ESTIMASI BAYESIAN PADA PERAMALAN MODEL ARMA.

Judul Makalah Penulis Makalah ldentitas Makalah

Kategori Publikasi Makalah (beri

/pada

kategori yang tepat)

Medan

M.S 601100L

- r!*

Unit KerfS,lrl

TEMBAR

HASIT PENILAIAN SEJAWAT SEBIDANG ATAU PEER REVIEW

KARYA

ltMlAH

: PROSIDING NASIONAL

"Estimasi Bayesian Pada Peramalan ModelARMA"

ZulAmry, Adam Baharum and Mohd. Tahir a. Judul Prosiding

b. ISBN

c, Tahun Terbit d. Penerbit e. Jumlah halaman

f.

WEB Laman

Lampiran 8

Seminar Nasional Matematika dan Terapan 3

978-602-911.5-24-6 November 20L2

Himpunan Matika lndonesia (lndoMS)

35-49

E

{

Prosiding Forum llmiah lnternasional Prosiding Forum llmiah Nasional

Medan,

September 2015 Reviewer l-,

Prof. Dr. Tulus, M.Si

NrP. 19620901 198803 1002 Unit Kerja : Guru Besar FMIPA USU

Hasil Penilaia n Peer Review : Komponen Yang Dinilai

Nilai Maksimal Prosiding

Nilai Akhir Yang Diperoleh lnternasional

T

Nasaional ./

a. Kelengkapan unsur isi artikel (10%)

0,6

0,f

b. Ruang lingkup dan kedalaman pembahasan (30%)

/,8

/,

r

c, Kecukupan dan kemutahiran data/informasi dan

metodologi(30%)

1,8

/,f

d. Kelengkapan unsur dan kualitas penerbit (30%)

/,8

/,

t-Total

=

lL00%l

T

Nilai Pengusul

{

Judul Makalah Penulis Makalah ldentitas Makalah

Kategori Publikasi Makalah (beri

/pada

kategori yang tepat)

trubis, M.Pd., Ph.D NrP. 1955102s198s031002

Unit Kerja: Univ. Muslim Nusantara

LEMBAR

HASIL PENITAIAN SEJAWAT SEBIDANG ATAU PEER REVIEW

KARYA

ltMlAH

: PROSIDING NASIONAL

"Estimasi Bayesian Pada Peramalan ModelARMA"

ZulAmry, Adam Baharum and Mohd. Tahir a. Judul Prosiding

b. ISBN

c. Tahun Terbit d. Penerbit

e. Jumlah halaman

f.

WEB Laman

I-l

Prosiding Forum llmiah lnternasional

./

Prosiding Forum llmiah Nasional

Lampiran 8

Seminar Nasional Matematika dan Terapan 978-602-91,15-24-6

November 2012

Himpunan Matika lndonesia (lndoMS)

35-49

Medan,

September 2016 Reviewer 2,

Dr. Firmansyah, M.Si

NrP. L9671110 199303 1003 Unit Kerja: Univ. Muslim Nusantara Hasil Penilaian Peer Review:

Komponen Yang Dinilai

Nilai Maksimal Prosiding

Nilai Akhir Yang Diperoleh lnternasional

r

Nasaional1

a. Kelengkapan unsur isi artikel (10%)

0,b

0,9

b. Ruang lingkup dan kedalaman pernbahasan (30%)

I'B

1,9

c. Kecukupan dan kemutahiran data/informasi dan

metodologi(30%)

hE

t,9

d. Kelengkapan unsur dan kualitas penerbit (30%)

lrB

l,f

Total =

(LOO%I

b

Judul Makalah Penulis Makalah ldentitas Makalah

Kategori Publikasi Makalah (beri

/pada

kategori yang tepat)

TEMBAR

HASIL PENILAIAN SEJAWAT SEBIDANG ATAU PEER REVIEW KARYA ILMIAH : PROSIDING NASIONAL

"Estimasi Bayesian Pada Peramalan ModelARMA"

ZulAmry, Adam Baharum and Mohd. Tahir a. Judul Prosiding

b. rsBN

c. Tahun Terbit d. Penerbit e. Jumlah halaman

f.

WEB Laman

Lampiran 8

Seminar Nasional Matematika dan Terapan 3

978-602-9175-24-6 November 20L2

Himpunan Matika lndonesia (lndoMS)

35-49

I-l

prosiding Forum llmiah lnternasional

./

Prosiding Forum llmiah Nasional

Hasil Penilaian Peer Review :

Komponen Yang Dinilai

Nilai Maksimal Prosiding

Nilai Akhir Yang Diperoleh Internasional

T

Nasaional

"l

a. Kelengkapan unsur isi artikel (10%)

016

d,{

b. Ruang lingkup dan kedalaman pembahasan (30%)

1,3

l,f

c. Kecukupan dan kemutahiran data/informasi dan

metodoloei(30%)

fr6

lri

d. Kelengkapan unsur dan kualitas penerbit (30%)

[,6

tri

Total

=

{LOO%I

I

NilaiPengusul

r

Medan,

September 2015 Reviewer 3

NrP. 19570804 198s03 1002

ffitor:

Hsmom

NdewmgTkang

Sacb

Suudo

Tftilus

NfuranRamffi

rcslDlNe

28-29

NOVEIUBER

2012

W

MUSIJIU

NUSAI{TARA

.

AIWASHI.IYAE

MH)Al.l

SIMNNTAP

2

volume

!I

*{*nt"

tu*dB

?rf

i,i:tl*.

PROSIDING SEMINAR NASIONAL

MATEMATIKA

DAIT

TERAPAN

(

SiManTap20tZ)

Volume

2

Editor:

Herman Mawengkang Tulus

Saib Suwilo

Marwan Ramli

Copyright @ 20L3, kepada penulis

Hak cipta

dilindungi

_{Undang-Undang}

All rights

reserved

Cover Designed : Muhammad Romi Syahputra Dipublikasikan oleh :

The Indonesian

Mathematical Society

http _{://www.indoms-nadsumut. org}

rsBN

:978-6A2-L7AA4-L_g

(Jilid

Lengkap)

37&-6*;i*.i,i$*+*

j-

j

iV*irune

_2.i

fffi?

KATAPENGAIYTAR

Seminar Nasional Matematika dan Terapan (SiManTap) merupakan salah satu kegiatan tahunan Himpunan Matematika Indonesia QndoMS) Aceh-Sumut dan telah pula menjadi agenda tnootras pusat. siManTap telah dilaksanakan sebanyak

3

(tiga)

kali

sejak tahun 2010.

SiManTap

2010

dilaksanakan

di

Universitas

Sumatera

Utara (USU), Medan'

oleh Departemen

Matematika

FMIPA,

SiManTap 2011

dilal$antkan

di

Universitas

Al-Muslim, Bireuen, oleh Program Studi Pendidikan Matematika

FKIP

dan SiManTap 2012 dilaksanakan

di universit;

Muslim

Nusantara

Al-washliyah,

Medan, oleh rroqram

Studi

Pendidikan Matematika

FKIP.

Kegiatan

SManTap

ini

diikuti

oleh

berbagai

kalangan, baik dosen, mahasiswq gunr,

penelit!

pernerhati' pengguna maupm peneinta

*ut"riutit*yang

setiap tahtmnya terjadi

p*i"gkat"n

jumlah peserta dan pemakalah' Seminar

yang

dilaksanakan setiap tahun

ini

bertujuan

untuk

membentuk

forum

bagi

peneliti,

ior"o,

guru,

penggun4

pemerhati, pencinta serta mahasiswa

untuk

saling

terbagi'ide,

ihd

p""g"f.*L

dun

*u**an.

Selain

itra

dapat

pula

dijadikan sebagai

*udui

untuk

salingbef,omunftasi

dm

berdiskusi tentmg penelitian rlan _{lrnernuan bmtr} dalam bidang matematika, khususnya matematika terapan'

Penerbitan prosiding SiManTap 2012 int diharapkan dapat meningkatkan kuantitas dan

kualitas penulisan

iuO"

Uia*g

matematika maupun terapannya. Ucapan terima kasih dewan redaksi

uc"pk*

kepada berbagai pihak yang telah membantu proses penerbitan

prosiding

ini

dan

semoga

pada

telbitan

berikutnya

mutu

penulisan

dapat

lebih

aitingf***

lagi sehingga dapat lebih bermanfaat'

Ketua

Panitia

Wakil

Ketua

Sekretaris

Wakil

Sekretaris

Bendahara

Wakil

Bendahara

Panitia

Pelaksana

Drs.

Firmansya[ M.Si

Drs. Hidayat,

M.Ed

AMul

Mujib,

S.Pd.,

M.PMat

kvan,

S.Pd.,

M.Si

Dn.

Darajat Rangkuti,

M.Pd

Dra-

Mardiningsih,

M.Si

Panitia

Pengarah

l.

Prof.

Dr.

Moehammad

Nawawiy

Loebis,

M-Phil,

Ph^D

2-

Drs. H. Kondar

Siregar,

MA

3.

hof,

Dr. Herman Mawengkang

4.

Prof.

Dr.

Syawal Gultom,

M.Pd

5.

Prof.

Dr

Tulus,

M.Si

6-

Prof.

Dr. Opim

Salim,

M.Sc

7.

Prof.

Dr.

Saib

Suwilq

M.Sc

8.

Dr.

HizirSo$an

9.

Dr- Marwan

Ramli, M.Si

10.

Syahril

Efendi,

S.Si.,

M.IT

I

l.

Drs. Ahmad Sukd Nasution,

M.Pd

12.

Drs.

Madyrrrus

Salayan,

M.Si

(Ulvff{A\il)

(usu)

(TJNTMED)

(usrD

(usu)

(usrD

(r.jNsYlArD--({.rNSYrArr)

(usu)

Daftar

isi

Kata Pengantar

Ilalaman:

I

ii

Kepanitiaan

Daftar

Isi...

lrr

Upaya Gum Mengembang]<an Karakter Siswa Melalui Pembelajarm Matematika dengan

Pindekatan

Realistik

I

( Rahmah

Johol,

Tuti Zabaidoly', Neni Moriand, I'2 Dosen Program Studi Pendidikon Motemotika FKIP lJnsyiah,3Dosen Progrom Studi PGSD FIP Unesa Surobayo

)

Model Penediaan Probabilistik Satu Jenis Barang Dengan Melibatkan Falctor

All.Unit Discount ..-..

( Tatfk Linansyah don J. Dharma Lesnono, hntsan Maemotika, lJniversttas Kotolik Poralryangon)

penerapan _{Metode Diskusi} Bermedia Mind Mapping untuk Meningkatkan Minat Belajar Matematika

Siswa...

"""""""""""

23

(

Rick Hunter S, FKIP (Iniversitqs _HKBP Nommensen

)

Penentuan Ranking Web densan Algoritroa

Pagerank---

27

( Rima Aprilia, (jniversitas Muslim Nasontara Al-Washlioh

)

Estimasi Bayesian pada Permalan Model Arma

..-.-...'-

35

( Zul Anryl, Adam'Baharum2, Mohd Tqhif ,IJurusan Matemotika (Jniversitos Negdri Medan 2j{Jniversiti

Soins Malaysia

)

Penerapan Model Mind Mapping pada Pembelajaran Matematika sebagai Upaya Meningkatkan Hasil BelajarSiswa Pada Materi Bangrm Datar Kelas

VII

SMP Tri Karya

Desa lilang-Sunggal Kabupaten Deli Serdang

TA-zAnnA0l2

-..-.-"""'-

51 ( Hidsyat dsn

oiae*ariai,

FKIP Universitos Muslim Nusontara Alwashltyah)

Upaya Meningkatkan Hasil Belajar Siswa dengan Mddel Pembelajaran Cooperative Learning

fipe

fnint

puir

Sn-.

(TPS) Pada Materi Kubus dan Balok di Kelas

VIII

SMP Kartika I-1

IvfedanTahumPelajarm20nn}n

59

Qlanidah

Rasadi den Hidayat, FKIP Universitas Muslim NusantaraAlwashl$ah) peningkatan Kemampuan Komunikasi Matematis dan Komunikasi Belajar Siswa dengan

Uenelp*an Model iembelajaran Experiential

Learning

67

( Ika Miulida Thamimi, program Pascasariana (lniversitas Negeri Medan,2012

)

Tanggapan Siswa Pada Pengglmaan Rubrrft Dalam Penilaian Hasil

Kerja.

73 ( Iulutia Fariha ,Yustina, Universitas Sliah Kuala, Banda Aceh)

Membangrm KaraklerAnak Sejak Usia Dini Melalui Pelajaran

Matematika

79

(

Nur Anwar, Mahasiswa Prodi Magkter Pendidikon MAemAikaPPs Unsyiah

)

Model Mnemonik Pada Materi Perbandingan

Trigonometri

87

( Narjehan Putri dan Rifadul Mahtmaah, Mahosiswo Magister Pend- Motemotika, Unsytah) Model Pembelajaran Berdasa*an Masalah pada Materi Volume Kubus dan

Balok

97 ( Nurlita dan Sii nahnatina, Program Sndi Magister Pend Matematika Unyiah)

Pembelajaran Twrman Fmgsi Dengan Pendekatan Problem Posing Di Kelas

XI

SMA

Negeri

8

BandaAceh

105

( Rifaatul Mahmuzah Mahasiswa Program Studi Magister PendMaematika Pasca Sarjana Unsyioh

)

Kemampuan Berpikir Kritis Matematis Siswa Antara Model Pembelajaran Connected mathematics Project (CNe) Dengan Pembelajaran Konvensional di SMP

( Ristontowi, Mahasiswa Program Stadi Magister Pendidikon Matematika

uNSyuH

)

Tingkat Perkembangan Kognitif Dalam Pembelajaran Matematika.

( Roskowati, FMIPA universitas Negeri Medun Jl- willem Iskandar Medan Estate

)

Peningkatan Pemahaman dan Penalaran Mahasiswa Program Studi Pendidikan Matematika dengan Menggunakan Strategi Acoelerated Learning Model

MASTER

l2g

( Abil

Morgyil,Elfilrl,

I'2

Pendidikan Mopmatko-FWpA univasitas Negeri Medon

)

Meningkatkan Hasil Belajar Siswa Pada Materi Trigonometri Dengan Model Pembelajaran cooperative Integrated Reading and Composition (cIRC) dengan Berbantuan Media

Pembelajaran (Sofuare) dI Kelas X

MAN

Bireuen

87

( Asmudil, Fitrisniz, Pendidikm Matematika Program Pasca Sarjana Unsyiah)

Menemukan Tripel Pythagoras Hanya dengan Satu

Peubah

145 ( Jhon Abdi, Progran Pasca Sajana Pendidikan Matemstika Universitas Syiah Kuala

)

Metode Dekomposisi Berbentuk L dalam Menyelesaikan Program Linear Stokastrl<

DuaTahap

...-....-....-...:

l5l

( Johannes Kho, Jurasan MatematikaFMlPA Universitos Riau

)

Kemampuan Berpftir Kritis, Kreatif dan Reflektif (K2R) Matematis Mahasiswa Pendidikan

MatemahlkaFKIPUMB

_lS7

( Risnanosanti, Progrom Studi Pendidikan Marcmaika FKIp UMB)

Penerapan Brain Based Learning dalam Pembelajaran Matematika untuk Meningkatkan Kemampuan Pemecahan Masalah Matematika dan Motivasi Belajar Siswa di Kelas

VIII

SMA Swasta Cerdas Murni Tembung

T.P.2012D013...--...

₁₆₃ ( Nur 'Afifah, Pendidikan Matematika FKIP UMSU

)

Upaya Meningkatkan Kreativitas dalam Rangka Peningkatan Hasil Belajar Matematrka Siswa Melatui Media Pembelajaran Berbasis ICT dengan Model Pembelajaran Kooperatif Tipe STAD

Pada Pokok Bahasan Fungsi Kuadrat Di Kelas X SMA Negeri I

I

Medan

TA20t2-20r3

...

₁₇₇

( Rizki Kurniawan Rangfut/, Marwan _{Ramlf ,} dan Mulkanlskandor Nst.3,L'iprogram studi Pendidikon Matematika FKIP WSU)

Upaya Mengatasi Kesulitan Siswa dalam Menyelesaikan Soal Cerita pada Sistem Persamaan LinierDua Variabel dengan Metode Pemecahan Masalah dari Teori Polya di Kelas

VIII

SMp Swasta Bayu Pertiwi Kecamatan s*-ggul Kabupaten Deli

Serdang

lg3

( _{zuhur Fordanir dan Firmansyah2,} 12 program- _studi pmdidikan-Matemqtika _uMN Al-Washliyah)

Meningkatkan Hasil Belajar Matematika dengan Model Kooperatif Tipe NHT pada Materi

Limil

Fungsi Aljabar Dkelas

XI

IPA2 pada MAN Kuta Baro Aceh

Besar.

lg7

( Ramlala Program studi magister Pendidikan Matematika unsyiah Banda Aceh)

rt7

r23

Upaya Meningkatkan Kreativitas Siswa dalam Mempelajari Keliling dan Luas Lingkaran

Melalui Pendekatan

Kontekstual

197

( Darmino Eka Sari Rangk*i, Program Stadi Pendidiksn Mqtematikn FKIP UMN Al-Washliyah

)

Upaya Meningkatkan Hasil Belajar Siswa dalam Memecahkan Masalah Matematika dengan

Menerapkan Metode Diskusi Kelompok pada Pokok Bahasan Diferensial Dikelas XrI

SMK-TRRaksana Medan T.P

201112012...-...---..-

201

( Elviarni, Pendidikon Motematika Pascasariana Universitas Negeri Medon

)

Analisis Penalaran Dalam Ujian Nasional Matematika SMA/MA Program IPA Tahun

201y

2012..

207

( Abdul Mujib, (Jniversitas Muslim Nusantara (Ulut'{) Al-Washliah

)

Penganrh Strategi Pembelajaran drn Gaya Belajar Te&adap IIasil Belajar Matematika.-... 215

( Sujorwo, (Jniversitos Muslim Nusanlara (Ulufr'l) Al-Washliyah

)

Jaringan

kntai

Suplai dengan Pendekatan Pemrograman

Stokastik

225

( Suyanto, Departement Matematiks FMIPA USU

)

Skenario Transformasi Model Multiplier Ke Model Envelopment Pada DEA Untuk

MengukurEfisiensi..-...-..

..

231

( Syahril Efendi, Departemm Matemotika FMIPA USU

)

Kemampuan Representasi Matematis Mahasiswa Program Studi Pendidikan Matematika FKIP Universitas Muhammadiyah Bengkulu Pada Mata Kuliah Aljabar Linear Tahrm

Akademik

z0flnol2

239

Estimasi

Bayesian pada

Peramalan

Model Arma

Zul

Amryl,

Adam Baharum2, Mohd Tahir3

tJurusan _{Matematika Univenitas Negeri Medan} 2'3Universiti _{Sains Malaysia}

Abstrrt" Paper id membabas estiffii Bayesian terha,l4 par@eter-pa-eeter aaam

p9m{9

Tsel

'

ARMA Tujuar utarra qa adalah menenhrkan hasil peramalan satu priode ke depan bagi model ARMA

apabila diggnakan prirx ieftey dangan fungsi kenrgian kuadratis. Model peramalan Bayesian untuk satu

priode ke -<tepm daiarn formgla rnaematita Oiperoteh berdasakan nilai ekspektasi dai distribusi prediktif

posterior marginal. Aplikasi model peramalan dicobakan pada daa time series angka inflasi nasional

Ld--

indonesia dari bulan Januari 2@5 sampai Agustus 201

I

yang bermodel ARMA(l,l). Unuk

rnelihat apakah model perarnalan yang diperoleh sudah memadai diuji dengan statistik Q Ljung-Box'

sedddd ukuran Root Mean Squae Error (FJr,tSE) digunakm untuk melihat kealrurdal model dengro nilai _{stdistik Q-14.30826} da RMSE:0.'1628906'

Keta kunci: nrodel ARMd teorema Bayes5 prior Jef&ey, distribusi ptediktif

1.

Pendahuluan

Model ARMA (Autoregressive-Moving Average) merupakan model khusus dari model ARIMA

(Autoregressive Integrated Moving Avirage) yang dikembangkan oleh Box

&

Jenkins- Model ini

iefan

Uiyaf<

digunakan sebagai model

statistft4

terutama yang berkaitan dengan masalah

peramalan-permasalahan _{yang lazim dijumpai dalam menganalisis model}

ARMA

maupun model-model time series pada umumnya adalah bagaimana cma mengestimsi parameter-parameter yang terdapat dalam model tenebut. Menurut perkembangannya, teori estimasi terdiri atas estimasi

secara klasik dan estimasi Bayesian. Menurut cara klasik estimasi terhadap parameter populasi

hanya didasarkan pada observasi sampel, ssdangkan

pada

estimasi Bayesian, disamping menggunakan observasi sampel juga digunakan pengetahuan (informasi) awal tentang parameter yang*akan diestimasi tersebug

btin

seUaU

itu

dalam estimasi Bayesian memungkinkan rmtuk

"r*auputf.*

keputusan yang lebih bailg karena melibatkan lebih dari satu

sumber

informasi-nformasi

awal

ini

dikenal-dengan informasi

prior.

Informasi

prior

umumnya berasal dari pengalaman masa lalu maupun deskripsi pemikiran yang sifatnya subyektif.

Dalam estimasi Bayesian, p€nentuan disUibusi prior sebagai pengetahuan awal memegang

penman

yang

sangat

penting

untuk

mendapatkan keputusan

alfiir'

karena

dengan

-eggul*gku*yu d.og*

informasi sampel berupa

ftmgsi

likelihood akan menglrasilkan

distn:busi posterior

y*g

utuo

digunakan untuk keperlum inferensi. Suatu distn'busi prior diharapfan dapat memb"tit uo iofo.rtasi yang memadai tentang parameter-parameter sebelum eksprimen dimulai; tetapi, bisa saja terjadi bahwa pngetahuan tentang prior

itu

hanya sedikit

dalam hal

ini

tentg

saji

intormasi hasil eksprimen akan lebih dominan pengaruhnya terhadap dishibusi posterior;

prior

semacam

ini

disebut

prior

non

informatif, sedangkan

prior

Jeffey. menrpakan prior tron informatif ymg dikonsEuksi secara

matematis-Salah satu cara dalam menentukan estimator dari parameter populasi pada anatsis Bayesian adalah dengan rirenggunaftan teori keputusan dengan suatu fungsi kerugian; yaitu kerugian yang dialami utiUut n"potr.uo yang diambil dalam mengestimasi pmameter yang akan diestimasi t€rsebut, sehingga upaya yang dapat dilakukan berkaitan dengan fungsi kerugian ini adalah dengan meminimumkan nilai ekspektasi dari firngsi kerugian yang digunakan.

Sehubungan dengan uraian sing!<at diatas, dalam paper ini akan coba dipapa*an bagaimana menentgkan nasif peramatan Bayesian satu priode ke depan bagi model ARMA apabila digmakan prior Jeftey dengan fungsi kemgian

2.

Materi

dan Metode

Model ARIVIA

Model

ARMA

adalah model time series yang stasioner dan merupakan kombinasi dari model Autoregresif (AR) dengan model Moving Averge (MA)

Model ARMA (p,q), didefinisikan oleh :

pq

v,=f0;1,-,+fo,et-;*e,

"""""

Ql)

i=l 9=1

denganyladalahnilaisekarang,0,dan0;parameter, _{lyr.,,i:12,...,p)adalahpnilaiobservasiyang}

lalq

dan {e-5,

j=12,-..,q}

q nilai sesatan _{yang lalu dan {er}} adalah barisan variabel random

i

i

d normal densan q _-N(0,t -t),

"

t0

dan tidak diketahui.

Model Box-Jenkins

Pendekatan

ARIMA

pertama

kali

diperkenalkan oleh

by Box

and Jenkins

Qnq,

sedangkan model ARMA adalah model time series yang stasioner dan menryakan model lftusus dari model

ARIMA. Ada tiga langkah utama dalam membangrm model Box-Jenkins, yaitu identifkasi model,

estimasi model dan checking model. Langkah 1 : Identifikasi model

Langkah p€rtama dalam pengembangan model Box-Jenkins adalah melihat sifat kestasioneran

time series dengan memperhatikan grafik dari firngsi autokorelasi (ACF). Jika tidak stasioner, dapat diupayakan stasioner dengan melakukan diferensi terhadap time series yang asli. Untuk mengidentifikasi model yang akan

dipilih;

A&

MA

atau

ARMA

dilihkan

berdasarkan karakteristik dari ACF dan PACF padatabel berikut (Madsen, 2008)

Table 2.1: KarakteristikAcF dan PACF

ACF _PT PACF _0l&

AR(p) Damped exponortial mdlor

sine fimctions

f*:oror>p

MA(q) _Pr

:0

for k >q Dominated by damped expe'

Nential and/or sine function

ARMA{p,q) Damped exponential and/or

sine firnctions after lag (qp)

Dominated by damped expo-aential mdllor sine fimction after lae

(ra)

Sesudah identifikasi model, ada beberrya kandidat model yang layak rmnrk dipilih- Salah satu cara yang dipakai untuk memilih satu model yang paling layak adalah dengan melihat nilai Akaike's Information Criterion (AIC). etddidefrnisikan sebagai berikut :

AIC:

nln6l

+2M

(wei,

1994)...-...

..

Q2)

rlimana _n adalah banyak observasi,

6]

adalah estimasi maksimrm likelihood

rmtut

ol

dan

M

bmyaknya parameter. Model yang dipilih adalah model dengan nilai AIC yang minimum.

Langkah

2:

Estimasi model

Estimasi model diperoleh berdasarkan estinasi teftadap paramst€r-parameter yang terdapat dalam model. Salah satu metode rntuk mengestimasi garameter-parameter dalam model ARMA adalah

metode maksimrm

likelihod

(Wei,

194)

Perhatikan

s*es

{X,

_,

t =1,2,...,n},

model ARMA(p,q) model dan pmameter-parameter

$

=

(0r,

$r,...,00),

e

=(0,,02, ...,00),

u:

E(X,)and

":

=E("1).

[image:12.612.72.538.66.722.2]

Dalam persamaan :

Y.

=

{rY,-,

+$rY,-,

+...+00\-o*u,

+0,a,-,

+0ra,-, +"'+Ona,-o

. (2'3) dimanaY,

-Xt -p,

X,

stasionerataustasionerhasiltransformasi,tur)

i-i'd-N(0,o:)

Persamaan (2.3) dapat dituliskan sebagai

qP

?t

=yr

-Ig,u,_.,

-f $,v,-,

-.---.-- Q-4\

Fl i=l

Karena q

-

N(0,

"l

),

maka fimgsi padat petuang bersama dari a:(at, az,"',ao)

l,(alg,p,o,ol)

=

-f,t

I

Qno'^ti

".t[-r*)]

:(r",1).*'[-+Ed)

(25)

Fungsi logaritma likelihood bersyarat dari parameter _$

,

lr,

0 , d"n

ol

adalah :

rnq0,p,0,ol):

-lu'znoj

-W

""""

Q,)

s (0, p,

e)=

i

_{u ?} (0, _{rr, 0} /

X,,

ao,

X),

x: (X,,x2,"''

xo

)',

,t=tl

Xo: \X1-0,. . - _X

-1,, X6

)t

*a a:

(u r-q

:'''

:

a-,,

ao

)t

Nilai dari

e,0

U* 6

tu"*

memaksimumkan p€rsamaan (2.5) disebut estimatrjr maksimum likelihood Gifi.E).

Langkah 3: Checking model

oahfo

langkah ini, model harus diperiksa untuk kelayakan dengan

leleamati

sifat-sifat residual

apakah asumsi dalam model sudah dipenuhi. Asumsi dasar _{adalah {a,}

}

*erupatao proses white noise,

yaitu

a,

meruyakan- barisan variabel random tidak berkorelasi dengan mean

nol

dan variansi konstan. Jika residual memenuhi asumsi

ini,

maka model Box-Jenkins yang diperoleh adalah model yang baik untgk data. Untuk checking kelayakan tersedia statistrk Q Ljung-Box.

Uji

statistik Q (Weu 1994) adalah :

e:n(n.2)i-e+

-

x'(K-p-d)

...'.-.. Q-7)

-

Ein-K

.fif"

Q>I'r-,

(K

-p-q),

maka kelayakan model ditolak pada level

a-rtimana n adalah ukuran sample,

pl

aA*&

autokorelasi dari residual pada lag

k

dm

K

adalah jumlah lag yang sedang diuji.

Peramalan

Peramalm tink untuk satu priode ke depm bagi

y*l

berdasakan data observasi

$:

(yr, yz,-

'.-,D

dinotasikan

i,0)

dan didefinisikan :

9(1)

=

E(Y"*,

lS")...

""""""""""'

(2'8)

Kriteria

ketepatan peramalan

Dalam Assis et al (2010), ada beberapa ukuran sebagai kriteria ketepatan hasil peramalan. Dalam paper ini digrmakan Root Mean square Error (RMSE), yang didefinisikan sebagai berikut :

IESS

R1\4SE=./-

... (2.9)

Yn

dimana

n:

th number of observations; ESS

:

the error

srn

of square, Teorema Bayes

Jika

X

dan

Y

adalah dua variable random diskrit maka fungsi padat peluang bersama nya dapat ditulis

p(x,

y)

₌

p(x

I

y)p" (y)

dan fimgsi padat peluang marginal X adalah :

px(x):

I,d*,v)

:

I,n{"

lv)p'(v)

...-... (2-r0) Aturan Bayes untuk peluang bersyarar

p(y

_I

x)

adalah :

pO

lx;:

p(x,v)

_ p(x

lv)p"(v)

:

JElI)p"(v)

Pr(x) Px(x)

Irn{*

lv)p"(v)

Jika Y kontinrl teorema Bayes dapat dituliskan sebagai :

p(y

lx)=.=fE-l-IDrLqI-

... (

Dengan."o"*ou*I:*ffi*;;...(2.ll)

p(y

lx)

.c

p(x

ly)pr(y)

-....j...

...

Q.r2)

dinana p(ylx) : distribusi posterior, p(xly) : fungsi likelihood dan

Pr(y)

: distribusi prior.

PriorJeffrey

Jeffiey

@ox Tiao,

1973) menganjurkan suatu distnlbusi

prior

yang dikonstruksi seacara

matematika berdasarkan fimgsi lftelihood dan dikenal densan

prior

Jefrey. Prior Jeffey unhrk parameter 0 pnrporsional dengan akar kuadrat dari inforrnasi Fisher, yaitu :

-

nJ"ff(O)

* S(e)

... (2.13)

-

(0)

adalah informasi Fisher untuk parameter 0, dimana :

I(s) = u,.,,

[[*logL(o/x,,*r,...,*,

r)']

:

-

t.,r[#logL(o/

*,,*,,...,*" ))

Jika

0{gr,

02, ...,0p) adalah veklor, Jeftey (Berger, 1985) menganjurkan prior :

Q.t4)

dimana I(0) adalah matriks _{_informasi} Fisher (pxp) dengan elemen

(ij)

la'

.l

Iij

e)=

-E,

|

#-

tog

r(x

I

e)

I

... (2.r5)

Lffi'ffii

e \ '')

dan _{L(0lX)oc {XlO)} adalah frmgsi likelihood untuk prameter 0 bsrdasarkan observasi

X

Teori keputusan dan estimator Bayes

Unsur-unsur dalam teori keputusan adalah fimgpi keputusan, fimgsi kerugian dan fungsi resfto yang masing-masing didefisisikan sebagai benlkut:

Definisi 2.1

Suatu fungsi T : fr"

+

E

disebut frmgsi keputusan dan harga T(x) dengan

x

:

(x1,x2, ...,

xJ

disebut suatu keputusan. Dqfinisi 2-2

suatu fungsi L :

frxft+

E

dengan c) ruangparameter 0 yang didefinisftan oleh L

:

L(T(x),o) disebut fimgsi kerugian, apabila L >0 dan

L:0 jfta

T(xH'

Defnisi

2.j

Fungsi L(T(x),gF k(T(x!0)2, dengan k>0, disebut firngsi kerugian kuadratis. Definisi 2.4

Fungsi R : ExO-+

fr

yang didefinisikan oleh R(f(x),0FEtL(T(x),0)J disebut frmpi resiko'

Funlsi ini menyatakan bahwa resfto yang dialami ala'bat suatu keputusan T(x) danmerupakan nta-ratadari kemgian

yag

dialami apabila keputusan tersebut dilalokan.

Dertnisi 2.5

Misalkan Xr, Xz, ...,

Isampel

random dari suatu populasi berdistribusi f(x'o ₎ Resiko Bayes dari estimator T relative terhadap fungsi resiko R(T,o ) dan prior

r(0)

adalah rata-rata frmpi resiko terhadap

(0)'

yakni

R'

(T,

n)

=

E[R(T,

0)J =

J

ng,

e1-7r(0)'d0

o

Definisi 2.6

Misalkan Xr, Xr, ..., Xosampel random dari suatu populasi berdistribusi f(x,o ).

T'

disebut estimator Bayes relatif tertadap resiko R(f,o ) dan prior n(0)

jfta

:

E[R'(T,0)]

<

E[R(T'O)]

untuk setiap estimator T.

Teorema

2.1

-*

Urt"k

fir"gsi kerugian kuadratik, estimator Bayesnya adalah meail posterior-Bukti

Misalkan

X

suatu populasi berdistribusi

fuO )

dan

0

sendiri berditibusi a(0). Berdasa*an sampel random X1,

X3

..., Xo akan ditentukan estimator untuk 0'

Resiko Bayes terhadap prior z(0) adalah :

R'1r,r;

:

Jn1r,e;n(0)d0

:

J

E1r1r,e)l.n(e)de

AO

:

JJ

qr,

e)-fix

I

0)dvc(0).d0

:

JJ

r1r'

e;-f

(x

/

0)'n(g)'d0'dx

f(x/0);r(0)

Karena

d0lx)

Jr1xlel.n1el.ae

f(x/0)n(0)

densan

m6pJf(x

/0):l(0).de

m(x)

maka diperolen

d(r,n)

:

J m1x;J I-

(T,0).n(0

/

x)-d0-dx

oan

m;n

(r,")

:

ry

Jr1r,e;n101

x).do

khusus umtuk frmssi kuadrattk

min

(r,n):

T"

IUtt

-

0)2.r(0/x).d0

kemudian dianrbil derivatituya terhadap T, akan diperoleh

r

JZtg

-

0).n(0/x)d0:

o

yarng menghasilkan

r

:Je."1elx)dO:

mean posterior

Distribusi student's- t univariat

Ddnisi

2.7

Suatu variabel random X dikatakan berdistn-busi student-t pada n derajat keb€basan dengan modus p dan parameter skala _{r>0 [X}

-

_{Lfu"r)], jika} mempu- densitas :

o**

rftn

+

l)/

2hr1,

[o

*

(*

-

p),

l-(n+')/2

f(n/2).(nr)"'I t

I

dengan mean

E{X}

p dan variansi Var(XF nd(n-2), jika n>2.

Be6ekal pengetahum dari definisi&eorema pada materi-materi diatasn prosedur pengerjaan dilakukan dengan langkah-langffi berikut :

(l)

menyajikan fimgsi likelihood berdasarkan model

ARMA, (2)

membentuk prior Jeftey berdasarkan fungsi likelihood (3) membentuk distribusi posterior dengan teorema Bayes, yaitu mengalikan fungsi likelihood dengan distribusi prior, (4) membentuk distrr'busi prediktif berdasarkan model

ARMA,

(5) membentuk disnibusi prediktif posterior,

yaitu

mengalikan disEibusi prediktif dengan distrrbusi posterior,

(6)

membentuk disnibusi prediktif posterior maryinal dengan pengintegralan berulang terhadap distnbusi prediktif

posterior, (7) menentukan hasil peiamalan dengan mengambil nilai ekspektasi terhadap distribusi prediktif posterior marginal dan (8) aplikasi model peramalan pada sekumpulan dat4 seperti pada chart berikut:

Pq

rdodel ARMA(p,d ,

X

:DY,r

*Ibr",'

*.

i{

tr

(l)

Fungsi likelihood

r,(Y,r-r lS")

(3)

Distribusi posterior

tr$rd'ls")

(

)

Distribusi predilrif f ( y*1 _|

$,Yr')

3.

Analisis

Berdasairkan modely,

=lQrf,-, +fer",-r*c,,

secara eksplisit untuk

n

obser- vasi

i=l q=l

Sod"

yz, ...

,yJ

residu erdapat dituliskan dalam bentuk

:

-pq

et

= yt

-10,v,_, -

I0.,",-,

... (3.1)

i=l a=l

Fungsi lihelihood

Dengm sytrat p observasi yang pertam4 misalkan

%:

%-r

_Q maka berdasarkan

Box&

Jenkins

Qn6\

suatu hampiran fimgsi likelihood dari yr*r,...Jo artalah

L.(o,@,r _I

sJ

*

r(F(Flovz.,.o{-

:[

i

(

r,

-i4,r,-,

-

ir,",-,]'l]

...

o.,

I

zft=n+r\ i=r

j=r

) l)

merupakm fmgsi

dri

param€ter

\t-{Ot,Otf

dan _r, dimana (D

:

_(h,fu,

--.,hf

a-G=(01,02,..,0J

Dalam hal ini e,diestimasi oleh :

o,

=y,

-

16,

r,-,

-f

Q.,_,

dimana 0',

d*6,

masing-masing adalah

*;*,

nua*tjJ*"cil

untuk _Q; dan 0; yang ditentukan

. \P q

vla

p€rsamaan

yr=I{;y,_;+f

0re,_r+e,

yang

_{dapat dinyatakan dalam bentuk}

:

j=r

y,

=

YrB,-r

*

e,,

sehingga

9

ait"rrtut

*

dengan cara meminimumkan bentuk :

i"l=

i

(r,

_y'a,_,I

dengan lmg|<ahJangkah sebagai

"--r-jf;:

.:p+r

denganmemisalkan

F(y) =

i

(r,

**t",-,f

,*uku

t=pll

menghasilkan'

-, i(t,

-

ai,v)n,-r

:

_o r=pd

("

\-rn

.'.

E

=l

ltn,_,nl,l

I

ly,B,_,

\,=p-'t

)

,-.+*r

Berdasarkan nilai

9

ini, maka nilai-nilai 6, _, 6,-1 _,. . . _, 0,-n dapat diperoleh _{melalui :}

6,

=y,

-9tB,_,

Selanjutnya dengan memisalkan :

v,:(yp*r_i,

yp+2_i>...,y"_rI _,

wi

(Op*r_;,6p*z_j,...,6o_il,

n,:

(y,ryr-r,...,Yt*l-',6,,6,-r,...,6,*r-nI, x:(vrrvr,...evp:...,w11ril2r...,*n),

":

Xtoo

aan

a:XrX,

maka persamaan

(3j)

dapat dituliskan menjadi :

L(y,trSj

oc /n{p}d}a

*{-;L*,,1- zy'n+*'"-]}

...

_(3,3)

Distribusi

prior

Berdasarkan fungsi likelihood pada persarnaan (3.3), diperoleh informasi Flslrerrmtuk parameter

r

yang disimbolkan de'ngan

(r)

sebagai

beril$t

1nD

Ln

L(y,r

I

sJ:

;(o-p-q)Lnc-

]tZ,$

i=fll

-2vrB+v'Ay

)

-9r'

rg,")=

|{r,

-

p

-

d

j,,*,ri

-

2yrB

+

yrAy

)

CT

i:l

dF(Y)

=o

akan

dY

4*t*.r1:-!1o-p-q)"-',

I(t)

| 2u\u\L)'' a

CTL

l.

,

-)

t(n-P

-q)r

-Sehingga diperoleh Prior JefteY :

rr*o../I(Q : t-t

"""""'(3'4)

Distribusi posterior

Berdasarkan teorema Bayes, distribusi posterior bersama untuk pmameter

Y

dan

t

,

diperoleh melalui perkalian antara p€rsamaan (3'3) dengan (3'4), yaitu :

E(Y,t I

S')

cc

L(Y,t

I

S")

x

ilr"o

"-P-'

*r{-

;[,i"]

-

2vrB+y'*]]

';,Y-'

*o{-l[*'o*-YrB-BrY+t-?

]]

(35)

Distribusi

prediktif

Dari persamaan (3.1), diperoleh densitas

tt:Tltt*lfu t-*T

^ lrl

f(y*r

I

$,Y,t

)

:

(2rn-t)t

"

"*p.t

ilt

".'

-

L

$,y".,-,

-

|

e,e".t-,

I

i

n

r'''*r{-

;tr"-,

-

*'",

F}

karena[YtB,)t=VrArY,denganAr=B'BI'makadiperoleh:

(Y*,

I

s-y,t

)

n

"'''*t{-

;tt]*,

+

v rA,Y -

2Y

rBJ

".,

}

(

n rt''*pt-;hl*,

+Y'A'Y

-YrB,Yn+r

-*'3"v".,]}

(

*.1t,*n

t;t

]*,

+vrA,Y -YrB,v"*,

-B]v"'*]}

" """"""""'

(3'6)

Distribusi prediktif Posterior

selanjutny4 dengan mengalikan p€rsamaan (3.5) dengan (3.6) yang mengacu pada chen

(lgyz)diperoleh pendekatan densias prediktif posterior b€rsyarat :

&o*,

r

,-y,r) ..

,P-'

"*n{-

^rf

vrAY -

YrB

-

BrY +

I

*

-l}

,. .,.__

-

___-

[

2L

,;i_

JJ

""'

"*n.{-

}Ui-+.YrA,Y

-

Y'Bovo.,

-

"1r".,*4

n-(p+q)+l ,

6.^t

2

.*r{-{

y'(A

₊

A,)y -

2Y'18+

Boyo*r)

-(B'

+

Bly,.,)y

*

y1*,

-,tlt

]}

n-(p+qlrl ,

ccT

2

"-{

{yrA'y-y'18+Boyo*r)-(B'

+Bfy,*,)y+

y3*

.,*lt

]}

dengan Aa:A+A1

Bentuk yang terakhir ini dapat diubah menjadi :

n-{p}qFl

I

fn(Y*1lSn

Y,t)ccr

2

l'

t-

(Y

- A;'B*

Boyo*,)r

Ao(Y

-

A;rB+

Boyo*r)

+

y1.,

+ll

---'[

,L],rl

-(G+B,y,*,)'A;'(B+8,y"*,))

-JJ

'

Distribusi prediktif posterior marginal

Hasil peramalan satu langkah ke depan dari 4ata time series

$:

(yt, yz, . . . ,yJ ditulis

9

"

(1)

v*g

merupakan nilai harapan bersyarat dari yo*1, yaitu :

i,

(l)

:

E(Yo.,

_I S,

)

Hasil ini dipemleh

dengan:"""*"*Oan

densitas pada persamaan (3.7) terhadap

Y

dan t, yaitu

fn(Yo*,

ls,):

J

Jro(r,-,

ls.,Y,r)dYdr

0-o

n

-2p-q

+

ty",,

-

o

-

sla;'s"

)'

gJa;'e))3

IY?

-(BrcB)

t=p+l

(n-2p-O0-nla;'e,;

dimam C

-

A;t

+ (1

- nlA;'n"1-'A;tA,A;t

Berdasaxlen p€rsmaan (3.S) ini apat disimpulkan bahwa

:

\rr

_{lS"beraistribusi} student-t univariat dengan derajat kebebasan n-2pq serta mempunyai modus :

E(\"

I S, )

=

0

-

B:A;'B"

)'BIa;'B

...

... (3.e)

Hasil peramalan

-

Hasil peramalm rmtuk satu priode ke depan merupakan nilai ekspektasi dari distsr'busi

predfttif

posterior

marginal-i,

0)

:

E(y"*r

I So )

=

(l

-

n]a;'e,

;-'

nlR;'n

-(n-2p--q+l)

2

... (3.8)

Selanjutnya, karena

₀

-B:A;rB")-'glA;t

=

(a'e,f

,maka persamaan

(3.9)

masih dapat disederhanakan menjadi :

i"0)

:

(A'B,)'u

...-... (3-10)

4.

Penutup

Apabila diberikan sekumpulm data time series S"

:

(Yr, Yz, ..-,Yo) yang telah diidentifikasi bermodel ARMAft),q), maka estimasi Bayesian untuk menentukan hasil peramalan satu priode ke

depan apabila digrmakan prior Jeftey dengan fungsi kerugian kuadratis adalah :

i"

o):

(A-'s"

I

s

dimana A

:

XrX,

X:

(v'v2,.

..,

vp,

w1 I w2 :

...,

*o

),

dengan",:(yo*r-,,Y

e+2-i,...>Yn*,I,*-

(60*,-i,60*r-3,---,6,-.,I,sedangkan

e,,

A,-r,...,C,-odrperolehvia

6,

=y,

-9'8,-,,*

=

[,*lu,-,ul,)]

n,

:

(y,, _Yr-t,

..',

_Yr*t-o,6,,

6,-,,'

",

0,*,-q

I

dan

B:

Xrvo

f

Y,B.=,,

1=p+l

Aplikasi

Oata yang digunakan dalam paper

ini

adalah "angka inflasi nasional bulanan Indonesia dari Januari 2005 sampai Agustus 2011 benumber dari BPS sebanyak 80 dat4 pengerjaannya dibantu oleh perangkat lunak S-PLUS. [image:21.612.68.569.63.738.2]

Plot data, ACF, PACF dan plot diapostic residual disajikan pada gambar berikut

Gambarl:plotdata

(a) Faliitor musiman dan kestasioneran

i'fi,iO"tr

g".U*

l,

tidak menunjukkan suafu pola yang

\rylang

ullg

dalam s9l9-S waktu yang

;"p,

l"t

ienginaitasil.u" uunr"u dara

tidak.."g*o*g

faktor. musiman' Plot ACF pada gambar

t,-li,irk

nemierlihatkan trend searah diagonal

a-i

muo

kekiri atau turun secara perlahan-lahau

rio""gt^

oitui-*tui

autotoretasi nya cendrung turun nrenuju nol sesudah time lag kedua atau

ketigi

ini mengindikasikan bahwa data x, bersifat stasioner.

(b) Idenfikasi dan seleksi

model

,

_{.- ,}

Nilai p dan q pada

-oi.ianrtaaO,q)

dapal ditentukan berdasarkan ACF dan PASF' Pada garnbar 2, plot ACF terputus

** **

r

&n"lertentut< gelombang sinus.teredanr, ini mengidentifikasikan nilai

q=l.

Pada gambar 3, plot PACF terputus piau

hg

t

aan

9e1g*

gelombang sinus teredam' ini

mengidentifikasik*;iln:1.

Dari k"adaa" ini dapat diidentillasi bahwa model-model yang dapat dilominasikan adalah ARMA(I,0), ARMA(0'I) dan

ARMA(I'l)'

(c) Estimasi Parameter.

[image:22.612.73.545.63.743.2]

Dengan metode mutsimum lftelohoo4 diperoleh nilai estmasi setiap parameter dan nilai AIC dari masing-masing modseperti pada tabel berikut :

Gambar2:plotACF

Tehel3:Nild &AIC

Model

6

-e

AIC

ARMA(,I.0) 0.67778 96.70058

ARMA(a1) -0.51378 l18.96121

ARMA(/,1 0.93176 0.56909 92.0999s

ruvr!r\rrrl

"-a"-r* "*t

^a,erkecil,

model yang dipilih adalah model ARMA

(l,l)

dengan

nilai

_$ 4-93176 dan

0:0.56909

d)

Ilasil

peramalan

l^angkah pertama adalah menentukan nilai 6,

:0

_{dari 60} data pertama pada tabel4 berikut : [image:22.612.86.530.71.276.2]

,

0,

:yt

-

A.%l76Yt-r

-

0.56090

e,-, ,

0,

Tabel4:Nilai 6,

t Yt t Yt I

Yr

I r.43 0.00000 21 0.38 0.17434 4t l.4l 1.35y22

2 -0.17 -t.50242 22 0.85 0-4a672 4? 2.46 0.37270

3 0.91 t.v234t 23 0_34 4-6v277 43 1.37 -1.13423

4 0.34 -1-60250 24 l.2l t-28745 44 0.51 -0.12103

5 4.21 0.80517 25 1.04 -0.82010 45 o.m 0-56368

6 0.50 -0.15388 26 0.62 0.1 1768 46 0.45 -0.77460.

7 0.78 0.40169 27 0-24 -0.40466 47 0.12 0.14152

8 0.55 -0.40537 28 -0.16 -0.15333 48 -0.04 -0.2323s

9 0.69 0.4aY22 29 0.10 0_33634 49

4.n

0.09950

l0 0.70 4.17523 30 023

{-0tt58

50 0.21 0.21860

ll

l.3r o.75749 3t o-72 a-fi676 5l 022 -0.10007

t2 -0.40 -2.05169 32 0-75 -0.22633 52 -0.31 -0.45803

t3 1.36 2.90030 33 0,80 0.22998 53 0.M 0.58951

t4 0.58 -2.33772 34 0.79 -0.08629 54 0.1I 4.26276

l5 0.03 0.81995 35 0.18 -0.50698 55 0.45 0.49704

l6 0-05 -0^44458 36 l-10 1.22080 56 0.56 -0.14215

t7 0-37 0.57&2 37 1.77 0.0s032 57 1.05 0.6091I

l8 0.45

&-nzt9

38 0.65 -1.v2785 58 0.19 -1.13499

l9

0.45 0.15750 39 0.95 o-92930 59 {.03 0.43888

20 0.33 4-178y2 40 0.57 4.8,t403 60 0-33 0.10819

Langkah berikumya adalah menghitung hasil peramalan untuk satu priode ke depan dan estimator nayes

Q

=

(6,e)**

meilentukan

6*

padatabel5 berikut:

Tabel 5 : Hasi satu ke

k

Yeo*t

9**o(1)

r /r r\

Y

=

10,01 ek

0 0-33 0.1081900

I

o-84

anml&

$.7 06'24240. -O- I 00 l 8 l 30) 0_6177785

2 0.30 o-53625764 $.1ltv6v2.4-09997007) 4.2362s76

J -o.14 o.B6n67A f 0.7s705390- 4. I 0205 I 90) -o-3762267 4 0-15 -0.c6112329 (0.7031 0840. 4.0991 7394) 0-21I1233 5 0.29 0.08412665 (0.702781 80. 4. 10084450) 0.2058734 6 0-97 0-18339030 (0.7 0339 420, 4. I 0003260) 0.7866W7 7 1.57 0.610805,10 (0.70900039. 4.097 7 93M\ o.qJ24026

8 o:16 1"06861400 (0-73053212. -0.0867963) -0.3086135 9 0.44 o-57432t94 rc.t tv28645 - -0.089640 l7) -0.t343219

l0

0.(6 0.32695270 0.71622W4-4.08793975) 4-2669527

ll

0.60 0-6579868 rc.1

n8n

82. -0.08626852) 0.5342013

t2 0.92 0.38085140 ( _{o.7 I 469639 - -0.08979093 )} 0-s391486

13 0.89 0.617ME20 $.7212M6f.. -0.08549942) o-27255t8 t4 0.13 0.623923q) $.7267 51t2. -0.0839642 1) -0-4939239

l5 -o.32 0.13453500 (0.71638928, 4.08382%7) -0.4545360

l6 o-31 {.r965850 rc.7n23549.4.07r27W3\ 0.5026585

l7 a_12 0.17896690

ft

.7 t u7 6242. -0.082301 37) -0.05896687

l8 0.55 0.09014598 (0.7 I 050972. {.0&283995) 0.45985400

l9

o.fft 0.35310690 $.7 12127 83. -0.0E3 860 I 2) 0.31689310 20 0.93 0.45345520 (0.71551 140, -0.08184929) 0.47654480

(e) Kelayakan dan ketepatan model peramalan

Untuk melihat kelayakan dan ketepafan hasil peramalan dilakukan dengan

696|6{ingkan

antara data faktual 6l-80 dengm hasil ramalanny4 dengan melihat karakterisbl dari residul pada gambar 4 serta nilai statistik

Qljung-Box

datr nilai MSE yang diperoleh dengan bantuan tabel 6 berftut : [image:23.612.75.559.64.654.2]

K _Yeo*t

,u

(l)

ek ek

Pr

pl

I

0.84 a.27n2t4A 0.6177786 0.381650399 0.1451 0_u2105401

2 0-30 0.536257& 4.2362576 0.0558r7654 4.4194 0.00630436

-t -{.14 0.?3622670 4.3762267 0.14r546530 -0.1569 0.u)461761 4 0.15 -a.a6t12329 0.21t1233 0.044573&r8 -0-0483 0.m233289 5 0.29 0.08412665 0-2058733 0.042383816 0.0489 0.w239121 6 0.9'l 0.18339030 0.7866W7 0.618754820 0.1330 0.01768900 7 l-57 0.61080540 0.9591946 0.E20054281 0.0566 0.00320356 8 0_76 1.06861400 -0.3086140 o.w5242601 -0.0986 4.w972t96 9 0_44 0.57432190 -0.1343219 0.018042373 -0.r693 0.m866249

l0

0.06 432695270 4.266952'] a-wn637M -0.1057 a.otttr249

ll

0.60 0.06579868 0.5342013 0.285371029 0.1082 0.01170724

t2 0.92 0.38085140 0.5391486 0.290581213 0.0215 o.M%6225 l3 0.89 0.617M820 0.272s5t8 4.0742U484 0.0286 0.00081796

l4

0.13 0.62392390 -0.4939239 0.243960819 4fl236 0.00055696

l5 4.32 0.13453600 {.4545360 0.20602975 0.0268 0.00071824

l6 0.31 {.19265850 0-5026585 0.25265568 -0.0788 0.a06209M

t7 o-12 0.17896690 -0.0589669 0.003477095 4.427t 0.00073,141

l8 0.55 0.09014598 0.4598540 0.21t465701 -0.0171 0.w2y24t

t9 0.67 0.35310690 0.3168931 0.100421237 0.0360 0.00129600 20 0.93 0.45345520 0.4765M8 0.227094946 0.0000 0.00000000

[image:24.612.52.552.68.657.2]

Iumlah

ESS= 4.28535,1000 Gambar 4 : ptot diagnostic residual Tabel 6 : Nilai

60,

6i

,

p*

a*

pi

Untuk dapat menyimpulkan apakah model

ARMA(l,l)

untuk data inflasi nasional sudah sesuai dan dianggap layak rmtuk dapat digunakan sebagai model masih perlu dilakukan pemeriksaan diagnostik. Gambar 4 menunjukkan ilustrasi karalteristft dari residual yang seffira visual dapat

dilihat

bahwa

fimgsi

autokorelasinya secara

sipifikan

tidak

berbeda dengan

nol.

Hasil

perhitungan statistic Q-Ljung-Box

:

4.285354, Xz O.gS(f

S):

28. 8693,

q

.12O.lS

(t S), U"tutti model yang diperoleh sudah layak secara statishk pada taraf

sipifikansi

SYo dengan ukuran keakuratan RMSE={.4628906.

DaftarPustaka

Assis, IC, Aman, A md Rernali, Y. (2010)- Forecasting Cocoa Bean Prices Using Univariate Time Series Models. Jot'rt'at

'of

A*

&Comnerce- ISSN 22294686, VoI'- I, Issue-l,7130

Bai4 L.J. and Engslhrd! M. (1992). Intrduction ro Profubility and Malenatical Statrstcs, 2d- DDdury Press'

Belmon! Califomia

Beryer, J. (ZUk).fne Case for Objective Bayesian Analysi s Interrutional fuiety Jor Baysion Anafuk I ,

nnbr

3'

385-402.

Bemardo, J,M. (2011). Integrated Objective Bayesian Estimation and Hypothesis Testing' BoWsian Satistic 9, @ord

UniwrsitY Press, 1-68.

Box, G.E.p. and Jenkins, G. M. (19?6). Tine &ries Analysis : Forecastingand ControL Holden-Day, San Francisco.

Cheq C.W.S. O992). Bayesian'Irrfef*ot and Forecasting in Bilinear Time Series Models-Contmmity Statistics'Theory

MetMologt, 2I (6),1 72 5-I 743.

DeGroot, MJL <ZW>- ilptt

*t

Sratiglul &cisiotts- Jtu Witet & S@' Inc- N11 Y5eV

Fan, C- anrl yai, S.fjmgpal.*i- epgt"*tt for ARMA proi.ss atO lts Appli cldiitll,. Interrctionl htsitcss Reseoch

r(4),4e55.

Un, S.'f. if Sga).Jvfultiperiod Bayesian Forecasts forAR Models.lrm Inst. Statist. Math. Yol. 46, no- 3,429452'

r-iq S. r.ifgSii

C"dp.i*r offor"*tr

for AR Models Between

A

Rmdom Coefficient Approach and A Bayesian

Approach. Comrmm Statist- - Tle ory Me th, 2 4 (2)' 3 I 9-3 i

j

Mdsen, H. epg). Tine Seritii*itit,Cnup.*oHutt. Informatics and Malhematical Modelling Technical University

of

Denmark-. Ramrchan&an" K-hr- ad Tsokos, C}. (20@). Mothematicol Statistics with Applications, Elsevier Academic Press- San

Dego, California