SNFP UM 2016 NUGROHO ADI PRAMONO 1

(1)

Simulasi Tiga-Dimensi Persamaan Difusi pada Sistem Fisis Radial

Menggunakan Operator Del pada Koordinat Silindris dengan Bahasa

Pemrograman Python

NUGROHOADIPRAMONO1)

Jurusan Fisika Universitas Negeri Malang. Jl. Semarang 5 Malang E-mail: nugnux@gmail.com

Tel: (0341) 552125

ABSTRAK: Telah dilakukan pembuatan program simulasi tiga dimensi persamaan difusi pada koordinat polar. Persamaan yang digunakan adalah persamaan difusi. Operator del yang digunakan adalah operator del pada koordinat silindris dengan meninjau perubahan pada rdan φ. Program ditulis dalam bahasa pemrograman Python dengan menggunakan modul Scipy dan

Matplotlib. Hasil simulasi menunjukkan bahwa dengan nilai awal ditengah (simetris), program memiliki hasil yang sama dengan simulasi dengan operator del pada koordinat kartesian. Pemberian nilai awal yang tidak simetris memiliki hasil yang berbeda.

Kata Kunci: persamaan difusi, del, koordinat silindris.

PENDAHULUAN

Simulasi transfer panas sebagai salah satu aplikasi dari persamaan difusi telah banyak dilakukan

Hal yang perlu menjadi perhatian adalah simulasi tersebut menggunakan penghitungan yang dilakukan di sistem koordinat kartesan. Hal ini menyebabkan pola persebaran panas panas yang secara fisis bersifat radial akan terdiskritisasi menjadi bentuk segi empat. Hal ini dapat diatasi dengan memperkecil elemen diskrit pada penghitungan, namun hasilnya walaupun mendekati pola radial tetap menyisakan kesan bahwa sebaran panas berbentuk segi empat (dengan sisi tumpul).

Yang dilakukan dalam penelitian ini adalah pembuatan software yang mensimulasikan transfer panas

METODE PENELITIAN

Penelitian ini merupakan simulasi sistem fisis menggunakan metode komputasi. Sistem fisis yang ditinjau berupa plat dengan ukuran 2 x 2 satuan panjang. Plat kemudian diberi nilai suhu awal nol di semua tempat kecuali titik panas atau cincin panas yang berpusat di titik asal koordinat.

Persamaan difusi yang digunakan adalah Persamaan (1)

(1)

Operator del yang digunakan adalah operator del pada koordinat silindris seperti pada persamaan (2)

(2)

Persamaan (1) dicari solusinya secara numerik mengunakan metode finite

difference. Bahasa python digunakan karena mendukung fungsi array slicing sehingga

mempercepat penghitungan.

Karena sistem fisis yang ditinjau adalah plat dan dianggap dua dimensi, maka hanya digunakan suku pertama dan kedua pada Persamaan (2). Variabel yang

digunakan adalah r dan φyang dalam kode program diwakili oleh r dan p (dari kata

phi) dengan elemen masing-masing dr dan dp.

∂ ∂+a∇

2 u=0

Simulasi Tiga-Dimensi Persamaan Difusi pada Sistem Fisis Radial

Menggunakan Operator Del pada Koordinat Silindris dengan Bahasa

Pemrograman Python

NUGROHOADIPRAMONO1)

Tel: (0341) 552125

ABSTRAK:Telah dilakukan pembuatan program simulasi tiga dimensi persamaan difusi pada koordinat polar. Persamaan yang digunakan adalah persamaan difusi. Operator del yang digunakan adalah operator del pada koordinat silindris dengan meninjau perubahan padardan . Program ditulis dalam bahasa pemrograman Python dengan menggunakan modul Scipy dan Matplotlib. Hasil simulasi menunjukkan bahwa dengan nilai awal ditengah (simetris), program memiliki hasil yang sama dengan simulasi dengan operator del pada koordinat kartesian. Pemberian nilai awal yang tidak simetris memiliki hasil yang berbeda.

PENDAHULUAN

(1)

(2)

digunakan adalah r dan φyang dalam kode program diwakili oleh r dan p (dari kata

phi) dengan elemen masing-masing dr dan dp.

Simulasi Tiga-Dimensi Persamaan Difusi pada Sistem Fisis Radial

Menggunakan Operator Del pada Koordinat Silindris dengan Bahasa

Pemrograman Python

NUGROHOADIPRAMONO1)

Tel: (0341) 552125

ABSTRAK:Telah dilakukan pembuatan program simulasi tiga dimensi persamaan difusi pada koordinat polar. Persamaan yang digunakan adalah persamaan difusi. Operator del yang digunakan adalah operator del pada koordinat silindris dengan meninjau perubahan padardan . Program ditulis dalam bahasa pemrograman Python dengan menggunakan modul Scipy dan Matplotlib. Hasil simulasi menunjukkan bahwa dengan nilai awal ditengah (simetris), program memiliki hasil yang sama dengan simulasi dengan operator del pada koordinat kartesian. Pemberian nilai awal yang tidak simetris memiliki hasil yang berbeda.

PENDAHULUAN

(1)

(2)

digunakan adalah r dan yang dalam kode program diwakili oleh r dan p (dari kata

(2)

S

EMINAR

N

ASIONAL

J

URUSAN

F

ISIKA

FMIPA UM 2016

ISBN 978-602-71279-1-9 FTK-8

Diskritisasi sistem fisis dapat dilihat seperti pada Gambar 1. Plat dibagi secara

radial dengan langkah dr sebesar 1/20 dan dp sebesar 2/20.

Gambar 1. Diskretisasi sistem fisis secara radial

Nilai parameter awal yang dimasukkan adalah nr = 20

np = 20

r = sp.linspace(0.,1.,nr) p = sp.linspace(0.,2*sp.pi,np) dr = r[1]-r[0]

dp = p[1]-p[0] a = .5

tmax = 100 t = 0. dr2 = dr**2 dp2 = dp**2

dt = dr2 * dp2 / (2 * a * (dr2 + dp2) ) dt /=10

ut = sp.zeros([nr,np]) u0 = sp.zeros([nr,np])

ur = sp.zeros([nr,np]) ur2 = sp.zeros([nr,np])

Penerapan metode finite difference dalam python adalah sebagai berikut. ut[1:-1, 1:-1] = u0[1:-1, 1:-1] + a*dt*(

(ur[1:-1, 1:-1] - ur[:-2, 1:-1])/dr+

(u0[2:, 1:-1] - 2*u0[1:-1, 1:-1] + u0[:-2,1:-1])/dr2+ (ur2[1:-1, 2:] - 2*ur2[1:-1, 1:-1] + ur2[1:-1, :-2])/dp2)

Syarat batas digunakan saat r = 1 adalah sebagai berikut ut[1:-1, 0] = u0[1:-1, 0] + a*dt*(

(ur[1:-1, 0] - ur[:-2, 0])/dr+

(u0[2:, 0] - 2*u0[1:-1, 0] + u0[:-2, 0])/dr2+

S

EMINAR

N

ASIONAL

J

URUSAN

F

ISIKA

FMIPA UM 2016

ISBN 978-602-71279-1-9 FTK-8

np = 20

dp = p[1]-p[0] a = .5

tmax = 100 t = 0. dr2 = dr**2 dp2 = dp**2

dt = dr2 * dp2 / (2 * a * (dr2 + dp2) ) dt /=10

(ur[1:-1, 1:-1] - ur[:-2, 1:-1])/dr+

(u0[2:, 1:-1] - 2*u0[1:-1, 1:-1] + u0[:-2,1:-1])/dr2+ (ur2[1:-1, 2:] - 2*ur2[1:-1, 1:-1] + ur2[1:-1, :-2])/dp2)

(ur[1:-1, 0] - ur[:-2, 0])/dr+

(u0[2:, 0] - 2*u0[1:-1, 0] + u0[:-2, 0])/dr2+

S

EMINAR

N

ASIONAL

J

URUSAN

F

ISIKA

FMIPA UM 2016

ISBN 978-602-71279-1-9 FTK-8

np = 20

dp = p[1]-p[0] a = .5

tmax = 100 t = 0. dr2 = dr**2 dp2 = dp**2

dt = dr2 * dp2 / (2 * a * (dr2 + dp2) ) dt /=10

(ur[1:-1, 1:-1] - ur[:-2, 1:-1])/dr+

(u0[2:, 1:-1] - 2*u0[1:-1, 1:-1] + u0[:-2,1:-1])/dr2+ (ur2[1:-1, 2:] - 2*ur2[1:-1, 1:-1] + ur2[1:-1, :-2])/dp2)

(ur[1:-1, 0] - ur[:-2, 0])/dr+

(3)

(ur2[1:-1, 1] - 2*ur2[1:-1, 0] + ur2[1:-1, np-1])/dp2) ut[1:-1, np-1] = u0[1:-1, np-1] + a*dt*(

(ur[1:-1, np-1] - ur[:-2, np-1])/dr+

(u0[2:, np-1] - 2*u0[1:-1, np-1] + u0[:-2,np-1])/dr2+ (ur2[1:-1, 0] - 2*ur2[1:-1, np-1] + ur2[1:-1, np-2])/dp2)

Sebagai pembanding, dibuat simulasi dengan sistem fisis yang sama namun menggunakan penghitungan dengan operator del di sistem koordinat kartesian. Kode sistem pembanding dalam python adalah sebagai berikut.

Nilai awal dx=0.05 dy=0.05 a=0.5

timesteps=500 t=0.

nx = int(1/dx) ny = int(1/dy) dx2=dx**2 dy2=dy**2

dt = dx2*dy2/( 2*a*(dx2+dy2) ) ui = sp.zeros([nx,ny])

u = sp.zeros([nx,ny])

Kode utama

u[1:-1, 1:-1] = ui[1:-1, 1:-1] + a*dt*(

(ui[2:, 1:-1] - 2*ui[1:-1, 1:-1] + ui[:-2, 1:-1])/dx2 + (ui[1:-1, 2:] - 2*ui[1:-1, 1:-1] + ui[1:-1, :-2])/dy2 )

Kedua simulasi menggunakan bahasa python yang dijalankan pada sistem operasi OS X El Capitan. Gambar dan video dirender menggunakan modul python matplotlib yang disimpan dalam format .mp4. Data yang dibandingkan adalah data gambar pola sebaran panas pada kedua metode.

Penelitian memuat rancangan penelitian dan pendekatan yang digunakan, teknik pengambilan data, analisis data, dan penafsiran serta penyimpulan hasil penelitian. Prosedur penelitian ditulis secara runut dan jelas.

HASIL DAN PEMBAHASAN

Sub Pembahasan 1 (Bila Ada)

Hasil simulasi dapat dilihat pada Gambar 2

a b

Gambar 2. a) Hasil simulasi di koordinat Kartesan, b) koordinat silindris

(ur[1:-1, np-1] - ur[:-2, np-1])/dr+

timesteps=500 t=0.

Kode utama

u[1:-1, 1:-1] = ui[1:-1, 1:-1] + a*dt*(

a b

Gambar 2. a) Hasil simulasi di koordinat Kartesan, b) koordinat silindris

(ur[1:-1, np-1] - ur[:-2, np-1])/dr+

timesteps=500 t=0.

Kode utama

u[1:-1, 1:-1] = ui[1:-1, 1:-1] + a*dt*(

a b

(4)

S

EMINAR

N

ASIONAL

J

URUSAN

F

ISIKA

FMIPA UM 2016

ISBN 978-602-71279-1-9 FTK-10

Dapat dilihat bahwa perambatan panas benar-benar memiliki pola radial saat disimulasikan dengan menggunakan operator del di koordinat silindris.

Kelemahan simulasi dengan metode ini dapat dilihat pada Gambar 3. Terlihat bahwa jika kita memberikan nilai awal yang tidak simetri terhadap titik asal, maka hasilnya akan tidak sesuai dengan fakta atau hasil hitungan secara analitis. Hal ini disebabkan oleh sifat radial dari koordinat silindris yang menyebabkan elemen diskrit memiliki luas yang berbeda-beda, semakin jauh dari titik asal maka luas elemen diskrit akan semakin besar.

Gambar 3. Hasil simulasi dengan nilai awal tidak simetri terhadap titik asal

Referensi ditulis dengan Century Schoolbook, ukuran 11 pt. Penulisannya mengikuti format yang telah disediakan dalam template ini. Di dalam teks, sitasi ditulis dengan format nama-tahun dan tuliskan et al setelah nama (contoh: Rietveld et al, 2015). Daftar Rujukan hanya berisi pustaka yang disitasi (dirujuk) di dalam artikel.

KESIMPULAN

Hasil simulasi menunjukkan bahwa dengan nilai awal ditengah (simetris), program memiliki hasil yang sebanding dengan simulasi dengan operator del pada koordinat kartesian dengan beberapa kelebihan. Keuntungan metode ini yaitu lebih sesuai dengan kondisi sebenarnya yang memiliki pola radial dan menggunakan ukuran elemen diskrit yang relatif besar sehingga mempercepat waktu penghitungan.

Pemberian nilai awal yang tidak simetris memiliki hasil yang berbeda dan secara fisis kurang tepat. Perlu dibuat sebuah simulasi yang dapat menghitung secara radial dengan operator del di koordinat silindris sedemikian sehingga titik sumber panas selalu berimpit dengan pusat koordinat.

DAFTAR RUJUKAN

Hidayat, S., 2014. Pendidikan Lingkungan Hidup untuk SMA Jilid 3. Aditya Media

Publishing.

Hosokawa, M., Nogo, K., Yokoyama, T., 2007. Nanoparticle Technology Handbook.

Elsivier, Linarce House, Jordan Hill.

Jawa Pos. 22 April 2008.Wanita Kelas Bawah Lebih Mandiri, 3.

Khatri, R., Henderson, C., Cole, R., Froyd, J., 2013. Successful propagation of

educational innovations: Viewpoints from principal investigators and program, AIP

Conference Proceedings, vol. 1513, 218.

S

EMINAR

N

ASIONAL

J

URUSAN

F

ISIKA

FMIPA UM 2016

ISBN 978-602-71279-1-9 FTK-10

KESIMPULAN

DAFTAR RUJUKAN

Publishing.

Conference Proceedings, vol. 1513, 218.

S

EMINAR

N

ASIONAL

J

URUSAN

F

ISIKA

FMIPA UM 2016

ISBN 978-602-71279-1-9 FTK-10

KESIMPULAN

DAFTAR RUJUKAN

Publishing.

(5)

Sutopo, Waldrip, B., 2013. Impact of A Representational Approach on Students Reasoning and Conceptual Understanding in Learning Mechanics. Int. J. Sci. Math.

Educ. vol. 12, 741.

Sutrisno, F.H., 2015. Penilaian Autentik dalam Pembelajaran Fisika Model Discovery

Learning di SMA Negeri 9 Malang Kelas X. Skripsi tidak diterbitkan. Malang: