BAB 3
Sistem Persamaan Linear dan
Pertidaksamaan Satu Variabel
Standar Kompetensi:
Memecahkan masalah yang berkaitan dengan sistem persamaan linear dan pertidaksamaan linear
Kompetensi Dasar:
Menyelesaikan sistem persamaan linear dan sistem persamaan campuran linear dan kuadrat dalam dua variabel
Merancang model matematika dari masalah yang berkaitan dengan sistem persamaan linear
Menyelesaikan model matematika dari masalah yang berkaitan dengan sistem persamaan linear dan penafsirannya
Menyelesaikan pertidaksamaan satu variabel yang melibatkan bentuk pecahan aljabar
Merancang model matematika dari masalah yang berkaitan dengan pertidaksamaan satu variabel
Sistem Persamaan Linear dengan Dua Variabel (SPLDV)
SPLDV dalam variabel
x
dan
y
dapat ditulis sebagai
dengan
a
,
b
,
c
,
p
,
q
, dan
r
atau a
1, b
1, c
1, a
2, b
2, dan c
2merupakan bilangan-bilangan real.
r
qy
px
c
by
ax
2 2 2 1 1 1c
y
b
x
a
c
y
b
x
a
atau
SPLDV homogen:
5
1
y
x
y
x
SPLDV tak homogen:
Penyelesaian SPLDV
Contoh
x + y = 1
x + y = 5
mempunyai penyelesaian (2,3)
1
-1 2 3 4 5
Y
X 0
(-1, 0)
(2, 3) 2
3 4
5 (0, 5)
(5, 0)
g : x + y = 1 1
g : x + y = 5
2
Penyelesain suatu SPLDV dengan dua peubah dapat ditentukan dengan beberapa cara
i. Metode Grafik ii. Metode Subtitusi
Metode Subtitusi
Contoh: 2x 3y
= 7
3x + 2y = 4 Jawab:
2x 3y
= 7
2x = 7 + 3y
x = 7 + 3y
2 Subtitusikan ke persamaan
3x + 2y = 4, diperoleh:
3
2 7 + 3y
+ 2y = 7
3(7 + 3y) + 4y = 8
21 + 9y + 4y = 8
13y = 13
y = 1
Jadi, himpunan penyelesaian SPLDV adalah (2,
1)
x =
x = 2 7 + 3y(2 1)
Subtitusikan nilai y = 1 ke persamaan x
=
7 + 3y
Metode Eliminasi
Nilai x dicari dengan cara mengeliminasi peubah y, sedangkan nilai y dicari dengan cara mengeliminasi peubah x.
Contoh:
Carilah himpunan penyelesaian sistem persamaan:
8 3
4
3 4
2
y x
y x
Jawab:
x
24 + y = 3 ,tiap ruas dikalikan 4
y + 4 3
x + = 8, tiap ruas dikalikan 3
Dengan demikian, persamaan semula ekuivalen dengan SPLDV:
x + 4y = 14
Sistem Persamaan Linear dengan Tiga Variabel (SPLTV)
SPLTV
dalam variabel
x,
y
, dan
z
dapat ditulis sebagai:
Himpunan penyelesaian SPLTV dapat ditentukan dengan:
i. Metode Subtitusi,
ii. Metode Eliminasi, atau
iii. Metode Determinan.
Sistem Persamaan Linear dan Kuadrat (SPLK)
SPLK dengan Bagian Kuadrat Berbentuk Eksplisit
y = ax + b
y = px2 + qx + r
... bagian linear ... bagian kuadrat
Langkah 1
Subtitusikan bagian linear y = ax + b ke bagian kuadrat y = px2 + qx + r, diperoleh
ax + b = px2 + qx + r
px2 + qx − ax + r − b = 0
px2 + (q − a)x + (r − b) = 0, merupakan persamaan kuadrat dalam x.
Langkah 2
Nilai-nilai x pada Langkah 1 (jika ada) disubtitusikan ke persamaan ke persamaan
SPLK dengan Bagian Kuadrat Berbentuk Implisit
SPLK dengan bagian berbentuk implisit
px + qy + r = 0
ax + by2 + cxy + dx + ey + f = 0
... bagian linear
... bagian kuadrat berbentuk implisit
Himpunan penyelesaian SPLK dengan bagian kuadrat berbentuk implisit yang tak dapat difaktorkan
Langkah 1:
Pada bagian persamaan linear, nyatakan x dalam y atau y dalam x.
Langkah 2:
Substitusikan x atau y pada Langkah 1 ke bagian bentuk kuadrat, sehingga diperoleh persamaan kuadrat dalam x atau y.
Langkah 3:
Contoh
Carilah himpunan penyelesaian dari SPLK
x + y − 1 = 0
x2 + y2 − 25 = 0
Jawab:
Substitusi y = 1 − x ke persamaan x² + y² − 25 = 0
x2 + (1 − x)
2 − 25 = 0
Û x2 + 1 − 2x + x2 − 25 = 0
Û 2x2 − 2x − 24 = 0
Û x2 − x − 12 = 0
Û (x + 3)(x − 4) = 0 Û x = −3 atau x = 4
Untuk x = −3 diperoleh: y = 1 − (−3) = 4 (−3,4). Untuk x = 4 diperoleh: y = 1 − 4 = −3 (4, −3).
3 4 5 2
1 1
2 3 4 5
−1
−2
−3
−4
−5 −1 −2
−3 −4
−5 0
(-3, 4)
(4, −3)
x + y − 1 = 0
Y
SPLK dengan Bagian Kuadrat Berbentuk Implisit
Dapat Difaktorkan
Menentukan himpunan penyelesaian SPLK
Bentuk linear
Bentuk kuadrat yang dapat difaktorkan
SPLDV yang diperoleh
L = 0
L = 0
L = 1 0
L = 0
L = 2 0
L = 0
2
atau
L = 0
1
atau
1
Carilah himpunan penyelesaian dari SPLK berikut
2x + 3y = 8
4x 2 − 12x + 9y2 = 16
Jawab:
4x2 − 12xy + 9y2 = 16
Û (2x− 3y)2 − 16 = 0 Û (2x − 3y + 4)(2x − 3y − 4) = 0
Û 2x − 3y + 4 = 0 atau 2x − 3y −4 = 0
2x + 3y = 8
2x − 3y + 4 = 0
Dari SPLDV ini diperoleh penyelesaian (1,2).
2x + 3y = 8
2x − 3y − 4 = 0
Dari SPLDV ini diperoleh penyelesaian (3, ).2 3
Jadi, himpunan penyelesaian SPLK itu adalah {(1,2), (3, )}.2 3
Pertidaksamaan Satu Variabel
Pengertian Selang
Misalkan
R
adalah himpunan bilangan real.
{
x
l
x
< 3,
x
R
Himpunan-himpunan bagian dari himpunan bilangan real
R
dinamakan
selang
ata
interval
.
Selang pada umumnya merupakan himpunan penyelesaian dari suatu
pertidaksamaan.
−2 −1 0 1 2 3
No.
Selang atau Interval
Grafik Selang
1.
p < x < q2.
p ≤ x ≤ q3.
p ≤ x < q4.
p < x ≤ q5.
x < q6.
x ≤ q7.
x p8.
x ≥ p
p
o
o
q
p q
p q
o
o
p q
o
q
q
Pertidaksamaan Linear Satu Variabel
Contoh:
4
x
− 6
0
Û
3
x
6
Û
x
2
Jadi, himpunan penyelesaiannya, HP =
{x
l
x
2
}.
−2 −1 0 1 2 3 4
2 1
2
x
<
1−2 −1 0 1 2 3 4
Pertidaksamaan Pecahan
Himpunan penyelesian pertidaksamaan berbentuk pecahan
dapat ditentukan melalui langkah-langkah berikut.
f(x)
g(x)
f(x)
g(x)
f(x)
g(x)
f(x)
g(x) < 0, ≤ 0, 0, atau ≥ 0
Langkah 1
Carilah nilai-nilai nol bagian pembilang dan bagian penyebut dari bentuk pecahan
yaitu f(x) = 0 dan g(x) = 0
f(x)
g(x)
Langkah 2
Gambarlah nilai-nilai nol itu pada diagram garis bilangan, sehingga diperoleh interval-interval.
Langkah 3
Tentukan tanda-tanda interval dengan cara mensubstitusikan nilai-nilai uji yang berada dalam masing-masing interval.
Langkah 4
o
2
1
+
+
Penyebut tidak boleh sama dengan nol 3x + 3 0 x 1
Jadi, himpunanpertidaksamaan pecahan adalah
HP = {x l 1 < x ≤ 2}
2x 4
3x + 3 ≤ 0
2x
43x + 3
≤ 0
Jawab:
Nilai nol bagian pembilang : 2x 4 = 0 x = 2
Nilai nol bagian penyebut : 3x + 3 = 0 x = 1
Nilai-nilai nol pembilang dan penyebut, serta tanda-tanda interval diperlihatkan pada
