BAB II TINJAUAN PUSTAKA

BAB II

TINJAUAN PUSTAKA

Untuk mencapai tujuan penulisan penelitian diperlukan beberapa pengertian dan teori yang berkaitan dengan pembahasan. Dalam subbab ini akan diberikan beberapa teori berupa definisi, lemma, dan teorema yang berkaitan dengan pembahasan.

2.1. Teori Grup

Definisi 2.1. Struktur aljabar tertutup terhadap operasi biner  disebut grup jika memenuhi aksioma-aksioma berikut:

a) Operasi biner bersifat asosiatif: ^{a b c  }

  

^{a b c }



, untuk setiap , ,

a b c G .

b) Terdapat unsur identitas e G , untuk * pada G sehingga berlaku a e e a a    untuk setiap a G .

c) Untuk setiap a G ada unsur a^1G sehingga a a ^1a^1 a e. ( a^-1 disebut invers a terhadap operasi *).

Grup G disebut grup komutatif atau grup abelian jika operasi * bersifat komutatif yaitu: a b b a   , untuk semua a b G,  .

Grup berhingga yaitu grup yang kardinalitasnya berhingga. Dalam hal ini kardinalitas suatu grup G disebut dengan order dari G, dinotasikan ^{ord G}

 

^atau

 

O G atau G .

Definisi 2.2. Jika H himpunan bagian atas grup G adalah grup di bawah operasi G, maka H subgrup dari G.

Teorema 2.3. (Uji satu langkah) Misalkan G grup dan H himpunan bagian yang tak kosong atas G. Maka H adalah subgrup atas G jika H tertutup di bawah operasi pembagian; yaitu jika bilamana

Teorema 2.4. (Uji dua langkah) Misalkan G grup dan H himpunan bagian tak kosong atas G. Maka, H disebut subgrup dari G jika bilamana

(tertutup terhadap perkalian), dan bilamana (tertutup terhadap invers)

Sebagai contoh, Z dan Q merupakan subgrup dari R terhadap operasi +.

Tentu saja ZQR dan masing-masing merupakan grup terhadap operasi yang sama yaitu +.

Misal G sembarang grup, a G , dan n bilangan bulat positif, maka:

 kali

: ...

n n

a aa a,

1 1 1

kali

: ...

n n

a^  a a^{ } a ^, = (aⁿ)^-1 dan a⁰:e.

Jika ada bilangan bulat tidak nol m sedemikian sehingga a^me, maka order dari unsur a, notasi ^{O a}

 

, didefinisikan sebagai bilangan bulat positif terkecil n sedemikian sehingga aⁿ e. Jika tidak ada bilangan bulat tidak nol n sedemikian sehingga aⁿ e, maka dikatakan a mempunyai order di tak hingga (infinity).

Ringkasan 2.5. Berikut ini 3 sifat dasar yang berkaitan dengan pengertian order.

1. Jika ^{O a}

 

^n, maka ada tepat n kuasa dari a (power of a) yang masing- masing berbeda, yaitu a⁰ e a a, , ,...,² a^n1.

2. Jika ^{O a}

 

tak hingga, maka semua kuasa dari a berbeda. Artinya, jika r dan s yaitu dua bilangan bulat yang berbeda, maka a^r a^s.

3. Misalkan a yaitu unsur dari grup G dan ^{O a}

 

^{n. Maka at e jika dan}

hanya jika t yaitu kelipatan dari n (t kelipatan n artinya ada bilangan bulat q sehingga t=nq).

Definisi 2.6. Misalkan H subgrup dari grup G. Himpunan bagian atas G disebut koset kiri atas H memuat . Sedangkan himpunan bagian atas G disebut koset kanan atas H memuat .

Teorema 2.7. (Teorema Lagrange) Misalkan H subgrup dari grup berhingga G.

Maka order dari H adalah pembagi dari order G.

Teorema 2.8. Order dari unsur grup berhingga G membagi order G.

Jika H merupakan subgrup dari grup G, indeks dari H di dalam G diartikan sebagai jumlah koset dari H di dalam G, notasinya



^{G H:}



^.

sedangkan



^{G H:}



^G

 H 2.2. Grup Siklik

Grup G disebut siklik jika dan hanya jika ada unsur a G (a disebut generator) sehingga



ⁿ



G a  a n Z .

Dalam kasus G grup aditif, dapat ditulis

 

G a  na n Z .

Ringkasan 2.9. (Sifat-sifat Grup Siklik)

1. Jika grup G berorder n, maka G siklik jika dan hanya jika ada a G sehingga

 

O a n.

2. Setiap grup siklik yaitu abelian.

3. Setiap subgrup dari grup siklik adalah siklik.

4. Jika G a dan b G , maka ^{O b O a .}

   

5. Jika G yaitu grup siklik berorder n dan suatu bilangan bulat k n, maka ada b G sehingga ^{O b}

 

^k.

6. Misalkan G yaitu grup abelian berorder mn dengan m dan n prima relatif. Jika G mempunyai suatu unsur a dengan ^{O a}

 

^m dan b dengan ^{O b}

 

^{n, maka}

G yaitu grup siklik dengan G ab .

7. a^r yaitu generator dari G a dengan G n jika dan hanya jika r dan n prima relatif.

2.3. Grup Homomorfisme dan Isomorphisme

Misal G dan H grup. Suatu homomorfisma (grup) dari G ke H yaitu suatu fungsi f G: H sedemikian sehingga untuk sembarang a dan b di dalam G,

     

f ab  f a f b . Bayangan (Imej) dari f, dinotasikan ^{Im f}

 

^{, yaitu}

       

Im f  f G  f x x G . Kernel dari f, dinotasikan ^{ker f}

 

^{, yaitu}

     

ker f  x G f x e (secara implisit e yaitu unsur identitas dari f).

Sifat-sifat dasar homomorfisma dinyatakan dalam Ringkasan berikut ini.

Ringkasan 2.10. (Sifat-sifat Dasar Homomorfisma) Misalkan G dan H yaitu grup, f G: H homomorfisma, maka sifat-sifat berikut dipenuhi.

1. ^{f e}

 

^e.

2. untuk setiap a G .

3. ^{Im f}

 

merupakan subgrup dari H.

4. ^{ker f}

 

merupakan subgrup dari G.

Jika homomorfisme yang bijektif, maka f disebut isomorfisme.

2.4. Ring

Struktur aljabar dengan dua operasi biner yang paling umum yaitu Ring.

Definisi 2.11. Ring R adalah himpunan dengan dua operasi + dan x (disebut dengan penjumlahan dan perkalian) yang memenuhi aksioma-aksioma berikut:

a. R, adalah grup abelian

b. Operasi adalah asosiatif : untuk setiap a b c R, ,  . c. Berlaku hukum distributif atas R : Untuk setiap a b c R, ,  memenuhi

dan

Ring R disebut komutatif jika perkaliannya bersifat komutatif. Ring R disebut mempunyai unsur kesatuan jika terdapat unsur dengan

Definisi 2.12. Unsur bukan nol dari Ring komutatif R disebut pembagi nol jika

ada unsur bukan nol sehingga

Definisi 2.13. Ring komutatif dengan unsur kesatuan disebut daerah integral jika tidak memuat pembagi nol

Definisi 2.14. Karakteristik Ring R adalah sekurang-kurangnya integer positif

sehingga untuk setiap . Jika tidak ada, R disebut berkarakteristik 0.

Teorema 2.15. Karakteristik daerah integral adalah 0 atau prima.

Teorema 2.16. Di dalam sembarang Daerah Integral D dengan karakteristik p,



^{a b}



^{p apbp} untuk semua unsur a b D,  .

Definisi 2.17. Field adalah suatu Ring komutatif, ada unsur kesatuan 1 dan setiap unsur tak nolnya mempunyai invers (multiplikatif)

Teorema 2.18. Daerah integral yang berhingga adalah field.

Akibat 2.19. Untuk setiap bilangan prima p, Ring Zp integer modulo p, adalah field

Definisi 2.20. SubRing A dari Ring R disebut ideal dari R jika untuk setiap

dan setiap , dan .

Teorema 2.21. Misal R Ring, I , I tidak kosong. Himpunan bagian I disebut R ideal jika memenuhi:

a.

b. dan dan .

Untuk setiap Ring R, {0} dan R adalah ideal atas R. Ideal {0} disebut ideal trivial.

Misalkan R Ring komutatif dengan unsur kesatuan 1 dan . Suatu himpunan merupakan ideal. Ideal yang demikian disebut ideal utama yang dibangun oleh .

Definisi 2.22. Suatu ideal I atas Ring komutatif R disebut ideal prima atas R jika dan sehingga dan . Suatu ideal B atas Ring komutatif R disebut ideal maksimal atas R jika B adalah ideal atas R dan maka B = A atau B = R.

Misalkan Ring R dan I merupakan ideal dari R. Karena R merupakan grup terhadap penjumlahan dan I subgrup dari R, maka Ring faktor dapat ditulis

sebagai .

Teorema 2.23. Misal R Ring komutatif dengan unsur kesatuan 1. I ideal maksimal dari R. Maka R I adalah field jika dan hanya jika I ideal maksimal.

Definisi 2.24. Suatu homomorfisma dari Ring R ke Ring R^' yaitu suatu fungsi : '

f RR yang memenuhi, berlaku : a. ^{f a b}



^



^{ f a}

 

^{ f b}

 

^{, dan}

b. ^{f ab}

 

^{ f a f b}

   

^.

Jika f surjektif, maka R disebut bayangan homomorfik dari R.^' Kernel dari f diDefinisikan

     

ker f  x R f x 0 , dan range dari f diDefinisikan

     

ran f  f x x R .

Jika f homomorfisma yang bijektif, maka f disebut isomorfisma. Dalam hal ini R dan R^' dikatakan isomorfik, dinotasikan

Teorema 2.25. Misal f R: R^' Ring homomorfisma. Maka

     

ker f  x R f x 0 merupakan ideal dari R.

Teorema 2.26. R I merupakan bayangan homomorfik dari R.

Teorema 2.27. (Teorema dasar homomorfisme) Misalkan f R: R^' merupakan epimorfisme, dan misalkan K yaitu kernel dari f. Maka .

2.5. Ring Polinomial

Misalkan R Ring komutatif dengan unsur kesatuan, dan x simbol yang tak

tetap. Setiap ekspresi berbentuk disebut

polinomial dalam x dengan . Polinomial dalam x dapat ditulis dengan

dan lain-lain. Misal

merupakan sembarang polinomial, derajat dari polinomial yaitu bilangan terbesar n sehingga koefisien dari bukan nol dan dinotasikan dengan deg .

Polinomial yang semua koefisiennya nol

disebut polinomial nol, dan dinotasikan dengan Jika polinomial maka berderajat nol dan disebut polinomial konstan. Misalkan

dan

. Operasi penjumlahan dan perkalian polinomial didefinisikan sebagai berikut :

Dimana

Dimana, , untuk k = 0, …, m+n

Jika R Ring, maka menotasikan himpunan semua polinomial dalam x yang koefisiennya ada di R dengan operasi penjumlahan dan perkalian seperti yang didefinisikan sebelumnya.

Teorema 2.28. Misal R Ring komutatif dengan unsur kesatuan 1. Maka R[x]

merupakan Ring komutatif dengan unsur kesatuan 1.

Teorema 2.29. Jika R adalah daerah integral, maka R[x] adalah daerah integral.

Definisi 2.30. Suatu polinomial irredusibel atas F bila f(x) tidak dapat

dinyatakan sebagai perkalian dimana keduanya

berderajat lebih rendah dari f(x).

Teorema 2.31. Misal F field dan Ring polinomial ^{F x}

 

^{. Jika f x g x}

 

^{, ( )F x}

 

dengan ^{g x}

 

^0, maka ada polinomial unik ^{q x r x}

 

^{, ( )F x}

 

^sehingga

     

( )

f x q x g x r x dengan ^{r x}

 

^{0 atau derajat r x}

 

^{derajat g x}

 

^.

Teorema 2.32. Misal F field, I ideal tak nol di F[x], dan unsur Ideal jika dan hanya jika merupakan polinomial tak nol berderajat terendah di I.

Teorema 2.33. Semua ideal dari merupakan ideal utama

Teorema 2.34. Misal F field dan . ideal maksimal jika dan hanya jika irredusibel atas F.

Teorema 2.35. ideal maksimal jika dan hanya jika field.

2.6. Perluasan Field

Definisi 2.36. Jika E field yang memuat subfield F, maka E disebut perluasan field dari F.

Definisi 2.37. Misal E perluasan field dari field F dan c E . c disebut algebraic atas F jika ^{f c}

 

^{0 untuk f x}

 

^{F x}

 

yang tak nol.

Gambar 1. Perluasan Field F

Definisi 2.38. Misal E perluasan field dari field F dan c E algebraic atas F.

Polinomial monik ^{p x}

 

merupakan polinomial irredusibel dengan akar c atas F E

c

 F

dinotasikan dengan ^{irr ,}



^{c F}



dan derajat dari polinomial irredusibel dengan akar c atas F dinotasikan dengan ^{deg ,}



^{c F}



Teorema 2.39. Misal F subfield dari field E, c E dan x tak tentu (indeterminate). Pemetaan c^:F x

 

E yang diDefinisikan dengan

    ^{ }

c f x f c

  dimana f x

 

a0a x1  ... a x_n ⁿ, ^{f x}

 

^{F x}

 

^merupakan

homomorfisma. Homomorfisma _c disebut homomorfisma evaluasi dan berlaku

 

c x c

  sertac

 

a a, a F .

Kernel atas homomorfisma merupakan himpunan semua polinomial sehingga . Jadi, kernel berisi semua polinomial

sehingga c merupakan akar dari . Misalkan kernel dinotasikan sebagai , menurut Teorema 2.25 kernel untuk setiap homomorfisma merupakan ideal, sehingga merupakan ideal dari F[x]. Menurut Teorema 2.33 setiap ideal dari F[x] merupakan ideal utama. Karena merupakan ideal utama dan berdasarkan Teorema 2.32, ,

dengan polinomial berderajat terendah. Dengan Definisi 2.30 mudah untuk membuktikan bahwa merupakan polinomial irredusibel. Misalkan

Sehingga ,

dimana . Hal ini tidaklah mungkin, karena merupakan polinomial berderajat terendah di dalam . Sehingga merupakan polinomial berderajat lebih tinggi dari Maka menurut Definisi 2.30, merupakan polinomial irredusibel. Karena setiap konstanta pengali dari ada di maka monik. Sehingga dapat disimpulkan bahwa merupakan polinomial minimum dari c atas F.

Lalu bagaimana dengan Range dari ?

Range

Dari penjelasan di atas diperoleh merupakan epimorfisme, dengan polinomial irredusibel. Dengan menggunakan Teorema dasar homomorfisme, maka . Menurut Teorema 2.34, jika

polinomial irredusibel maka merupakan ideal maksimal. Dan berdasarkan Teorema 2.35 dapat disimpulkan bahwa merupakan field. Karena maka juga merupakan field.

Teorema 2.40. Misal F field dan ^{p x}

 

polinomial tak konstan di ^{F x}

 

^{. Ada}

suatu perluasan field E dari F dan unsur c di E sehingga c akar dari ^{p x}

 

^.

Definisi 2.41 V himpunan, F field, operasi di V yaitu penjumlahan dan perkalian skalar. V disebut ruang vektor atas F jika memenuhi aksioma berikut:

1. Untuk setiap ,a b V 

terdapat tunggal c V

sehingga tertutup terhadap penjumlahan: a b c  

. 2. Untuk setiap , ,a b c V  

bersifat asosiatif:



^{a b}



^{  c a }

 

^{b c .}

3. Terdapat tunggal identitas 0 V

, untuk setiap a V

sehingga 0 0

a     a a  . 4. Untuk setiap a V

terdapat tunggal invers b V

sehingga 0

a b b a      

, b a . 5. Untuk setiap ,a b V 

bersifat komutatif: a b b a     . 6. Untuk setiap k F dan setiap a V

terdapat tunggal b V

sehingga tertutup terhadap perkalian: ka b 

. 7. Untuk setiap k F dan setiap ,a b V 

, ^{k a b}



^



^{ka kb .}

8. Untuk setiap ,k l F dan setiap a V

,



k l a ka la



   . 9. Untuk setiap ,k l F dan setiap a V

,

 

^{kl a k la}

 

^{ .}

10. Untuk setiap a V

, 1a a 

; 1 unsur identitas di F, .

Definisi 2.42. Misal E perluasan field dari field F. Jika E ruang vektor atas F berdimensi hingga n, maka E disebut perluasan hingga berderajat n atas F. Derajat E atas F sama dengan n dinotasikan



^{E F:}



^n.

Definisi 2.43. Jika field E dibangun oleh unsur satu c atas field F: ^{E F c}

 

^,

maka E disebut perluasan tunggal dari F dan unsur c disebut unsur primitif atau akar primitif untuk perluasan.

Teorema 2.44. Misal ^{E F c}

 

dengan c E algebraic atas F, dan

 

deg ,c F n, n . Setiap unsur 1  dari ^{E F c}

 

dapat dinyatakan secara unik dalam bentuk   b₀ b c₁ ¹ ... b c_n1 ^n1, dimana biF x

 

.

Teorema 2.45. Derajat dari atas F sama dengan derajat dari polinomial minimum dari c atas F.

Sebagai contoh, i merupakan akar dari polinomial irredusibel atas R[x]. mempunyai derajat 2, menurut Teorema 2.44, dengan basisnya {1, i}. Setiap unsur dalam R[i] merupakan kombinasi linear dari 1 dan i yang berbentuk dimana dan dinotasikan dengan

.

Teorema 2.46. Misalkan merupakan polinomial irredusibel berderajat m, maka adalah finite field berderajat . Operasi penjumlahan polinomial dan operasi perkalian polinomial dilakukan dalam modulo .

Teorema 2.47. Misal E perluasan field dari field F dan c E algebraic atas F.

Jika ^{deg ,}



^{c F}



^{n, maka F c}

 

ruang vektor atas F berdimensi-n dengan basis



^{1, , ...,c c2 cn1}



^.

Lemma 2.48. Misal basis dari ruang vektor K atas F dan basis dari ruang vektor E atas K. Maka himpunan perkalian

merupakan basis dari ruang vektor E atas field F.