DIKTAT Teori Grup Hastri Rosiyanti

i

DIKTAT Teori Grup

Hastri Rosiyanti

PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS ILMU PENDIDIKAN

UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH JAKARTA

MARET 2020

ii

KATA PENGANTAR

Alhamdulillah segala kesempurnaan hanya milik ALLAH SWT, berkat RAHMAT dari ALLAH SWT, penulis dapat menyelesaikan diktat Teori Grup ini. Penulis juga mengucapkan terima kasih kepada semua pihak yang telah membantu sehingga penulisan diktat ini dapat selesai.

Materi pada diktat ini disusun untuk membantu mahasiswa Program Studi Pendidikan Matematika Fakultas Ilmu Pendidikan Universitas Muhammadiyah Jakarta mendalami persoalan-persoalan yang berkaitan dengan teori grup.

Semoga dengan adanya diktat ini dapat membantu belajar mahasiswa dalam meraih yang terbaik di mata kuliah ini khususnya, serta mata kuliah lain yang terkait. Penulis menyadari bahwa isi diktat ini masih jauh dari kesempurnaan oleh sebab itu kritik dan saran sangat diperlukan.

Jakarta, Maret 2020

Penulis

iii DAFTAR ISI

Halaman

KATA PENGANTAR ... ii

DAFTAR ISI ... iii

BAB 1 HIMPUNAN BILANGAN ... 4

BAB 2 OPERASI BINER DAN GRUP ... 8

BAB 3 SUBGRUP ... 16

BAB 4 GRUP SIKLIK ... 21

BAB 5 GRUP SIKLIK ... 28

BAB 6 GRUP PERMUTASI ... 32

BAB 7 HOMOMORFISMA GRUP ... 40

BAB 8 ISOMORFISMA GRUP ... 44

4 BAB 1

HIMPUNAN BILANGAN

A. Definisi

Himpunan adalah Kumpulan anggota atau obyek yang dapat didefinisikan dengan jelas. Artinya adalah dapat membedakan apakah suatu anggota atau obyek termasuk dalam himpunan itu atau tidak. Sehingga himpunan dapat dikatakan juga kumpulan anggota atau obyek dengan suatu obyek yang mempunyai ciri dan karakteristik yang sama.

B. Klasifikasi Himpunan Bilangan

Bentuk Bentuk

Himpunan Bilangan Prima ganjil

Himpunan Bilangan Prima Genap Himpunan

Bilangan

Himpunan Bilangan Himpunan Bilangan

Kompleks ℂ = {𝑎 + 𝑏𝑖|𝑎, 𝑏 ∈ ℂ}

Himpunan Bilangan

Riil

Himpunan Bilangan Imajiner

Himpunan Bilangan

Bulat

Himpunan Bilangan

Pecahan

Himpunan Bilangan

Bulat Negatif

Himpunan Bilangan Bulat non Negatif

Himpunan Bilangan Bulat 0 (netral)

Himpunan Bilangan Asli

Himpunan Bilangan Prima

Himpunan Bilangan Komposit

5

Adapun Bilangan yang dapat dikonstruksi dari bilangan bulat, yaitu bilangan bulat modulo = { ̅, ̅, ̅, ̅̅̅̅̅̅̅̅| ∈ }. Contoh:

1. = { ̅, ̅}

Operasi penjumlahan dan perkalian pada bilangan bulat modulo dapat didefinisikan sebagai berikut:

̅ ̅ = ̅ ̅ ̅ = ̅ ̅ ̅ = ̅ ̅ ̅ = ̅ = ̅ (karena 2. = { ̅, ̅, ̅, ̅, ̅}

Operasi penjumlahan dan perkalian pada bilangan bulat modulo dapat didefinisikan sebagai berikut:

0 0 0 0 1 1 0 2 2 0 3 3 0 4 4

1 0 1 1 1 2 1 2 3 1 3 4 1 4 0

dst

         

         

C. Konsep Himpunan 1. Notasi himpunan

Menggunakan huruf besar kapital, misalkan A, B, C, ..., X, Y, Z. Sedangkan anggota- anggotanya dinotasikan dengan huruf kecil, misalkan a, b, c, k,... Mendefinisikan himpunan digunakan 4 cara, yaitu:

a. Mendaftar semua anggotanya. Contoh: A={a,e,i,o,u}.

b. Menyatakan sifat yang dimiliki anggotanya. Contoh: A= Himpunan vokal dalam abjad latin.

c. Menyatakan sifat dengan pola. Contoh: B={0,2,4,10}.

d. Menggunakan notasi pembentuk himpunan. Contoh:C={ | bilangan asli } 2. Keanggotaan

 Misalkan suatu x menyatakan anggota dari himpunan A maka dinotasikan dengan xA

 Misalkan y menyatakan bukan anggota dari himpunan A maka dinotasikan yA.

 himpunan yang tidak mempunyai anggota disebut himpunan kosong, dan dinotasikan dengan  atau { }.

Contoh: Misalkan adalah himpunan semua bilangan bulat positif, ditulis 2Z⁺ = {0,2,4,6, …}, maka 2



Z⁺, tetapi 3



Z⁺

3. Himpunan Sama

6

 A = B jika dan hanya jika setiap elemen A merupakan elemen B dan sebaliknya setiap elemen B merupakan elemen A.

 A = B jika A adalah himpunan bagian dari B dan B adalah himpunan bagian dari A. Jika tidak demikian, maka A  B.

 Notasi : A = B  A  B dan B  A Contoh

a. Jika A = { 0, 1 } dan B = { x | x (x – 1) = 0 }, maka A = B b. Jika A = { 3, 5, 8, 5 } dan B = {5, 3, 8 }, maka A = B c. Jika A = { 3, 5, 8, 5 } dan B = {3, 8}, maka A  B 4. Partisi

Partisi dari sebuah himpunan A adalah sekumpulan himpunan bagian tidak kosong A₁, A₂, … dari A sedemikian sehingga:

a. A1  A2  … = A, dan b. Ai Aj =  untuk i  j Contoh

Misalkan A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}, maka {{1}, {2, 3, 4}, {7, 8}, {5, 6}} adalah partisi A.

D. Well Defined Himpunann

Himpunan dikatakan Well-Defined jika secara definit dapat dinyatakan apakah suatu obyek merupakan elemen atau bukan elemen dari himpunan tersebut. Misalkan



Beberapa bilangan asli



S  bukan merupakan himpunan yang well-defined sebab tidak dapat dinyatakan apakah 5 ataukah 5S. Misalkan maka elemen-elemen S dapat disebutkan secara definit, yakni 1,2,3,4.

E. Hasil Kali Kartesius

Misalkan A,B himpunan tak kosong. Hasil Kali Kartesius A dan B adalah himpunan yang anggotanya adalah semua pasangan terurut yang mungkin terbentuk dari A dan B. Didefinisikan ^{A B }

  

^{a b, |aA b, B}



. Definisi More generally:

7

Misalkan A sebuah himpunan, maka Hasil Kali Kartesius

   



^{1 2}



... ⁿ , , _n | 1, 2,..., , _i

n kali

A   A A A  x x x  i n x A .

Contoh:

   

           

 

         

 

Misalkan 2, 3, 4 dan ,

2, , 2, , 3, , 3, , 4, , 4, , 2 , , 2 , , 3 , , 4 , , 4

C D x y

C D x y x y x y

D C x y x x y

 

 

 

Perhatikan bahwa, misalkan C D  D C. F. Latihan Soal

1. Buatlah 5 himpunan bilangan modulo dan tentukan

2. Misalkan A



a b c B^{, ,}



^, 

 

p q^{, dan} C

 

1, 2 maka A B C  ...

Referensi:

[1.] Durbin, John R. (1979). Modern Algebra. New York: John Wiley & Sons.

[2.] Catatan Kuliah

8 BAB 2

OPERASI BINER DAN GRUP

A. Definisi Pemetaan

Relasi adalah suatu aturan yang memasangkan anggota himpunan satu ke himpunan lain. Misalkan A dan B sembarang dua himpunan tak kosong, suatu relasi f dari A ke B dikatakan sebagai pemetaan apabila untuk setiap xA terdapat secara tunggal yB sehingga

 

^{x y,  f} . Himpunan A disebut daerah asal (domain) dari f dan himpunan B disebut daerah kawan (kodomain).

Dengan kata lain, misalkan A, B suatu himpunan tak kosong. Suatu pengaitan f dari A ke B pemetaan jika :

1. Untuk setiap aA terdapat bB sehingga ^{f a}

 

^b.

2. Untuk sebarang a a₁, ₂A dengan a₁ a₂ maka f a

 

1  f a

 

2

Gambar 2.1. Pemetaan dari A B

Pada gambar 2.1 ditunjukan bahwa setiap anggota A dipetakan tepat pada satu anggota B, didefinisikan ^{A B }

  

^{a b, |aA dan bB}



. Perhatikan bahwa tidak selalu berlaku  .

B. Definisi Operasi Biner

Misalkan S adalah suatu himpunan sebarang yang tak kosong, maka pemetaan S S S disebut operasi biner dalam S. Misalkan * suatu operasi biner dalam S dan misalkan ^*

  

^{a b,}



^c, maka ditulis *a bc (dibaca a operasi biner b sama dengan c ). Jadi sesuai dengan konsep pemetaan, sesungguhnya pasangan terurut

 

^{a b,  S S}

dikaitkan dengan c , yang dinotasikan dengan

 

^{a b, c}. Atau dapat dilihat sebagai berikut:

•

•

•

•

•

• B A

9

 

* : ,

S S S

a b c

 

Sifat operasi biner (*) pada suatu himpunan bilangan bulat disimbolkan dengan ,

C. Sifat Operasi Biner 1. Tabel Cayley

Bila A



a a1, 2,..,a_n



merupakan himpunan berhingga, operasi biner dari A dapat disajikan dalam table dengan baris ke-i dan kolom ke-j menunjukkan elemen

i* j

a a .

* a1 a2 . . . aj . . . an

a1

a2

. ai

. an

ai * aj

2. Jenis-Jenis Operasi Biner

a. Misalkan adalah operasi dalam himpunan S. Operasi * dikatakan bersifat komutatif jika = untuk semua , di S. Operasi biner yang digambarkan dengan tabel dikatakan komutatif jika dan hanya jika isi tabel simetris terhadap diagonal utama.

b. Operasi dikatakan bersifat asosiatif jika = untuk semua , dan di .

3. Sifat Kemungkinan Operasi Biner

a. Misalkan S himpunan tak kosong dan operasi dalam . Unsur di disebut identitas terhadap operasi jika = untuk setiap di .

b. Misalkan operasi dalam dan memiliki identitas terhadap operasi . Unsur di dikatakan memiliki invers jika terdapat sehingga = = . Jika unsur ada maka kita tulis dan disebut invers dari .

D. Contoh Operasi Biner

10

1. Misalkan ^s



^{a b c d, , ,}



, didefinisikan operasi oleh *x y y untuk setiap ,x yS. Sajikan operasi dari himpunan tersebut menggunakan tabel Cayley.

Penyelesaian:

Di sini akan disajikan operasi dalam bentuk table yang dinamakan daftar Cayley. Daftar Cayley biasa dipakai untuk mendefinisikan suatu operasi biner dalam himpunan yang banyak anggota / unsurnya terhingga.

Tabel. 2.1 Daftar Cayley (Operasi Biner) S = {a, b, c, d} yang didefinisikan *x y  y x y, S

y

* a b c d

x

a a b c d

b a b c d

c a b c d

d a b c d

Cara membaca daftar Cayley seperti pada tabel 2.1. adalah sebagai berikut :

a. Unsur yang mau dioperasikan dari sebelah kiri kita baca kolom paling kiri, misalkan ambil unsur x .

b. Kemudian unsur x mau dioperasikan dengan unsur y dari sebelah kanan.

c. Unsur yang terakhir ini dibaca pada baris yang paling atas, sehingga unsur x y * adalah unsur yang sekolom dengan y dan sebaris dengan x .

Dengan demikian dalam daftar Cayley yang terdapat dalam tabel 2.1. dapat kita baca : =

= = =

= = = =

= = = =

= = = = 2. Misalkan suatu himpunan yang tak kosong adalah himpunan bilangan bulat positif,

didefinisikan *x y  |x y| bila dan = untuk setiap , ∈ . Tunjukan apakah * merupakan operasi biner?

Penyelesaian : Misalkan Untuk

= | |, , ∈

Karena | | maka ∈

11 Untuk =

= Jelas ∈

3. Diberikan himpunan dengan operasi yang didefinisikan sebagai = , , ∈ Tentukan apakah * merupakan operasi binernya?

Penyelesaian:

Ambil , ∈ sehingga = . Karena , , ∈ maka ∈ , sehingga ∈ . Maka operasi pada bersifat tertutup.

4. Tentukan apakah operasi dengan penjumlahan di bersifat komutatif?

Penyelesaian:

= { ̅, ̅, ̅, ̅, ̅} Karena merupakan himpunan berhingga, maka operasi biner dari dapat ditunjukkan melalui Tabel Cayley

̅ ̅ ̅ ̅ ̅

̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅

̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅

̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅

̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅

̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅

Jelas operasi * pada menghasilkan elemen kembali. Karena simetris terhadap diagonal maka operasi biner bersifat komutatif.

Catatan: Contoh himpunan bilangan dan operasinya yang termasuk biner dan bukan biner Biner Bukan Biner

, + ,

, ,

, , + , , ,

E. Definisi Grup

12

Misalkan G adalah himpunan yang tidak kosong dan * operasi yang didefinisikan dalam G. G, disebut grup jika memenuhi:

(1) (a,b,cG) a(bc)(ab)c (sifat assosiatif) (2) (eG)(aG)aeeaa (ada elemen identitas) (3) (aG)(a^1G)aa^1a^1ae (ada elemen invers)

Catatan Tambahan:

1. Jika G memenuhi (1),(2) dan (3) maka G, disebut monoid.

2. Jika operasi * bersifat komutatif a b* b a* a b, Gmaka G, disebut grup komutatif atau grup abelian.

F. Sifat-sifat Grup

Jika G, sebuah grup maka semua sifat yang disebutkan berikut berlaku pada grup G, tersebut.

1. Elemen identitas dalam grup G adalah unik (tunggal)

Bukti: Misalkan e₁ dan e₂ adalah elemen identitasdi Misalkan identitas di maka berlaku = dan misalkan identitas di maka berlaku = . Jadi = = . Dengan demikian terbukti bahwa unsur identitas dalam grup adalah unik.

2. Elemen invers dari x yaitu x^1 dalam grup G,* adalah unik(tunggal).

Bukti: Misalkan x₁^1dan x₂^1 adalah invers di dengan x₁^1 x₂^1. Sehingga

1 1

1 1

* *

x x^  x^ xe dan x x* ₂^1 x₂^1*xe. Jadi

   

1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 * 1 * * 2 1 * * 2 * 2 2

x^  x^ ex^ x x ^  x^ x x ^ e x ^ x ^

Dengan demikian terbukti bahwa unsur invers dalam grup adalah unik.

3. Setiap G,* grup berlaku hukum kanselasi. a. a b^* a c^*  b c



kansel kiri



Bukti:

13

   

   

1 1

1 1

* *

* * * *

* * * *

* *

a b a c

a a b a a c

a a b a a c

e b e c b c

 

 











b. a b^* c b^*  a c



kansel kanan



Bukti:

   

   

1 1

1 1

* *

* * * *

* * * *

* *

a b c b

a b b c b b

a b b c b b

a e c e a c

 

 











Contoh:

a. Karena , + adalah grup maka , + memiliki sifat kanselasi.

Misalkan a2,b4.Tentukan nilaic!

2 4 2

4

c c

  



b. Misalkan , a3,b0 tentukan nilai c

3 0 0

? c c

  



Karena tidak memenuhi sifat kanselasi maka , bukan grup 4. Jika ^{a b, G maka}



^{a b*}



^{1 b1*a1}

Bukti: Karena



^{a b*}

 

^{1* a b*}



^{e maka} akan ditunjukkan



^b1*a1



^*

^

^{a b*}

^

^e

Perhatikan bahwa:

  ^{ }

  ^{ }

  ^{ }

  ^{ }

1 1 1 1

1 1 1

1 1 1

1 1

* * * * * *

* * * * *

* * * *

* * *

b a a b b a a b

b a a b b e b

b a a b b b

b a a b e

   

  

  

 









5. Jika ,a bG maka *a xb dan *y ab masing-masing mempunyai solusi tunggal Bukti:

14

a. Misalkan ,x x_{1 2} adalah solusi dari *a xbdengan x₁ x₂. Sehingga a x* ₁ b dan

* 2 .

a x b Jadi



¹



¹

^{ }

^{1 1}

^{ } 

¹



1 * 1 * * 1 * * 1 * * * 2 * * 2 * 2 2

x e x  a^ a x a^ a x a^ ba^ a x  a^ a x e x x

Dengan demikian terbukti bahwa = mempunyai solusi tunggal.

b. Dengan cara yang sama dengan b . G. Contoh Grup

1. Misalkan:

= himpunan bilangan Asli =himpunan bilangan bulat A =himpunan bilangan cacah =himpunan bilangan riil =himpunan bilangan rasional ℂ=himpunan bilangan kompleks

Di antara monoid berikut, manakah yang merupakan grup?

1. ( , +) 2. ( , ) 3. (A, +) 4. (A, ) 5. ( , +) 6. ( , ) 7. ( , +) 8. ( , ) 9. ( , +) 10. ( , ) 11. (ℂ, +) 12. (ℂ, ) Bukti:

Yang merupakan grup adalah: , + , , + , , + ℂ, +

Monoid yang bukan grup: ( , , , + , , , , , , , ℂ, , Bukan monoid dan bukan grup: , +

Namun jika dibatasi – { }, – { }, dan ℂ – { }, maka – { }, , – { }, , dan (ℂ – { }, merupakan grup.

2. Selidiki apakah B dengan operasi * yang didefinisikan oleh a b*   a b 8,  ,  adalah suatu grup!

Bukti:

Untuk menyelidiki

 

^B,* merupakan grup, harus ditunjukkan:

(i) Operasi * pada B merupakan operasi biner

Memperhatikan definisi operasi * pada B, maka operasi * pada B merupakan operasi biner.

(ii) Operasi * pada B bersifat asosiatif Ambil , ,  , maka

= + – = + – + –

15 = + + – – = + – = Jadi operasi * pada B bersifat asosiatif.

(iii) B memuat elemen identitas

Pilih yB untuk setiap aBsehingga berlaku

* 8 8 0

8 a y a

a y a

y y



  

 



Jadi elemen identitas dalam B terhadap operasi * adalah 8.

(iv) Setiap unsur B mempunyai invers di dalam B pula.

Ambil aB terdapat unsur invers tB sehingga:

* 8

8 8 16 16 a t a t a t

t a



  

 

 

Jadi invers a adalah (16 – ).

Dari (i) sampai (iv) terbukti bahwa

 

^B,* merupakan grup Berdasarkan contoh 2 di atas, maka:

 invers 8 adalah 8, karena 16 – 8 = 8

 invers -5 adalah 21, karena 16 – (-5) = 21, dan

 invers 31 adalah -15, karena 16 – 31 = 15 H. Latihan Soal

1. Periksa , + grup!

2. Misalkan didefinisikan operasi * yaitu *x y  x y 1, periksan apakah , grup ! 3. Misalkan = {( ) | , ∈ , + } di bawah operasi perkalian matriks.

Periksa apakah G,. grup atau bukan?

4. Misalkan G himpunan bilangan rasional positif, dan operasi  dalam G didefinisikan

oleh ab a b G

b

a  ,  , 

2 . Buktikan bahwa G,  merupakan grup.

16 BAB 3 SUBGRUP

A. Definisi

Misalkan G grup. H himpunan bagian dari G yang tak kosong. disebut dari jika

H subgrup G H adalah grup di bawah operasi biner yang sama dengan operasi biner G.

B. Contoh Subgrup

1. Misalkan , + grup. Karena himpunan bagian dari dan , + grup maka , + subgrup dari , + .

2. Misalkan { }, grup

Misalkan ^{K  }

 

^{1,1 dimana} { } karena K, grup maka K, subgrup dari { },

3. Misalkan { }, Grup. Karena { } { } dan { }, bukan grup maka { }, bukan subgrup dari { },

C. Teorema

1. Misalkan G grup. H himpunan bagian dari G yang tak kosong. disebut dari jika dan hanya jika

H subgrup G

a. ^{x y, H maka *x yH H}



^tertutup



b. Jika aH maka a^1H Bukti:

 

^{ Jelas}

 

 Akan dibuktikan H,* grup

Karena sudah terbukti bahwa H tertutup, dan H memiliki invers maka akan dibuktikan bahwa operasi * memiliki sifat assosiatif dan H memiliki unsur identitas terhadap operasi *.

[1]. Akan ditunjukkan bahwa operasi * memiliki sifat assosiatif

Ambil a b c, , H karena H himpunan bagian dari G maka a b c, , G. Karena ,*

G grup maka G di bawah operasi * memiliki sifat assosiatif akibatnya H di bawah operasi * memiliki sifat assosiatif.

[2]. Akan ditunjukkan bahwa H memiliki unsur identitas terhadap operasi *

17

Ambil aH maka a^1H . Karena H tertutup, maka a a* ^1H. Karena

* 1

a a^ e maka eH Jadi H,* grup

2. Misalkan G,* grup, H himpunan bagian dari G H,  . subgrup jika dan hanya jika , berlaku * 1 .

H G x yH x y^ H

Bukti:

 

 Akan dibuktikan *x y^1H Jelas karena H adalah grup.

 

 Akan dibuktikan H,* grup

[1]. Akan ditunjukkan bahwa terdapat unsur identitas di H. Ambil y x H . Karena ^{y*y1 e x y* 1 e H}

[2]. Akan ditunjukkan bahwa setiap unsur di H memiliki unsur invers di H

Misalkan xH berdasarkan no 1, unsur identitas eH. Misalkan x e H maka y^1e y* ^1x y* ^1H.

[3]. Ambil x y, H. Berdasarkan no. 2, x^1H . Maka ^y*

 

^{x1 1  y x* H .}

Maka operasi * pada H tertutup.

[4]. Akan ditunjukkan bahwa operasi * memiliki sifat assosiatif

Karena H   dan H subhimpunan G maka x y z, , H karena H himpunan bagian dari G maka x y z, , G. Karena G,* grup maka G di bawah operasi * memiliki sifat assosiatif akibatnya H di bawah operasi * memiliki sifat assosiatif.

D. Contoh Soal

1. Misalkan S didefinisikan sebagai himpunan bilangan real terhadap operasi tambah, = , + grup dan T merupakan himpunan bagian dari S yang didefinisikan sebagai = { + | , ∈ }. Tunjukkan bahwa T adalah subgrup dari S.

Bukti: Misalkan = { + | , ∈ } dan T S.

a. Pilih n1 dan k 1 maka T  1 7.18. Oleh karena itu T  .

b. Ambil a b, T . Misalkan = + , = + , , , , , ∈ .

 

1

2 7 2

b^    n k T Maka

18

     

1

1 7 1 2 7 2 1 2 7 1 2

a b ^  n  k  n k  n n  k k T sehingga

= { + | , ∈ }. Jadi T subgrup dari G.

2. Buktikan bahwa , + dengan = { | ∈ } merupakan subgrup dari , + ! Bukti:

a. Pilih k 1 maka Oleh karena itu

b. Ambil sebarang , ∈ , maka a k m₁ , untuk suatu ∈ dan = untuk suatu ∈ . Diperoleh b^1    b



k m2



 k m2 . Perhatikan bahwa:

+ = + = ∈ Karena , , ∈ maka ∈ . Sehingga + ∈

Terbukti bahwa , + merupakan subgrup dari , +

3. Misalkan = { ̅, ̅, ̅, ̅, ̅, ̅, ̅, ̅} merupakan himpunan semua kelas bilangan bulat modulo 8 dengan , grup. Buktikan bahwa , merupakan subgrup dari , dengan = { ̅, ̅, ̅, ̅}!

Bukti: Karena merupakan himpunan yang berhingga, maka untuk membuktikan kasus di atas, dapat digunakan dengan membuktikan bahwa setiap , ∈ , berlaku ∈ . Hal ini ditunjukkan dengan menggunakan tabel Cayley

̅ inversnya ̅ ̅ inversnya ̅ ̅ inversnya ̅ ̅ inversnya ̅

0 2 4 6

0 0 2 4 6

2 2 4 6 0

4 4 6 0 2

6 6 0 2 4

Dari tabel Cayley tersebut terlihat bahwa operasi tertutup di dalam , dan setiap baris atau kolom terdapat identitas yaitu 0 sehingga , merupakan subgrup dari ,

E. Latihan Soal

19

Buktikan bahwa ^{H }



^{y y| G dan y a,   a y}



adalah suatu subgrup dari G, jika

 ,

G suatu grup dan a  G. Bukti:

 Pahami Soal:

 Diketahui: G,  grup dan a  G, ^{H }



^{y y| G dan y a,   a y}



 Akan dibuktikan: H subgrup dari G.

 Ada 3 cara menunjukkan subgrup yaitu:

Definisi Teorema I Teorema II

Subgrup  a,bH abH

 aH a^1H a,bHab^1H Misalnya kita pilih cara II dengan menggunakan Teorema I.

 Pembuktian:

a. Misalkan e adalah elemen identitas di grup G,  , dan untuk a  G berlaku:

e a a

e   . Ini berarti eH, jadi H .

b. Berdasarkan pendefinisian dari H menunjukkan bahwa HG. c. Selanjutnya, kita gunakan Teorema 1:

[1]. Ambil p,qH sebarang,

berarti paap dan qaaq [syarat keanggotaan di H]

Perhatikan bahwa (pq)a p(qa) [sifat assosiatif di G]

= p(aq) [karena qH] = (pa)q [sifat assosiatif di G]

= (ap)q [karena pH] = a(pq) [sifat assosiatif di G]

karena pengambilan p,qH sebarang, dan memenuhi (pq)aa(pq), maka dapat disimpulkan bahwa  p,qH berlaku pqH.

Jadi H , memenuhi sifat tertutup.

[2]. Ambil cHsebarang, karena HG, maka cG. Karena G grup dan G

c , maka c^1G. H

c berarti caac [syarat keanggotaan di H]

c^1(ca)c^1(ac) [masing-masing dioperasikan c^1dari kiri]

20

(c^1c)a(c^1a)c [sifat assosiatif di G]

ea(c^1a)c [sifat invers di G, yaitu c^1ce] ^{a(c1a)c} [sifat identitas di G, yaitu ^eaa]

1 1

1 ( ^ ) ^

    

c c a c c

a [dioperasikan c^1dari kanan]

ac^1(c^1a)(cc^1) [sifat assosiatif di G]

ac^1(c^1a)e [sifat invers di G, yaitu c^1ce] ac^1c^1a [sifat identitas di G, (e^1a)ee^1a]

karena pengambilan cH sebarang, dan memenuhi, c^1aac^1 maka dapat disimpulkan bahwa cH berlakuc^1H.

Dari (i) dan (ii) dengan menggunakan Teorema 1, disimpulkan bahwa H , adalah subgrup dari G, .

21 BAB 4 GRUP SIKLIK

A. Definisi Order Grup

Misalkan G,* suatu grup. Jika banyaknya unsur di grup berhingga maka kita namakan grup hingga. Ordo atau order dari suatu grup hingga G adalah banyaknya elemen dari G sedangkan jika banyaknya elemen G tak berhingga maka ordo dari G adalah tak berhingga. Order dari grup dilambangkan dengan ^{|G| atau} 

 

^G . Contoh:

| | = , | | = dan | | = B. Definisi Order Unsur

Misalkan G,* suatu grup dan aG. Order unsur a adalah bilangan bulat positif n minimal sehingga ⁿ * * *...*

sebanyak n

a a a a ae. Order unsur dilambangkan dengan ^

 

^a

. Jika tidak ada bilangan demikian maka dikatakan order a tak hingga.

Contoh:

Misalkan = { ̅, ̅, ̅, ̅, ̅, ̅}. Karena mempunyai order 6 maka | | = . Karena unsur identitas , adalah 0 maka:

 

 

 

 

 

 

0 1 0 0

1 6 1 1 1 1 1 1 0

2 3 2 2 2 0

3 2 3 3 0

4 3 4 4 4 0

5 6 5 5 5 5 5 5 0













  

       

    

   

    

        C. Definisi Grup Siklik

Misalkan adalah grup dan ∈ . Definisikan = dengan adalah unsur identitas di G. Jika adalah bilangan bulat positif, kita definisikan = ⏟

dan

= ⏟

. Himpunan ^{a }



^an|n



adalah grup terhadap operasi yang sama di dan disebut subgrup siklik yang dihasikan oleh a. Jika = 〈 〉 untuk suatu ∈ maka kita sebut grup siklik dan disebut generator dari .

D. Contoh Grup Siklik

22

1. = { , , , } dengan operasi perkalian biasa adalah grup siklis. Generatornya adalah i dan -i. G dapat dinyatakan sebagai {i⁴, i², i, i³} atau {(-i)⁴, (-i)², (-i)³, (-i)} . Ingat  1 i artinya 1 i². Perhatikan berikut ini:

 

 

   

 

^{2 2}

 

1 1 1 1

1 2 1 1 1

4 -1 - 1 1

4 1 1 1

adalah unsur pembangun.

i i i i i i

i i i i i i i i

G i i









  

      

          

                   

  

2. S={1, -1} dengan operasi perkalian adalah grup siklis dengan generator -1.

3.

M  

 































































1 0 0 1

1 0

0 1

0 1 1 0

0 1

1 0

, , ,

dengan operasi perkalian matriks

merupakan grup siklis dengan generator

0 1 1 0

0 1 dan

1 0

 

 

 

 

  

  

 

.

4.

N   

 





























































1 0 0 1

1 0 0 1

1 0

0 1

1 0

0 1

, , ,

dengan operasi perkalian matriks

bukan merupakan grup siklis. Periksalah.

5. ₆, Karena

 

 

 

 

 

 

0 1 0 0

1 6 1 1 1 1 1 1 0

2 3 2 2 2 0

3 2 3 3 0

4 3 4 4 4 0

5 6 5 5 5 5 5 5 0













  

       

    

   

    

       

Maka , grup siklik yang dihasilkan oleh 1 dan 5. Jadi unsur pembangun dari adalah 1 dan 5 maka grup siklik. Jadi = ̅ = ̅

6. , +

23

...

...

...

E. Sifat Grup Siklik

1. Jika G grup siklik maka G merupakan grup abelian (grup komutatif) 2. Jika G grup siklik maka setiap subgrup dari G merupakan grup siklik Karena grup siklik maka { ̅} merupakan grup siklik

3. Misalkan G grup siklik hingga berorder n^. Jika d adalah faktor dari n maka G hanya memiliki satu subgrup berorder d

 

 

 

 

6

1

2

3

4

6

Karena memiliki elemen sebanyak 6 maka 6 1, 2, 3, 6 adalah faktornya

d 1

2 3 6

Sehingga subgrup sikliknya

1 0

2 0, 3 3 0, 2, 4 6 0,1, 2, 3, 4, 5 d

d d

















 

Contoh: = { ̅, ̅, ,̅ ̅, ̅, ̅, ̅} Karena order dari ada 7, maka faktornya dari 7 :

 

7

1 7

2

faktornya 1, 7

d 7

1 0

d

 

 

Maka subgrupnya :

= { ̅} | | =

= { ̅, ̅, ,̅ ̅, ̅, ̅, ̅} | | =

 

 

 

8

1 8

2

3

4

faktornya 1,2,4,8

d 8

4 0, 2, 4, 6 2 0, 4

1 0

d d d

 

 

 

 

24 F. Hubungan Generator

1. Order Unsur dengan Generator

Misalkan grup siklis dan merupakan generator dari maka =

| |.

Contoh : Misalkan = { ̅, ̅, ̅, ̅, ̅, ̅, ̅, ̅, ̅}. Karena mempunyai order 9 maka

| | = = Karena unsur identitas 〈 , 〉 adalah 0 maka order unsurnya sebagai berikut :

̅ = ̅ = ̅

̅ = ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ = ̅ = ̅ ̅ = ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ = ̅̅̅̅ = ̅ ̅ = ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ = ̅̅̅̅ = ̅

̅ = ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ = ̅̅̅̅ = ̅ ( ̅) = ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ = ̅̅̅̅ = ̅ ̅ = ̅ ̅ ̅ = ̅̅̅̅ = ̅

̅ = ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ = ̅̅̅̅ = ̅ ̅ = ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ = ̅̅̅̅ = ̅ Sehingga, 〈 ̅〉 = 〈 ̅〉 = 〈 ̅〉 = 〈 ̅〉 = 〈 ̅〉 = 〈 ̅〉 =

2. Invers dengan Generator

Misalkan , grup siklis berhingga. Jika adalah generator dari maka = 〈 〉, dengan merupakan invers dari terhadap operasi *.

Contoh : Misalkan = { ̅, ̅, ,̅ ,̅ ̅, ̅}. Generatornya adalah = 〈 〉 = 〈 〉

= ̅ = ̅

= ̅ ̅ = ̅

= ̅ ̅ ̅ = ̅

= ̅ ̅ ̅ ̅ = ̅

= ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ = ̅

= ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ = ̅ = ̅

Untuk mencari generator yang lain yaitu dengan cara mencari inversnya. 〈 〉 =

〈 〉 Sehingga generatornya adalah = 〈 〉 = 〈 〉 3. Subgrup dengan Faktor

Misalkan , grup siklik bilangan bulat modulo , maka banyaknya subgrup dari adalah dengan merupakan banyaknya faktor dari .

25

Contoh : Diketahui < > adalah grup tentukan subgrupnya ! Banyaknya subgrup dari , adalah { ̅} , { ̅, ̅, ̅, ̅} , { ̅ , }̅ , ternyata terdapat 3 subgrup sesuai dengan definisi diatas bahwa bayaknya subgrup dari adalah banyaknya faktor dari = yaitu , , dan . Dalam soal ini yaitu sebanyak faktor dari 4 yaitu 1= { ̅} , 2={ ̅, ̅ }, dan 4={ ̅, ̅, ̅, ̅ }

G. Contoh Soal

Diketahui < 8, > maka

a. Order grup dari 8 yaitu | 8 | = 8 b. Order unsurnya

( ̅) = 1 ̅ = ̅

( ̅) = 8 ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ = ̅ ( ̅) = 4 ̅ ̅ ̅ ̅ = ̅

( ̅) = 8 ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ = ̅ ( ̅) = 2 ̅ ̅ = ̅

( ̅) = 8 ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ = ̅ ( ̅) = 4 ̅ ̅ ̅ ̅ = ̅

( ̅) = 8 ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ = ̅ c. Grup sikliknya

= = = =

d. Subgrup dari , yaitu sebanyak faktor dari 8 yaitu 1, 2, 4 dan 8.

 

 

 

1 8

2

3

4

8

4 0, 2, 4, 6 2 0, 4

1 0

d d d d

 

 

 

 

e. Tentukan unsur pembangun pada setiap subgrup dari modulo 8

26

 

 

 

 

 

 

 

 

1 8

2

3

1. 8 1 3 5 7

2. 4 0, 2, 4, 6 2 6

Jadi order unsur dari subgrup berorder 4 adalah

0 0 1

2 2 2 2 0 2 4

4 4 0 4 2

6 6 6 6 0 6 4

3. 2 0, 4 4

Jadi order unsur dari subgrup beroder 2 yaitu :

0 0 1

4 4 0 4

d d

d













     

   

 

     

   

     

  

 

  

 

4

2

4. d 1 0 0



  

H. Latihan Soal

Diketahui ₁₃, tentukan a. Order grupnya

b. Order setiap unsurnya

c. Generator Grup (unsur pembangun) d. subgrup dari ₁₃,

e. unsur pembangun dari masing-masing subgrupnya

27

28 BAB 5 GRUP SIKLIK

A. Koset

Misalkan H subgrup dari G dengan operasi * dan aG. Koset kiri dari H yang memuat a adalah ^{aH }



^{a h h* | H}



. Koset kanan dari H yang memuat a adalah



^{* |}



Ha h a hH B. Subgrup Normal

Subgrup yang memnuhi maka koset kiri

 

^{aH } koset kanan

 

^{Ha maka H,*}

disebut subgrup normal. Akibatnya: Jika G grup komutatif maka koset kiri

 

^{aH }

koset kanan

 

Ha Catatan: Tidak Sebaliknya.

C. Grup Faktor

Misalkan G,* grup dan H,* subgrup normal dari G,* . Definisikan operasi baru (.) pada himpunan G H (semua koset kiri dan kanan H dalam G ) sebagai berikut:

=

Jelas bahwa operasi di atas terdefinisi dengan baik karena H adalah subgrup normal dari G. Himpunan bersama dengan operasi (.) membentuk suatu grup. Grup ( , ) dengan adalah subgrup normal disebut grup faktor dari oleh .

Jika G grup berhingga dan subgrup normal dari G, maka

 

^{( )}

( ) n G H n G

 n H . D. Contoh :

Misalkan , + grup dan 3 , merupakan subgrup dari , dengan

 

3  ..., 9, 6, 3, 0,3, 6,9,...   maka:

Koset kiri dari 3 yaitu:

Ambil 0 sehingga

 

0 3  ..., 9, 6, 3, 0,3, 6,9,...   Ambil 1 sehingga

 

1 3  ..., 8, 5, 2,1, 4, 7,10,...   Ambil 2 sehingga

 

2 3  ..., 7, 4, 1, 2,5,8,11,...  

29 Jika saya Ambil 3 sehingga

 

3 3  ..., 6, 3,0,3,6,9,12,...   0 3

 

 

 

 

...., 9, 6, 3, 0, 3, 6, 9,....

..., 8, 5, 2,1, 4, 7,10,...

..., 7, 4, 1, 2, 5,8,11,...

9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1, 0,1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,8, 9,10,11,....

  

  

  

        



^,



Sehingga koset kiri dari grup , terhadap subgrup 3 , hanya ada 3, yaitu 03 ,1 3 , 2 3

Koset kanan dari 3 yaitu:

Ambil 0 sehingga

 

3  0 ..., 9, 6, 3, 0,3, 6,9   Ambil 1 sehingga

 

3  1 ..., 8, 5, 2,1, 4, 7,10   Ambil 2 sehingga

 

3  2 ..., 7, 4, 1, 2,5,8,11,...   Jika saya Ambil 3 sehingga

 

3  3 ..., 6, 3, 0,3, 6,9,12,...  3 0

Sehingga koset kanan dari grup , terhadap subgrup 3 , hanya ada 3, yaitu 3 0,3 1,3 2 .

Karena koset kiri sama dengan koset kanan maka 3 , subgrup normal dari . ( adalah grup komutatif, jadi semua subgrup dari adalah subgrup normal )

+ 𝑍

= 𝑍

+ 𝑍

+ 𝑍

30

 

 

3 0 3 ,1 3 , 2 3

/ 3 ...., 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1, 0,1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,8, 9,10,11,....

Jadi dengan /3 hampir mirip strukturnya.

0+3 himpunan 1+3 himpunan 2+3 himpunan

   

        

+ 0 3 1 3 2 3

03 0 3 1 3 2 3

1 3 1 3 2 3 03

2 3 2 3 03 1 3

Pengoperasian tabel cayley tersebut bersifat tertutup. 3 dengan operasi + merupakan grup faktor dari oleh 3 .

E. Teorema Lagrange

Jika H adalah subgrup dari grup G berhingga dengan operasi * maka order dari H membagi order dari G .

   

/

 

G

G H H

 

 . F. Latihan Soal

Misalkan ⁸ 



0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7



dengan operasi penjumlahan modulo 8. H={0,2,4,6}

adalah subgrup dari ₈ .

1. Tentukan koset kiri dan kanan?

Koset kiri dari H yaitu:

Ambil 0 ₈ sehingga

 

0H  0, 2, 4, 6 Ambil 1 ₈ sehingga

 

1H  1, 3, 5, 7 Ambil 2 ₈ sehingga

 

2H  2, 4, 6, 0  0 H Koset kanan dari H yaitu:

Ambil 0 ₈ sehingga

 

0 0, 2, 4, 6 H 

31 Ambil 1 ₈ sehingga

 

1 1, 3, 5, 7 H 

Ambil 2 ₈ sehingga

 

2 2, 4, 6, 0 0

H  H

2. Tentukan apakah H merupakan subgrup normal dari ₈? 3. Tentukan ₈ H ?

4. Apakah ₈ H merupakan grup faktor dengan operasi penjumlahan?

{ + , + }

32 BAB 6

GRUP PERMUTASI

I. Konsep Permutasi

Misalkan S himpunan berhingga yang mempunyai n buah elemen berbeda. Suatu pemetaan 1-1 dan onto dari S ke S disebut suatu permutasi dari S. Jumlah elemen dalam himpunan berhingga S disebut derajat permutasi.

Misalkan = { , , , , }. Untuk selanjutnya, jika tidak disebutkan kita akan mewakili sebarang himpunan unsur dengan { , , , , } ketika membahas permutasi derajat . Misalkan suatu permutasi derajat maka dapat notasikan

       

1 2 ... 1

1 2 ... 1

n n

f f f f n f n

  

   dimana pada baris pertama merupakan domain,

dan baris kedua merupakan hasil peta.

Contoh:

1. = {1, 2, 3}. Sebutkan semua pemetaan bijektif pada yakni suatu permutasi derajat 3. Misal ^A



^{1, 2,3}



.

Perhatikan dan , apabila kita pasangkan 1 1, maka kemungkinan pemetaan bijektifnya adalah 2 2, 33 dan 23, 32

1

1 2 3 1 2 3

f  

  

 

2

1 2 3 1 3 2

f  

  

 

33

Perhatikan dan , apabila kita pasangkan 12, maka kemungkinan pemetaan bijektifnya adalah 2 1, 33 dan 23, 31

3

1 2 3 2 1 3

f  

  

 

4

1 2 3 2 3 1

f  

  

 

Perhatikan dan , apabila kita pasangkan 1 3, maka kemungkinan pemetaan bijektifnya adalah 2 2, 31 dan 21, 32

5

1 2 3 3 1 2

f  

  

 

34

6

1 2 3 3 2 1

f  

  

 

Perhatikan bahwa banyaknya permutasi berderajat 3 dapat menggunakan aturan perkalian yaitu 3! 3 2 1 6    .

2. 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4

, ,

2 4 1 3 1 3 2 4 1 2 4 3

f   g   h  

     

     . Perhatikan :

 

^{1 2,}

 

^{2 4,}

 

^{3 1,}

 

^{4 3.}

 

^{1 1,}

 

^{2 3,}

 

^{3 2,}

 

^{4 4}

f  f  f  f  g  g  g  g  . ^h

 

^{1 1,}

 

^{2 2}

h  ^h

 

^{3 4,h}

 

^{4 3.} Permutasi , ,f g h adalah permutasi berderajat 4.

J. Kesamaan Permutasi

Dua permutasi dari S f dan g berderajat n sama jika ^{f a}

 

^{ g a}

 

untuk setiap aS

Contoh:

1 2 3 4 2 4 1 3

2 3 4 1 , 3 1 2 4

f   g  

   

    dan f g adalah sama.

K. Produk Permutasi

Produk atau komposisi dua permutasi f dan g ditulis fg , diperoleh dengan memetakan g dahulu, lalu f .

Contoh:

1. Misalkan ₁ 1 2 3 1 2 3

f  

  

  , ₂ 1 2 3

1 3 2

f  

  

  maka f1 f2

 

1  f1



f2

 

1



 f1

 

1 1 dan

selengkapnya _{1 2} 1 2 3 1 2 3 1 2 3 ₂

1 2 3 1 3 2 1 3 2

f f       f

     

     

2. Misalkan

1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3

, ,

1 3 2 2 3 1 1 3 2 2 3 1 3 2 1

1 2 3 1 2 3 1 2 3

, 2 3 1 1 3 2 2 1 3

f g f g fg

gf

        

         

        

    

    

    

.

Sehingga fg gf

35 Permutasi Identitas

1 2 3 ...

1 2 3 ...

i n

n

 

 

 

 

 

. Perhatikan bahwa fiif  f .

L. Invers Permutasi

Karena permutasi f bersifat 1-1 dan onto, maka f^1 (inversnya) juga berupa permutasi. Perhatikan pula bahwa ff^1  f^1f i.

1 2 1 1 2

1 2 1 2

... ...

, maka

... ...

n n

n n

a a a b b b

f f

b b b a a a

    

   

   

Contoh:

1

1 2 3 1 2 3

f  

  

   ₁ ^{1 1 2 3}

1 2 3

f^  

  

 

2

1 2 3 1 3 2

f  

  

   ₂ ^{1 1 3 2}

1 2 3

f ^  

  

 

3

1 2 3 2 1 3

f  

  

   ₃ ^{1 2 1 3}

1 2 3

f ^  

  

 

4

1 2 3 2 3 1

f  

  

   ₄ ^{1 2 3 1}

1 2 3

f ^  

  

 

5

1 2 3 3 1 2

f  

  

   ₅ ^{1 3 1 2}

1 2 3

f ^  

  

 

6

1 2 3 3 2 1

f  

  

   ₆ ^{1 3 2 1}

1 2 3

f ^  

  

 

Berdasarkan kesamaan permutasi maka invers suatu permutasi yang sama dengan permutasi tersebut yaitu: f₁^1 f f₁, ₂^1 f₂,f₃^1 f₃,f₆^1 f₆

M. Permutasi Siklis

Misalkan ^{1 2 1}

2 3 1

...

...

n n

n

a a a a

f a a a a

  

  

 suatu permutasi. Kita dapat notasikan permutasi f menggunakan permutasi siklis atau sikle, yaitu



^{a1 f a( ) ...1 fk( )a1}



. Hasil peta elemen-elemen yang invarian (tetap) tidak perlu ditulis dalam baris.

Contoh:

36 1. Misalkan 1 2 3 4 5 6

2 4 1 3 5 6

f  

  

  maka permutasi siklisnya dapat ditulis sebagai



^{1 2 4 3 5 6}

  

, sehingga merupakan sikel dengan panjang 4 atau disebut juga 4-cycle.

2. ₂ ¹ 1 3 2 1 2 3

f ^  

  

   f2^1



3 2



3. ₄ ¹ 2 3 1 1 2 3

f ^  

  

   f4^1



2 1 3



4. Misalkan 1 2 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8 1 2

dan g

2 4 5 7 8 1 6 3 5 7 8 1 6 3 2 4

f    

   

   . Maka

permutasi sikliknya adalah ^{f }



^{1 2 4 7 6 3}



^{5 8}



^dan



^{3 5 8}



^{4 7 6 1 2}



g  . Permutasi siklik f sama dengan permutasi siklik g, maka f dan g merupakan permutasi yang sama.

5. Misalkan



^{1 4 7 8 ,}

 

^{4 5} 6 7 1 8 3



2 ,

 

8 4 2 1 7

 

6 5 3

 

C  D E

atau dengan menggunakan notasi sebelumnya 1 2 3 4 5 6 7 8

4 2 3 7 5 6 8 1 ,

C  

  

 

1 2 3 4 5 6 7 8 8 3 2 5 6 7 1 4

D  

  

 dan

1 2 3 4 5 6 7 8 7 8 3 2 6 5 1 4

E  

  

 .

Untuk = , kita miliki semua permutasi berderajat 3 yaitu