PELABELAN TOTAL TITIK AJAIB PADA GRAF LENGKAP.

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

KATA PENGANTAR

Puji dan syukur penulis panjatkan kehadirat Tuhan Yang Maha Esa untuk

setiap berkat dan anugerah-Nya yang masih memberi kesehatan dan kesempatan

kepada penulis untuk menyelesaikan skripsi ini. Adapun skripsi ini berjudul ”

Pelabelan Total Titik Ajaib Pada Graf Lengkap”. Disusun untuk memperoleh

gelar Sarjana Sains Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan

Alam Universitas Negeri Medan.

Dalam penyusunan skripsi ini, penulis telah banyak mendapatkan bantuan

dan bimbingan dari berbagai pihak sehingga skripsi ini dapat diselesaikan dengan

baik. Untuk itu pada kesempatan ini penulis menyampaikan ucapan terima kasih

kepada:

1. Bapak Prof.Dr. Ibnu Hajar Damanik, M.Si selaku Rektor Universitas

Negeri Medan, Bapak Prof.Drs. Motlan Situmorang, M.Sc,Ph.D selaku

Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam.

2. Bapak Prof.Dr. Mukhtar, M.Pd selaku Ketua Jurusan Matematika dan Ibu

Dra. Nerli Khairani, M.Si selaku Ketua Program Studi Matematika serta

Bapak dan Ibu dosen juga staf pegawai FMIPA UNIMED.

3. Bapak Drs. Zul Amry, M.Si selaku Dosen Pembimbing Akademik.

4. Bapak Mulyono, M.Si selaku Dosen Pembimbing Skripsi yang telah

banyak memberi bantuan berupa arahan, bimbingan dan saran kepada

penulis.

5. Bapak Drs. H.Banjarnahor, M.Pd, Ibu Nerli Khairani, M.Si dan Bapak

Drs. J.Ambarita, M.Pd selaku Dosen Penguji yang telah banyak

memberikan saran-saran dalam penulisan skripsi ini.

6. Teristimewa buat Orangtuaku tercinta (Ayahanda L. Nababan dan Ibunda

N. Lubis) yang telah memberikan kasih sayang yang tak ternilai yang

selalu mendoakan, memotivasi dan juga mendukung saya dalam segala

hal, juga untuk saudara-saudaraku (Abangku Riduan, Kakakku Roida

Amd, Adek-adekku: Alex, Iwanto, Lia, Mey dan Henry), atas semua

dukungan dan doanya.

(7)

(8)

PELABELAN TOTAL TITIK AJAIB PADA GRAF LENGKAP

Evi Meliana Nababan (072244510008)

ABSTRAK

Misalkan G adalah sebuah graf dengan himpunan titik V = V(G) dan

himpunan sisi E = E(G) dengan e = E

( )

G dan v = V

( )

G . Suatu pelabelan total

titik ajaib (vertex-magic total labeling) pada graf G(V,E) adalah pemetaan

bijektif λ dari V ∪ E ke himpunan bilangan integer {1, 2, 3, …, V + E}

sedemikian sehingga terdapat bilangan bulat positif k yang memenuhi λ(x) + Σ

λ(xy) = k untuk setiap x ∈V. Selanjutnya k disebut konstanta ajaib pada G dan G disebut graf total titik ajaib. Pada tugas akhir ini dikaji tentang pelabelan total titik pada graf lengkap Kn untuk n ganjil dan n genap dengan algoritma yang disusun

dari algoritma penyusunan persegi ajaib yang sudah dimodifikasi.

Kata kunci: Pelabelan total titik ajaib, graf lengkap Kn, persegi ajaib.

(9)

ABSTRACT

Let G be a graph with vertex set V = V(G) and edge set E = E(G) and let e

= and v = . A vertex magic total labeling of graph G(V,E) is a

bijection map from V E to integer {1, 2,3 . . ., V + E} such that there is a positif integer k satisfying for every x V, λ(x) + Σ λ(xy) = k. Then k is called a magic constant, and G is called vertex magic total graph. In this final project , we consider a vertex magic total labeling of complete graph Kn for odd and even n

with use an algoritm which is composed of a modified construction magic square algoritm.

(10)

(11)

Tabel 4.23 Tabel Penyusunan Pelabelan Total Titik Ajaib Graf K6 ... 43

Tabel 4.24 Tabel Penyusunan Pelabelan Total Titik Ajaib Graf K3 ... 47

Tabel 4.25 Tabel L1 ... 47

Tabel 4.29 Tabel Penyusunan Pelabelan Total Titik Ajaib Graf K12 .... 50

(12)

DAFTAR GAMBAR

Gambar 2.1 Graf G1 ... 5

Gambar 2.4 Graf G dan Subgraf G ... 11

Gambar 2.5 Graf Ganda dan Graf Semu ... 12

Gambar 2.6 Graf Berhingga dan Graf Tak Terhingga ... 13

Gambar 2.7 Graf Berarah dan Graf Tak Berarah ... 14

Gambar 2.8 Graf Lengkap ... 15

Gambar 2.9 Graf Bipartit Komplit K23 ... 15

Gambar 2.10 Graf Lengkap K3 ... 23

Gambar 2.11 Pelabelan Total Titik Ajaib K3 ... 24

Gambar 2.12 Pelabelan Total Titik Ajaib Graf C5 ... 25

Gambar 2.13 Pelabelan Total Titik Ajaib Graf Roda W4 ... 26

Gambar 4.1 Pelabelan Total Titik Ajaib K3 ... 34

Gambar 4.2 Pelabelan Total Titik Ajaib Graf K5 ... 37

(13)

DAFTAR LAMPIRAN

Lampiran 1. Surat persetujuan dosen pembimbing skripsi

Lampiran 2. Surat penelitian dari FMIPA UNIMED

Lampiran 3. Surat penelitian dari Perpustakaan UNIMED

(14)

1

BAB I

PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang Masalah

Teori graf pertama sekali diperkenalkan oleh Leonhard Euler pada tahun

1736. Saat itu dia memikirkan untuk menyeberangi semua jembatan di kota

Kaliningrad, Rusia, tepat satu kali dan kembali ke tempat semula. Publikasi atas

permasalahan ini dikenal dengan teori graf.

Graf merupakan pasangan himpunan titik dan himpunan sisi. Pengaitan

titik-titik pada graf membentuk sisi dan dapat direpresentasikan pada gambar

sehingga membentuk pola graf tertentu. Pola-pola yang terbentuk didefenisikan

dan dikelompokkan menjadi kelas-kelas graf. Beberapa kelas graf menurut

banyaknya sisi yang insiden terhadap titik antara lain graf reguler, yang derajat

setiap titiknya adalah sama dan irreguler, yang derajat setiap titiknya ada yang

tidak sama.

Pelabelan graf merupakan suatu topik dalam teori graf. Objek kajiannya

berupa graf yang secara umum direpresentasikan oleh titik dan sisi serta himpunan

bilangan asli yang disebut label. Pelabelan graf pertama kali diperkenalkan oleh

Sadlack (1964), kemudian Stewart (1966), Kotzig dan Rosa (1970).

Pelabelan merupakan pemetaan injektif yang memetakan unsur himpunan

titik dan atau unsur himpunan sisi ke bilangan asli yang disebut label. Pelabelan

titik adalah pelabelan dengan domain himpunan titik, pelabelan sisi adalah

pelabelan dengan domain himpunan sisi, dan pelabelan total adalah pelabelan

dengan domain gabungan himpunan titik dan himpunan sisi.

Hingga kini dikenal beberapa jenis pelabelan pada graf, antara lain

pelabelan gracefull, pelabelan harmoni, pelabelan total total tak beraturan,

pelabelan ajaib, dan pelabelan anti ajaib. Dalam pengembangan pelabelan ajaib,

dikenal pula pelabelan total titik-ajaib, pelabelan total titik ajaib super, pelabelan

sisi ajaib, dan pelabelan total sisi-ajaib super.

Hingga saat ini pemanfaatan teori pelabelan graf sangat dirasakan

peranannya, terutama pada sektor sistem komunikasi dan transportasi, navigasi,

(15)

2

geografis, radar penyimpanan data komputer, dan juga desain circuit gabungan

pada komponen elektronik.

Dalam perang di dunia modern ini penggunaan peluru kendali sudah tidak

asing lagi. Penggunaan peluru kendali ini mengurangi perang secara fisik dalam

jarak dekat, karena peluru kendali dapat diluncurkan dari jarak jauh. Dalam

peluncurannya perlu diperhitungkan secara matang agar tepat sasaran. Untuk

mengantisipasi kedatangan peluru kendali dari pasukan musuh, peluru kendali ini

dapat dideteksi dengan menggunakan pendeteksi sinyal radar, sehingga dapat

dilakukan antisipasi secepat mungkin. Selain untuk mendeteksi keberadaan peluru

kendali baik yang akan diluncurkan ataupun yang akan datang dari musuh, deteksi

sinyal radar ini juga digunakan untuk deteksi keberadaan pesawat tempur. Desain

penting dari kode non periodik untuk sinyal radar dari peluru kendali ini ekivalen

dengan pelabelan pada graf lengkap, dimana setiap titik ada yang dihubungkan

dengan satu sisi yang mempunyai label yang berbeda. Label sisi ini

menggambarkan jarak antar titik, sedangkan label titiknya merupakan posisi pada

saat sinyal dikirimkan.

Pada tugas akhir ini, penulis melakukan kajian pelabelan total titik ajaib

(vertex magic total labeling ) pada salah satu subkelas graf reguler yaitu graf

lengkap Kn, dimana salah satu aplikasinya digunakan dalam desain penting dari

kode nonperiodik untuk sinyal radar dan peluru kendali, sehingga judul yang

diangkat oleh penulis adalah “PELABELAN TOTAL TITIK AJAIB PADA

GRAF LENGKAP.”

1.2. Rumusan Masalah

Berdasarkan latar belakang yang telah diuraikan, maka rumusan masalah

penelitian ini adalah bagaimana menentukan pelabelan total titik ajaib pada graf

(16)

3

1.3. Pembatasan Masalah

Batasan masalah yang menjadi acuan dalam pengerjaan tugas akhir ini

yaitu graf yang dikaji adalah subkelas dari graf sederhana yaitu yaitu graf lengkap

Kn yang meliputi graf lengkap Kn dengan n ganjil dan graf lengkap Km dengan m

genap lebih khusus m≡ 2 mod 4 dan m ≡ 4 mod 8.

1.4. Tujuan Penelitian

Adapun tujuan dari penelitian ini adalah menentukan pelabelan total titik

ajaib pada graf lengkap Kn, dengan n ganjil dan graf lengkap Km dengan m genap

lebih khusus m≡ 2 mod 4 dan m ≡ 4 mod 8.

1.5. Manfaat Penelitian

Hasil dari penelitian ini diharapkan dapat digunakan sebagai bahan

tambahan dalam pembahasan untuk menentukan pelabelan total titik ajaib pada

graf lengkap Kn serta sebagai bahan informasi bagi peneliti lain yang akan

(17)

51

BAB V

PENUTUP

Kesimpulan

Berdasarkan hasil penelitian yang telah disajikan dalam Bab IV, maka

peneliti dapat menarik kesimpulan:

1. Untuk graf lengkap Kn untuk n = ganjil, graf yang memenuhi pelabelan

total titik ajaib adalah graf Kn dengan n > 1, sedangkan untuk n = 1 tidak

dapat ditentukan pelabelannya.

2. Untuk graf lengkap KN dengan N = genap , untuk N ≡ 2(mod 4), graf yang

memenuhi pelabelan total titik ajaib adalah graf yang dapat difaktorkan

dengan memisalkan N = n/2, sedangkan untuk N ≡ 4(mod 8), graf yang

memenuhi pelabelan total titik ajaib adalah graf yang dapat difaktorkan

dengan memisalkan N = n/4.

Saran

Dalam tulisan ini, penulis hanya membahas pelabelan total titik ajaib

(vertex-magic total labeling) pada graf lengkap Kn, oleh sebab itu masih perlu

dilakukan pengembangan penelitian untuk kelas-kelas graf sederhana yang lain

baik dengan pelabelan total titik ajaib ataupun dengan menggunakan pelabelan

(18)

52

DAFTAR PUSTAKA

Ali, Gohar. 2005. Graph Labelings. Abdus Salam School of Mathematical

Sciences GC University Lahore: Pakistan

I. D. Gray, J. A. MacDougall, W. D. Wallis, On Vertex-Magic Labeling of

Complete Graphs, (2003) Bull. I.C.A. 38: 42-44

H. K. Krisnappa, Kishore Kothapali, V. CH. Venkaain, Vertex-Magic Total

Labeling of Complete Graphs, (2009) AKCE J. Graphs. Combin, 6, No. 1

pp: 143-154

J. A. MacDougall, Mirka Miller, Slamin, W. D. Wallis, (2002) Vertex-Magic

Total Labeling of Graphs, Utilitas Math 61: 3-21

J. A. MacDougall, Mirka Miller, K. Sugeng, Super Vertex-Magic Total Labeling

of Graphs, Proc. 15th Australasian Workshop on Combinatorial Algorithms

(2004)

Jhonsonbaugh, Richard. 1997. Matematika Diskrit Edisi Kedua Bahasa Indonesia.

Jakarta: Prehalinndo

Lipschutz, Seymour & Marc Lipson. 2008. Matematika Diskret. Jakarta: Erlangga

Munir, Rinaldi. 2005. Matematika Diskrit Edisi Ketiga. Bandung: Informatika

Bandung

Munir, Rinaldi. 2003. Matematika Diskrit Edisi Kedua. Bandung: Informatika

Bandung

Siang, JJ. 2006. Matematika Diskrit dan Aplikasinya pada Ilmu Komputer.

Yogyakarta: Andi Yogyakarta

Y. Lin & Mirka Miller, (2001) Magic Total Labeling of Complete Graphs,

(19)

RIWAYAT HIDUP

Penulis dilahirkan di Lumban Sangkalan, pada tanggal 10 Januari 1988.

Ayah bernama Lindung Nababan dan Ibu bernama Nurmaya Lubis, dan

merupakan anak ketiga dari delapan bersaudara. Pada tahun 1995, penulis masuk

SD Negeri 173299 Paniaran, dan lulus pada tahun 2001. Pada tahun 2001, penulis

,melanjutkan sekolah di SMP Negeri 2 Siborongborong, dan lulus pada tahun

2004. pada tahun 2004, penulis melanjutkan sekolah di SMA Negeri 1

Siborongborong dan lulus pada tahun 2007. Pada tahun 2007, penulis diterima di

Program Studi Matematika Jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu

Pengetahuan Alam Universitas Negeri Medan.