Bab 3 Gelanggang Polinom Miring

(1)

11

Bab 3

Gelanggang Polinom Miring

Dalam bab ini akan dibahas mengenai Gelanggang Poliom Miring mulai dengan bentuk yang sederhana (satu variabel) sampai ke bentuk yang lebih kompleks (banyak variabel) berikut pembentukannya dari aljabar dan turunan nilpoten pada aljabar tersebut.

3.1 Gelanggang Polinom Miring dengan Satu Variabel

Sebelum uraian mengenai gelanggang polinom miring, berikut akan dijelaskan terlebih dahulu definisi tentang modul, aljabar, serta homomorfisma modul yang akan sering digunakan pada pembahasan selanjutnya.

Definisi 3.1.1 Misalkan R suatu gelanggang. Modul kiri M atas gelanggang R atau ditulis R-modul kiri, adalah sistem matematika yang dilengkapi dengan operasi kali skalar yang memenuhi sifat dan hubungan berikut.

(i) membentuk grup komutatif.

(ii) Untuk setiap dan hasil kali skalarnya ditulis Untuk semua dan di , serta dan di M berlaku:

a.

b.

c.

d.

(2)

12

Jika pengali skalar berada di sebelah kanan, maka kita punya modul kanan.

Dalam hal gelanggang R komutatif, mudul kiri adalah juga modul kanan dan hanya disebut R-modul.

Contoh 3.1.2 Misalkan R suatu gelanggang komutatif, dan berturut-turut menyatakan himpunan matriks dengan entri-entri di

berukuran dan Maka merupakan suatu -

modul kiri, -modul kanan, juga merupakan -modul.

Definisi 3.1.3 Misalkan R suatu gelanggang. Suatu R-Modul M disebut R- aljabar jika M merupakan suatu gelanggang dan memenuhi sifat

untuk setiap dan .

Contoh 3.1.4

a. Setiap gelanggang merupakan -aljabar,

b. Jika R gelanggang komutatif maka gelanggang polinom merupakan suatu -aljabar,

Definisi 3.1.5 Misalkan R suatu gelanggang. Misalkan pula M dan N adalah dua buah R-modul kiri. Homomorfisma modul atau R-homomorfisma (disebut juga morfisma modul atau R-morfisma) adalah suatu pemetaan yang memenuhi:

(i) , untuk semua dan di M, dan

(ii) , untuk semua dan

Contoh 3.1.6 Misalkan R suatu gelanggang dan menyatakan himpunan matriks dengan entri-entri di berukuran Pemetaan

dengan untuk semua merupakan suatu homomor-

fisma modul karena dan untuk

setiap dan .

(3)

13

Selain itu, berikut dijelaskan pula definisi turunan yang akan digunakan pada pembentukan gelanggang polinom miring.

Definisi 3.1.7 Misalkan K suatu lapangan dan S suatu K-aljabar. Suatu homomorfisma grup disebut turunan (derivasi) jika untuk setiap

berlaku .

Contoh 3.1.8 Misalkan suatu lapangan dan adalah gelanggang polinom atas . Dalam hal ini merupakan suatu -aljabar. Turunan

yaitu untuk semua . Dengan

didefinisikan (dalam hal ini ).

(4)

14

Dengan demikian pada Contoh 3.1.8 di atas memenuhi

untuk setiap . Jika lapangan

bilangan riil, maka hal ini sesuai dengan aturan hasilkali turunan yang dipelajari pada kalkulus.

Definisi 3.1.9 Misalkan K suatu lapangan. Misalkan S suatu K-aljabar dan D turunan (derivasi) pada S. D disebut nilpoten secara lokal (locally nilpotent) jika untuk setiap terdapat sehingga .

Contoh 3.1.10 Turunan pada gelanggang polinom seperti pada Contoh 3.1.8 merupakan turunan yang nilpoten secara lokal karena untuk setiap dengan derajat polinom terdapat sehingga . Perhatikan bahwa nilai bergantung pada polinom . Untuk berbeda nilai pun berbeda. Hal inilah yang mendasari munculnya konsep nilpoten secara lokal.

Definisi turunan yang nilpoten secara lokal tersebut khususnya akan digunakan pada pembentukan gelanggang polinom miring dari aljabar yang akan dibahas pada Subbab 3.3.

Misalkan suatu gelanggang dan adalah gelanggang polinom atas . Misalkan pula adalah turunan di

Konstruksi suatu himpunan

yaitu himpunan polinom yang berbentuk

dengan polinom di .

(5)

15

Misalkan yaitu

Untuk membentuk menjadi suatu gelanggang, didefinisikan operasi penjumlahan dan perkalian pada A sebagai berikut.

dengan jika dan jika serta

Pada definisi perkalian unsur-unsur di atas terdapat suku-suku yang mengandung . Dalam hal ini variabel berada di sebelah kiri koefisian . Selanjutnya, pada uraian berikut kita akan mencoba untuk mengubah bentuk ini menjadi bentuk dimana suku-suku pada hasilkali di atas dapat ditulis dalam bentuk polinom dengan variabel .

Definisikan . Definisi ini didasarkan atas uraian

berikut. Ambil dan

(6)

16

Dapat dilihat bahwa, .

Jadi diperoleh .

Selanjutnya, dilakukan proses rekursif sebagai berikut

dan seterusnya, sehingga diperoleh

Hasil rekursif ini dapat dibuktikan dengan induksi matematika pada pangkat sebagai berikut.

(7)

17

Ambil Perhatikan bahwa

maka persamaan benar untuk dan untuk

Misalkan persamaan benar untuk pangkat bernilai yaitu,

Akan dibuktikan bahwa persamaan tersebut benar pula untuk pangkat bernilai

(8)

18

Perhatikan bahwa pada uraian tersebut terdapat penjumlahan:

.

Ambil

(9)

19

Diperoleh

Dengan demikian, operasi penjumlahan bersifat komutatif di A. Selanjutnya, operasi penjumlahan pun bersifat assosiatif di A.

(10)

20

dengan sehingga berlaku,

Dengan uraian tersebut, dapat disimpulkan bahwa membentuk grup komutatif. Selanjutnya, akan ditunjukkan bahwa operasi perkalian di A memenuhi sifat assosiatif.

(11)

21

Diperoleh

Selain itu, operasi penjumlahan dan perkalian di A memenuhi sifat distributif.

(12)

22

juga,

Jadi, dengan definisi penjumlahan dan perkalian seperti di atas maka merupakan suatu gelanggang dan membentuk gelanggang polinom miring.

Keunikan gelanggang polinom miring ini telah lebih dahulu dinyatakan dalam

pendefinisian . Dalam hal ini . Dengan

demikian, gelanggang polinom miring merupakan suatu gelanggang yang tidak komutatif.

(13)

23

Contoh khususnya, jika dipilih , maka akan diperoleh atau yang merupakan salah satu contoh dari Aljabar Weyl seperti dibahas pada rujukan Coutinho (1995) bagian Introduction dan Chapter 1.

3.2 Gelanggang Polinom Miring dengan Banyak Variabel

Pada subbab ini akan dijelaskan perumuman bentuk dari polinom miring dengan satu variabel menjadi polinom miring dengan banyak variabel.

Definisikan

Konstruksi suatu himpunan

Dengan langkah yang sama seperti pada kasus satu variabel, untuk membentuk menjadi suatu gelanggang didefinisikan operasi penjumlahan dan perkalian pada B sebagai berikut.

(14)

24

Ambil yaitu

Operasi penjumlahan didefinisikan dengan

dengan .

Sedangkan, operasi perkalian didefinisikan dengan

Dalam operasi perkalian di atas didefinisikan bahwa turunan-turunan saling komutatif, yaitu

Juga didefinisikan

dan .

Atau secara umum dan

dengan . Definisi ini sesuai dengan kasus polinom miring dengan satu variabel.

(15)

25 3.3 Turunan Nilpoten pada Aljabar

Keberadaan suatu turunan yang nilpoten secara lokal pada suatu aljabar memegang peran yang cukup penting. Hal ini memungkinkan kita untuk memandang aljabar tersebut sebagai gelanggang polinom. Lebih lanjut, kita bisa mengkonstruksi suatu gelanggang polinom miring atas aljabar.

Lema 3.3.1 (Wright, 1981) Misalkan K suatu lapangan dan S suatu K-aljabar.

Misalkan pula D suatu turunan yang nilpoten secara lokal pada S dan terdapat sehingga , maka

(1) , dengan R gelanggang konstanta dari S

(2) .

Pembuktian Lema 3.3.1 ini diawali dengan pendefinisian dua buah homomorfisma gelanggang dan dengan didahului definisi berikut.

Definisi 3.3.2 Misalkan R dan S dua buah gelanggang. Pemetaan disebut homomorfisma gelanggang jika setiap memenuhi (i)

(ii)

Misalkan S suatu gelanggang dan D derivasi yang nilpoten secara lokal di S.

Definisikan suatu pemetaan dengan

Ambil , karena D nilpoten secara lokal maka terdapat sehingga untuk . Dengan demikian,

(16)

26

Perhatikan bahwa untuk setiap atau

untuk setiap sehingga diperoleh .

Dari (1) dan (2) diperoleh bahwa memenuhi

(17)

27

Perhatikan bahwa untuk setiap berlaku,

Dalam hal ini dan untuk

.

Berlaku pula,

(18)

28

Dalam hal ini . Dengan uraian di atas diperoleh bahwa suatu homomorfisma gelanggang.

S suatu K-Aljabar dan , maka St ideal dari S. Pandang ruang kuosien .

Selanjutnya, konstruksi juga pemetaan yang memetakan

setiap ke . Ambil , maka berlaku

(19)

29

dan

Maka juga merupakan suatu homomorfisma gelanggang.

Bukti Lema 3.3.1

Definisikan suatu pemetaan dengan

Perhatikan bahwa . Lema di atas akan dibuktikan dengan terlebih dahulu menunnjukkan bahwa merupakan suatu isomorfisma. Pertama, karena dan merupakan homomorfisma maka juga merupakan suatu homomorfisma.

Selanjutnya, untuk membuktikan pada (surjektif), cukup dibuktikan bahwa karena jika untuk setiap terdapat sehingga

maka untuk setiap .

Tulis

Dengan demikian akan terdapat sehingga

.

Misalkan dan misalkan peta dinyatakan dengan . Karena D nilpoten secara lokal maka terdapat sehingga untuk setiap

.

(20)

30

Dengan demikian

Akan dibuktikan bahwa jika maka . Pembuktian akan dilakukan dengan induksi matematika pada .

(i) Untuk

Jelas bahwa untuk setiap dengan atau maka . Jadi,

(ii) Misalkan pernyataan benar untuk

Artinya, untuk setiap dengan atau

berlaku atau terdapat sehingga

(iii) Ambil dengan atau . Definisikan

dan . Karena maka . Dengan

demikian diperoleh .

Selanjutnya,

(21)

31

Perhatikan bahwa,

Dengan demikian persamaan menjadi

Berdasarkan hipotesis induksi untuk dengan maka

terdapat sehingga . Maka diperoleh

. Jadi, yang berarti bersifat pada.

Kemudian, akan dibuktikan bahwa bersifat satu-satu (injektif).

Pembuktian akan dilakukan dengan kontradiksi. Andaikan tidak satu-satu,

maka atau terdapat sehingga . Oleh karena

itu, atau untuk setiap Berlaku pula Tulis

untuk suatu .

(22)

32

Diperoleh Karena , maka haruslah

sehingga atau untuk suatu . Diperoleh kembali dan . Proses dilanjutkan sehingga diperoleh untuk suatu . Dengan proses ini didapat bahwa membagi untuk setiap

Selanjutnya perhatikan bahwa

Karena , maka diperoleh

sehingga membagi untuk setiap . Dengan demikian untuk setiap . Hal ini kontradiksi dengan nilpoten secara lokal. Maka, haruslah . Jadi, bersifat satu-satu sehingga didapat suatu isomorfisma atau .

Pada pembahasan awal telah diperoleh , maka

. Misalkan gelanggang

konstanta , maka . Karena maka atau

.

Lema 3.3.1 menyatakan bahwa setiap aljabar yang dilengkapi dengan turunan nilpoten secara lokal di , merupakan suatu gelanggang polinom . Dengan demikian, kita bisa membentuk suatu gelanggang polinom miring

(23)

33

Lema 3.3.1 dapat diperumum untuk kasus banyak variabel seperti dinyatakan dalam teorema berikut.

Proposisi 3.3.3 (Wright, 1981) Misalkan K suatu lapangan dan S suatu K- aljabar. Misalkan derivasi-derivasi nilpoten secara lokal pada S yang komutatif dan terdapat sehingga , maka

(1) , dengan R gelanggang konstanta dari S terhadap ,

(2) .

Proposisi 3.3.3 ini dibuktian dengan induksi matematika. Kasus telah dijelaskan dengan Lema 3.3.1. Pembuktian lengkapnya dapat dilihat pada rujukan Coutinho (1995), Chapter 4 Section 3.

3.4 Gelanggang Polinom Miring sebagai Gelanggang Operator

Pada subbab ini akan dipaparkan Gelanggang Polinom Miring yang dipandang sebagai gelanggang operator. Untuk mempermudah pembahasan, hal ini dilakukan pada polinom miring dengan satu variabel.

Misalkan suatu gelanggang, adalah gelanggang polinom atas dan adalah turunan di sehingga diperoleh gelanggang polinom miring

Misalkan .

(24)

34

Ambil dan

Dalam uraian di atas,

sehingga diperoleh pula untuk setiap .

Uraian di atas menunjukkan bahwa merupakan suatu homomorfisma modul di atau sehingga diperoleh Hal ini menyatakan bahwa anggota-anggota gelanggang polinom miring merupakan operator di dan suatu subgelanggang dari dengan gelanggang operator. Dengan demikian dapat dikatakan bahwa suatu gelanggang operator.