Bab 3 bahan ajar. ppt

Sistem Persamaan Linear

dan Kuadrat

Prasyarat

1. Di SMP, kalian telah mempelajari sistem persamaan linear dua variabel dan cara menyelesaikannya. Coba tentukan penyelesaian dari sistem persamaan linear berikut.

A. Sistem Persamaan Linear Dua

Variabel

• Suatu sistem persamaan yang terdiri atas dua persamaan

linear yang masing-masing bervariabel dua dikenal dengan sistem persamaan linear dua variabel.

• Jika kedua variabel tersebut adalah x dan y, bentuk umum sistem persamaan linear dua variabel (SPLDV) ditulis:

a1x + b1y = c1

a2x + b2y = c2

dengan a1, b1, c1, a2, b2, dan c2 bilangan-bilangan real,

a1, b1 tidak bersama-sama nol, dan

• Jika

c

1

=

c

2

= 0 maka SPLDV disebut

homogen

,

sedangkan jika

c

1

≠ 0 atau

c

2

≠ 0 maka SPLDV itu

dikatakan

non-homogen

. Misalnya:

x

– 2

y

= 0

2

x

+

y

= 0

2

x

–

y

= 4

2

x

+

y

= 0

... SPLDV homogen

Jika x = x₀ dan y = y₀ atau dalam pasangan terurut dapat dituliskan (x₀, y₀) memenuhi sistem persamaan di atas, berlaku hubungan

a₁x₀+ b₁y₀ = c₁ a₂x₀ + b₂y₀ = c₂

Pasangan terurut (x₀, y₀) disebut penyelesaian SPLDV itu dan himpunan yang beranggotakan penyelesaian SPLDV itu disebut himpunan penyelesaian.

Secara geometri, penyelesaian SPLDV dapat ditafsirkan sebagai titik potong antara garis lurus:

1. Menyelesaikan SPLDV dengan Metode Grafik

• Perhatikan sistem persamaan berikut.

x + y = 5 …(i)

x – y = 1 …(ii)

Gambar grafik persamaan (i) dan (ii) dalam bidang Cartesius. Tentukan dua titik potong garis terhadap sumbu X dan sumbu Y. (i) (ii)

Diperoleh titik potong:

garis (i) : (0, 5) dan (5, 0) garis (ii) : (0, -1) dan (1, 0)

x

0

5

y

5

0

x

0

1

Perhatikan ilustrasi berikut.

Dari grafik di atas, tampak titik potong kedua garis, yaitu

Secara umum, langkah-langkah untuk

menyelesaikan SPLDV dengan metode grafik

adalah sebagai berikut.

– Gambarlah grafik masing-masing persamaan.

Perlu kalian ketahui bahwa posisi (kedudukan) antara

kedua garis itu (berpotongan, sejajar, atau berimpit)

Contoh:

Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem

persamaan berikut:

x + y

= 3

x – y

= 1

Jawab:

Gambar grafik kedua garis (menentukan titik potong

garis terhadap sumbu X dan sumbu Y)

Perhatikan gambar berikut.

Dengan memperhatikan grafik di atas, tampak

2. Menyelesaikan SPLDV dengan Metode Substitusi

Misalkan diketahui sebuah SPLDV berikut.

x – y = 3

x + 2y = 15

SPLDV di atas akan diselesaikan dengan metode substitusi. • Dari persamaan x – y = 3 diperoleh y = x – 3

Secara umum, langkah-langkah untuk

menyelesaikan SPLDV dengan cara ini adalah

sebagai berikut:

– Pilihlah salah satu persamaan (pilihlah

persamaan yang sederhana jika ada), kemudian

nyatakan salah satu variabel persamaan itu ke

dalam variabel persamaan yang lain.

3. Menyelesaikan SPLDV dengan Metode Eliminasi

Perhatikan sistem persamaan berikut:

x – y = 3

x + 2y = 15

Langkah-langkah penyelesaian:

– Mengeliminasi (menghilangkan) variabel x untuk menentukan variabel y.

x – y = 3

– Mengeliminasi variabel x untuk memperoleh nilai y.

x – y

= 3 × 2 2

x

– 2

y

= 6

x

+ 2

y

= 15 × 1

x

+ 2

y

= 15

+

3

x

= 21

x

= 7

Dalam menyelesaikan SPLDV juga digunakan metode eliminasi dan substitusi (metode campuran).

Contoh :

Carilah himpunan penyelesaian dari SPLDV berikut. 2x – 3y = 13

2x + 4y = 6 Jawab:

Untuk mencari nilai x, eliminasi variabel y. 2x – 3y = 13 × 4 8x – 12y = 52

2x + 4y = 6 × 3 6x + 12y = 18 +

14x = 70 x = 5

Untuk mencari nilai y, substitusikan x = 5 ke dalam salah satu persamaan semula (boleh dipilih persamaan yang

pertama atau kedua).

Misalnya, dipilih persamaan 2x – 3y = 13 sehingga diperoleh

2(5) – 3y = 13

–3y = 3

y = 1

4. Menyelesaikan Sistem Persamaan Nonlinear yang Dapat Diubah ke Bentuk SPLDV

Misalkan diberikan sistem persamaan berikut:

Apakah sistem persamaan di atas termasuk SPLDV? Tentu tidak.

Bagaimana menyelesaikan sistem persamaan tersebut? Caranya adalah, ubahlah menjadi bentuk SPLDV.

Misalkan sehingga diperoleh sistem persamaan berikut:

Diperoleh sistem persamaan linear: 2a + 3b = 5

6a – 5b = 1

Bentuknya adalah SPLDV dengan variabel a dan b.

Coba selesaikan SPLDV tersebut! Kemudian, nilai a dan

b disubstistusikan ke pemisalan semula.

B. Sistem Persamaan Linear

Tiga Variabel

Sistem persamaan linear tiga variabel (SPLTV) terdiri atas tiga persamaan dengan tiga variabel.

SPLTV memiliki bentuk umum sebagai berikut.

a1x + b1y + c1z = d1

a2x + b2y + c2z = d2

a3x + b3y + c3z = d3

dengan a1 ,a2 ,a3 ,b1 ,b2 ,b3 ,c1 ,c2,c3 ,d1 ,d2,dan d3

Jika x = x0, y = y0, dan z = z0 memenuhi sistem persamaan

di atas maka berlaku hubungan berikut.

a1x0 + b1y0 + c1z0 = d1

a2x0 + b2y0 + c2z0 = d2

a3x0 + b3y0 + c3z0 = d3

Pasangan berurutan (x0, y0, z0) disebut penyelesaian dari

sistem persamaan.

Himpunan yang beranggotakan penyelesaian sistem persamaan itu, yaitu {(x0, y0, z0)}, disebut himpunan

1. Menyelesaikan SPLTV dengan Metode Substitusi

Perhatikan SPLTV berikut.

4x + 3y + z = 21 ... (1) 2x + y + 2z = 15 ... (2) 3x + 2y – 3z = 0 ... (3) SPLTV di atas dapat diselesaikan dengan metode substitusi dengan langkah-langkah sebagai berikut: Dari persamaan (1), yaitu 4x + 3y + z = 21, diperoleh z = 21 – 4x – 3y.

Substitusi ke persamaan (2): 2x + y + 2z = 15

2x + y + 2(21 – 4x – 3y) = 15

2x + y + 42 – 8x – 6y = 15

–6x – 5y = –27 ... (4)

Substitusi ke persamaan (3): 3x + 2y – 3z = 0

3x + 2y – 3(21 – 4x – 3y) = 0

3x + 2y – 63 + 12x + 9y = 0

5

Kemudian disubstitusikan ke persamaan (5) maka

diperoleh:

Sehingga diperoleh

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {(2, 3, 4)}.

Langkah-langkah menyelesaikan SPLTV dalam variabel x, y, dan z dengan metode substitusi:

1. Pilihlah salah satu persamaan yang sederhana, kemudian nyatakan x sebagai fungsi y dan z, atau y sebagai fungsi x dan z, atau z sebagai fungsi x dan y.

2. Substitusikan

x

atau

y

yang diperoleh pada

langkah pertama ke dalam dua persamaan

yang lain sehingga diperoleh SPLDV.

2. Menyelesaikan SPLTV dengan Metode Eliminasi

Prinsip utama metode eliminasi adalah menghilangkan variabel satu demi satu untuk memperoleh nilai variabel yang lain. Perhatikan langkah-langkah berikut.

– Eliminasi salah satu variabel x atau y atau z sehingga diperoleh SPLDV.

– Selesaikan SPLDV yang diperoleh pada langkah pertama.

Contoh:

Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linear dengan metode eliminasi.

x – 3y + z = –1 Eliminasi variabel z pada persamaan (1) dan (2), diperoleh persamaan (4).

x – 3y + z = –1 5x + y – z = 5

–––––––––––– +

Eliminasi variabel

z

pada persamaan (1) dan (3),

diperoleh persamaan (5).

x

– 3

y + z

= –1

8

x

– 6

y – z

= 1

–––––––––––– +

9

x

– 9

y

= 0

x – y =

0 ... (5)

Persamaan (4) dan (5) membentuk SPLDV dan

penyelesaian dari SPLDV ini adalah

3

x – y

= 2

x – y

= 0

–––––––– –

Untuk memperoleh nilai y, eliminasikan x 3x – y = 2 × 1 3x – y = 2

x – y = 0 × 3 3x – 3y = 0 –––––––––– – 2y = 2 y = 1

Untuk menentukan nilai z, eliminasikan salah satu

variabel x atau y sehingga kalian memperoleh SPLDV yang mengandung variabel z. Sehingga akan

memperoleh z = 1.

Sistem persamaan

y = 2 – x

y = x2 – 3x + 2

merupakan sebuah contoh sistem persamaan linear dan kuadrat.

Secara umum dapat dikatakan bahwa sistem persamaan linear dan kuadrat (SPLK) terdiri atas sebuah persamaan linear dan sebuah persamaan kuadrat yang

masing-masing mempunyai dua variabel.

• SPLK dengan bagian kuadrat berbentuk eksplisit

Suatu persamaan dua variabel x dan y dikatakan berbentuk eksplisit

jika persamaan itu dapat diubah menjadi bentuk y = f(x) atau x = f(y). Bentuk umum:

y = ax + b ………... (bagian linear)

y = px2 + qx + r ……..…(bagian kuadrat)

• SPLK dengan bagian kuadrat berbentuk implisit

Persamaan dua variabel x dan y dikatakan berbentuk implisit jika persamaan itu mempunyai bentuk umum sebagai berikut.

ax + by + c = 0 ……...…. (bagian linear)

Langkah-langkah menyelesaikan SPLK adalah sebagai berikut.

Langkah 1: Pada bagian persamaan linear, nyatakan x dalam y atau y dalam x.

Langkah 2: Substitusikan x atau y yang diperoleh dari langkah pertama ke bagian bentuk kuadrat sehingga diperoleh persamaan kuadrat dalam x atau y.

Langkah 3: Selesaikan persamaan kuadrat yang diperoleh dari langkah dua, kemudian nilai-nilai yang diperoleh

Banyaknya penyelesaian pada SPLK ditentukan oleh diskriminan (D) dari persamaan kuadrat yang diperoleh pada langkah kedua.

a. Jika D > 0 maka SPLK memiliki dua penyelesaian berbeda (garis memotong kurva di dua titik

berlainan).

b. Jika D = 0 maka SPLK memiliki tepat satu penyelesaian (garis menyinggung kurva).

c. Jika D < 0 maka SPLK tidak memiliki penyelesaian (garis tidak menyinggung kurva).

Dari gambar di atas, tampak bahwa jika D adalah diskriminan persamaan kuadrat y = px2 + qx + r dan

y = ax + b, berlaku sebagai berikut.

• Kedua grafik berpotongan di titik A dan B (SPLK mempunyai 2 penyelesaian), berarti D > 0.

• Kedua grafik bersinggungan di titik C (SPLK mempunyai 1 penyelesaian), berarti D = 0.

Contoh:

D. Sistem Persamaan Kuadrat dan

Kuadrat

Sistem persamaan kuadrat dan kuadrat (SPKK) terdiri atas dua persamaan kuadrat yang masing-masing

memuat dua variabel.

Bentuk umumnya adalah sebagai berikut.

dengan a, b, c, p, q, dan r merupakan bilangan-bilangan real.

y = ax2 + bx + c ... (bagian kuadrat pertama)

Misalkan terdapat SPKK sebagai berikut. y = x2 ... (1)

y = x2 – 2x ... (2)

Substitusi persamaan (1) ke persamaan (2), diperoleh x2 = x2 – 2x

2x = 0 x = 0

Untuk x = 0 maka dengan mudah diperoleh y = 0.

Jadi, himpunan penyelesaian SPKK tersebut adalah {(0, 0)}.

Secara geometris, anggota himpunan penyelesaian SPKK di atas adalah titik potong antara kurva y = x2 dan y = x2 – 2x seperti pada

Secara umum, untuk memperoleh penyelesaian SPKK

dilakukan langkah-langkahsebagai berikut.

_{Langkah 1: Substitusikan bagian kuadrat persamaan}

pertama ke bagian kuadrat yang kedua atau

sebaliknya sehingga diperoleh persamaan kuadrat.

_{Langkah 2: Selesaikan persamaan kuadrat yang}

diperoleh pada langkah pertama.

_{Langkah 3: Substitusikan nilai x yang diperoleh pada}

Banyaknya penyelesaian yang diperoleh ditentukan oleh banyaknya nilai x pada penyelesaian langkah kedua.

Dengan demikian, nilai itu bergantung pada nilai diskriminannya.

 Jika D > 0, SPKK mempunyai dua penyelesaian (parabola berpotongan di dua titik).

 Jika D = 0, SPKK mempunyai satu penyelesaian (parabola berpotongan di satu titik atau saling

bersinggungan).

Misalkan D adalah diskriminan persamaan kuadrat dari y = ax2 + bx + c dan y = px2 + qx + r. Penyelesaian SPKK dapat

Secara umum, dapat kita katakan sebagai berikut.

Misalkan diketahui SPKK:

y = ax2 + bx + c

y = px2 + qx + r

dengan a, b, c, p, q, dan r bilangan real.

Banyak penyelesaian SPKK ditentukan sebagai berikut.

• Jika a – p = 0 atau a = p, SPKK memiliki satu penyelesaian.

• Jika a – p ≠ 0 dan D > 0, SPKK memiliki dua penyelesaian.

• Jika a – p ≠ 0 dan D = 0, SPKK memiliki satu penyelesaian.

Contoh:

Tentukan himpunan penyelesaian SPKK berikut dan gambarkan sketsa grafik tafsiran geometrisnya.

y = x2

y = 2x2 – 3x

Jawab:

Substitusikan bagian kuadrat yang pertama y = x2 ke

bagian kuadrat yang kedua y = 2x2 – 3x diperoleh

Anggota-anggota dari himpunan penyelesaian SPKK di

atas secara geometris dapat ditafsirkan sebagai koordinat

titik potong antara parabola y = x2 dengan parabola

E. Merancang Model Matematika

yang

Berkaitan dengan Sistem

Persamaan

Langkah-langkah:

- Identifikasi masalah yang akan diselesaikan, yang merupakan sebuah sistem persamaan.

- Nyatakan besaran dalam masalah sebagai variabel (dilambangkan dengan huruf-huruf) sistem persamaan. - Rumuskan sistem persamaan yang merupakan model matematika dari suatu masalah.

- Tentukan penyelesaian model matematika sistem persamaan yang diperoleh pada langkah kedua.

Contoh:

Harga 4 buku tulis dan 3 pensil adalah Rp19.500,00. Harga 2 buku tulis dan 4 pensil adalah Rp16.000,00.

Tentukan harga sebuah buku tulis dan sebuah pensil. Jawab:

Misalkan harga buku tulis x dan harga pensil y.

Harga 4 buku tulis dan 3 pensil Rp19.500,00  4x + 3y = 19.500 Harga 2 buku tulis dan 4 pensil Rp16.000,00  2x + 4y = 16.000 Dari sini diperoleh sistem persamaan linear dua variabel

Penyelesaiannya adalah sebagai berikut. Mengeliminasi variabel x:

4x + 3y = 19.500 × 1 4x + 3y = 19.500

x + 2y = 8.000 × 4 4x + 8y = 32.000 –5y = –12.500

y = 2.500 Mengeliminasi variabel y:

4x + 3y = 19.500 × 2 8x + 6y = 39.000

x + 2y = 8.000 × 3 3x + 6y = 24.000 5x = 15.000

x = 3.000

Penyelesaian persamaan itu adalah x = 3.000 dan y = 2.500.

Dengan demikian, harga sebuah buku tulis Rp3.000,00 dan harga sebuah bolpoin Rp2.500,00.