MATEMATIKA UNTUK PGSD MATEMATIKA UNTUK PGSD

MAKALAH PERSAAMAAN LINEAR

BESERTA SIFAT – SIFAT & CONTOH

Dosen Pengampu :

Dra. Endang Setyo Winarni, M. Pd

Disusun Oleh :

Reynaldi Choirul Fadjri : 150151603160

Kartika Widiarti : 150151603047

FAKULTAS ILMU PENDIDIKAN

PENDIDIKAN GURU SEKOLAH DASAR

A.

Persamaan Linear

1.Kalimat Terbuka

Kalimat yang memuat variabel bebas disebut kalimat terbuka : Contoh :

a. x adalah bilangan ganjil b. y lebih besar dari 15 c. p kurang dari 2

d. n adalah bilangan genap

Pada contoh di atas variabel bebasnya yaitu x, y, p, dan n. Apabila x, y, p, dan n diganti secara berarti maka diperoleh suatu proposisi. Misalnya x pada contoh a. diganti 3

kalimatnya menjadi 3 adalah bilangan ganjil (proposisi benar) dan apabila x diganti 2 kalimatnya menjadi 2 adalah bilangan ganjil (proposisi salah). Pengganti-pengganti x, y, p, dan n yang membuat kalimat-kalimat tersebut menjadi proposisi disebut konstanta. Konstanta-konstanta yang membuat

kalimat terbuka menjadi proposisi benar disebut penyelesaian atau jawaban.

2.Kesamaan

Suatu proposisi benar yang memuat tanda “sama” disebut kesamaan.

Contoh : 2 x 5 = 10 x 1

14 = 2 x 7 6 + 2 = 8

Bagian yang dipisahkan dengan tanda “=” disebut ruas, di sebelah kiri tanda “=”

Disebut ruas kiri dan yang di sebelah kanan tanda “=” disebut ruas kanan.

Sifat-sifat kesamaan : a. Sifat Aditif

Jika a = b maka a + c = b + c adalah benar, dengan a, b dan c bilangan real.

Contoh : jika 2 + 5 = 7 maka (2+5) + 4 = 7 + 4 bernilai

Contoh : 2x = 14 3y = y2

4n + 7 = 2n + 11

Menyelesaikan suatu persamaan merupakan suatu proses mencari suatu bilangan (konstanta) yang membuat suatu persamaan menjadi proposisi benar, konstanta tersebut dinamakan penyelesaian atau akar dari persamaannya. Himpunan semua penyelesaian suatu persamaan disebut himpunan penyelesaian.

Contoh :

a. 2x = 14 himpunan penyelesaiannya = {7} b. 2x + 5 = 9 himpunan penyelesaiannya = {2} c. x + y = 5, x dan y bilangan asli, himpunan

penyelesaiannya {(1,4), (2,3), (3,2)}

d. X2 _{+ 8x + 12 = 0 himpunan penyelesaiannya {-6, -2}} Dua persamaan mempunyai himpunan penyelesaian yang sama disebut persamaan-persamaan yang

ekuivalen.

a. Sifat aditif

Jika kedua ruas suatu persamaan ditambah dengan bilangan yang sama, maka diperoleh persamaan lain yang ekuivalen dengan persamaan semula.

Contoh :

x + 2 = 5, x bilangan asli.

Persamaan tersebut mempuyai himpunan penyelesaian {3}. Jika kedua ruas masing-masing ditambah 4

terdapatlah persamaan baru yaitu (x + 2) + 4 = 5 + 4 atau x + 6 = 9. Persamaan terakhir ini mempunyai himpunan penyelesaian yang sama yaitu {3}.

Jadi persamaan x + 2 = 5 ekuivalen dengan persamaan (x + 2) + 4 = 5 + 4.

Perhatikan : Notasi untuk ekuivalen ditulis jadi x + 2 = 5 ekuivalen dengan

(x + 2) + 4 = 5 + 4 ditulis x + 2 = 5 ⇔ (x + 2) + 4 = 5 + 4

Contoh lain :

X2 _{– 16 = 0, x bilangan bulat.}

Persamaan tersebut mempunyai himpunan penyelesaian {-4, 4} Jika kedua ruas masing-masing ditambah 16

terdapatlah persamaan baru x2 _{= 16.}

Persamaan baru ini mempunyai himpunan penyelesaian {-4, 4}.

b. Sifat multiplikatif

Jika kedua ruas suatu persamaan dikalikan dengan bilangan yang sama dan bukan nol, maka diperoleh persamaan lain yg ekuivalen dengan persamaan semula. Contoh :

6x = 8, x bilangan rasional.

Persamaan tersebut mempunyai himpunan penyelesaian {

11 3 }

Jika kedua ruas masing-masing dikalikan 5 maka diperoleh persamaan baru yaitu 30x = 40. Persamaan baru ini

mempunyai himpunan penyelesaian { 11

3 }

Jadi persamaan 6x = 8 ⇔ 30x = 40

Contoh lain :

1

5 x2 = 5, x bilangan rasional

Persamaan tersebut mempunyai himpunan penyelesaian = {-5, 5}.

Jika kedua ruas masing-masing dikalikan dengan 5 maka diperoleh persamaan baru yaitu

x2 _{= 25.}

Persamaan baru ini mempunyai himpunan penyelesaian {-5,5}

Jadi persamaan 1₅ x2 _{= 5 ⇔ x}2 _{= 25.}

4.Persamaan Linear dengan satu variabel (peubah) a. Persamaan linear dalam x

Bentuk umum persamaan linear dengan satu variabel (peubah) yaitu ax + b = 0

dengan a ≠ 0. Menyelesaikan persamaan linear artinya menentukan persamaan yang paling sederhana dan

6x + 6 – 5x – 6 = 5x + 2 – 5x – 6 x = -4

Jadi himpunan penyelesaiannya {-4} Contoh lain :

Tentukan himpunan penyelesaian dari

1

Perhatikan :

a. Persamaan yang memuat pecahan dan penyebutnya tidak bervariabel langkah penyelesaiannya : mengubah lebih dahulu persamaan tersebut dengan mengalikan bilangan pada kedua ruas persamaan itu dengan KPK (Kelipatan Persekutuan Terkecil) dari penyebut pecahan-pecahannya.

b. Persamaan yang memuat pecahan dan penyebutnya mempunyai variabel, langkah menyelesaikannya : mengubah dahulu persamaan tersebut dengan jalan mengubah semua sukunya menjadi pecahan dengan satu penyebut.

Contoh :

menyelesaikan persamaan yang memuat pecahan dan penyebutnya mempunyai variabel, sebagai berikut :

Tentukan himpunan penyelesaian ₄3_xx−4

−12 = 2, x bilangan

rasional. Jawab :

3x−4

4x−12

= 2

3x−4

4x−12

- 2

3x−4

4x−12

- 2 = 0

3x−4−2(4x−12)

4x−12

= 0

3x−4−8x+24

4x−12

= 0

−5+20

4x−12

= 0

Pecahan tersebut bernilai nol, jika pembilang = 0 dan penyebut ≠ 0

Jadi5x + 20 = 0 -5x + 20 – 20 = 0 – 20

-5x = - 20

(

1

5

)

(-5x) =

(

1

5

)

(-20)

-x = -4 x = 4

Untuk x = 4 penyebut ≠ 0

4x – 12 = 4(4) – 12 = 16 – 12 + 4 Jadi himpunan penyelesaiannya = {4}

5.Persamaan linear dengan dua variabel (peubah)

Jika kita akan menentukan dua konstanta sebagai pengganti dua variabel yang belum diketahui, maka diperlukan dua

persamaan yang diketahui. Biasanya pada soal cerita memuat dua hal yang belum diketahui dan akan dicari penyelesaiannya dengan dua variabel (peubah). Jika terjadi dari kedua hal yang belum diketahui hanya diketahui satu hubungan saja maka diperoleh satu persamaan dengan dua variabel.

Contoh :

Jawab :

Misalnya : bilangan yang ke I adalah x, bilangan yang ke II adalah y.

Jadi pasangan bilangan-bilangan tersebut yaitu 0 dan 5, atau 1 dan 4, atau 2 dan 3, atau 3 dan 2, atau 4 dan 1, atau 5 dan 0. Di dalam matematika biasa ditulis penyelesaiannya (0,5), (1,4), (2,3), (3,2), (4,1), (5,0), dan Himpunan

Penyelesaiannya { (0,5), (1,4), (2,3), (3,2), (4,1), (5,0)}.

6.Cara-cara Menyelesaikan Persamaan a. Eliminasi dengan Substitusi

Jika dari dua persamaan akan dicari penyelesaiannya maka salah satu variabel dari persamaan pertama

dinyatakan ke dalam variabel yang lainnya. Selanjutnya substitusikan ke dalam persamaan yang ke dua tadi, dengan demikian nilai dari salah satu variabel dapat ditemukan, kemudian nilai dari satu variabel yang sudah ditemukan tadi dimasukkan pada persamaan yang akhirnya variabel yang lain dapat ditentukan nilainya.

Contoh :

Tentukan penyelesaian dari pasangan persamaan 5m + 4n = 13 dan 3m + 2n = 7 dengan m

dan n bilangan rasional. Jawab :

3m + 2n = 7 ...(2)

1) 5m + 4n = 13 5m = 13 – 4n

m = 13−4n

5

m = 13−4n

5 → 3m + 2n = 7

3

(

13−₅4n

)

+ 2n = 7

(

39−12n

5

)

+ 2n = 7

39 – 12n + 10n = 35

-2n + 39 – 39 = 35 – 39 -2n = -4

1

2 (-2) = 1

2 (-4)

-n = -2

n = 2 → 3m + 2n = 7 3m + 2(2) = 7

3m + 4 = 7

3m + 4 – 4 = 7 – 4

3m = 3

1₃ (3m) = 1₃ (3) m = 1

Jadi penyelesaiannya adalah m = 1 dan n = 2

dieliminasi (dihilangkan) disamakan dulu. Selanjutnya kedua persamaan tersebut dijumlahkan atau dikurangkan supaya menghasilkan persamaan baru yang hanya memuat satu variabel saja.

Contoh :

Tentukan penyelesaian dari pasangan persamaan 5m + 4n = 13 dan 3m + 2n = 7

dengan m dan n bilangan rasional. Jawab :

c. Eliminasi dengan cara menyamakan

Jika dari dua persamaan akan dicari penyelesaiannya maka dari masing – masing persamaan, variabel yang akan dihilangkan dinyatakan dalam variabel lain.

Contoh :

Tentukan penyelesaian dari pasangan persamaan 5m + 4n = 13 dan 3m + 2n = 7

dengan m dan n bilangan rasional. Jawab :

5m + 4n = 13 → 5m = 13 – 4n

5m = 13 – 4n

1

5 (5m) = (13 – 4n )

m = 13−4n

5 ...(1)

3m + 2n = 7 → 3m + 2n – 2n = 7 – 2n

3m = 7 – 2n

1

3 (3m) = 1

3(7−2n)

m = 7−₃2n ...(2)

persamaan (1) = (2)

13−₅4n

=

7−₃2n

15

(

13−₅4n

)

=

15

(

7−₃2n

)

3(13 – 4n) = 5(7-2n) 39 – 12n = 35 – 10n

39 – 12n – 39 + 10n = 35 – 10n – 39 + 10n -2n = -4

1₂ (-2) = 1₂ (-4)

n = 2

substitusi n = 2 pada persamaan 5m + 4n = 13 diperoleh

5m + 4(2) = 13

5m + 8 = 13 5m + 8 -8 = 13 – 8 5m = 5

1₅ (5m) = 1₅(5)

m = 1

Jadi penyelesaiannya adalah m = 1 dan n = 2

7.Contoh mengubah kalimat-kalimat pada soal cerita ke dalam persamaan

a. Panjang sebuah persegi panjang, panjangnya 4m lebihnya dari lebar. Luas persegi panjang itu 12m2_. Hitunglah panjang dan lebar persegi panjang itu. Cara menentukan persamaannya sebagai berikut :

Misalkan : Panjang dari persegi panjang = am Lebar dari persegi panjang = bm

Panjangnya 4m lebihnya dari lebar, persamaannya menjadi a – 4 = b atau a = b + 4

Luas persegi panjang = panjang x lebar ( dalam hal ini luasnya a x b )

12 = a x b

12 = ( b + 4 ) x b

b. Aida pergi ke toko membeli gula dan beras , harga 1 kg gula 2 kali harga 1 kg beras. Aida membeli 4kg beras dan 6kg gula harganya Rp. 24.000. Berapa masing-masing harga gula dan beras setiap kg?

Cara menentukan persamaannya sebagai berikut : Misalkan harga 1 kg beras = x rupiah.

Harga gula 2 kali harga 1 kg beras berarti harga 1 kg gula = 2x rupiah

8.Soal-soal latihan :

1. Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan berikut: a. x + 6 = 7

b. 2x – 7aa = 5

c. 3 ( x-2) + 2 (x+1) = 4x + 1

2. Selesaikan pasangan-pasangan persamaan berikut ini dengan cara substitusi, peubahnya bilangan nyata.

a. 9a + 6b = 0 dan 3a + 2b = 17 b. 6p – 3q = 33 dan 5p + 8q = -4

Daftar Pustaka :

Winarni, E.S. Sri Harmini.2011. Matematika Untuk PGSD. Bandung : PT Remaja Rosdakarya

Hudoyo, Herman dan Sutawidjaja,