𝑎𝑐 + 𝑏𝑐 dan 𝑎(𝑏 + 𝑐) = 𝑎𝑏 + 𝑎𝑐 untuk setiap 𝑎, 𝑏 dan 𝑐 unsur-unsur di 𝑅.

Jika gelanggang R memuat unsur kesatuan 1 ≠ 0 ∈ R dan bersifat a1 = 1a = a untuk setiap a ∈ R, R disebut gelanggang dengan unsur satuan. Dan jika untuk setiap a dan b unsur-unsur di R berlaku ab = ba, gelanggang R disebut gelanggang komutatif.

Definisi 2.2 (Herstein, 1996 :126)

Misalkan R suatu gelanggang, untuk setiap 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝑅 berlaku sifat – sifat sebagai berikut :

1. jika 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑅 maka (𝑎 + 𝑏) ∈ 𝑅 2. 𝑎 + 𝑏 = 𝑏 + 𝑎, ∀𝑎, 𝑏 ∈ 𝑅.

3. (𝑎 + 𝑏) + 𝑐 = 𝑎 + (𝑏 + 𝑐), ∀𝑎, 𝑏 ∈ 𝑅.

4. terdapat elemen 0_𝑅 ∈ 𝑅 sehingga 0_𝑅+ 𝑎 = 𝑎, ∀𝑎 ∈ 𝑅. Selanjutnya 0_𝑅 disebut elemen netral dari 𝑅.

5. ∀𝑎 ∈ 𝑅, terdapat 𝑏 ∈ 𝑅 ∋ 𝑎 + 𝑏 = 0. Selanjutnya 𝑏 disebut invers dari 𝑎 terhadap penjumlahan di 𝑅, bisa ditulis 𝑏 = −𝑎.

6. ∀𝑎, 𝑏 ∈ 𝑅 maka 𝑎. 𝑏 ∈ 𝑅.

7. 𝑎(𝑏. 𝑐) = (𝑎. 𝑏). 𝑐, ∀𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝑅

8. 𝑎. (𝑏 + 𝑐) = 𝑎. 𝑏 + 𝑎. 𝑐 dan (𝑏 + 𝑐). 𝑎 = 𝑏. 𝑎 + 𝑐. 𝑎, ∀𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝑅

Jika terdapat 1_𝑅 ∈ 𝑅, sehingga 1_𝑅. 𝑎 = 𝑎. 1_𝑅 = 𝑎, ∀𝑎 ∈ 𝑅. 𝑅 disebut gelanggang dengan elemen satuan di 𝑅. Apabila di 𝑅 juga berlaku 𝑎. 𝑏 = 𝑏. 𝑎,

∀𝑎, 𝑏 ∈ 𝑅 maka 𝑅 dinamakan gelanggang komutatif.

Contoh II.1

Himpunan bilangan real ℝ dengan operasi penjumlahan(+) dan operasi perkalian (∗) yang sudah dikenal membentuk gelanggang.

Definisi 2.3 (Fadli, 2011)

Misalkan R suatu gelanggang, untuk setiap 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝑅 berlaku sifat – sifat sebagai berikut

1. 𝑎. 0 = 0. 𝑎 = 0

2. 𝑎. (−𝑏) = −(𝑎. 𝑏) = (−𝑎). 𝑏 3. −(−𝑎) = 𝑎

4. −(𝑎 + 𝑏) = (−𝑎) + (−𝑏) 5. 𝑎. (𝑏 − 𝑐) = 𝑎. 𝑏 − 𝑎. 𝑐 6. (𝑎 − 𝑏). 𝑐 = 𝑎. 𝑐 − 𝑏. 𝑐 7. (−1). 𝑎 = −𝑎

8. (−𝑎). (−𝑏) = 𝑎. 𝑏

Bukti. (1)

Ambil 𝑎 ∈ 𝑅. Karena 𝑅 suatu gelanggang, terdapat unsur 𝑎. 0 = 0. 𝑎 = 0 sehingga 𝑎. 0 = 𝑎. (0 + 0) = 𝑎. 0 + 𝑎. 0 . Karena 𝑎. 0 ∈ 𝑅 dan 𝑅 suatu gelanggang terdapat

−(𝑎. 0) ∈ 𝑅, dengan demikian diperoleh

𝑎. 0 = 𝑎. 0 + 𝑎. 0 𝑎. 0 − 𝑎. 0 = 𝑎. 0 + 𝑎. 0 − 𝑎. 0

0 = 𝑎. 0

Bukti. (2)

Ambil 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑅. Karena 𝑅 suatu gelanggang, terdapat 𝑎. (−𝑏) = −(𝑎. 𝑏) = (−𝑎). 𝑏 untuk −(𝑎. 𝑏) adalah balikan dari 𝑎. 𝑏. sehingga diperoleh

𝑎. 𝑏 + 𝑎. (−𝑏) = 𝑎. (𝑏 + (−𝑏) 𝑎. 0 = 0

Jadi terbukti −(𝑎. 𝑏) = 𝑎. (−𝑏)

Bukti. (3)

Ambil 𝑎 ∈ 𝑅. Karena 𝑅 suatu gelanggang, terdapat unsur −(−𝑎), karena

−(−𝑎) ∈ 𝑅 dan 𝑅 suatu gelanggang, terdapat 𝑎 ∈ 𝑅, sehingga diperoleh

−(−𝑎) = 𝑎

−(−𝑎) + (−𝑎) = 0 −(−𝑎) + (−𝑎) + 𝑎) = 0 + 𝑎

−(−𝑎) + (−𝑎 + 𝑎) = 𝑎 −(−𝑎) + 0 = 𝑎

−(−𝑎) = 𝑎 Bukti. (4)

Ambil 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑅. Karena 𝑅 suatu gelanggang, terdapat −(𝑎 + 𝑏), Karena

−(𝑎 + 𝑏), ∈ 𝑅 dan 𝑅 suatu gelanggang terdapat (−𝑎) + (−𝑏)𝑅, dengan pembuktian sebagai berikut

−(𝑎 + 𝑏) = (−𝑎) + (−𝑏)

(𝑎 + 𝑏) + (−(𝑎 + 𝑏)) = 0 (−𝑏) + (𝑎 + 𝑏) + (−(𝑎 + 𝑏)) = (−𝑏) + 0

𝑎 + ((−𝑏) + 𝑏) + (−(𝑎 + 𝑏)) = (−𝑏)

−(𝑎 + 𝑏) = (−𝑎) + (−𝑏) Bukti. (5)

Ambil 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝑅. Karena 𝑅 suatu gelanggang, terdapat 𝑎. (𝑏 − 𝑐) karena 𝑎. (𝑏 − 𝑐) ∈ 𝑅 dan 𝑅 suatu gelanggang terdapat 𝑎. 𝑏 − 𝑎. 𝑐. dari perhitungan sebagai berikut

𝑎. (𝑏 − 𝑐) = 𝑎. 𝑏 − 𝑎. 𝑐.

𝑎. (𝑏 + (−𝑐)) = 𝑎. 𝑏 + 𝑎. (−𝑐) 𝑎. (𝑏 − 𝑐) = 𝑎. 𝑏 − 𝑎. 𝑐

Bukti. (6)

Ambil 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝑅. Karena 𝑅 suatu gelanggang, terdapat (𝑎 − 𝑏). 𝑐. Karena (𝑎 − 𝑏). 𝑐 ∈ 𝑅 dan 𝑅 suatu gelanggang terdapat 𝑎. 𝑐 = 𝑏. 𝑐. dari perhitungan berikut

(𝑎 − 𝑏). 𝑐 = 𝑎. 𝑐 − 𝑏. 𝑐 (𝑎 + (−𝑏)). 𝑐 = 𝑎. 𝑐 + (−𝑏). 𝑐

(𝑎 − 𝑏). 𝑐 = 𝑎. 𝑐 − 𝑏. 𝑐 Bukti. (7)

Ambil 𝑎 ∈ 𝑅. Karena 𝑅 suatu gelanggang, terdapat unsur (−1). 𝑎. Karena (−1). 𝑎 ∈ 𝑅 dan 𝑅 suatu gelanggang, terdapat (−1). 𝑎 = −𝑎 dengan perhitungan sebagai berikut

(−1). 𝑎 = −𝑎 (−1). 𝑎 = −1. (1. 𝑎) = −(1.1). 𝑎 = −𝑎(1.1)

= −𝑎 Bukti. (8)

Ambil 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑅. Karena 𝑅 suatu gelanggang, terdapat (−𝑎). (−𝑏). Karena (−𝑎). (−𝑏) ∈ 𝑅 dan 𝑅 suatu gelanggang, terdapat (−𝑎). (−𝑏) = 𝑎. 𝑏 dengan perhitungan sebgai berikut

(−𝑎). (−𝑏) = 𝑎. 𝑏 (−𝑎). (−𝑏) = (−1). 𝑎. (−1). 𝑏 = (−1). (−1). 𝑎. 𝑏

= 1. 𝑎. 𝑏

= 𝑎. 𝑏 Contoh II.2

Dapat dibuktikan bahwa himpunan 𝐴 yang terdiri dari 2 elemen yaitu { 0, 𝑎 } dengan operasi yang didefinisikan

0 + 0 = +a = 0 0 + a = a + 0 = a

00 = 0a = a0 = 0 aa = a

merupakan gelanggang. Sebagai contoh nyata 𝑍_𝑎 = {0,1} dengan operasi penjumlahan dan perkalian modulo 2 merupakan himpunan yang mempunyai sifat tersebut.

Contoh II. 3

Dapat dibuktikan bahwa himpunan 𝐴 yang terdiri dari 2 elemen yaitu { 0, 𝑎 } dengan operasi yang didefinisikan

0 + 0 = a + a = 0

0 + a = a + 0 = a 00 = 0a = a0 = aa = 0

merupakan gelanggang. Dalam hal ini, himpunan 𝐴 = {0,2} dengan operasi penjumlahan dan perkalian modulo 4 merupakan himpunan yang mempunyai sifat tersebut.

Contoh II. 4

Dapat dibuktikan dengan mudah bahwa himpunan bilangan bulat 𝑍, himpunan bilangan real 𝑅, himpunan bilangan rasional 𝑄 dan himpunan bilangan kompleks 𝐶 merupakan gelanggang terhadap operasi penjumlahan dan perkalian aritmatika.

Contoh II.5

Himpunan 𝑍_𝑛 = {0,1,2, … , 𝑛−} merupakan gelanggang.

Bukti:

Untuk membuktikan bahwa 𝑍_𝑛 merupakan gelanggang dilakukan dengan cara menemukan suatu fungi yang menyatakan relasi antara 𝑍_𝑛 dengan gelanggang 𝑍.

Bila fungsi yang didapat tersebut mengawetkan operasi tentunya peta dari fungsi mempunyai sifat-sifat yang sama dengan daerah asal (domain) dari fungsi.

Misalkan 𝑓: 𝑍 → 𝑍_𝑛 dengan 𝑓(𝑥) = 𝑟 dan 𝑟 merupakan sisa pembagian bila 𝑥 dibagi 𝑛. Dalam contoh sudah dibuktikan bahwa 𝑓 mengawetkan operasi +. Bila diambil sebarang 𝑥, 𝑦 dalam 𝑍 maka 𝑥 = 𝑛𝑞₁+ 𝑟₁ dan 𝑦 = 𝑛𝑞₂+ 𝑟₂ untuk suatu 𝑞₁, 𝑞₂, 𝑟₁ dan 𝑟₂ dalam𝑍 sehingga

𝑥𝑦 = (𝑛𝑞₁+ 𝑟₁)(𝑛𝑞₂+ 𝑟₂) = 𝑛(𝑛𝑞₁+ 𝑟₁+ 𝑛𝑞₂+ 𝑟₂) + 𝑟₁𝑟₂ Dan 𝑟₁𝑟₂ dapat dinyatakan sebagai 𝑛𝑞 + 𝑟.

Akibatnya

𝑥𝑦 = (𝑛𝑞₁𝑞₂+ 𝑞₁𝑟₂+ 𝑟₁𝑞₂+ 𝑞) + 𝑟 Oleh karena itu,

𝑓(𝑥𝑦) = 𝑟 dan

𝑓(𝑥)𝑓(𝑦) = 𝑟₁𝑟₂

Dengan mengingat definisi perkalian dalam 𝑍_𝑛 maka, 𝑟₁𝑟₂ = 𝑟 dan berarti 𝑓(𝑥𝑦) = 𝑓(𝑥)𝑓(𝑦)

Karena 𝑓 mengawetkan operasi penjumlahan dan perkalian, menjadikan 𝑍_𝑛 adalah gelanggang.

2.2 Gelanggang Bagian

Dalam contoh terdahulu telah dikenal bahwa gelanggang 𝑍 terkandung dalam gelanggang 𝑄 dan gelanggang 𝑅 terkandung dalam 𝐶. Dalam hal ini dapat dilihat bahwa operasi dari gelanggang yang lebih kecil adalah operasi dari gelanggang yang lebih besar dan dibatasi pada gelanggang yang lebih kecil adalah operasi dari gelanggang yang lebih besar dan dibatasi pada gelanggang yang lebih kecil. Sebagai contoh dalam gelanggang 𝐶 operasi perkalian didefinisikan sebagai

(𝑎 + 𝑏 𝑖)(𝑐 + 𝑑 𝑖) = (𝑎𝑐 − 𝑏𝑑) + (𝑎𝑑 + 𝑏𝑐)𝑖

sedangkan operasi itu dibatasi pada 𝑅 berarti: operasi yang sama dengan pembatasan pada 𝑅 sehingga berbentuk (𝑎 + 0 𝑖)(𝑐 + 0 𝑖) dan didapat

(𝑎 + 0 𝑖)(𝑐 + 0 𝑖) = (𝑎𝑐 − 0.0) + (𝑎. 0 + 0. 𝑐)𝑖 = 𝑎𝑐 + 𝑜𝑖 yang bernilai sama dengan 𝑎𝑐.

Definisi 2.4

Misalkan 𝑆 himpunan bagian dari 𝐴. Himpunan 𝑆 dinamakan gelanggang bagian dari 𝐴 jika memenuhi (1) 𝑆 gelanggang (2) Operasi penjumlahan dan perkalian dari 𝑆 adalah operasi penjumlahan dan perkalian dari 𝐴 yang dibatasi pada 𝑆.

Definisi tersebut tidak efisien untuk mengecek apakah suatu himpunan bagian dari gelanggang 𝐴 merupakan gelanggang bagian dari 𝐴 sehingga diperlukan teorema berikut ini:

Teorema 2.5

Diketahui 𝑆 himpunan bagian dari gelanggang 𝐴. Himpunan 𝑆 merupakan gelanggang bagian dari 𝐴 jika dan hanya jika 𝑆 tertutup terhadap perkalian dan tertutup terhadap pengurangan.

Bukti:

Akan ditunjukkan bahwa 𝑆 tertutup terhadap pengurangan mengakibatkan 𝑆 grup bagian dari 𝐴 (terhadap penjumlahan).

Karena tidak kosong mengakibatkan 𝑆 mengandung paling sedikit satu anggota, misalkan 𝑥 dan dengan mengingat 𝑆 tertutup di bawah pengurangan maka 𝑥 − 𝑥 = 𝑥 + (−𝑥) = 0 juga dalam 𝑆. Berarti 𝑆 mengandung identitas terhadap penjumlahan.

Untuk sebarang 𝑦 dalam 𝑆, karena 𝑆 tertutup pengurangan berlaku 0 − 𝑦 = 0 + (−𝑦) = −𝑦

terhadap 𝑆, sehingga 𝑆 mengandung semua invers dari anggota-anggotanya terhadap penjumlahan. Untuk sebarang 𝑥, 𝑦 dalam 𝑆 sehingga −𝑦 dan akibatnya

𝑥 − (−𝑦) = 𝑥 + (−(𝑦)) = 𝑥 + 𝑦

berada dalam 𝑆. Oleh karena itu 𝑆 tertutup penjumlahan. Berarti 𝑆 grup bagian dari

< 𝐴, +> sehingga 𝑆 juga grup abelian. Karena 𝑆 himpunan bagian dari gelanggang 𝐴 sehingga syarat hukum asosiatif, hukum ditributif kiri dan hukum distributiuf kanan terpenuhi. Berarti 𝑆 merupakan gelanggang 𝐴 yang dibatasi pada 𝑆. Terbukti 𝑆 gelanggang bagian dari 𝐴.

Contoh II.6

Himpunn bilangan genap 𝐸 membentuk gelanggang bagian dari himpunan bilangan bulat 𝑍.

Bukti:

𝐸 = {2𝑘|𝑘 ∈ 𝑍} jelas himpunan yang tidak kosong. Tinggal dibuktikan bahwa 𝐸 terutup terhadap operasi perkalian dan pengurangan.

Tertutup terhadap operasi perkalian.

Hasil kali (2𝑚)(2𝑛) = 2(𝑚. 2𝑛) dengan 𝑚. 2𝑛 bilangan bulat sehingga dengan menggunakan hukum assosiatif perkalian maka hail kalinya masih dalam 𝐸.

Tertutup terhadap pengurangan.

Karena (2𝑚) − (2𝑛) = 2(𝑚. 2𝑛) dan 𝑚 − 𝑛 bilangan bulat (𝑍 tertutup terhadap operasi pengurangan) sehingga dalam 𝐸.

Contoh II.7

Bila didefinisikan 𝑄(√2) = {𝑎 + 𝑏√2|𝑎, 𝑏 dalam 𝑄} akan dibuktikan bahwa 𝑄(√2) merupakan gelanggang bagian dari 𝑅. Karena 𝑄 himpunan yang tidak kosong, jelas bahwa 𝑄(√2) juga himpunan yang tidak kosong. Terhadap operasi perkalian bersifat

(𝑎 + 𝑏√2)(𝑐 + 𝑑√2) = (𝑎𝑐 + 2 𝑏𝑑) + (𝑎𝑑 + 𝑏𝑑)√2 dan terhadap operasi perkalian bersifat

(𝑎 + 𝑏)√2 − (𝑐 + 𝑑)√2 = (𝑎 + 𝑐) + (𝑏 + 𝑑)√2

Karena 𝑎𝑐 + 2𝑏𝑑, 𝑎𝑑 + 𝑏𝑐, 𝑎 − 𝑐 dan hasil pengurangan tetap dalam 𝑄(√2). Oleh karena itu 𝑄√2 merupakan gelanggang bagian dari 𝑅. Perlu dicatat bahwa 𝑄(√2) similar dengan himpunanbilangan kompleks

𝐶 = {𝑎 + 𝑏 𝑖 |𝑎, 𝑏 dalam 𝑅 }

karena bentuk 𝑎 + 𝑏 𝑖 analog dengan bentuk 𝑎 + 𝑏√2 dan dalam hal ini gelanggang 𝑄(√2) mengandung 𝑄, seperti juga 𝐶 mengandung 𝑅.

Contoh II.8

Diketahui 𝐴 gelanggang dan 𝑏 anggota tertentu dari 𝐴. Jika didefinisikan 𝐴_𝑏 = {𝑥 dalam 𝐴 | 𝑏𝑥 = 𝑥𝑏} maka akan dibuktikan 𝐶_𝑏 gelanggang bagian dari 𝐴. Himpunan 𝐶_𝑏 tidak kosong karena 𝑏 komutatif dengan dirinya sendiri. Misalkan 𝑥, 𝑦 dalam 𝐶.

Karena (𝑥𝑦)𝑏 = 𝑥(𝑦𝑏) = 𝑥(𝑏𝑦) = (𝑥𝑦)𝑏 = (𝑏𝑥)𝑦 = 𝑏(𝑥𝑦) dan juga (𝑥 − 𝑦)𝑏 = 𝑥𝑏 − 𝑦𝑏 = 𝑏𝑥 − 𝑏𝑦 = 𝑏(𝑥 − 𝑦)

berarti 𝑥𝑦 dan 𝑥 − 𝑦 komutatif dengan 𝑏 sehingga merupakan anggota C. Oleh karena itu 𝐶_𝑏 tertutup terhadap operasi penjumlahan dan operasi perkalian dan akibatnya 𝐶_𝑏 gelanggang bagian dari 𝐴.

Contoh II.9

Diketahui 𝑀_(2×2) gelanggang dan misalkan elemen tertentu 𝐵 = (0 1

0 0). Elemen (𝑥 𝑦

𝑧 𝑤) ∈ 𝐶^𝑏 jika dan hanya jika (0 10 0) (𝑥 𝑦

𝑧 𝑤) = (𝑥 𝑦

𝑧 𝑤) (0 1

0 0) atau

(𝑥 𝑦

𝑧 𝑤) = (0 𝑥

0 𝑧) yang benar jika dan hanya jika 𝑧 = 0 dan 𝑤 = 𝑥. Hal ini berarti 𝐶_𝐵 = {(𝑥 𝑦

0 𝑥) |𝑥, 𝑦 ∈ 𝑅}.

Contoh II.10

Apabila 𝐴 merupakan gelanggang bagian 𝐵, sedangkan 𝐵 mempunyai elemen satuan, apakah 𝐴 juga harus mempunyai elemen satuan? Berikan contoh.

Jawab:

Tidak perlu gelanggang bagian 𝐴 mempunyai elemen satuan. Sebagian contoh 𝐴 adalah himpunan bilangan genap yang merupakan gelanggang bagian dari himpunan bilangan bulat 𝐵. Himpunan 𝐴 mempunyai elemen satuan sedangkan elemen satuan dalam 𝐵 adalah 1.

2.3 Ideal

Dalam teori grup dikenal grup normal dan analog dengan grup normal, dalam teori gelanggang didefinisikan ideal dalam suatu gelanggang. Berikut ini diberikan definisi ideal dari suatu gelanggang.

Definisi 2.6 (Herstein,1996:140) Definisi ideal

Misalkan 𝑅 suatu gelanggang. Himpunan tak kosong 𝐼 ⊆ 𝑅 disebut ideal jika berlaku :

1. 𝐼 subgrup penjumlahan dari 𝑅.

2. ∀𝑟 ∈ 𝑅, 𝑎 ∈ 𝐼 berlaku 𝑟𝑎 ∈ 𝐼 dan 𝑎𝑟 ∈ 𝐼.

Contoh II.17

Himpunan {… , −4, −2,0,2,4, … } = 2ℤ ⊂ ℤ adalah ideal dari gelanggang ℤ . Definisi 2.4.5 (Herstein,1996:148) definisi ideal maksimal.

Misalkan 𝑀 ideal dari gelanggang 𝑅 . 𝑀 disebut ideal maksimal jika ideal lain yang memuat 𝑀 hanyalah 𝑀 sendiri atau 𝑅.

Contoh II.18

Himpunan {… , −6, −3, 0, 3, 6, … } = 3ℤ adalah ideal maksimal dari gelanggang ℤ.

Beberapa sifat yang ditemui dalam bagian ini semuanya didasarkan pada sifat-sifat pergandaan dalam gelanggang himpunan bilangan bulat Z dan himpunan bilangan R. Dalam Z dan R, pergandaan dua anggota tidak nol dalam Z atau R masih

tetap anggota tidak nol dalam Z atau R. Tetapi sifat itu tidak ditemui dalam gelanggang Z6 karena 2 3 = 0 dan dalam 𝑀_2𝑥2berlaku sifat :

(1 −21 −2) (2 41 2) = (0 00 0)

Untuk menamakan kelas gelanggang mempunyai sifat-sifat di atas terlebih dahulu didefinisikan sifat-sifat berikut ini.

Lemma 2.7 (Herstein, 1990: 135)

Misalkan 𝑅 gelanggang dan 𝐼 ideal dari 𝑅. Maka 𝑅 1⁄ = {𝑟 + 𝐼|𝑟 ∈ 𝑅} merupakan gelanggang terhadap opearasi yang didefinisikan sebagai berikut :

Untuk setiap 𝑟₁+ 𝐼 dan 𝑟₂+ 𝐼 ∈ 𝑅 1⁄ .

( 𝑟₁+ 𝐼) + (𝑟₂+ 𝐼) = ( 𝑟₁+ 𝑟₂) + 𝐼 dan

( 𝑟₁+ 𝐼) ∗ (𝑟₂+ 𝐼) = ( 𝑟₁𝑟₂) + 𝐼 Bukti:

Pertama akan dibuktikan operasi (+) dan (∗) yang didefinisikan di atas well defined. Yaitu harus ditunjukkan untuk setiap 𝑎₁+ 𝐼, 𝑎₂+ 𝐼, 𝑏₁+ 𝐼, 𝑏₂+ 𝐼 ∈ 𝑅 1⁄ .

jika

𝑎₁+ 𝐼 = 𝑎₂+ 𝐼 dan

𝑏₁+ 𝐼 = 𝑏₂+ 𝐼 maka

( 𝑎₁+ 𝐼) + ( 𝑏₁+ 𝐼) = ( 𝑎₁+ 𝑏₁) + 𝐼 = ( 𝑎₂+ 𝑏₂) = ( 𝑎₂+ 𝐼) + ( 𝑏₂+ 𝐼) serta,

( 𝑎₁+ 𝐼) ∗ ( 𝑏₁+ 𝐼) = ( 𝑎₁ 𝑏₁) + 𝐼 = ( 𝑎₂ 𝑏₂) + 𝐼 = ( 𝑎₂+ 𝐼) ∗ ( 𝑏₂+ 𝐼) Untuk keperluan diatas terlebih dahulu dibuktikan pernyataan berikut:

untuk setiap 𝑡 + 𝐼 dan 𝑤 + 𝐼 ∈ 𝑅 1⁄ , 𝑡 + 𝐼 = 𝑤 + 𝐼 jika dan hanya jika (𝑡 − 𝑤) ∈ 𝐼.

⟹ jika 𝑡 + 𝐼 = 𝑤 + 𝐼 berakibat untuk 𝑡 + 𝑖₀∈ 𝑡 + 𝐼 terdapat 𝑤 + 𝑖_∗∈ 𝑤 + 𝐼 dengan 𝑖₀, 𝑖_∗∈ 𝐼, sehingga berlaku 𝑡 + 𝑖₀ = 𝑤 + 𝑖_∗ atau 𝑡 − 𝑤 = (− 𝑖₀+ 𝑖_∗) ∈ 𝐼.

⟸ jika (𝑡 − 𝑤) ∈ 𝐼 berakibat 𝑡 − 𝑤 = 𝑖, 𝑖 ∈ 𝐼. Sehingga diperoleh 𝑡 = 𝑤 + 𝑖 dan berikutnya diperoleh 𝑡 + 𝐼 = (𝑤 + 1) + 𝐼 atau 𝑡 + 𝐼 = 𝑤 + 𝐼.

Sekarang kembali ke permasalahan, jika 𝑎₁+ 𝐼 = 𝑎₂+ 𝐼 berakibat (𝑎₁− 𝑎₂) ∈ 𝐼 demikian pula jika 𝑏₁+ 𝐼 = 𝑏₂+ 𝐼 berakibat (𝑏₁− 𝑏₂) ∈ 𝐼sehingga diperoleh,

((𝑎₁+ 𝑏₁) − (𝑎₂+ 𝑏₂)) = ((𝑎₁− 𝑎₂) + (𝑏₁− 𝑏₂)) ∈ 𝐼 Akibatnya

(𝑎₁+ 𝑏₁) + 𝐼 = (𝑎₂+ 𝑏₂) + 𝐼 Sekarang perhatikan.

𝑎₁( 𝑏₁− 𝑏₂) = ( 𝑎₁𝑏₁− 𝑎₁ 𝑏₂) ∈ 𝐼 … … … 1) ( 𝑎₁− 𝑎₂) 𝑏₂ = ( 𝑎₁𝑏₂− 𝑎₂ 𝑏₂) ∈ 𝐼 … … … . … 2) Dari 1) dan 2) didapat (𝑎₁𝑏₁− 𝑎₂ 𝑏₂) ∈ 𝐼. Jadi,

𝑎₁𝑏₁+ 𝐼 = 𝑎₂𝑏₂+ 𝐼

terbukti, operasi (+) dan (∗) yang didefinisikan di atas well defined.

Kedua, dibuktikan 𝑅 1⁄ adalah gelanggang (dengan memanfaatkan definisi gelanggang).

Ambil sebarang 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝑅 1⁄ , misalkan pula 𝑎 = 𝑟₁+ 𝐼, 𝑏 = 𝑟₂+ 𝐼 dan 𝑐 = 𝑟₃+ 𝐼 dengan 𝑟₁, 𝑟₂, 𝑟₃ ∈ 𝑅. Selanjutnya perhatikan,

1. 𝑎 + 𝑏 = (𝑟₁+ 𝐼) + (𝑟₂+ 𝐼) = (𝑟₁+ 𝑟₂) + 𝐼

karena 𝑅 gelanggang, terdapat (𝑟₁+𝑟₂) ∈ 𝑅. Jadi, 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑅 1⁄ . 2. 𝑎 + 𝑏 = (𝑟₁+ 𝐼) + (𝑟₂+ 𝐼)

= (𝑟₁+ 𝑟₂) + 𝐼 = (𝑟₂+ 𝑟₁) + 𝐼 = (𝑟₂+ 𝐼) + (𝑟₁+ 𝐼) = 𝑏 + 𝑎

3. (𝑎 + 𝑏) + 𝑐 = ((𝑟₁+ 𝐼) + (𝑟₂+ 𝐼)) + (𝑟₃+ 𝐼) = ((𝑟₁+ 𝑟₂) + 𝐼) + (𝑟₃+ 𝐼)

= (𝑟₁+ 𝑟₂+ 𝑟₃) + 𝐼 = (𝑟₁+ (𝑟₂+ 𝑟₃)) + 𝐼 = (𝑟₁+ 𝐼) + ((𝑟₂+ 𝑟₃) + 𝐼)

= (𝑟₁+ 𝐼) + ((𝑟₂+ 𝐼) + (𝑟₃+ 𝐼)) = 𝑎 + (𝑏 + 𝑐)

4. Misalkan 0_𝑅 elemen netral di 𝑅, maka pilih 𝑒 = (0_𝑅+ 𝐼) ∈ 𝑅 1⁄ dan untuk Setiap 𝑎 ∈ 𝑅 1⁄ berlaku

𝑒 + 𝑎 = (0_𝑅+ 𝐼) + (𝑟₁+ 𝐼) = 𝑟₁+ 𝐼

= 𝑎

= (𝑟₁+ 𝐼) + (0_𝑅+ 𝐼) = 𝑎 + 𝑒.

jadi, 𝑒 elemen netral di 𝑅 1⁄ .

5. Untuk setiap 𝑎 ∈ 𝑅 1⁄ pilih −𝑎 = (−𝑟₁+ 𝐼) ∈ 𝑅 1⁄ sedemikian hingga berlaku 𝑎 + (−𝑎) = (𝑟₁+ 𝐼) + (−𝑟₁+ 𝐼)

= (𝑟₁− 𝑟₁) + 𝐼 = 0_𝑅+ 𝐼 = 𝑒.

6. 𝑎 ∗ 𝑏 = (𝑟₁+ 𝐼) ∗ (𝑟₂+ 𝐼) = (𝑟₁𝑟₂) + 𝐼

karena 𝑅 gelanggang, terdapat 𝑟₁𝑟₂ ∈ 𝑅. Jadi, 𝑎 ∗ 𝑏 ∈ 𝑅 1⁄ . 7. (𝑎 ∗ 𝑏) ∗ 𝑐 = ((𝑟₁+ 𝐼) ∗ (𝑟₂+ 𝐼)) ∗ (𝑟₃+ 𝐼)

= ((𝑟₁𝑟₂) + 𝐼) ∗ (𝑟₃+ 𝐼)

= (𝑟₁𝑟₂𝑟₃) + 𝐼 = (𝑟₁(𝑟₂𝑟₃)) + 𝐼 = (𝑟₁+ 𝐼) ∗ ((𝑟₂𝑟₃) + 𝐼)

= (𝑟₁+ 𝐼) ∗ ((𝑟₂+ 𝐼) ∗ (𝑟₃+ 𝐼)) = 𝑎 ∗ (𝑏 ∗ 𝑐) 8. (𝑎 + 𝑏) ∗ 𝑐 = ((𝑟₁+ 𝐼) + (𝑟₂+ 𝐼)) ∗ (𝑟₃+ 𝐼)

= ((𝑟₁+ 𝑟₂) + 𝐼) ∗ (𝑟₃+ 𝐼)

= ((𝑟₁+ 𝑟₂)𝑟₃) + 𝐼 = ((𝑟₁𝑟₃) + (𝑟₂𝑟₃)) + 𝐼 = (𝑟₁𝑟₃) + 𝐼 + (𝑟₂𝑟₃) + 𝐼 = 𝑎 ∗ 𝑐 + 𝑏 ∗ 𝑐 Dan

𝑎 ∗ (𝑏 + 𝑐) = (𝑟₁+ 𝐼) ∗ ((𝑟₂+ 𝐼) + (𝑟₃+ 𝐼))

= (𝑟₁+ 𝐼) ∗ ((𝑟₂+ 𝑟₃) + 𝐼)

= ((𝑟₁(𝑟₂+ 𝑟₃) + 𝐼 = ((𝑟₁𝑟₂) + (𝑟₁𝑟₃)) + 𝐼 = (𝑟₁𝑟₂) + 𝐼 + (𝑟₁𝑟₃) + 𝐼 = 𝑎 ∗ 𝑏 + 𝑎 ∗ 𝑐

Berdasarkan sifat – sifat 1 sampai 8, terbukti bahwa 𝑅 1⁄ adalah gelanggang.

Definisi 2.8

Diketahui 𝐴 gelanggang dan 𝐼 himpunan bagian tak hampa dari 𝐴. Himpunan 𝐴 dainamakan suatu ideal dari 𝐴 jika :

1) himpunan 𝐼 tertutup dibawah operasi pengurangan.

2) Himpunan 𝐼 mengandung semua hasil kali 𝑥𝑎 dan 𝑎𝑥 dengan 𝑥 dalam 𝐼 dan 𝑎 Sebarang anggota dalam 𝐴.

Berdasarkan syarat (2) maka terlihat bahwa setiap ideal dari suatu gelanggang merupakan gelanggang bagian.

Definisi 2.9

Diketahui 𝐴 gelanggang komutatif dengan anggota satuan dan 𝑥 anggota tertentu dari 𝐴, jika didefinisikan (𝑥) = {𝑎𝑥|𝑥 dalam 𝐴} maka (𝑥) ideal dalam 𝐴 dan dinamakan ideal utama (𝑝𝑟𝑖𝑛𝑐𝑖𝑝𝑎𝑙 𝑖𝑑𝑒𝑎𝑙) yang dibangun oleh 𝑥.

Contoh II.19

Dikaetahui himpunan bilangan 𝑍 merupakan gelanggang komutatif dengan elemen satuan. Dibentuk (2) = {𝑎. 2|𝑎 ∈ 𝑍} = 2𝑍 yang himpunan gelap merupakan ideal dalam 𝑍. Secara umum untuk 𝑏 ∈ 𝑍 terdapat (𝑏){ 𝑎𝑏|𝑎 ∈ 𝑍} = 𝑏𝑍 ideal yang dibangun oleh 𝑏.

Contoh II.20

Diketahui 𝑍₆ merupakan gelanggang komutatif dengan elemen satuan terhadap operasi penjumlahan dan perkalian modulo 6.

Dibentuk (2) = {𝑎. 2|𝑎 ∈ 𝑍₆} = {0, 2, 4} dan berdasarkan definisi tersebut diatas (2) merupakan ideal dalam 𝑍₆. Ideal-ideal lain dalam 𝑍₆ adalah (1) = (3) = (5) = 𝑍₆ dan ideal yang dibentuk oleh 3 yaitu (3)= {0, 3}.

Teorema 2.10

(1) Jika 𝐹 lepangan maka hanya {0} dan 𝐹 yang merupakan ideal dalam 𝐹.

(2) Sebaliknya, jika 𝐴 gelanggang komutatif dengan anggota satuan dan hanya memilik ideal {0} dan 𝐴 maka 𝐴 lapangan.

Bukti :

(1) Misalkan 𝐼 ideal dalam 𝐹.

Jika 𝐼 = {0} maka jelas bahwa 𝐼 ideal. Jika 𝐼 ≠ {0} maka 𝐼 mengandung suatu anggota tidak nol 𝑥. Karena 𝑥 juga dalam 𝐹, terdapat 𝑥⁻¹ dalam 𝐹 sehingga untuk sebarang 𝑎 dalam 𝐹 berlaku (𝑎𝑥⁻¹)𝑥 = 𝑎(𝑥𝑥⁻¹) = 𝑎𝐼 = 𝑎 dalam 𝐼 (karena 𝐼 ideal ) berarti untuk setiap 𝑎 dalam 𝐹, terdapat 𝑎 juga dalam 𝐼 atau 𝐹 ⊆ 𝐼. Karena 𝐼 ideal dari 𝐹 , terdapat juga 𝐼 ⊆ 𝐹 sehingga diperoleh 𝐹 = 𝐼

(2) jika 𝑥 sebarang anggota tak nol dalam 𝐴, terdapat (𝑥) ideal yang mengandung 1𝑥 = 𝑥 sehingga (𝑥) ≠ {0}. Karena ideal yang tak nol 𝐴 hanyalah 𝐴, terdapat (𝑥) = 𝐴. Karena 𝐴 mengandung anggota satuan, terdapat 𝐼 dalam (𝑥) sehingga terdapat 𝑎 dalam 𝐴 sehingga 𝑎𝑥 = 1. Berarti gelangganga 𝐴 komutatif dengan anggota satuan dan setiap anggota yang tidak nol mempunyai invers. Terbukti 𝐴 lapangan.

Contoh II.21

Himpunan bilangan real R merupakan lapangan. Dengan menggunakan sifat pada teorema 1 maka mempunyai ideal {0} dan R. Himpunan bilangan Q mempunyai sifat tertutup terhadap operasi perkalian dan pengurangan sehingga Q merupakan gelanggang bagian dalam R. Akan tetapi Q bukanlah ideal dalam R karena Q ≠ R.

Berarti Q merupakan salah santu contoh gelanggang bagian dalam R yang bukan merupakan ideal. Contoh lain gelanggang bagian yang bukan ideal adalah 𝑍, 𝑛𝑍 dengan 𝑛 bilangan bulat.

2.4 Daerah integral

Dalam sub bab sebelumnya telah disinggung bahwa daerah integral adalah gelanggang komutatif dengan anggota satuan dan tidak mempunyai pembagi nol.

Dalam sub bab ini akan dibahas tentang sifat-sifat dasar dari daerah integral Definisi 2.11 (Herstein,1996:127) Definisi daerah integral

Misalkan 𝑅 gelanggang komutatif, 𝑅 disebut daerah integral jika untuk setiap 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑅 sedemikian sehingga

𝑎. 𝑏 = 0_𝑅 mengakibatkan

𝑎 = 0_𝑅

atau

𝑏 = 0_𝑅 Contoh II.22

Himpunan bilangan real ℝ adalah gelanggang komutatif yang juga merupakan daerah integral.

Teorema

(1) Jika 𝑎 𝑑𝑎𝑙𝑎𝑚 𝐴 dan 𝑎 mempunyai invers maka 𝑎 bukan pembag nol.

(2) Jika 𝐴 lapangan maka 𝐴 daerah integral.

Bukti:

(1) Misalkan 𝑎𝑏 = 0.

Karena 𝑎 mempunyai invers, andaikan mengalikan kedua ruas dengan 𝑎⁻¹ Diperoleh:

𝑎⁻¹(𝑎𝑏) = 𝑎⁻¹0 (𝑎⁻¹𝑎)𝑏 = 0

1. 𝑏 = 0 𝑏 = 0

dengan cara yang sama, 𝑏𝑎 = 0 mengakibatkan 𝑏 = 0. Oleh karena itu, 𝑎 bukan pembagi nol.

2.5 Lapangan

Definisi 2.12 (Grillet, 2000: 116) Definisi lapangan,

gelanggang 𝐹 disebut lapangan jika berlaku sifat – sifat sebagai berikut:

1. 𝐹 gelanggang komutatif dan 𝐹 memiliki elemen satuan.

2. setiap elemen tak nol 𝐹 memiliki invers terhadap operasi perkalian di 𝐹.

Contoh II.23

Himpunan bilangan rasional ℚ dan himpunan bilangan real ℝ dengan operasi penjumlahan dan operasi perkalian yang telah dikenal membentuk lapangan.

Definisi 2.13 (Grillet, 2000: 118) definisi sublapangan.

Misalkan 𝐹 suatu lapangan dan ∅ ≠ 𝛵 ⊆ 𝐹. 𝛵 disebut sublapangan dari 𝐹 jika 𝛵 sendiri membentuka lapangan terhdap penjumlahan dan perkalian yang ada di 𝐹.

Contoh II.24

Himpunan ℚ adalah sublapangan dari lapangan ℝ

Teorema 2.14 (Herstein, 1996: 149)

Misalkan R gelanggang komutatif dengan elemen satuan, dan M ideal maksimal dari R, maka 𝑅 𝑀⁄ = {𝑟 + 𝑀|𝑟 ∈ 𝑅} adalah lapangan.

Bukti :

Untuk menunjukan 𝑅 𝑀⁄ lapangan, harus dibuktikan 𝑅 𝑀⁄ adalah gelanggang komutatif dengan elemen satuan serta elemen tak nol di 𝑅 𝑀⁄ memiliki invers terhadap operasi perkalian di 𝑅 𝑀⁄ .

Apabila (+) dan (*) menyatakan operasi seperti lemma 2.1.6 maka telah dibuktikan (𝑅 𝑀⁄ , +,∗) adalah gelanggang. Selanjutnya akan ditunjukkan 𝑅 𝑀⁄

komutatif dan memiliki elemen satuan. Perhatikan , untuk setiap (𝑎 + 𝑀), (𝑏 + 𝑀) ∈ 𝑅 𝑀⁄ , 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑅 berlaku,

(𝑎 + 𝑀) ∗ (𝑏 + 𝑀) = (𝑎𝑏) + 𝑀 = (𝑏𝑎) + 𝑀 = (𝑏 + 𝑀) ∗ (𝑎 + 𝑀) misalkan pula, 1_𝑅 elemen satuan di 𝑅. Sehingga (1_𝑅+ 𝑀) ∈ 𝑅 𝑀⁄ dan untuk setiap (𝑎 + 𝑀) ∈ 𝑅 𝑀⁄ berlaku

(𝑎 + 𝑀) ∗(1_𝑅 + 𝑀) = (1_𝑅+ 𝑀) ∗ (𝑎 + 𝑀) =(1_𝑅𝑎) + 𝑀 = 𝑎 + 𝑀 Berarti 1_𝑅+ 𝑀 elemen satuan di 𝑅 𝑀⁄ . Dari pembahasan tersebut, terbukti 𝑅 𝑀⁄ adalah gelanggang komutatuf dengan elemen satuan.

Oleh karena itu, tinggal dibuktikan untuk setiap elemen tak nol di 𝑅 𝑀⁄ memiliki invers. Untuk keperluan ini, sebelumnya dibuktikan terlebih dahulu ideal di 𝑅 𝑀⁄ hanya {𝑀} 𝑑𝑎𝑛 𝑅 𝑀⁄ . Untuk membuktikannya dengan andaikan terdapat ideal lain misakl 𝑁 𝑑𝑖 𝑅 𝑀⁄ harus ditunjukkan 𝑁={𝑀} atau 𝑁 = 𝑅 𝑀⁄ . Ambil sembarang 𝑁 ideal di 𝑅 𝑀⁄ . Apabila 𝑁 = {𝑀} maka terbukti, oleh karena itu andaikan 𝑁 ≠ {𝑀}.

Ini berarti terdapat elemen 𝑛 = (𝑡₀+ 𝑀) ∈ 𝑁 dengan 𝑡₀ ∈ 𝑅 tetapi 𝑡₀ ∉ 𝑀.

Berdasarkan lemma 2.1.8 terdapat homomorphisma 𝑓: 𝑅 → 𝑅 𝑀⁄ yaitu 𝑓(𝑟) = 𝑟 + 𝑀, ∀𝑟 ∈ 𝑅. Selanjutnya misalkan Τ = {t ∈ 𝑅|𝑓(𝑡) ∈ 𝑁} berarti 𝑇 ≠ 𝑀 dan 𝑀 ⊂ 𝑇. Akan dibuktikan 𝑇 ideal dari 𝑅. Jelas 𝑇 tak kosong dan 𝑇 ⊆ 𝑅. Demikian pula untuk sembarang 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑇 diperoleh

𝑓(𝑎 − 𝑏) = 𝑓(𝑎 + (−𝑏))

= 𝑓(𝑎) + 𝑓(−𝑏) = 𝑓(𝑎) + (−𝑓(𝑏)).

Karena 𝑁 ideal, berakibat 𝑓(𝑎) + (−𝑓(𝑏))) ∈ 𝑁 sehingga (𝑎 − 𝑏) ∈ 𝑇.

Selanjutnya, ambil sebarang 𝑟 ∈ 𝑅 dan 𝑎 ∈ 𝑇 diperoleh,

𝑓(𝑎𝑟) = (𝑎𝑟) + 𝑀 = (𝑎 + 𝑀) ∗ (𝑟 + 𝑀) karena 𝑁 ideal dan (𝑎 + 𝑀) ∈ 𝑁 serta (𝑟 + 𝑀) ∈ 𝑅 𝑀⁄ berakibat

𝑓(𝑎𝑟) = ((𝑎 + 𝑀) ∗ (𝑟 + 𝑀)) ∈ 𝑁.

Jadi, 𝑎𝑟 = 𝑟𝑎 ∈ 𝑇. Terbukti T Ideal di 𝑅. Karena 𝑀 ⊂ 𝑇 dan 𝑀 ideal maksimal serta 𝑇 ≠ 𝑀 berakibat 𝑇 = 𝑅.

Sekarang ambil sebarang 𝑝 ∈ 𝑅 𝑀⁄ berarti dapat ditulis 𝑝 = 𝑟 + 𝑀, untuk setiap 𝑟 ∈ 𝑅 = 𝑇. Jadi, 𝑁 ∋ 𝑓(𝑟) = 𝑟 + 𝑀 = 𝑝. Sehingga 𝑅 𝑀⁄ ⊆ 𝑁, padahal diketahui pula 𝑁 ⊆ 𝑅 𝑀⁄ . Jadi, terbukti 𝑅 𝑀⁄ = 𝑁. Oleh karena itu, ideal di 𝑅 𝑀⁄ hanya {𝑀}

dan 𝑅 𝑀⁄ .

Sekarang kembali ke tujuan awal yaitu membuktikan setiap elemen tak nol di 𝑅 𝑀⁄ memiliki invers. Oleh karena itu ambil sebarang 𝑎 = (𝑟 + 𝑀) ∈ 𝑅 𝑀⁄ tetapi 𝑎 ≠ 𝑀. (perhatikan elemen nol atau elemen netral di 𝑅 𝑀⁄ adalah 𝑀. Mudah dibuktikan bahwa 𝑊 = {𝑎 ∗ 𝑥|𝑥 ∈ 𝑅 𝑀⁄ } adalah ideal di 𝑅 𝑀⁄ . Perhatikan pula bahwa.

𝑎 = (𝑎 ∗ (1_𝑅 + 𝑀)) ∈ 𝑊. Berarti 1_𝑅+ 𝑀 = 𝑎 ∗ 𝑥₀ untuk semua 𝑥₀ ∈ 𝑅 𝑀⁄ . Dengan kata lain, 𝑥₀ invers dari 𝑎. Jadi, terbukti setiap elemen tak nol di 𝑅⁄ memiliki invers. Sebelumnya juga telah dibuktikan 𝑅 𝑀𝑀 ⁄ adalah gelanggang komutatif dengan elemen satuan. Sehingga 𝑅 𝑀⁄ adalah lapangan.

Contoh II.25

Pada contoh dari elemen 1.2.6 ℤ 2ℤ⁄ adalah suatu gelanggang. Tetapi karena 2ℤ adalah ideal maksimal dari ℤ diperoleh ℤ 2ℤ⁄ merupakan lapangan.

Teorema 2.15 (Herstein, 1999: 127)

daerah integral berhingga adalah lapangan.

Bukti :

Misalkan 𝐷 adalah daerah integral berhingga dan |𝐷| = 𝑛. Misalkan pula 𝐷 = {𝑑₁, 𝑑₂, 𝑑₃, … , 𝑑_𝑛} dimana 𝑑₁ = 𝑑_𝑗 jika dan hanya jika 𝑖 = 𝑗. Untuk membuktikan 𝐷 suatu lapangan harus ditunjukkan bahwa 𝐷 memiliki elemen satuan dan setiap elemen tak nol di 𝐷 memiliki invers.

Ambil elemen 𝑥 ≠ 0_𝐷 ∈ 𝐷. Perhatikan 𝑥𝑑₁, 𝑥𝑑₂, 𝑥𝑑₃, … , 𝑥𝑑_𝑛 semuanya ada di 𝐷 dan klaim bahwa semuanya berbeda. Andaikan ∃𝑑_𝑖, 𝑑_𝑗, ∋ 𝑥𝑑_𝑖 = 𝑥𝑑_𝑗, dengan 𝑖 ≠ 𝑗 diperoleh, 𝑥𝑑_𝑖− 𝑥𝑑_𝑗 = 0_𝐷 sehingga 𝑥(𝑑_𝑖− 𝑑_𝑗) = 0_𝐷. Karena 𝐷 daerah integral dan 𝑥 ≠ 0_𝐷, haruslah 𝑑_𝑖− 𝑑_𝑗 = 0_𝐷 atau 𝑑_𝑖 = 𝑑_𝑗. Timbul kontradiksi karena 𝑖 ≠ 𝑗, sehingga terbukti 𝑥𝑑₁, 𝑥𝑑₂, 𝑥𝑑₃, … , 𝑥𝑑_𝑛 semuanya berbeda. Dengan kata lain, dapat ditulis 𝐷 = {𝑥𝑑₁, 𝑥𝑑₂, 𝑥𝑑₃, … , 𝑥𝑑_𝑛}. Padahal 𝑥 ∈ 𝐷, sehingga 𝑥 = 𝑥𝑑_𝑖𝑜 untuk suatu 𝑥𝑑_𝑖𝑜 ∈ 𝐷. Klaim bahwa 𝑑_𝑖𝑜 adalah

elemen identitas dari 𝐷. Ambil sebarang elemen 𝑎 ∈ 𝐷, dapat ditulis 𝑎 = 𝑥𝑑_𝑖, untuk suatu 𝑑_𝑖 ∈ 𝐷. Perhatikan, 𝑎𝑑_𝑖𝑜 = 𝑥𝑑_𝑖𝑑_𝑖𝑜 = 𝑥𝑑_𝑖𝑜𝑑_𝑖 = 𝑥𝑑_𝑖= 𝑎 karena 𝐷 komutatif, diperoleh 𝑎 = 𝑎𝑑_𝑖𝑜 = 𝑑_𝑖𝑜𝑎. Berarti 𝑑_𝑖𝑜 adalah elemen satuan di 𝐷.

Selanjutnya elemen tak nol di 𝐷 memiliki invers. Perhatikan kembali bahwa 𝑑_𝑖𝑜 ∈ 𝐷 sehingga 𝑑_𝑖𝑜 = 𝑥𝑑_𝑖, untuk suatu 𝑑_𝑖 ∈ 𝐷. Jadi, 𝑑_𝑖 adalah invers dari 𝑥.

Terbukti bahwa 𝐷 adalah lapangan.

Teorema 2.16 (Robinson, 2003: 185) definisi sublapangan prima.

Sublapangan terkecil dari lapangan 𝐹 disebut sublapngan prima.

Dengan kata lain sublapangan prima adalah irisan dari seluruh sublapangan yang ada di 𝐹. Lapangan yang sama dengan sublapangan primanya disebut lapangan prima.

Definisi 2.17 (Rudolf Lidl, 1994 :16) definisi karakteristik gelanggang.

Misal 𝑅 gelanggang, dan 𝑛 adalah bilangan bulat positif sedemikian sehingga 𝑛𝑟=0_𝑅, ∀𝑟 ∈ 𝑅. Bilangan terkecil 𝑛 yang memenuhi sifat tersebut dinamakan karakteristik dari 𝑅, dan 𝑅 dikatakan memiliki karakteristik 𝑛. Apabila bilangan bulat positif yang demikian tidak ada, dikatakan 𝑅 memiliki karakteristik 0.

Contoh: II.26

ℤ adalah contoh gelanggang dengan karakteristik 0, sedangkan ℤ₂ adalah contoh gelanggang dengan karakteristik 2.

Lemma 2.18 (Rudolf Lidl, 1994 :16)

jika 𝑅 adalah gelanggang dengan karakteristik 𝑝, 𝑝 bilangan prima, maka untuk setiap 𝛼, 𝛽 ∈ 𝑅 berlaku (𝛼 + 𝛽)^𝑝 = 𝛼^𝑝+ 𝛽^𝑝.

Bukti:

Berdasarkan binomial Newton didapat (𝛼 + 𝛽)^𝑝= 𝛼^𝑝+ ∑ (𝑝

𝑖 ) 𝛼^𝑝−𝑖

𝑝−1

𝑖=1

𝛽^𝑖+ 𝛽^𝑝

Perhatikan , (𝑝

𝑖 ) adalah bilangan bulat serta (𝑝

𝑖 ) =

𝑝. (𝑝 − 1). (𝑝 − 2) … (𝑝 − 𝑖 + 1) 𝑖. (𝑖 − 1). (𝑖 − 2) … 2.1

Karena 𝑝 bilangan prima dan 1≤ i < 𝑝, mengakibatkan faktor 𝑝 pada pembilang tidak dapat dihilangkan. Dengan kata lain (𝑝

𝑖 ) merupakan kelipatan 𝑝. Hal ini berakibat ∑ (𝑝

𝑖 ) 𝛼^𝑝−𝑖

𝑝−1𝑖=1 𝛽^𝑖 merupakan kelipatan 𝑝.

Karena 𝑝 karakteristik dari 𝑅 diperoleh ∑ (𝑝 𝑖 ) 𝛼^𝑝−𝑖

𝑝−1𝑖=1 𝛽^𝑖 = 0_𝑅. Oleh karena itu, (𝛼 + 𝛽)^𝑝= 𝛼^𝑝+ 𝛽^𝑝.

Contoh: II.27

Di ℤ₃diperoleh, (𝑥 + 1)³= 𝑥²+ 3𝑥²+ 3𝑥 + 1 = 𝑥³+ 1³. Teorema 2.19 (Robinson, 2003: 186)

lapangan prima dengan karakteristik 𝑝 ≠ 0 isomorphic dengan ℤ_𝑝. 2.6 Gelanggang Faktor

gelanggang faktor (quotient ring) dinyatakan dalam definisi berikut ini.

Definisi 2.20

Diketahui 𝐴 gelanggang dan 𝐼 sebagai ideal dalam 𝐴. Struktur aljabar 𝐴/𝐼 didefinisikan sebagai berikut:

(1) 𝐴/𝐼 = {𝑎 + 𝐼|𝑎 𝑑𝑎𝑙𝑎𝑚 𝐴}

(2) operasi penjumlahan dalam 𝐴/𝐼 didefinisikan sebagai (𝑎 + 𝐼) + (𝑏 + 𝐼) = (𝑎 + 𝑏)𝐼 dan operasi perkalian dalam 𝐴/𝐼 didefinisikan sebagai

(𝑎 + 𝐼) + (𝑏 + 𝐼) = 𝑎𝑏 + 𝐼.

Teorema 2.21

Struktur aljabar 𝐴/𝐼 yang didefinisikan diatas merupakan gelanggang.

Definisi 2.22

Diketahui 𝐴 gelanggang komutatif.

(1) Suatu ideal 𝐼 dalam 𝐴 dengan sifat bahwa 𝑎𝑏 dalam 𝐼 berakibat salah satu dari 𝑎 dalam 𝐼 atau 𝑏 dalam 𝐼 dinamakan ideal prima dalam 𝐴

(2) Suatu ideal {0}⊂ 𝐼 ⊂ 𝐴 sehingga tidak ada ideal sejati dalam 𝐴 yang mengandung 𝐼 dinamakan ideal maksimal dalam 𝐴.

Teorema 2.23

(1) Jika 𝐴 komutatif dan 𝐼 sebarang ideal dalam 𝐴 maka 𝐴/𝐼 komutatif.

(2) Jika 𝐴 mempunyai anggota satuan 𝐼 dan ideal 𝐼 ≠ 𝐴 maka 𝐴/𝐼 mempunyai anggota satuan 1 + 𝐴

(3) jika 𝐴 komutatif dan mempunyai anggota satuan dan 𝐼 ideal prima dengan 𝐼 ≠ 𝐴 maka 𝐴/𝐼 daerah integral.

Bukti

Karena 𝐴 gelanggang komutatif dengan anggota satuan, berdasarkan (1) dan (2) diperoleh 𝐴/𝐼 gelanggang komutatif dengan angota satuan. Selanjutnya akan dibuktikan bahwa 𝐴/𝐼 tidak mempunyai pembagi nol. Misalkan (𝑎 + 𝐼)(𝑏 + 𝐼) = 0 + 𝐼. Diperoleh 𝑎𝑏 + 𝐼 = 0 + 𝐼 sehingga berakibat 𝑎𝑏 dalam 𝐼. Karena I ideal prima maka berlaku salah satu 𝑎 dalam 𝐼 atau 𝑏 dalam 𝐼. Hal ini berarti berlaku salah satu 𝑎 + 𝐼 = 0 + 𝐼 atau 𝑏 + 𝐼 = 0 + 𝐼 terbukti 𝐴/𝐼 daerah integral.

Contoh II.28

Diketahui bilangan bulat 𝑍 dan 𝑝 prima. Akan ditentukan sifat-sifat dari gelanggang faktor 𝑍/(𝑝). Jika 𝑎𝑏 ∈ (𝑝) maka 𝑎𝑏 kelipatan dari 𝑝 dan karena 𝑝 prima terdapat 𝑎 membagi 𝑝 atau 𝑏 membagi 𝑝 sehingga 𝑎 ∈ (𝑝) atau 𝑏 ∈ (𝑝). Akibatnya dengan teorema 2.23, diperoleh 𝑍/(𝑝) daerah integral.

Contoh II.29

Himpunan 𝑍₁₀ = {0, 1, 2, … , 10} merupakan gelanggang terhadap operasi

penjumlahan dan perkalian modulo 10. Ideal-ideal dalam 𝑍₁₀ adalah (0) = {0}, (1) = (3) = (7) = (9) = 𝑍₁₀, (2) = (4) = (6) = (8) =

{0, 2, 4, 6, 8} dan (5) = {0, 5}. Ideal 𝐼 = (2) merupakan ideal maksimal sehingga terbentuk gelanggang faktor

𝑍₁₀/𝐼 = {𝐼, 1 + 𝐼}.

hal itu berarti 𝑍₁₀/𝐼 merupakan lapangan yang hanya berisi 2 elemen. Jika diambil ideal 𝐽 = (5) maka gelanggang fektor yang terbentuk adalah

𝑍₁₀/𝐽 = {𝐽, 1 + 𝐽, 2 + 𝐽, 3 + 𝐽, 4 + 𝐽}

Yang mempunyai sifat lapangan yangberisi 5 elemen.

2.7 Homomorphisma Gelanggang

Dalam matematika, fungsi digunakan untuk mengaitkan anggota- anggota dari suatu sistem ke sistem lain dan untuk mentransformasikan suatu sistem yang diberikan kedalam sistem yang lebih sederhana. Fungsi atau pemetaan 𝑓: 𝑋 → 𝑌 yang mengawetkan operasi yang didefinisikan pada sistem- sistemnya mempunyai sifat yang menarik yaitu, dengan menganalisis peta dari 𝑓 dapat digunakan untuk melihat sifat dari 𝑋 dan sebaliknya. Berikut ini diberikan definisi formal dari fungsi yang mengawetkan. Operasi penjumlahan dan pergandaan yang didefinisikan pada gelanggang.

Definisi 2.24 (Herstein, 1990 :131) Definisi homomorphisma

Misalkan 𝑅 dan 𝑅^′ suatu gelanggang, pemetaan 𝑓 dari 𝑅 ke 𝑅^′ disebut homomorphisma jika berlaku :

1. 𝑓(𝑎 + 𝑏) = 𝑓(𝑎) + 𝑓(𝑏) 2. 𝑓(𝑎𝑏) = 𝑓(𝑎)𝑓(𝑏)

Untuk setiap 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑅.

Didefinisakan juga kernel dari 𝑓 dinotasikan ker(𝑓), yaitu

𝐾𝑒𝑟(𝑓) = {𝑥 ∈ 𝑅|𝑓(𝑥) = 0_𝑅^′(𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛 𝑛𝑒𝑡𝑟𝑎𝑙 𝑅^′)}.

Sedangkan bayangan dari 𝑓 dinotasikan 𝐼𝑚(𝑓) didefinisikan 𝐼𝑚(𝑓) = {𝑦 ∈ 𝑅^′|∃𝑥 ∈ 𝑅 ∋ 𝑓(𝑥) = 𝑦}.

Apabila 𝑓 suatu homomorphisma dan sekaligus injektif, 𝑓 disebut isomorphisma.

Selanjutnya gelanggang 𝑅 dan 𝑅^′ disebut isomorphic jika terdapat isomorphisma dari 𝑅 𝒐𝒏𝒕𝒐 𝑅^′. Gelanggang 𝑅 isomorphic dengan 𝑅^′ disimbolkan 𝑅 ≅ 𝑅^′.

Contoh II.30

Didefinisikan pemetaan 𝑓: 𝑅 → 𝑀_(2×2) dengan 𝑓(𝑥) = (𝑥 00 𝑥) Jika diambil sebarang 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑅 maka berlaku sifat:

𝑓(𝑥 + 𝑦) = (𝑥 + 𝑦 0

0 𝑥 + 𝑦) = (𝑥 0

0 𝑥) + (𝑦 0

0 𝑦) = 𝑓(𝑥) + 𝑓(𝑦) 𝑓(𝑥𝑦) = (𝑥𝑦 0

0 𝑥𝑦) = (𝑥 0

0 𝑥) (𝑦 0

0 𝑦) = 𝑓(𝑥)𝑓(𝑦) hal itu berarti 𝑓 homomorphisma.

Teorema 2.25

Jika 𝑓: 𝐴 → 𝐵 homomorphisma gelanggang maka 𝑓(𝐴) gelanggang bagian dari 𝐵.

Bukti:

Karena 𝑓(0) = 0^′ terdapat paling tidak 𝑓(𝐴) mengandung 𝑓(0) sehingga 𝑓(𝐴) bukan himpunan kosong. Karena 𝑓 mengawetkan operasi +, terdapat 𝑓 homomorphisma grup dari < 𝐴, +> ke < 𝐵+>. Oleh karena itu 𝑓(𝐴) tertutup di bawah operasi penjumlahan dan berlaku juga

𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑦) = 𝑓(𝑥) + (−𝑓(𝑦))

Terletak dalam 𝑓(𝐴) untuk semua 𝑓(𝑥), 𝑓(𝑦) dalam 𝑓(𝐴). Berarti 𝑓(𝐴) tertutup terhadap operasi penjumlahan.

Karena 𝑓 mengawetkan operasi perkalian berlaku 𝑓(𝑥)𝑓(𝑦) = 𝑓(𝑥𝑦)

untuk semua 𝑓(𝑥), 𝑓(𝑦) dalam 𝑓(𝐴) dan dengan meningkat 𝐴 tertutup terdapat 𝑥𝑦 dalam 𝐴, sehingga 𝑓(𝑥) 𝑓(𝑦) dalam 𝑓(𝐴). Berarti 𝑓(𝐴)tertutup terhadap operasi perkalian

Teorema 2.26

Diketahui 𝐴 gelanggang dan 𝐵 suatu struktur aljabar dengan dua operasi yaitu penjumlahan (+) dan perkalian (.)

Jika 𝑓: 𝐴 → 𝐵 mengawetkan kedua operasi maka 𝑓(𝐴) gelanggang yang termuat dalam struktur aljabar 𝐵.

Teorema 2.27

Diketahui 𝑓: 𝐴 → 𝐵 homomorphisma gelanggang dengan peta 𝑓(𝐴).

(1) Jika 𝐴 komutatif maka 𝑓(𝐴) komutatif

(2) Jika 𝐴 mempunyai anggota satuan 1 dan 𝑓(1) ≠ 0 maka satuan untuk 𝑓(𝐴).

Jika 𝑓(1) = 0 maka 𝑓(𝐴) = {0} gelanggang yang sepele.

(3) Jika 𝐴 daerah integral maka 𝑓(𝐴) tidak perlu daerah integral.

(4) Jika 𝐴 lapangan dan 𝑓(1) ≠ 0 maka 𝑓(𝐴) lapangan.

Bukti:

(1) Jika 𝐴 komutatif maka untuk sebarang 𝑓(𝑥), 𝑓(𝑦) dalam 𝑓(𝐴) berlaku 𝑓(𝑥)𝑓(𝑦) = 𝑓(𝑥𝑦) = 𝑓(𝑦)𝑓(𝑥)

Sehingga 𝑓(𝐴) komutatif.

(2) Jika 𝑓(1) = 0 maka untuk sebarang 𝑓(𝑥), 𝑓(𝑦) dalam 𝑓(𝐴) berlaku 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑥. 1) = 𝑓(𝑥)𝑓(1) = 𝑓(𝑥)0 = 0

Sehingga 𝑓(𝐴) = {0} dan akibatnya 𝑓(𝐴) tidak mempunyai anggota satuan.

Jika 𝑓(1) ≠ 0 maka

𝑓(1)𝑓(𝑥) = 𝑓(1𝑥) = 𝑓(𝑥) dan

𝑓(𝑥)𝑓(1) = 𝑓(𝑥1) = 𝑓(𝑥) sehingga 𝑓(1) merupakan anggota satuan dalam 𝑓(𝐴)

(3) Jika didefinisikan pemetaan 𝑓: 𝑍 → 𝑍₆ dengan 𝑛 dalam 𝑍 dipetakan ke sisa pembagian dari 𝑛 dengan 6, maka 𝑓 homomorphisma yang surjektif sehingga 𝑓(𝑍) = 𝑍₆. Dalam hal ini 𝑍₆ bukan daerah integral karena 2.3 = 0 dengan 2,3 dalam 𝑍₆ sedangkan 𝑍 daerah integral.

(4) Jika 𝑓(1) ≠ 0 maka 𝑓(𝐴) mempunyai anggota satuan 𝑓(1).

Diambil sebarang 𝑓(𝑥) ≠ 0.

Karena 𝑓 homomorphisma grup terhadap penjumlahan, jadi 𝑓(0) = 0. Karena 𝐴 lapangan sehingga untuk 𝑥 dalam 𝐴 dan 𝑥 tidak nol, terdapat 𝑥⁻¹ sehingga 𝑓(𝑥⁻¹) merupakan invers terdapat perkalian dari 𝑓(𝑥) dan berlaku

𝑓(𝑥)𝑓(𝑥⁻¹) = 𝑓(𝑥𝑥⁻¹) = 𝑓(1).

Berarti juga

𝑓(𝑥⁻¹) = (𝑓(𝑥))⁻¹ dengan cara yang sama diperoleh

𝑓(𝑥⁻¹)𝑓(𝑥) = 𝑓(1) berarti

𝑓(𝑥⁻¹) = (𝑓(𝑥))⁻¹. Teorema 2.28

Jika 𝑓: 𝐴 → 𝐵 homomorphisma gelanggang dengan inti 𝐾 = {𝑥 𝑑𝑎𝑙𝑎𝑚 𝐴|𝑓(𝑥) = 0} 𝐾 ideal dalam 𝐴.

Bukti:

Karena 𝑓(0) = 0, terdapat 0 dalam 𝐾 sehingga 𝐾 tidak kosong.

Ambil sebarang 𝑥, 𝑦 dalam 𝐾 dan sebarang 𝑎 dalam 𝐴. Berlaku 𝑓(𝑥 − 𝑦) = 𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑦) = 0 − 0 = 0

𝑓(𝑎𝑥) = 𝑓(𝑎)𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑎). 0 = 0 𝑓(𝑎𝑥) = 𝑓(𝑥)𝑓(𝑎) = 0. 𝑓(𝑎) = 0

Hal itu berarti 𝑥 − 𝑦, 𝑎𝑥 dan 𝑥𝑎 dalam 𝐾 sehingga dengan mengingat Definisi 2.24, 𝐾 ideal.

Suatu isomorphisma gelanggang adalah homomorphisma gelanggang yang bijektif. Jika 𝑓: 𝐴 → 𝐵 isomorphisma gelanggang maka 𝐴 dan 𝐵 secara esensial sama (essentially the same) dan juga mempunyai sifat-sifat aljabar yang sama.

Masalah-masalah dalam gelanggang 𝐴 seringkali dapat dipecahkan dengan perhitungan yang lebih mudah dalam gelanggang 𝐵 dan penyelesaiannya dibawa ulang dengan menggunakan 𝑓¹. Isomorphisma dari dirinya sendiri dinamakan automorphisma.

Sifat dari inti (kernel) dalam homomorphisma gelanggang seperti dalam grup. Bila ker (𝑓) mempunyai 𝑘 anggota maka homomorphisma 𝑓 tepat 𝑘 ke 1 yaitu untuk setiap koset 𝑎 + ker(𝑓) dibawa ke 𝑓(𝑎). Khusunya, jika 𝑓 homomorphisma surjektif dan ker (𝑓)={0} maka 𝐴 isomorphis dengan 𝑓(𝐴).

Teorema 2.29

Jika 𝐹 lapangan dan 𝑓: 𝐹 → 𝐵 homomorphisma gelanggang maka berlaku salah satu

(i) 𝑓 isomorphisma antara 𝐹 dan peta 𝑓, atau

(ii) 𝑓 merupakan homomorphisma sepele yaitu 𝑓(𝑥) = 0 untuk semua 𝑥 Bukti :

Karena ker(𝑓) ⊆ 𝐹 merupakan ideal dari lapangan 𝐹 dengan mengingat teorema 2.29, berlaku salah satu ker(𝑓)={0} atau ker(𝑓)= 𝐹. Jika ker(𝑓)={0} maka 𝑓 injektif dan akibatnya 𝑓 isomorphisma dari 𝐹 ke 𝑓(𝐹)(karena 𝑓 pasti surjektif dari 𝐹 ke 𝑓(𝐹)). Jika ker (𝑓)= 𝐹 maka jelas bahwa untuk setiap 𝑥 dalam 𝐹 berlaku 𝑥 ∈ ker(𝑓) atau 𝑓(𝑥) = 0.

Contoh II.32

Akan dibuktikan bahwa 𝑓: 𝑄(√2) → 𝑄(√2) dengan 𝑓(𝑎 + 𝑏√2) = 𝑎 − 𝑏√2 merupakan automorphisma dari 𝑄(√2). Misalkan 𝑎 + 𝑏√2 dalam 𝑄(√2).

Akibatnya

𝑓(𝑎 + 𝑏√2) + (𝑐 + 𝑑√2) = 𝑓((𝑎 + 𝑐) + (𝑏 + 𝑑)√2)

= (𝑎 + 𝑐) − (𝑏 + 𝑑)√2

= 𝑎 − 𝑏√2 + 𝑐 − 𝑑√2,

= 𝑓(𝑎 + 𝑏√2) + 𝑓(𝑐 + 𝑑√2) berikutnya akibatpada sifat perkalian

𝑓(𝑎 + 𝑏√2) + (𝑐 + 𝑑√2) = 𝑓(𝑎𝑐 + 2𝑏𝑑) + (𝑎𝑑 + 𝑏𝑐)√2) = (𝑎𝑐 + 2𝑏𝑑) + (𝑎𝑑 + 𝑏𝑐)√2 = (𝑎 − 𝑏√2)(𝑐 − 𝑑√2),

= 𝑓(𝑎 + 𝑏√2) + 𝑓(𝑐 + 𝑑√2) hal itu berarti 𝑓 homomorphisma gelanggang.

Karena ker (𝑓)≠ 𝑄(√2) sehingga 𝑓 bukan homomorphisma trivial dan 𝑄(√2) lapangan maka 𝑓isomorphisma dari 𝑄(√2) ke 𝑓𝑄(√2)). Mudah dibuktikan bahwa 𝑓 (𝑄(√2)). Terbukti bahwa 𝑓 automorphisma.

Dalam teorema terdahulu telah dibuktikan bahwa jika 𝑓: 𝐴 → 𝐵 homomorphisma gelanggang maka untuk ideal I dalam 𝐴 akan mengakibatkan 𝑓(𝐼) ideal dalam 𝑓(𝐴). Pandang ini merupakan pandangan ke depan (forword) sedangkan pandangan kebelakang bertujuan untuk melihat apakah untuk setiap 𝑆 ideal dalam 𝑓(𝐴) mengakibatkan invers 𝑓 terhadap himpunan 𝑆 (disimbolkan dengan 𝑓¹(𝑆)) juga ideal ?

Definisi 2.30

Diketahui 𝑓: 𝐴 → 𝐵 sebarang fungsi dan 𝑆 sebarang himpunan bagian dari 𝐵.

Himpunan 𝑓¹(𝑆) didefinisikan sebagai semua anggota 𝐴 yang dibawa 𝑓 keanggota 𝑆.

𝑓¹(𝑆) = {𝑥 𝑑𝑎𝑙𝑎𝑚 𝐴|𝑓(𝑥)𝑑𝑎𝑙𝑎𝑚 𝑆}

Himpunan 𝑓¹(𝑆) dinamakan prapeta (invers image) dari 𝑆 dibawah 𝑓.

Teorema 2.31

Diketahui 𝑓: 𝐴 → 𝐵 homomorphisma gelanggang.

(1) Jika 𝑆 ideal dalam 𝑓(𝐴) maka 𝑓¹(𝑆) ideal dalam 𝐴.

(2) Jika 𝑆 gelanggang bagian dari 𝐵 maka 𝑓¹(𝑆) gelanggang bagian dari 𝐴.

Bukti:

(1) Jika diambil sebarang 𝑥, 𝑦 dalam 𝑓¹(𝑆) maka 𝑓(𝑥) = 𝑠^′∈ 𝑆 dan 𝑓(𝑦) = 𝑠^′′ ∈ 𝑆. Akibatnya jika diambil sebarang 𝑥, 𝑦 dalam 𝑓¹(𝑆) maka 𝑓(𝑥) = 𝑠^′∈ 𝑆 dan 𝑓(𝑥 − 𝑦) = 𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑦) = 𝑠^′= 𝑠^′′ ∈ 𝑆 (karena 𝑆 ideal dalam 𝑓(𝐴)). Berarti 𝑥 − 𝑦 dalam 𝑓¹(𝑆) . jika diambil sebarang 𝑎 dalam 𝐴 maka

𝑓(𝑎𝑥) = 𝑓(𝑎)𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑎). 𝑠^′ Dan

𝑓(𝑥𝑎) = 𝑓(𝑥)𝑓(𝑎) = 𝑠^′. 𝑓(𝑎)

Dalam 𝑆 karena 𝑓(𝑎) dalam 𝑓(𝐴) dan 𝑆 ideal dalam 𝑓(𝐴). Berarti 𝑎𝑥 dan 𝑥𝑎 dalam 𝑓¹(𝑆). Terbukti bahwa 𝑓¹(𝑆) ideal dalam 𝐴.

(2) Jika diambil sebarang 𝑥, 𝑦 dalam 𝑓¹(𝑆) maka 𝑓(𝑥) = 𝑠^′∈ 𝑆 dan 𝑓(𝑦) = 𝑠^′′ ∈ 𝑆. Akibatnya 𝑓(𝑥 − 𝑦) = 𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑦) = 𝑠^′− 𝑠^′′∈ 𝑆 ( karena 𝑆 gelanggang bagian dari 𝐵) dan disamping itu

𝑓(𝑥𝑦) = 𝑓(𝑥)𝑓(𝑦) = 𝑠^′. 𝑠^′′ ∈ 𝑆 Dan

𝑓(𝑦𝑥) = 𝑓(𝑦)𝑓(𝑥) = 𝑠^′. 𝑠^′′ ∈ 𝑆 Berarti 𝑥 − 𝑦, 𝑥𝑦 dan 𝑦𝑥 dalam 𝑓¹(𝑆)

Contoh II.33

Pemetaan 𝑓: 𝑄(√2) → 𝑄(√2) dengan 𝑓(𝑎 + 𝑏√2) = 𝑎 − 𝑏√2 merupakan automorphisma dari 𝑄(√2).

Himpunan bilangan rasional 𝑄 merupakan gelanggang bagian dalam 𝑄(√2) sehingga 𝑓¹(𝑄) = 𝑄 yang merupakan gelanggang bagian dari dalam daerah asal.

Contoh II.34

Misalkan 𝐹 lapangan dalam mana setiap elemen 𝑥 memenuhi 2. 𝑥 = 𝑥 + 𝑥 = 0.

Himpunan 𝑍₂ merupakan salah satu contoh dari lapangan yang mempunyai sifat tersebut dan demikian juga lapangan dalam contoh ini didefinisikan 𝑓: 𝐹 → 𝐹 dengan 𝑓(𝑥) = 𝑥 ²

Lemma 2.32 (Herstein, 1990: 135)

misalkan 𝑅 gelanggang dan 𝑀 ideal dari 𝑅, didefinisikan pemetaan 𝑓; 𝑅 → 𝑅 𝑀⁄ yaitu 𝑓(𝑎) = 𝑎 + 𝑀, ∀𝑎 ∈ 𝑅 maka 𝑓 suatu homorphisma dari 𝑅 𝑜𝑛𝑡𝑜 𝑅 𝑀⁄ . Bukti:

Pertama, dibuktikan 𝑓 𝑤𝑒𝑙𝑙 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑒𝑑. Untuk itu, ambil sebarang 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑅 dengan 𝑎 = 𝑏 akan ditunjukan 𝑓(𝑎) = 𝑓(𝑏). Perhatikan, karena 𝑎 − 𝑏 = 0_𝑅 (elemen netral di 𝑅) dan 𝑀 ideal di 𝑅 berakibat (𝑎 − 𝑏) ∈ 𝑀 sehingga 𝑓(𝑎) = 𝑎 + 𝑀 = 𝑏 + 𝑀 = 𝑓(𝑏). Jadi, 𝑓 𝑤𝑒𝑙𝑙 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑒𝑑.

Untuk membuktikan 𝑓 suatu homomorphisma ambil sebarang 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑅. Perhatikan, 𝑓(𝑎 + 𝑏) = (𝑎 + 𝑏) + 𝑀

= (𝑎 + 𝑀) + (𝑏 + 𝑀) = 𝑓(𝑎) + 𝑓(𝑏),

serta

𝑓(𝑎𝑏) = (𝑎𝑏) + 𝑀

= (𝑎 + 𝑀) ∗ (𝑏 + 𝑀) = 𝑓(𝑎) ∗ 𝑓(𝑏)

Terbukti 𝑓 homomorphisma.

Untuk membuktikan 𝑓 surjektif, ambil sebarang 𝑐 ∈ 𝑅 𝑀⁄ berarti 𝑐 dapat dinyatakan 𝑐 = 𝑟 + 𝑀 untuk suatu 𝑟 ∈ 𝑅. Dengan kata lain 𝑐 = 𝑓(𝑟). Jadi, 𝑓 surjektif.

Jadi, 𝑓 homomorphisma dari 𝑅 𝑜𝑛𝑡𝑜 𝑅 𝑀⁄ . Teorema 2.33 (Herstein, 1990: 135)

Misalkan 𝑅 dan 𝑅^′ gelanggang. Jika pemataan 𝑓: 𝑅 → 𝑅^′ adalah suatu homomorphisma, maka 𝑅 𝐼⁄ ≅ 𝐼𝑚(𝑓) dengan 𝐼 = 𝐾𝑒𝑟(𝑓).

Bukti :

Untuk menunjukan 𝑅 𝐼⁄ ≅ 𝐼𝑚(𝑓) berarti harus ditunjukkan terdapat isomorphisma dari 𝑅 𝐼⁄ 𝑜𝑛𝑡𝑜 𝐼𝑚(𝑓). Terlebih dahulu dibuktikan bahwa 𝐼 = 𝐾𝑒𝑟(𝑓) ideal dari 𝑅.

Berdasarkan definisi kernel, didapat 𝐼 ⊆ 𝑅 dan karena 𝑓 homomorphisma 𝑓(0_𝑅) = 0_𝑅, jadi 𝐼 ≠ ∅. Selanjutnya ambil sebarang 𝑎, 𝑏 ∈ 𝐼 dan sebarang 𝑟 ∈ 𝑅 sehingga berlaku,

𝑓(𝑎 − 𝑏) = 𝑓(𝑎 + (−𝑏))

= 𝑓(𝑎) + 𝑓(−𝑏) = 𝑓(𝑎) + (−𝑓(𝑏)) = 0_𝑅^′+ 0_𝑅^′

= 0_𝑅^′ Jadi, (𝑎 − 𝑏) ∈ 𝐼.

𝑓(𝑎𝑟) = 𝑓(𝑎) ∗ 𝑓(𝑟) = 0_𝑅^′ ∗ 0_𝑅^′ = 0_𝑅^′, serta berlaku pula

𝑓(𝑟𝑎) = 𝑓(𝑟) ∗ 𝑓(𝑎) = 0_𝑅^′ ∗ 0_𝑅^′ = 0_𝑅^′ Sehingga 𝑎𝑟, 𝑟𝑎 ∈ 𝐼. Oleh karena itu, terbukti 𝐼 ideal dari 𝑅.

Dari lemma 1.2.8 diperoleh, terdapat homomorphisma 𝜑 dari 𝑅 𝑜𝑛𝑡𝑜 𝑅 𝐼⁄ yaitu 𝜑(𝑟) = 𝑟 + 1. Selanjutnya didefinisikan pemetaan 𝜏: 𝑅 𝐼⁄ → 𝐼𝑚(𝑓) yaitu 𝜏(𝑎) =

𝜏(𝜑(𝑟)) = 𝑓(𝑟) untuk setiap 𝑎 ∈ 𝑅 𝐼⁄ dan suatu 𝑟 ∈ 𝑅. Akan dibuktikan bahwa 𝜏 adalah isomorphisma dari 𝑅 𝐼⁄ 𝑜𝑛𝑡𝑜 𝐼𝑚(𝑓).

Pertama, dibuktikan bahwa pemetaan 𝜏 𝑤𝑒𝑙𝑙 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑒𝑑. Untuk itu ambil sebarang 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑅 𝐼⁄ dengan 𝑎 = 𝑏. Karena 𝜑 surjektif, berarti 𝑎 = 𝜑(𝑟₁) dan 𝑏 = 𝜑(𝑟₂) untuk suatu 𝑟₁, 𝑟₂ ∈ 𝑅. Sehingga

𝑟₁+ 1 = 𝜑(𝑟₁) = 𝜑(𝑟₂) = 𝑟₂+ 1

berakibat (𝑟₁− 𝑟₂) ∈ 𝐼 atau 𝑟₁− 𝑟₂ = 𝑖 ⟺ 𝑟₁ = 𝑖 + 𝑟₂ untuk setiap 𝑖 ∈ 𝐼. Oleh karena itu diperoleh,

𝑓(𝑟₁) = 𝑓(𝑖 + 𝑟₂) = 𝑓(𝑖) + 𝑓(𝑟₂) = 0_𝑅^′ + 𝑓(𝑟₂) = 𝑓(𝑟₂) jadi,

𝜏(𝑎) = 𝜏(𝜑(𝑟₁)) = 𝑓(𝑟₁) = 𝑓(𝑟₂) = 𝜏(𝜑(𝑟₂)) = 𝜏(𝑏) sehingga terbukti 𝜏 𝑤𝑒𝑙𝑙 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑒𝑑.

Kedua, ditunjukkan 𝜏 suatu homomorphisma. Untuk itu ambil sebarang 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑅 𝐼⁄ sehingga dapat dinyatakan 𝑎 = 𝜑(𝑟₁) dan 𝑏 = 𝜑(𝑟₂) untuk suatu 𝑟₁, 𝑟₂ ∈ 𝑅.

Diperoleh pula (𝑎 + 𝑏) = 𝜑(𝑟₁) + 𝜑(𝑟₂) = 𝜑(𝑟₁+ 𝑟₂) dan (𝑎𝑏) = 𝜑(𝑟₁) ∗ 𝜑(𝑟₂) = 𝜑(𝑟₁𝑟₂)

perhatikan,

𝜏(𝑎 + 𝑏) = 𝜏(𝜑(𝑟₁+ 𝑟₂)) = 𝑓(𝑟₁+ 𝑟₂) = 𝑓(𝑟₁) + 𝑓(𝑟₂) = 𝜏(𝑎) + 𝜏(𝑏) serta 𝜏(𝑎𝑏) = 𝜏(𝜑(𝑟₁𝑟₂)) = 𝑓(𝑟₁𝑟₂) = 𝑓(𝑟₁) ∗ 𝑓(𝑟₂) = 𝜏(𝑎) ∗ 𝜏(𝑏) terbukti, 𝜏 homomorphisma.

Terahir, tinggal ditunjukkan 𝜏 injektif sekaligus surjektif. Cara menunjukkan 𝜏 injektif, ambil sebarang 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑅 𝐼⁄ sehingga dapat dinyatakan 𝑎 = 𝜑(𝑟₁) dan 𝑏 = 𝜑(𝑟₂) untuk setiap 𝑟₁, 𝑟₂ ∈ 𝑅. Jika 𝜏(𝑎) = 𝜏(𝑏) harus ditunjukkan 𝑎 = 𝑏. Karena 𝜏(𝑎) = 𝑓(𝑟₁) dan 𝜏(𝑏) = 𝑓(𝑟₂) serta 𝜏(𝑎) = 𝜏(𝑏) berakibat 𝑓(𝑟₁) = 𝑓(𝑟₂).

Sehingga,

𝑓 (𝑟₁− 𝑟₂) = 𝑓(𝑟₁) − 𝑓(𝑟₂) = 0_𝑅^′ oleh karena itu, (𝑟₁− 𝑟₂) ∈ 𝐼. Hal ini berakibat,

𝑟₁+ 𝐼 = 𝑟₂+ 𝐼 yang berarti,

𝑎 = 𝜑(𝑟₁) = 𝑟₁ + 𝐼 = 𝑟₂ + 𝐼 = 𝜑(𝑟₂) = 𝑏 jadi, terbukti 𝜏 injektif.