MAKALAH
Makalah I.
Judul : Linear Goal Programming untuk Optimasi Perencanaan Produksi
Dipresentasikan : Seminar Nasional Sains dan Pendidikan Sains VIII UKSW
2013 yang diselenggarakan oleh Fakultas Sains dan Matematika UKSW tanggal 15 Juni 2013
Publikasi : Prosiding Seminar Nasional Matematika VIII UKSW 15 Juni
2013”. ISSN 2087-0922 Vol.4 No.1, 15 Juni 2013.
Makalah II.
Judul : Linear Goal Programming untuk Perencanaan Produksi dengan Kendala Permintaan yang Diramalkan Menggunakan Metode Regresi Linear Berganda.
LINEAR GOAL PROGRAMMING UNTUK OPTIMASI
PERENCANAAN PRODUKSI
Natalia Esther Dwi Astuti1), Lilik Linawati2), Tundjung Mahatma2)
1)
Mahasiswa Program Studi Matematika FSM UKSW 2)
Dosen Program Studi Matematika FSM UKSW Fakultas Sains dan Matematika UKSW
Jl. Diponegoro 52-60 Salatiga 50711
1)est_jchrist@yahoo.co.id,2) lina.utomo@yahoo.com,2) t.mahatma@gmail.com
ABSTRAK
Optimasi produksi adalah suatu cara untuk merencanakan atau mengatur penggunaan sumberdaya yang dimiliki perusahaan seperti bahan baku, tenaga kerja, modal kerja, dan fasilitas produksi supaya dapat memenuhi permintaan konsumen, mengoptimalkan bahan baku yang ada dan agar proses produksi dapat berjalan dengan efektif dan efisien. Untuk mencapai hal ini, maka perlu dibuat suatu perencanaan produksi yang mengacu pada metode matematis. Metode Liniear Goal Programming dapat digunakan untuk memodelkan permasalahan optimasi produksi yang mempunyai tujuan lebih dari satu, misalkan terpenuhinya tingkat permintaan konsumen, memaksimalkan penggunaan bahan baku yang ada dan meminimumkan saldo produk di gudang pada setiap akhir bulan. Dalam makalah ini akan dibahas bagaimana menerapkan dan merumuskan model Linear Goal Programming untuk optimasi produksi pada perusahaan minuman dalam kemasan botol. Model Linear Goal Programming yang diperoleh diselesaikan menggunakan alat bantu Solver. Berdasarkan data untuk perencanaan produksi minuman dalam kemasan botol selama tiga bulan diperoleh solusi optimal sehingga dapat disimpulkan bahwa semua sasaran yang ingin dicapai terpenuhi.
Kata kunci : Optimasi Produksi, Perencanaan Produksi, Linear Goal Programming (LGP)
PENDAHULUAN
Optimasi produksi merupakan suatu cara untuk merencanakan atau mengatur penggunaan sumberdaya yang dimiliki perusahaan seperti bahan baku, tenaga kerja, modal kerja, fasilitas produksi supaya dapat memenuhi permintaan konsumen, mengoptimalkan bahan baku yang ada dan agar proses produksi dapat dapat berjalan dengan efektif dan efisien [1] . Cara mengoptimalkan produksi bisa dengan meningkatkan kualitas produksi, manfaat produksi, bentuk fisik produksi dan mengatur jumlah produksi [5].
Salah satu perusahaan yang bergerak di bidang produksi minuman dalam kemasan botol berbahan dasar teh memproduksi lima jenis produk yaitu produk 1, produk 2, produk 3, produk 4 dan produk 5. Mengingat bahwa hasil produksi sangat penting bagi perusahaan maka optimasi produksi sangat dibutuhkan dalam proses produksi untuk memenuhi permintaan konsumen. Namun, pada kenyataannya
suatu industri tidak mengorientasikan tujuan hanya untuk memenuhi permintaan konsumen. Di lain sisi ada beberapa tujuan yang harus dicapai. Misalnya, memaksimumkan pemanfaatan mesin produksi , meminimumkan biaya produksi dan lainnya.
botol untuk memenuhi tingkat permintaan konsumen, memaksimumkan penggunaan bahan baku yang ada dan meminimumkan saldo produk di gudang.
Penelitian menggunakan model Linear Goal Programming sudah pernah dilakukan oleh Purwanto (2011) yaitu untuk menentukan perencanaan produksi pakaian jadi menggunakan konsep penundaan dengan mempertimbangkan tiga kegiatan dalam proses produksi (produksi langsung, poduksi master, dan perakitan) untuk meminimalkan biaya operasional, biaya persediaan, dan biaya tenaga kerja [6].
Linear Goal Programming
Linear goal programming (LGP) biasanya diterapkan pada masalah-masalah linear dengan memasukkan berbagai tujuan dalam formulasi modelnya. Dalam formulasi (LGP), sasaran dalam numerik untuk setiap tujuan harus ditetapkan lebih dahulu. Kemudian, tujuan yang ingin dicari adalah meminimumkan besarnya simpangan capaian pada kendala terhadap sasarannya. Untuk menyatakan simpangan (deviasi) dalam formulasi modelnya diperlukan suatu variabel yang disebut variabel deviasi. Ada dua variabel deviasi dalam formulasi modelnya yaitu variabel deviasi positif dan variabel deviasi negatif. Variabel deviasi positif berfungsi untuk menampung kelebihan capaian pada nilai ruas kiri terhadap sasaran yang ditentukan (RHS), sementara variabel deviasi negatif berfungsi untuk menampung kekurangan capaian pada nilai ruas kiri terhadap sasaran yang ditentukan (RHS) [3][4].
Bentuk Umum Linear Goal
Programming
Berikut bentuk umum dari metode Linear Goal Programming [2] :
Mencari nilai �= (� ,� ,…,��)
Menurut Ignizio langkah-langkah dalam proses merumuskan model Linear Goal Programming sebagai berikut [2] :
Mengembangkan baseline model (yang dimaksud dengan baseline model yaitu model matematika dari sebuah permasalahan)
Menentukan nilai sasaran untuk setiap kendala
Menambahkan variabel deviasi negatif dan positif untuk setiap kendala
Menentukan fungsi tujuan untuk setiap kendala
Tabel 1. Perumusan Fungsi Tujuan
Jenis
Tabel 1 digunakan untuk merumuskan fungsi tujuan yang berhubungan dengan variabel deviasi yang akan diminimumkan, dimana : �� � menyatakan fungsi tujuan/kendala, dengan nilai sasaran kendala ke-i ( �) , deviasi negatif pada kendala ke-i (��) dan deviasi positif pada kendala ke-i (��).
Menetapkan fungsi pencapaian tujuan
METODE PENELITIAN
Pengumpulan data
Data yang dianalisis adalah data sekunder pada proses produksi minuman teh siap minum dalam kemasan botol antara lain persediaan bahan baku dan jumlah permintaan, jumlah kemasan/botol di gudang selamakurun waktu 3 bulan (Oktober-Desember 2012)
Menyusun model LGP
Menyelesaikan model dengan Solver
Menginterpretasikan
Menarik kesimpulan
Formulasi LGP untuk Optimasi
Produksi
Untuk merumuskan model LGP terlebih dahulu memformulasikan model dasar linear programming (LP) seperti berikut :
Kendala tingkat permintaan konsumen ,�+�,(�−1)− �,� = �,� (1)
Kendala saldo persediaan di gudang
�,� 3
�=1 ,� (2)
Kendala penggunaan bahan baku
. ,� 3
�=1 ,� (3)
Kendala persediaan kemasan/botol ,�
3
�=1 � ,� (4)
Kendala ketersedian waktu proses 3
�=1 . ,� �,� (5)
Setelah memformulasikan model dasar LP , selanjutnya memformulasikan model LGP dengan dimisalkan variabel keputusan
,� adalah banyaknya produk i yang harus akhir periode t (pallet)
�,(�−1) = Jumlah saldo awal produk i pada akhir periode t (pallet)
�,� = Jumlah permintaan produk i pada periode t (pallet)
F2 : Meminimumkan saldo persediaan di gudang
Selanjutnya untuk kendala saldo persediaan produk di gudang berdasarkan persamaan (2) dan diformulasikan ke model LGP dengan meminimumkan deviasi positif � dengan = + 1,…,2 , adalah banyaknya kendala seperti pada rumus (7) yaitu :
F3 : Memaksimumkan penggunaan bahan baku
dengan :
= kebutuhan bahan baku untuk satu pallet produk i
,� = jumlah persediaan bahan baku i pada periode t
F4 : Memaksimumkan persediaan kemasan/botol
Untuk kendala ini sesuai model dasar pada rumus (4) dapat diformulasikan ke model LGP seperti berikut (9) :
,�+� − � 3
�=1 =� ,� (9)
= 5 + 1,…, 6 ,
4 = � 3
�=1
dengan � ,� adalah jumlah persediaan botol kosong i pada periode t (pallet) F5 : Memaksimumkan penggunaan waktu proses
Sesuai dengan model dasar (5) maka kendala ini dapat diformulasikan ke model LGP seperti rumus (10) yaitu :
. ,�+� − � 3
�=1 = �,� (10)
= 6 + 1,…,7
5 = � 3
�=1 dengan :
= kebutuhan waktu proses produk i pada periode t
�,�= rata-rata waktu yang dibutuhkan produk i per bulan
Formulasi pencapaian tujuan dari model LGP di atas adalah :
= ( 1, 2, 3, 4, 5 )
Penerapan Model Linear Goal
Programming
Data yang dianalisis adalah data sekunder pada proses produksi minuman teh siap minum dalam kemasan botol antara lain persediaan bahan baku, jumlah permintaan, dan jumlah kemasan/botol di gudang selama kurun waktu 3 bulan (Oktober-Desember 2012) seperti yang tersaji pada Tabel 2 dan Tabel 3 serta kebutuhan bahan baku untuk setiap produk pada Tabel 4, dimana banyak produk yang diamati adalah 5 jenis produk dengan total jam kerja yang tersedia dalam satu bulan adalah 448 jam yang terlampir pada hal.8.
Berdasarkan model LGP di atas disusun model untuk setiap produk dengan memasukan parameter-parameter yang sesuai dengan data yang dimiliki . Dengan menggunakan fungsi kendala pada rumus (6) sampai rumus (10) maka akan dicari solusi optimum untuk setiap produk dalam kurun waktu 3 bulan . Berikut disajikan model LGP untuk produk 1 dan penyelesaian optimumnya.
1,1+�1,0− �1,1+�1− �1= 5999,3 1,2+�1,1− �1,2+�2− �2= 7078,32 1,3+�1,2− �1,3+�3− �3= 5266,73
�1,1+�4− �4 = 120,09
�1,2+�5− �5= 120,09
�1,3+�6− �6= 120,09
1,887 1,1+�7− �7= 13228,03 155,172 1,1+�8− �8= 47870,67
332,051 1,1+�9− �9= 330000
1,887 1,2+�10− �10 = 16663,15 155,172 1,2+�11− �11 = 56054,73
332,051 1,2+�12− �12 = 330000 1,887 1,3+�13− �13 = 12235,35 155,172 1,3+�14− �14 = 40803,29
332,051 1,3+�15− �15 = 330000
1,1+�16− �16 = 6778 1,2+�17− �17 = 7960 1,3+�18− �18 = 5941
untuk meminimumkan = ( 1 �1+�1+
Untuk keempat produk lain (i = 2,3,4,5) disusun model LGP dan diselesaikan menggunakan cara yang sama seperti pada ulas sebagai berikut :
ditambah saldo awal sebanyak 5815,04 pallet dengan jumlah permintaan 5999,3 pallet sehingga diperoleh saldo akhir sebanyak 120,09 pallet yang nantinya ditambahkan pada bulan berikutnya sampai pada bulan ketiga (Desember). Sehingga pada pemenuhan tingkat permintaan dan saldo produk di gudang dapat terpenuhi pada setiap bulannya artinya bahwa tidak ada kelebihan dan kekurangan produk maupun saldo di gudang karena masing-masing variabel deviasi ((� + � ) dan � ) yang diminimumkan bernilai nol.
2. Pemenuhan kendala penggunaan bahan baku.
Variabel yang diminimumkan pada kendala ini adalah � ( = 7,8,9,…,15)
diperoleh nilai � = 0 dan � = 0
yang berarti bahwa pada kendala ini terdapat kelebihan bahan baku terutama pada bahan baku teh kering yaitu
�8 = 15990,65 . Sehingga dapat disimpulkan bahwa pada kendala ini nilai sasaran sudah tercapai dengan tepat pada setiap bulannya.
3. Pemenuhan Kendala Persediaan kemasan/ botol
Variabel yang diminimumkan adalah � ( = 16,17,18) diperoleh nilai � = 0
yang berarti tidak ada kekurangan kemasan, dan nilai � > 0 artinya terdapat kelebihan kemasan/botol. terutama pada periode November
�17 = 7603,61 . Hal ini dapat dikatakan bahwa pada kendala persediaan kemasan/botol terpenuhi pada setiap bulannya.
4. Pemenuhan Kendala Penggunaan Waktu Proses
Variabel yang diminimumkan adalah � ( = 19,20,21) diperoleh nilai � = 0
ini tidak ada kekurangan waktu proses produksi melainkan terdapat kelebihan waktu proses produksi pada periode Oktober yaitu �19 = 20,06 jam. Dalam hal ini dapat dikatakan bahwa kendala ini dapat terpenuhi pada setiap bulannya.
Untuk keempat produk lain diselesaikan dan diulas seperti pada produk 1 dimana solusi optimumnya tersaji pada Tabel 5. Secara ringkas analisis pencapaian tujuan dari setiap tujuan yang ditetapkan dalam permasalahan LGP ini seperti tersaji pada Tabel 6.
Tabel 6. Hasil Pencapaian Setiap Tujuan
Berdasarkan Model LGP
memaksimumkan penggunaan waktu proses terpenuhi dengan masing-masing kendala memiliki sisa atau kelebihan bahan baku, kemasan/botol dan waktu proses pada setiap bulannya, disini berarti bahwa setiap kali proses produksi tidak pernah kekurangan bahan baku, kemasan/botol dan juga waktu proses produksi.
Berdasarkan analisis dan pembahasan yang diperoleh solusi optimal pada produksi minuman dalam kemasan botol yang diselesaikan dengan memodelkan ke dalam bentuk Linear Goal Programming maka dapat disimpulkan bahwa semua tujuan pada setiap produk dapat terpenuhi yang diantaranya memenuhi jumlah permintaan konsumen, meminimumkan saldo produk di gudang, memaksimumkan penggunaan bahan baku dan kemasan serta memaksimumkan waktu proses produksi.
KESIMPULAN
Berdasarkan kajian di atas maka dapat disimpulkan bahwa Metode Linear Goal Programming (LGP) dapat digunakan sebagai alat bantu untuk membuat perencanaan untuk menentukan jumlah produksi dari produk-produk yang dihasilkan dalam kurun waktu tiga bulan atau dapat dikembangkan untuk kurun waktu lebih panjang misalnya satu tahun.
DAFTAR PUSTAKA
[1] Gitosudarmo, Indriyo. 1982. Sistem Per encanaan dan Pengendaian produksi. Yogyakarta : BPFE-Yogyakarta.
[2] Ignizio, D. P. 1982. Operations Research in Decision Making, Lexington book, D.C. Heath and Company, Lexington, Massachussetts. [3] Linawati, Lilik 2012. Penentuan
Alokasi Beban Kerja Dosen Menggunakan Pemodelan Lexicographic Linear Goal Programming. Seminar Nasional Sains dan Pendidikan Sains VII UKSW, 21 September 2012
[4] Siswanto. 2007. Operation Research Jilid 1. Jakarta : Erlangga.
[5] Subagyo, Pangestu . Asri, Marwan dan Handoko, T. Hanni. 1984.
Dasar-dasar Operations Research Edisi 1. Yogyakarta : BPFE-Yogyakarta.
[6] Web 2 :
LAMPIRAN
Tabel 2. Persediaan Bahan Baku selama 3 bulan
Persediaan Bahan Baku (pallet)
No. Bahan Baku Bulan 1 Bulan 2 Bulan 3
1 Teh A (kg) 13228,03 16663,15 12235,35
2 Teh B (kg) 532,07 568,48 401,28
3 Teh C (kg) 1008,7 1226,28 719,84
4 Gula Pasir (kg) 239353,33 280273,68 204016,428
5 Air (liter) 1650000 1650000 1650000
6 Flavour C1 81,67 92,56 65,34
7 Flavour C2 55,44 63,36 47,52
8 Flavour C3 32,23 42,57 0
9 Asam sitrat (kg) 462 541,75 351,45
10 Sodium Sitrat (kg) 193,82 224,4 144,21
11 Asam Ascorbic (kg) 32,34 37,4 23,76
Tabel 3. Jumlah Permintaan Produk ,Kemasan/botol dan Jumlah produksi minimum selama 3
bulan
Produk Jumlah Permintaan (pallet) Jumlah kemasan/botol (pallet)
Jumlah produksi minimum
(pallet) Bulan 1 Bulan 2 Bulan 3 Bulan 1 Bulan 2 Bulan 3
1 5999,3 7078,32 5266,73 6778 7960 5941 120,09
2 285,45 307,13 216,52 322 348 244 100,7
3 366,82 411,5 290,4
899 1035 654
87,55
4 339,5 387,52 286,92 85,33
5 87,92 115,05 0 88,35
Tabel 4. Kebutuhan Bahan Baku tiap Produk selama 3 bulan
Kebutuhan Bahan baku tiap produk
Bahan baku yang dibutuhkan Produk 1 Produk2 Produk 3 Produk 4 Produk 5
Teh Kering (kg) 54 32 32,4 32,4 32,4
Gula Pasir (kg) 4500 4500 4500 4500 4500
Air (liter) 9500 9500 9500 9500 9500
Flavour (kg) - - 4,85 3,6 8,1
Citric Acid (kg) - - 14 14 14
Sodium Sitrat (kg) - - 5,4 5,4 5,4
LINEAR GOAL PROGRAMMING UNTUK PERENCANAAN PRODUKSI
DENGAN KENDALA PERMINTAAN YANG DIRAMALKAN
MENGGUNAKAN REGRESI LINEAR BERGANDA
Natalia Esther Dwi Astuti1), Lilik Linawati2), Tundjung Mahatma2)
1)
Mahasiswa Program Studi Matematika FSM UKSW 2)
Dosen Program Studi Matematika FSM UKSW Fakultas Sains dan Matematika UKSW
Jl. Diponegoro 52-60 Salatiga 50711
1)est_jchrist@yahoo.co.id,2) lina.utomo@yahoo.com,2) t.mahatma@gmail.com
ABSTRAK
Model Linear Goal Programming untuk perencanaan produksi yang salah satu kendalanya adalah permintaan pelanggan , dalam hal ini didasarkan pada data yang ditetapkan oleh perusahaan. Sasaran kendala permintaan pada setiap bulannya tidak tetap atau berfluktuasi. Oleh karena itu, untuk menentukan permintaan yang berfluktuasi ini digunakan metode peramalan berdasarkan data atau periode sebelumnya. Hasil peramalan permintaan akan digunakan dalam model LGP untuk perencanaan produksi selama tiga bulan ke depan. Untuk mendapatkan hasil peramalan yang baik dipilih metode peramalan dengan nilai kesalahan (error) terkecil, dalam hal ini metode regresi berganda memiliki error terkecil dibandingkan dengan metode lainnya. Berdasarkan hasil peramalan permintaan yang diperoleh menggunakan metode regresi berganda ini selanjutnya digunakan untuk perencanaan produksi yang didasarkan pada model LGP untuk periode Januari-Maret 2013. Banyaknya produk yang diproduksi hasil model LGP dibandingkan dengan data riil yang menunjukkan bahwa nilai error pada dua produk dari lima produk yang diamati, ternyata berbeda cukup signifikan. Hal ini dikarenakan kedua produk tersebut tidak diproduksi oleh perusahaan yang disebabkan adanya satu bahan baku yang tidak tersedia.
Kata kunci : Optimasi Produksi, Peramalan, Linear Goal Programming (LGP)
PENDAHULUAN
Linear Goal Programming (LGP) pada permasalahan optimasi produksi minuman dalam kemasan botol, dipresentasikan dengan model yang bertujuan memenuhi tingkat permintaan konsumen, memaksimumkan penggunaan bahan baku yang ada dan meminimumkan saldo produk di gudang. Model LGP ini disusun untuk perencanaan produksi bulanan dalam kurun waktu tiga bulan [1]. Kendala permintaan dalam model didasarkan pada data yang ditentukan oleh perusahan. Sasaran kendala permintaan setiap bulannya dalam jumlah tertentu namun tidak tetap/berfluktuasi. Untuk menentukan permintaan yang berfluktuasi ini dapat digunakan metode peramalan berdasarkan data sebelumnya.
Kajian dalam makalah ini merupakan penelitian lanjutan dari penerapan LGP untuk perencanaan produksi [1], dimana sasaran kendala permintaan
didasarkan pada hasil peramalan. Oleh karena itu, akan didapatkan terlebih dahulu model peramalan yang sesuai dengan data yang dimiliki. Selanjutnya disusun model LGP untuk perencanaan produksi minuman dalam kemasan botol dan dilakukan modifikasi seperlunya. Model LGP ini bertujuan memenuhi permintaan konsumen yang dalam hal ini adaah hasil peramalan, yaitu memaksimalkan penggunaan bahan baku yang ada, meminimumkan saldo produk di gudang, memaksimumkan penggunaan persediaan kemasan/ botol dan memaksimumkan penggunaan waktu proses produksi.
KAJIAN TEORI
A. Peramalan
metode peramalan deret berkala (time series) seperti moving a verage, metode regresi sementara yang berdasarkan data kualitatif terdapat metode eksploratoris dan normatif [5]. Pada penelitian ini akan digunakan metode peramalan dengan data kuantitatif : metode rata-rata dan metode regresi.
1. Metode rata-rata (Average)
Metode rata-rata adalah suatu metode penilaian yang di dasari atas nilai rata-rata dalam periode yang bersangkutan.
1.1.Rata-rata sederhana
Metode rata-rata sederhana merupakan metode yang tepat untuk deret berkala yang memiliki pola stasioner dan tidak menunjukkan adanya trend maupun unsur musiman [5]. Peramalan untuk periode ke (T+ 1) dirumuskan sebagai berikut :
+1= 1
=1
… … … …(1)
Persamaan (1) menunjukkan bahwa metode rata-rata sederhana menggunakan nilai rata-rata masa lalu untuk meramalkan periode mendatang
1.2. Rata-rata bergerak tunggal
(Single Moving Average)
Salah satu cara untuk mengubah pengaruh data masa lalu terhadap nilai tengah sebagai ramalan adalah terlebih dahulu memasukkan nilai observasi masa lalu untuk menghitung nilai rata. Pada rata-rata bergerak ini dinyatakan bahwa, apabila muncul nilai observasi baru, nilai rata-rata baru dapat dihitung dengan membuang nilai observasi yang lama dan memasukan nilai observasi yang baru. Rumus untuk menghitung ramalan rata-rata bergerak pada periode T+ 1 yaitu :
+1 =
1+ 2+ 3+⋯+
…. . (2)
Metode ini kurang baik untuk deret berkala dengan pola trend atau musiman, walaupun metode ini lebih baik dibanding rata-rata sederhana [5].
1.3 Rata-rata bergerak ganda
Dari dua metode sebelumnya telah dinyatakan bahwa apabila digunakan sebagai ramalan untuk periode mendatang, tidak dapat mengatasi trend yang ada. Untuk itu dikembangkan metode rata-rata bergerak ganda yaitu rata-rata bergerak dari rata-rata bergerak dan disimbolkan sebagai MA(M × N) artinya MA M-periode dari MA N-periode[2][5]. Metode rata-rata bergerak ganda ini kemudian dikembangkan menjadi metode rata-rata bergerak linear yang secara umum diterangkan melalui persamaan berikut :
2.1.Regresi Sederhana
Dalam analisis regresi linier sederhana ini akan ditentukan persamaan yang menghubungkan dua variabel yang dapat dinyatakan sebagai bentuk model linier. Bentuk umum regresi linier sederhana :
= + + ...(8)
: vektor peubah tak bebas : vektor peubah bebas : intersep atau konstanta
: koefisien regresi yang menunjukan tingkat perubahan apabila mengambil nilai tertentu.
: variabel kesalahan (error)
Penentuan koefisien kemiringan (slope) b untuk regresi linear sederhana pada persamaan (8) adalah sebagai berikut :
= =1 −2( =1 )( =1 )
−
=1 ( =1 )2
…(9)
Sedangkan rumus untuk mendapatkan koefisien intersep a , adalah sebagai berikut :
= =1 − =1 … … … …. (10)
2.2. Regresi Berganda
Pada regresi berganda terdapat satu variabel tidak bebas (misalnya permintaan) yang akan diramalkan, tetapi terdapat dua atau lebih variabel bebas [5]. Bentuk umum dari regresi berganda adalah :
= 0+ 1 1+ 2 2+⋯+ + . . (11) Untuk menentukan koefisien regresi berganda (untuk dua variabel bebas misalnya penjualan dan persediaan saldo di gudang) seperti pada persamaan (12) -(14) sebagai berikut :
0 + 1 1+ 2 2= … … …. . . . (12)
0 1+ 1 12+ 2 = 1 …. . . (13)
0 2+ 1 1 2+ 2 22= 12… …. . (14) Berikut adalah langkah-langkah yang perlu ditempuh untuk melakukan peramalan menggunakan metode regresi, yaitu :
1. Menentukan variabel dependen dan variabel independen.
2. Melakukan penaksiran terhadap koefisien regresi .
3. Menghitung koefisien korelasi antara kedua variabel untuk mengetahui tingkat keeratan hubungan kedua variabel dan koefisien determinasi untuk mengetahui berapa persen ukuran variasi total pada peubah tak bebas yang dapat dijelaskan hubungannya oleh peubuah bebas. Koefisien korelasi untuk regresi sederhana disimbolkan dengan r dan R untuk regresi berganda, sementara koefisien determinasi untuk regresi sederhana disimbolkan dengan d dan D untuk regresi berganda.
Berikut adalah rumus untuk menghitung koefisien korelasi regresi sederhana:
�= −
2−( )2 2−( )2 . . (15)
dan koefisien determinasi (d) diperoleh dengan =�2 dan untuk regresi berganda yaitu :
= ( − )
2
( − )2… … … ….…(16)
dan koefisien korelasi (R) diperoleh dengan :
= … … … …. .… … … …. (17)
4. Melakukan peramalan terhadap variabel dengan mengambil nilai tertentu pada variabel
3. Ketepatan Metode Peramalan
berkala, sebagian data yang diketahui dapat digunakan untuk meramalkan sisa data berikutnya sehingga memungkinkan orang untuk mempelajari ramalan secara lebih langsung [5].
3.1.Ukuran Statistik Standar
Jika merupakan data aktual untuk periode i dan merupakan data hasil ramalan (atau nilai kecocokan) untuk periode yang sama, maka kesalahan data ke i di definisikan sebagai berikut :
= − ...(18)
Jika terdapat nilai pengamatan dan ramalan untuk n periode, maka akan terdapat n buah kesalahan dan ukuran statistik standar disajikan pada Tabel 1.
Tabel 1. Ukuran Statistik Standar
No
Hubungan dengan keterbatasan MSE sebagai suatu ukuran ketepatan peramalan maka diusulkan ukuran-ukuran alternatif, yang diantaranya menyangkut kesalahan presentase. Tiga ukuran yang sering digunakan disajikan pada Tabel 2.
Tabel 2. Ukuran-ukuran relatif
No Ukuran-ukuran
Penelitian ini menggunakan Mean Absolute Precentage Error (MAPE) karena sebagai presentase, ukuran ini bersifat relatif, sehingga ukuran ini lebih disukai daripada kesalahan rata-rata sebagai ukuran kesalahan [2][6].
B. Linear Goal Programming
Linear goal programming (LGP) biasanya diterapkan pada masalah-masalah dengan tujuan ganda dalam formulasi modelnya. Dalam formulasi (LGP), terdapat dua variabel deviasi yaitu variabel deviasi positif dan variabel deviasi negatif. Variabel deviasi positif berfungsi untuk menampung kelebihan capaian pada nilai ruas kiri terhadap sasaran yang ditentukan (RHS), sementara variabel deviasi negatif berfungsi untuk menampung kekurangan capaian pada nilai ruas kiri terhadap sasaran yang ditentukan (RHS) [1][4][7].
Berikut bentuk umum dari model Linear Goal Programming [3] :
Mencari nilai �= (� ,� ,…,��)
� = deviasi negatif pada kendala ke-i,
= fungsi pencapaian tujuan,
l = banyaknya fungsi tujuan/fungsi
kendala.
LGP untuk Optimasi Perencanaan Produksi
Untuk merumuskan model LGP terlebih dahulu memformulasikan model dasar linear programming (LP) seperti pada penelitian sebelumnya [1] dan selanjutnya memformulasikan model LGP dengan dimisalkan variabel keputusan
,� adalah banyaknya produk i yang harus diproduksi pada periode t (pallet) dengan
= 1,2,…, , dan �= 1,2,3. Model disusun untuk setiap produk i dan t ditentukan untuk 3 bulan.
Kendala Sasaran :
F1 : Memaksimumkan permintaan konsumen berdasarkan hasil peramalan.
Untuk kendala tingkat permintaan dapat diformulasikan model LGP seperti berikut : akhir periode t (pallet),
�,(�−1) = Jumlah saldo awal produk i pada akhir periode t (pallet),
�,� = Jumlah permintaan produk i pada periode t (pallet).
F2 : Meminimumkan saldo persediaan di gudang.
Selanjutnya untuk kendala saldo persediaan produk di gudang dapat diformulasikan ke model LGP dengan meminimumkan deviasi positif � dengan = + 1,…,2, adalah banyaknya kendala yaitu :
�,�+� − �
F3 : Memaksimumkan penggunaan bahan baku.
Sementara itu kendala lainnya adalah kendala penggunaan bahan baku akan diformulasikan ke model LGP seperti berikut :
F4 : Memaksimumkan persediaan kemasan/botol.
Untuk kendala ini dapat diformulasikan ke model LGP seperti berikut: botol kosong i pada periode t (pallet),
F5 : Memaksimumkan penggunaan waktu proses.
dengan :
= kebutuhan waktu proses produk i pada periode t,
�,�= rata-rata waktu yang dibutuhkan produk i per bulan.
Formulasi fungsi pencapaian tujuan dari model LGP di atas adalah :
= ( 1, 2, 3, 4, 5 )
METODE PENELITIAN
Penelitian ini bertujuan menerapkan LGP untuk perencanaan produksi minuman dalam kemasan botol dengan tujuan memaksimumkan permintaan yang didasarkan hasil peramalan, meminimumkan saldo persediaan produk di gudang, memaksimumkan penggunaan bahan baku, memaksimumkan penggunaan persediaan kemasan/botol dan memaksimumkan penggunaan waktu proses yang didasarkan data hasil peramalan yaitu jumlah permintaan, dan data sekunder dari perusahaan yaitu persediaan bahan baku dan jumlah kemasan/botol di gudang untuk produk-1, produk-2, produk-3, produk-4 dan produk-5 pada bulan Januari-Maret 2013.
Penelitian ini diselesaikan melalui langkah-langkah yang dijabarkan sebagai berikut :
1. Membuat peramalan permintaan produk bulan Januari-Maret 2013 didasarkan data Januari-Desember 2012.
1.1 Menguji normalitas data yang akan diramalkan,
1.2 Menggunakan metode peramalan kuantitatif : metode rata-rata dan metode regresi,
1.3 Menentukan/memilih hasil peramalan berdasarkan nilai error terkecil (paling baik),
2. Menyusun model LGP,
3. Menyelesaikan model dengan Solver,
4. Menginterpretasikan hasil penyelesaian dan membandingkan hasil penyelesaian dengan data real, 5. Menarik kesimpulan.
PENERAPAN MODEL LGP PADA PERENCANAAN PRODUKSI
1. Menentukan permintaan produk
berdasarkan peramalan
Peramalan dilakukan menggunakan data permintaan tahun sebelumnya (2012) untuk mengetahui perkiraan permintaan tahun 2013. Sebelum melakukan peramalan terlebih dahulu dilakukan uji normalitas data yang dalam hal ini adalah data permintaan menggunakan alat bantu software SPSS 16.0. Berdasarkan uji normalitas yang dilakukan diperoleh bahwa nilai signifikansi � 0,05 yang berarti data berdistribusi normal. Selanjutnya data yang akan diramalkan dihitung menggunakan metode rata-rata bergerak ganda berdasarkan rumus (3) – (7), metode regresi sederhana menggunakan rumus (8) – (10) dan regresi berganda menggunakan rumus (12) – (14). Dari kedua perhitungan ini dipilih salah satu metode peramalan dengan nilai kesalahan (error) terkecil. Berdasarkan perhitungan yang telah dilakukan sehingga diperoleh bahwa pada penelitian ini digunakan metode regresi berganda dengan menentukan data permintaan sebagai variabel dependen, dan data penjualan serta saldo gudang ditentukan sebagai variabel independen untuk mengetahui perkiraan permintaan tahun 2013. Berikut disajikan model regresi berganda untuk permintaan produk-1 yang diperoleh.
Dari perhitungan yang dilakukan diperoleh 0=−157,159 , 1= 0,83, dan 2= 5,009 , sehingga persamaan regresi berganda untuk produk-1 yaitu :
variabel dependen (permintaan) dengan kedua variabel independen (penjualan dan saldo gudang) sangat kuat. Menggunakan persamaan (24) selanjutnya didapat peramalan permintaan tahun 2012 dengan mensubstitusikan data pada variabel independen yaitu data penjualan dan saldo gudang diperoleh nilai permintaan produk seperti Tabel 3 :
Tabel 3. Nilai permintaan hasil peramalan regresi berganda untuk tahun 2012 bagi kelima produk
Bln Produk
1 2 3 4 5
Jan 3966,3 213,5 159,6 216,6 166,1 Feb 4214,4 373,9 244,9 219,9 100,6 Mar 5102,6 190,1 283,8 262,9 107,1 Apr 4951,4 260,7 265,6 260,9 96,3 Mei 6123,9 241,5 339,2 309,1 103,5 Jun 7103,4 181,9 313,5 312,4 77,1
Jul 6632,7 257,2 383,5 337,9 75,8 Agst 5047,2 232,5 250,3 243,8 42,1 Sep 6562,6 182,3 285,2 277,8 60,2 Okt 6335,6 219,1 423,7 334,9 68,6 Nop 6788,5 256,1 362,8 322,7 62,4 Des 5952,1 210,1 362,8 348,4 29,4 Error
(%) 5,33 20,85 17,81 13,58 31,38 Berdasarkan Tabel 3 akan dihitung nilai kesalahan peramalan untuk setiap produk menggunakan Mean Absolute Precentage Error (MAPE) dan keempat produk lainnya (i=2,3,4,5) diselesaikan menggunakan cara yang sama seperti pada produk-1.
Berdasarkan analisis model regresi berganda diperoleh hasil peramalan permintaan Januari-Maret 2013 untuk setiap produk yang tersaji pada Tabel 4:
Tabel 4. Hasil peramalan regresi
berganda Januari-Maret 2013 untuk kelima produk
Bln Produk
1 2 3 4 5
Jan 3969,2 280,7 177,2 227,5 168,1 Feb 4214,4 384 258,7 221,8 211 Mar 5106,6 195,1 300,9 271,5 133,2
2. Formulasi Model LGP
Berdasarkan data dan permintaan yang diramalkan disusun model untuk setiap produk dengan menggunakan fungsi kendala pada rumus (19) sampai rumus (23) selanjutnya akan dicari solusi optimum untuk setiap produk dalam kurun waktu 3 bulan .
Berikut disajikan model LGP untuk produk-1 dan penyelesaian optimumnya.
1,1+�1,0 − �1,1+�1− �1= 3969,27 1,2+�1,1 − �1,2+�2− �2= 4214,43 1,3+�1,2 − �1,3+�3− �3= 5106,63
�1,1+�4− �4= 120,09
�1,2+�5− �5= 120,09
�1,3+�6− �6= 120,09
1,887 1,1+�7− �7= 10952,1 155,172 1,1+�8− �8= 39483,1 332,051 1,1+�9− �9= 330000
1,887 1,2+�10− �10 = 11334,83 155,172 1,2+�11 − �11 = 44607,4 332,051 1,2+�12 − �12 = 330000
1,887 1,3+�13− �13 = 11905,95 155,172 1,3+�14 − �14 = 36505,3
332,051 1,3+�15 − �15 = 330000
1,1+�16− �16 = 6412,28 1,2+�17− �17 = 6412,28 1,3+�18− �18 = 6412,28
0,076 1,1+�19− �19 = 90
0,076 1,2+�20 − �20 = 90 0,076 1,3+�21 − �21 = 90
untuk meminimumkan = ( 1 �1+ �2+�3 , 2 �4+�5+�6 , 3 �7+
�8+. . +�15 , 4 �16+�17+
�18 , 5(�19+�20+�21))
1,�,�1,(�−1),�1,�,�1,�,�1,�,�1,� 0 (�= 1,2,3)
diselesaikan menggunakan alat bantu Solver pada MS. Excel 2007.
3. Pembahasan dan Interpretasi
Dari formulasi model LGP diatas diperoleh solusi optimum untuk kelima produk yang yang diselesaikan menggunakan Solver dan tersaji pada Tabel 5 : secara ringkas analisis pencapaian tujuan dari setiap tujuan yang ditetapkan dalam permasalahan LGP ini seperti tersaji pada Tabel 6.
Tabel 6. Hasil Pencapaian Setiap Tujuan
Berdasarkan Model LGP.
Tujuan Pencapaian Keterangan
F3 : Selanjutnya akan dibandingkan antara hasil penyelesaian menggunakan model dengan data riil perusahaan untuk periode Januari-Maret 2013, yang tersaji pada Tabel 7, yaitu :
Tabel 7. Perbandingan hasil penyelesaian
dan data real perusahaan
Produk 1 2 3 4 5
Tabel 7 menunjukan perbandingan hasil penyelesaian/model dengan data riil perusahaan dimana hasil model didasarkan pada permintaan yang diramalkan menggunakan metode regresi berganda untuk periode Januari-Maret 2013 dan nilai error pada peramalan menggunakan metode tersebut adalah produk-1 sebesar 5,33% dan produk-3, produk-4 masing-masing sebesar 17,81% dan 13,58%. Sementara itu untuk dua produk lainnya yaitu produk-2 sebesar 20,85% dan 31,38% untuk produk-5. Berdasarkan hasil model dan data riil
perusahaan yang diperoleh sehingga didapat nilai error keduanya dimana untuk produk-1,produk-3, dan produk-4 error yang diperoleh lebih kecil dibandingkan dengan produk-2 dan produk-5 sesuai dengan nilai error peramalan pada Tabel 3. Untuk produk-2 dan produk-5 terdapat perbedaan yang signifikan dengan nilai error seperti pada Tabel 7 yaitu 52,25% dan 75,92% , hal ini dikarenakan pada bulan Februari untuk produk-2 dan bulan Maret untuk produk-5 terdapat salah satu bahan baku yang tidak tersedia digudang maka pada bulan tersebut kedua produk tidak produksi sehingga menjadikan nilai errornya besar.
PENUTUP
1. Kesimpulan
Berdasarkan kajian di atas maka dapat disimpulkan bahwa:
Kendala permintaan ditentukan menggunakan peramalan metode regresi berganda dengan error terkecil pada produk-1 yaitu 5,33%.
Nilai permintaan yang merupakan hasil peramalan digunakan untuk perencanaan produksi bulanan yang didasarkan pada model LGP untuk periode Januari-Maret 2013, dimana diperoleh nilai error yang berbeda signifikan terhadap data riil, yaitu pada produk-2 dan produk-5. Hal ini dikarenakan kedua produk tersebut tidak diproduksi yang disebabkan adanya satu bahan baku yang tidak tersedia.
Penerapan model LGP dengan permintaan yang diramalkan dapat digunakan untuk perencanaan produksi bulanan dalam kurun waktu 3 bulan sekaligus.
Saran
DAFTAR PUSTAKA
[1] Astuti, Natalia. E. D., Linawati, L., Mahatma, T. 2013. Linear Goal Programming untuk Optimasi Per encanaan Produksi. Prosiding Seminar Nasional Sains dan Pendidikan Sains VII UKSW tanggal 15 Juni 2013. ISSN: 2087-0922. [2] Awat, Napa. J. 1990. Metode
Peramalan Kuantitatif. Yogyakarta : Liberty Yogyakarta.
[3] Ignizio, D. P. 1982. Operations Research in Decision Making, Lexington book, D.C. Heath and
Company, Lexington,
Massachussetts.
[4] Linawati, Lilik 2012. Penentuan Alokasi Beban Kerja Dosen Menggunakan Pemodelan Lexicographic Linear Goal Programming. Seminar Nasional Sains dan Pendidikan Sains VII UKSW, 21 September 2012
[5] Makridakris, S., Steven, W., Victor, E. M. G. 1995. Metode dan Aplikasi Peramalan. Edisi 2. Jilid 1. Jakarta : Erlangga.
[6] Makridakris, S., Steven, W. 1994. Metode-metode Peramalan untuk Manajemen. Edisi 5. Jakarta : Binapura Aksara.
